专题5.1 矩形的性质（举一反三讲义）数学新教材浙教版八年级下册

专题5.1 矩形的性质（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 【题型1 利用矩形的性质求角度】 2 【题型2 利用矩形的性质求线段长】 3 【题型3 利用矩形的性质求面积】 4 【题型4 利用矩形的性质证明】 5 【题型5 矩形的折叠】 6 【题型6 矩形与坐标】 7 【题型7 矩形与等腰】 8 【题型8 矩形与分类讨论】 9 【题型9 矩形中的最值】 10 【题型10 直角三角形斜边上的中线】 11 知识点1 矩形的定义 1. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形是特殊的平行四边形． 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若，则ABCD是矩形． 知识点2 矩形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 对边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 ， 对称性 轴对称图形，对角线的交点是它的对称轴，共有两条 中心对称图形，对称中心是两条对角线7的交点 知识点3 直角三角形的性质定理 1. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2. 数学语言描述：如图，在Rt 中，，D为AC 的中点,则 ． 3. 定理的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 在中，若，且D为AC的中点，则为直角三角形． 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【例1】（2025·湖北武汉·模拟预测）某同学在矩形中研究数学问题，他按如下步骤操作：（1）以点B为圆心、以边长为半径画弧交于点E；（2）分别以点C，E为圆心、以大于长为半径画弧，两弧交于点F；（3）作射线分别交边，边的延长线于点G，H． 若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，延长矩形的边至点，使，连接，如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点F， 若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）在矩形中，点为对角线的交点，，平分交于点E，则的度数是 ． 【题型2 利用矩形的性质求线段长】 【例2】（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在矩形中，点在边上，点F在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则的长为 ． 【变式2-1】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在矩形中，，点是对角线的中点，将沿AC翻折，得到，其中，与相交于点，连接，则为（   ） A． B．1 C． D． 【变式2-2】（2025·安徽淮南·三模）如图，在矩形中，，平分交于点，连接，交于点，若，则的长度为 ． 【变式2-3】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在矩形中，，，点E在对角线 上（不与点A，C重合），连接．若，则的长为 ． 【题型3 利用矩形的性质求面积】 【例3】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ） A． B． C． D．20 【变式3-1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为 ． 【变式3-2】如图，点是矩形对角线上一点，过点做，分别交，于点，，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ．    【变式3-3】矩形中，为上任一点，连接，，为中线，为上一点，且，，交于点．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（   ）    A．2.5 B．5 C． D．以上答案都不正确 【题型4 利用矩形的性质证明】 【例4】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）在矩形中，为矩形对角线，在边上，连接． (1)如图1，若，，，求； (2)如图2，，，连接交于，当为的中点时，求证：． 【变式4-1】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，，垂足为点，连接，． (1)求证：； (2)求证：垂直且平分． 【变式4-2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，点，在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长 【变式4-3】（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）已知：在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在边上，连接交于点H． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，连接，若平分，判断与之间的数量关系，并说明理由． 【题型5 矩形的折叠】 【例5】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图① ，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图② ，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）如图，在矩形纸片中，点是边的中点，沿直线折叠，点落在矩形内部的点处，连接并延长交于点．已知，，则的长为 ． 【变式5-2】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，矩形纸片中，，，点E为上一点（点E不与B、C重合），将纸片沿翻折得到．点F在上，沿再次折叠纸片，使点C的对应点落在上，若E、、三点在同一直线上，则的长为 ． 【变式5-3】（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）根据国际标准，A系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…，将纸按如图所示的方式折叠． 观察图1的折叠过程，可知纸矩形的长与宽的比值为 ． 【题型6 矩形与坐标】 【例6】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【变式6-2】如图，在矩形中，点与原点重合，点在轴上，点的坐标分别为，，将矩形向右平移2个单位长度得到矩形，则点的对应点的坐标为 ． 【变式6-3】如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为 ．    【题型7 矩形与等腰】 【例7】在矩形中，，，E是边上一点，以点E为直角顶点，在的右侧作等腰直角．    (1)如图1，当点F在边上时，求的长． (2)如图2，若，求的长． 【变式7-1】如图，将一个等腰直角三角尺放置在一张矩形纸片上，使点G，E，F分别在矩形的边上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】如图所示，线段为等腰的底边，矩形的对角线与交于点，若，则 ． 【变式7-3】如图，矩形中，已知，，点是边上一点，以为直角边在与点的同侧作等腰直角，连接，当点在边上运动时，线段长度的最小值是(　　) A． B． C． D． 【题型8 矩形与分类讨论】 【例8】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，在矩形中，，点E是边上一动点，点F是上一动点，且，点G是边上一动点，连接，当是等腰直角三角形时，的长是 ． 【变式8-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在矩形，点为直线上一点，若，则的长为 ． 【变式8-2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）在矩形中，，，点为射线上一动点，将沿折叠使点落在点处，连接.当、、三点共线时，长为 ． 【变式8-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知矩形纸片，，，将矩形纸片折叠，使B，D两点重合，折痕与矩形的一边交于点，则A，P两点间的距离为 cm． 【题型9 矩形中的最值】 【例9】（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点分别是点关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在矩形中，，，点为直线下方一点，且以为斜边在矩形的外部作直角三角形，点是的中点，则的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D． 【变式9-2】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．点从点向点运动的过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，，是的中点，直线l经过点且可绕点转动，，，垂足分别为，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 【题型10 直角三角形斜边上的中线】 【例10】（2025·河南信阳·三模）如图，钝角中，，D为边的中点，若，，则的长可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式10-1】（24-25八年级下·天津河北·期中）如图，在中，，，于点，于点，并且点是的中点，的周长是，则的长是（   ） A． B． C．4 D． 【变式10-2】（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，在矩形中，，过对角线的中点O作，分别交于E、F，点G为的中点，若，则的长为 ．      【变式10-3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在第二象限．若保持的长不变，当点在轴的正半轴滑动，点随之在轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点与原点的最大距离是（   ） A． B． C． D．3 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 矩形的性质（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 【题型1 利用矩形的性质求角度】 2 【题型2 利用矩形的性质求线段长】 5 【题型3 利用矩形的性质求面积】 10 【题型4 利用矩形的性质证明】 14 【题型5 矩形的折叠】 21 【题型6 矩形与坐标】 25 【题型7 矩形与等腰】 29 【题型8 矩形与分类讨论】 33 【题型9 矩形中的最值】 39 【题型10 直角三角形斜边上的中线】 43 知识点1 矩形的定义 1. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形是特殊的平行四边形． 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若，则ABCD是矩形． 知识点2 矩形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 对边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 ， 对称性 轴对称图形，对角线的交点是它的对称轴，共有两条 中心对称图形，对称中心是两条对角线7的交点 知识点3 直角三角形的性质定理 1. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2. 数学语言描述：如图，在Rt 中，，D为AC 的中点,则 ． 3. 定理的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 在中，若，且D为AC的中点，则为直角三角形． 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【例1】（2025·湖北武汉·模拟预测）某同学在矩形中研究数学问题，他按如下步骤操作：（1）以点B为圆心、以边长为半径画弧交于点E；（2）分别以点C，E为圆心、以大于长为半径画弧，两弧交于点F；（3）作射线分别交边，边的延长线于点G，H． 若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了矩形的性质和尺规作角平分线，根据矩形的性质得出，再根据尺规作图得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 根据作图可得， ∴， 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，延长矩形的边至点，使，连接，如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形性质．连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，，且， ， 又， ， ， ， ，即． 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点F， 若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，根据题意可得，再通过矩形的性质可得，即可解答，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点O作的垂线交于点F， ， ， 四边形是矩形， ，， 即， ， 故选：A． 