专题04 二次函数10大常考题型（题型专练）（河北专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题04 二次函数常考题型 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 二次函数的图象与性质 题型02 二次函数与几何的综合 题型03 二次函数的图象变换问题 题型04 二次函数与一次函数的综合 题型05 临界点与字母参数的讨论问题 题型06 二次函数的最值问题 题型07 二次函数的其它应用问题 题型08 二次函数营销问题 题型09 二次函数实物建模问题 题型10 双二次函数背景的综合问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次函数的图象与性质 典例引领 【典例01】（2025·福建·二模）已知二次函数（）的图像经过，两点，则下列说法错误的是（    ） A．该函数图像的对称轴为直线 B．若为该函数图像上的点，当时，一定成立 C．函数在处取得最值 D．无论m取何值，均满足 【典例02】如图，二次函数：的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线，点B坐标为，则下面的五个结论： ①；②；③当时，或；④；⑤（m为实数），其中正确的结论是（    ） A．②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 方法透视 考向解读 河北中考高频考点，近6年6考。主要考查对称轴、顶点坐标、增减性、与坐标轴交点，常作为中档题或压轴题出现，突出数形结合思想。 方法技能 牢记顶点式快速定位顶点与对称轴；判断增减性先看开口方向，再以对称轴为界分段讨论；图象信息题要善于“以图代数”。 变式演练 【变式01】二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（    ） A． B．函数的最大值为 C．当或1时， D． 【变式02】（2025·河北石家庄·一模）如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求的值和图象的顶点坐标； （2）点在该二次函数图象上． ①当时，求的值； ②若点到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围； ③直接写出点与直线的距离小于时的取值范围． 【变式03】（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型02 二次函数与几何的综合 典例引领 【典例01】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D． 【典例02】如图，在正方形中，点B、D的坐标分别是，，点C在抛物线的图象上，则b的值为___________． 方法透视 考向解读 常以压轴题形式出现，将二次函数与三角形、四边形、圆等图形结合。几何图形仅起辅助作用，以函数为主线考查综合应用能力。 方法技能 先求抛物线与坐标轴、几何图形各边的交点，再结合图形性质（如相似、全等、勾股定理）列方程求解；面积问题常转化为线段关系处理。 变式演练 【变式01】（2026·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点． (1)求抛物线的表达式，并求出顶点坐标； (2)已知直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． ①C（ ， ）； ②当时，如图，直线与轴交于点，与直线x＝2交于点E，当抛物线与线段仅有一个交点时，求k的取值范围； ③过点C与垂直的直线d交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．R为抛物线的对称轴上一点，射线，与x轴分别交于H，S．试探究：当m变化时，是否存在以为顶角的等腰，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式02】如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段上一动点，求周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 【变式03】（2025·河北保定·一模）已知抛物线交轴于两点，交轴于点，矩形各顶点坐标分别是． (1)求抛物线顶点坐标，以及与轴交点的坐标，并求出的长度； (2)抛物线是原抛物线通过平移得到的新抛物线，此抛物线与轴的交点为和（在的左侧），若线段的长度在时，则的取值范围是多少； (3)当抛物线与轴的交点为，顶点为，当为何值时，以为顶点的四边形为菱形．（直接写出答案） 题型03 二次函数的图象变换问题 典例引领 【典例01】（2026·河北张家口·一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），当时，y的取值范围是． (1)求抛物线的解析式． (2)求k的值． (3)将抛物线在之间的函数图象记作，将在直线下方的部分向上翻折，其余部分不变，得到的新图象记作．设的最高点和最低点的纵坐标分别为和，若，求t的取值范围． 【典例02】（2025·河北石家庄·一模）如图1，抛物线与轴交于，两点（点位于点左侧），与轴交于点，抛物线由抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到，顶点为点． (1)直接写出_____，并求出点的坐标 (2)请说明：无论为何值，抛物线对应的函数值都小于0． (3)如图2，连接，，．请判定的形状，并说明理由； (4)将抛物线、的图象位于的部分组合成新图象，记作，当直线与图象有3个交点时，请直接写出的取值范围_____． 方法透视 考向解读 平移是主要考法，河北近6年2考。考查图象变换过程中位置与系数的关系，常涉及平移后的函数解析式及点移动的最短距离。 方法技能 平移实质是顶点坐标的平移，口诀“左加右减、上加下减”；先将一般式化为顶点式，找准顶点后再平移；复杂变换可借助图形变换性质简化。 变式演练 【变式01】（2025·河北唐山·一模）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交y轴于点P．若将点P向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则t的值为________． 【变式02】（2026·河北邯郸·一模）如图，抛物线与x轴相交于点，顶点为点D． (1)求抛物线P的解析式和点D的坐标． (2)在坐标平面上放置一透明矩形胶片，并在胶片上描画出抛物线P在矩形胶片内部（含边界）的一段，记为G，以点B为中心把该胶片旋转，得到矩形以及对应的图象． ①求旋转过程中G扫过的面积S； ②通过计算，判断抛物线P与在矩形的内部（含边界）的公共点的个数． 【变式03】（2026·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段的中点，点C为抛物线W的顶点，且抛物线W过点A． (1)求A，B两点的坐标，并直接写出点C的坐标； (2)求抛物线W的解析式； (3)抛物线和W关于y轴对称，直线交抛物线于点A和点D，点A是否为线段的中点？