【变式1-3】（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）在矩形中，点为对角线的交点，，平分交于点E，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，根据矩形的性质，推出为等边三角形，得到，，角平分线求出，得到，进而得到，等边对等角结合角的和差关系，求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型2 利用矩形的性质求线段长】 【例2】（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在矩形中，点在边上，点F在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据矩形的性质，勾股定理可得，可证，得到，则点是线段的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，设，则，在中，由勾股定理得到，则，根据题意可得是等腰三角形，，由勾股定理得到，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是线段的中点， 如图所示，连接， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∴，则， ∵， ∴是等腰三角形，， 在中，， ∴， 故答案为： ． 【变式2-1】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在矩形中，，点是对角线的中点，将沿AC翻折，得到，其中，与相交于点，连接，则为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据矩形的性质设，则，结合，得出，在中，勾股定理求出，则，根据折叠可得：，证出，根据等腰三角形三线合一得出，设，则，，在中，根据勾股定理得出，在中，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∵点是对角线的中点， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∴， ∵点是对角线的中点，， ∴， 设，则，， 在中，， 则， 解得：， 在中，， 则． 故选：C 【变式2-2】（2025·安徽淮南·三模）如图，在矩形中，，平分交于点，连接，交于点，若，则的长度为 ． 【答案】3 【分析】本题考查求线段长，涉及矩形性质、角平分线性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，先由矩形性质得到线段长度及直角，再由角平分线性质及等腰直角三角形的判定确定是等腰直角三角形，从而得到，在中，由勾股定理得的长即可得到答案，熟练掌握相关几何性质，灵活运用勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：设，则，． ∵在矩形中， ， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为3． 【变式2-3】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在矩形中，，，点E在对角线 上（不与点A，C重合），连接．若，则的长为 ． 【答案】11 【分析】连接交于O，作于点F，由矩形的性质和勾股定理，，利用三角形等面积运算求得，利用勾股定理求得，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定与性质性质求得，进而可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于O，作于点F， ∵在矩形中，，，， ，则， ， 由得， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，构造直角三角形是解此题的关键． 【题型3 利用矩形的性质求面积】 【例3】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ） A． B． C． D．20 【答案】B 【分析】连接，如图，根据折叠的性质得到，，当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，根据勾股定理得到，得到长度的最小值，设，则，根据勾股定理得到根据三角形的面积公式得到的面积是． 【详解】解：连接，如图， 沿翻折至， ， ，， ， 当点、、三点共线时，最小，此时的最小值， 四边形是矩形， ， ，， ， 长度的最小值， 设，则， ， ， ， ， 解得，， 的面积是， 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，线段的最值问题．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．熟练掌握折叠的性质，勾股定理，是解题的关键． 【变式3-1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．由，，得出，求出，再利用矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】如图，点是矩形对角线上一点，过点做，分别交，于点，，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】18 【分析】本题考查了矩形的性质，过点作分别交、于点、，证明，从而，即，求出的值即可求出整个阴影部分的面积，熟练掌握矩形的性质定理是解题关键． 【详解】解：过点作分别交、于点、，如图所示：    由矩形性质可知，，，， ，即， ，即， ，， ，即图中阴影面积为， 故答案为：18． 【变式3-3】矩形中，为上任一点，连接，，为中线，为上一点，且，，交于点．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（   ）    A．2.5 B．5 C． D．以上答案都不正确 【答案】A 【分析】连接，根据矩形的性质可得，根据为中线，可得，，根据，可得，，，即有，进而可得，， ，即可得，问题随之得解． 【详解】连接，如图，    ∵面积为矩形面积的一半，矩形的面积为12， ∴， ∵为中线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中线的性质，得出，且等高的两个三角形面积之比等于其底之比，是解答本题的关键． 【题型4 利用矩形的性质证明】 【例4】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）在矩形中，为矩形对角线，在边上，连接． (1)如图1，若，，，求； (2)如图2，，，连接交于，当为的中点时，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由矩形的性质得，因为，所以，则，所以，求得； （2）作于点，则，由，得，由，得，而，，可根据“”证明，得，，因为，所以，可根据“”证明，则． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 的长是； （2）证明：如图2，作于点，则， ， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式4-1】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，，垂足为点，连接，． (1)求证：； (2)求证：垂直且平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由矩形的性质可得出，，得出，由等腰三角形的性质即可得出； （2）证明，由全等三角形的性质可得出，由线段垂直平分线的性质可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴D在的垂直平分线， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线， ∴垂直且平分. 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【变式4-2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，点，在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，得到，根据，得到，证明，即可得出结论； （2）过点A作，垂足为，四边形是矩形，由勾股定理得，进而得到，再根据三角形面积公式求出，由勾股定理得，进而得到，在求出 ，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：过点A作，垂足为， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵ 即  ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了矩形性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【变式4-3】（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）已知：在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在边上，连接交于点H． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，连接，若平分，判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由旋转的性质可得，由等边对等角可得，由矩形的性质可得，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，于是结论得证； （2）连接，过点作于点，由旋转的性质可得，，，由矩形的性质可得，，，，利用可证得，于是可得，，利用又可证得，于是可得，利用等式的性质可得，设，， 则，，，根据勾股定理可得，即，整理可得，于是结论得证． 【详解】（1）证明：如图，连接， 由旋转的性质可得：， ， 四边形是矩形， ， ， ， 平分； （2）解：，理由如下： 如图，连接，过点作于点， 则， 由旋转的性质可得：，，， 四边形和是矩形， ，，，， ，， 由（1）可得：平分， ， 在和中， ， ， ，， ，平分， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 设，， 则， ， ， ， 根据勾股定理可得： ， 即：， 整理，得：， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，勾股定理等知识点，熟练在掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型5 矩形的折叠】 【例5】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图① ，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图② ，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，由折叠可得垂直平分，四边形为矩形，得出，，由折叠的性质结合平行线的性质可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵把沿折叠得到，交折痕于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即线段的长为， 故选：C． 【变式5-1】（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）如图，在矩形纸片中，点是边的中点，沿直线折叠，点落在矩形内部的点处，连接并延长交于点．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 连接，证出，得到的长，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：连接如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，， ∵为中点， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，矩形纸片中，，，点E为上一点（点E不与B、C重合），将纸片沿翻折得到．点F在上，沿再次折叠纸片，使点C的对应点落在上，若E、、三点在同一直线上，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，，，证明，得出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， 由折叠的性质可得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【变式5-3】（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）根据国际标准，A系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…，将纸按如图所示的方式折叠． 观察图1的折叠过程，可知纸矩形的长与宽的比值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查折叠的性质，正方形的性质，勾股定理. 根据折叠的性质可知四边形为正方形，，再结合勾股定理即可求出，即纸的长宽之比为； 【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ∴． 第二次折叠，得出， ∴， 即纸的长是宽的倍． 故答案为： 【题型6 矩形与坐标】 【例6】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质以及坐标与图形，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，再利用勾股定理列出等式进行求解即可．根据矩形的性质和折叠的性质证明，设，则，利用勾股定理可得进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ∵将纸片矩形沿折叠，使点B落在点D的位置， , , ， ∵点B的坐标为， ，， 设，则， 在中，， 解得， ∴点E的坐标为， 故选：C． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，涉及矩形性质、中点坐标公式等知识，熟练掌握矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键．由矩形的对角线交于一点，且对角线相互平分，从而由中点坐标公式求出对角线交点的坐标，列方程求解即可得到的值，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由中点坐标公式可知中点的坐标为，即； 中点的坐标为，即； ， 解得， ， 故选：D． 