请给予说明； (4)将抛物线W向右平移m个单位长度得到抛物线，若点，，均在抛物线上，当时，直接写出m的取值范围． 题型04 二次函数与一次函数的综合 典例引领 【典例01】（2025·河北邢台·模拟预测）在平面直角坐标系中，关于抛物线与直线，下列说法正确的是（    ） A．两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是 B．无论取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2 C．若关于的方程在的范围内有两个整数解，则满足条件的的值有3个 D．若两个函数图象在第一象限有公共点，则 【典例02】在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）． (1)若，当时，．求y的函数表达式． (2)写出一题a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标． (3)已知，二次函数的图象和直线都经过点（2，m），求证． 方法透视 考向解读 一次函数与二次函数共占2道解答题。近年一次函数实际应用从图象型转向文字型，与统计跨领域结合，综合性增强。 方法技能 交点个数由方程组解的数目确定；联立函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，用判别式判断交点个数，韦达定理求交点坐标关系。 变式演练 【变式01】（2026·河北石家庄·一模）如图，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点为直线上一点，且横坐标为7，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式02】（2026·河北石家庄·一模）已知一次函数（）的图象不经过第三象限，抛物线G的解析式为（），则当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【变式03】（2026·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比它的横坐标的2倍还大1个单位长度，那么我们把这样的点叫做“好点”，如点和都是“好点”．如图，抛物线的顶点是“好点”，并且抛物线的开口方向和大小都不变．已知当顶点为时，与轴的交点为，直线与轴轴分别交于点，，设顶点的横坐标为． (1)当时，求与轴交点的坐标； (2)下面是关于的两个结论： 甲：与轴的交点有最高点． 乙：与轴的交点会沿轴的正半轴无限延伸． 请你判断哪个结论是正确的？并通过计算或推理说明理由． (3)若点在内部（不含边界），则对于上的点和点，比较与的大小； (4)当与线段只有一个公共点（含端点）时，直接写出的取值范围． 题型05 临界点与字母参数的讨论问题 典例引领 【典例01】（2021·福建泉州·二模）已知二次函数，当时，，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【典例02】（2025·河北石家庄·二模）如图，抛物线图象与轴相交于、两点，与轴交于点．现将抛物线图象向上平移7个单位长度，再向左平移个单位长度，所得新抛物线的顶点在内（不含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 方法透视 考向解读 多出现在压轴题中，给定参数取值范围或特殊条件，讨论函数图象满足条件的参数值，考查分类讨论与逻辑推理能力。 方法技能 先明确参数在函数中的角色（如决定开口的a、决定对称轴的b），根据临界条件列出方程或不等式；分类讨论时注意每种情况的前提条件。 变式演练 【变式01】（2026·河北沧州·一模）对于题目：在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于两点、，过点且平行轴的直线与过点且平行轴的直线相交于点，若抛物线与线段没有公共点，求的取值范围．甲的计算结果是；乙的计算结果是，则（   ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲与乙的结果合在一起正确 D．甲与乙的结果合在一起也不正确 【变式02】（2025·河北唐山·二模）已知抛物线，抛物线，图象与图象组合成图象． (1)如图，当时， ①求图象最低点的纵坐标的值； ②点在图象上，求的值； (2)已知，，当此图象与线段只有一个公共点时，确定的取值范围． (3)若图象有且只有4个点到轴的距离等于5时，直接写出的取值范围． 【变式03】（2026·河北沧州·模拟预测）如图，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最值； (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 六、 题型06 二次函数的最值问题 典例引领 【典例01】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【典例02】（2025·河北张家口·二模）如图，抛物线经过点，，点是抛物线的顶点． (1)求a，m的值及点的坐标； (2)将抛物线平移，使其顶点落在轴上，得到抛物线． ①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标； ②在①的条件下，抛物线上有一个动点，其横坐标为，当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 方法透视 考向解读 涵盖顶点处最值与区间最值两类。区间最值常与平移结合，给定自变量范围后求最值或根据最值差反推平移量，难度中等偏上。 方法技能 顶点处最值直接用公式；区间最值需比较端点和顶点（若在区间内）的函数值，取最大或最小。 变式演练 【变式01】在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是_______． 【变式02】（2025·河北邢台·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，过作平行轴的直线交轴于点，已知点． (1)求点的横坐标； (2)若抛物线经过点，当时，抛物线的最大值为，求的值； (3)若点、位于抛物线对称轴右侧图象的两侧．确定的取值范围． 【变式03】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）已知直线分别与x轴、y轴相交于，B，O为坐标原点，C是的中点，二次函数的图象经过点A，C． (1)求a，b，c的值； (2)判断抛物线的顶点在不在直线上，并说明理由； (3)当时，求抛物线的最大值． 七、 题型07 二次函数的其它应用问题 典例引领 【典例01】综合与实践：设计公交车停靠站的扩建方案． 【素材1】图1为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成．图2为某段结构示意图，，皆为轴对称图形，且关于点成中心对称，该段结构水平宽度为8米．    【素材2】图3为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5米的立柱，竖直立于