【变式6-2】如图，在矩形中，点与原点重合，点在轴上，点的坐标分别为，，将矩形向右平移2个单位长度得到矩形，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】分别由勾股定理求出AO，CO的长，由矩形的性质得出BC=AO，由勾股定理得出BO的长，再由平移的性质可得出点B的坐标． 【详解】解：∵A（2，1） ∴AO= ∵C（-2，4） ∴ ∵四边形ABCO是矩形， ∴ 在Rt△BOC中，，， 由勾股定理得，BO= 连接，，如图， 由平移的性质得，， ∴点的坐标为（2，5）． 故答案为：（2，5）． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质、勾股定理以及平移的性质，运用勾股定理求出BO=5是解答此题的关键． 【变式6-3】如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】利用勾股定理求出，作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，证明，推出，得到，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， ∴， 作于点E，如图， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即，解得， ∴点的坐标为； 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程是解题的关键． 【题型7 矩形与等腰】 【例7】在矩形中，，，E是边上一点，以点E为直角顶点，在的右侧作等腰直角．    (1)如图1，当点F在边上时，求的长． (2)如图2，若，求的长． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）如图1中，证明，即可解决问题． （2）如图2中，延长，交于点N，过点F作于点M．证明，设，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中，      ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如图2中，延长，交于点N，过点F作于点M，    同理可证， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， 而， ∴， ∴，，， 即在中，， 在中，， 在中，， 即，解得（负根舍去）， 即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，化为最简二次根式等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【变式7-1】如图，将一个等腰直角三角尺放置在一张矩形纸片上，使点G，E，F分别在矩形的边上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是本题的关键． 先根据直角三角形的两锐角互余可得，最后由平行线的性质可得结论． 【详解】解：在矩形中， 故选：C． 【变式7-2】如图所示，线段为等腰的底边，矩形的对角线与交于点，若，则 ． 【答案】4 【分析】先求出矩形的对角线的长，得到AB的取值，再利用等腰三角形的概念直接得到AC的值． 【详解】解：∵矩形 ADBE 的对角线 AB 与 DE 交于点 O ， ∴AB=DE，OE=OD， ∴AB=DE=2OD=4， ∵线段 BC 为等腰 △ABC 的底边， ∴AC=AB=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质和对等腰三角形概念的理解，解决本题的关键是理解相关概念与性质，能灵活运用题干信息，将它们用数学符号进行表示，本题较基础，考查了学生的几何语言表述的能力以及基本功． 【变式7-3】如图，矩形中，已知，，点是边上一点，以为直角边在与点的同侧作等腰直角，连接，当点在边上运动时，线段长度的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图作交的延长线于，于，交于．则．设由，推出，在中，勾股定理求得，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图作交的延长线于，于，交于．则．设 ， ，， ， ， ， ， 在中， 时，有最大值，最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题． 【题型8 矩形与分类讨论】 【例8】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，在矩形中，，点E是边上一动点，点F是上一动点，且，点G是边上一动点，连接，当是等腰直角三角形时，的长是 ． 【答案】或2或 【分析】此题考查的是等腰直角三角形的性质、矩形的性质和全等三角形的判定及性质． 设，则，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，利用矩形的性质和全等三角形的判定及性质分别列出方程即可求出结论． 【详解】解：设，则， ①若中，，时，如下图所示 ∵四边形为矩形， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 即； ②若中，，时，如下图所示，过点G作于M 则，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 即； ③若中，，时，如下图所示，过点F作于H 易知：，，， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得： 即； 综上：的长为或2或 故答案为：或2或． 【变式8-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在矩形，点为直线上一点，若，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理求出待求线段的长． 先根据题意画出示意图，分“点在边上”、“点在的延长线上”两种情况，分别利用勾股定理求解． 【详解】解：当点在边上时，如图，连接， ∵在矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时，如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【变式8-2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）在矩形中，，，点为射线上一动点，将沿折叠使点落在点处，连接.当、、三点共线时，长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意分类讨论，结合勾股定理列出方程是解题的关键．分为点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行分析，结合折叠的性质和矩形的性质得出，，，，，根据勾股定理分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图：当点在线段上，、、三点共线时， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿折叠得到， ∴，， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴； 如图：当点在线段的延长线上，、、三点共线时， 设，则， 在中，， 在中，， 即， 解得：， ∴； 即当的值为或时，、、三点共线． 故答案为：或． 【变式8-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知矩形纸片，，，将矩形纸片折叠，使B，D两点重合，折痕与矩形的一边交于点，则A，P两点间的距离为 cm． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理．设折痕为，当点在上和点在上时，两种情况讨论，作交于，由折叠的性质可得：，，，，由勾股定理分别求即可得到答案． 【详解】解：如图，设折痕为，当点在上时，作交于， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可得：，，，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴； 当点在上时， 同理 ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， ， 综上，A，P两点间的距离为或． 故答案为：3或． 【题型9 矩形中的最值】 【例9】（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，点分别是点关于直线的对称点，连接交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先根据折叠得到点在上，即当时，最小，然后根据勾股定理得到长，再利用面积法求出的最小值即可． 【详解】解：连接， 由折叠得， ∴点共线，即点在上， ∴当时，这时最小， ∵是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握相关性质，合理做出辅助线是解题的关键． 【变式9-1】（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在矩形中，，，点为直线下方一点，且以为斜边在矩形的外部作直角三角形，点是的中点，则的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，取中点，连接，根据矩形的性质可求的长，根据勾股定理可求的长，根据直角三角形的性质可求的长，根据三角形三边关系可求得当点，点，点共线时，有最大值，即． 【详解】解：如图，取中点，连接， 四边形是矩形， ， 点是中点，点是的中点， ， ， 点是的斜边的中点， ， 根据三角形三边关系可得：， 当点，点，点共线时，最大，最大值为． 故选：B． 【变式9-2】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．点从点向点运动的过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先说明当为中点，点在上运动，时，有最小值，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接 ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴ 又∵，， ∴ ∴当点位于点处时，点位于点处， 当点在上时，如图所示，过点作于点， 根据旋转可得， ∵， ∴， 又 ∴ ∴， ∴ ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴在线段上运动， ∴当时，最小， ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，理解相关知识是解答关键． 【变式9-3】（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，，是的中点，直线l经过点且可绕点转动，，，垂足分别为，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作于，交的延长线于，则四边形是矩形，得到，证明，得出，推出，则，从而得出当直线时，的值最大，为，即可得解． 【详解】解：如图，作于，交的延长线于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴当直线时，的值最大，为，即， 故选：D． 【题型10 直角三角形斜边上的中线】 【例10】（2025·河南信阳·三模）如图，钝角中，，D为边的中点，若，，则的长可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】题目主要考查三角形的三边关系，直接三角形中线的性质，理解题意是解题关键 先考虑当时，，得出，再由题干条件即可得出，即可求解 【详解】解：∵，， 当时，， ∵D为边的中点， ∴此时， ∵D为边的中点， ∴， ∵， ∴， 只有选项A符合题意， 故选：A 【变式10-1】（24-25八年级下·天津河北·期中）如图，在中，，，于点，于点，并且点是的中点，的周长是，则的长是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一定理，先由三线合一定理得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，据此根据三角形周长公式推出，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，点是的中点， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式10-2】（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，在矩形中，，过对角线的中点O作，分别交于E、F，点G为的中点，若，则的长为 ．      【答案】2 【分析】本题主要考查直角三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键在于巧设，利用勾股定理构建方程解决。 根据直角三角形的性质和直角三角形斜边上中线的性质，利用方程思想可求出的长度． 【详解】解：∵， ， 在 中，是的中点， ， ， ， ∴是等边三角形， 设， ， ∵是的中点， ， 在中，， 由勾股定理得，， ， 解得：（负值舍去）． ， 故答案为：2． 【变式10-3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在第二象限．若保持的长不变，当点在轴的正半轴滑动，点随之在轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点与原点的最大距离是（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，直角三角形的性质，取的中点，连接，，，则，利用勾股定理求出的长，由，可得当，，三点在一条直线上时，取得最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， 当，，三点在一条直线上时，取得最大值，最大值为， 故选：B． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $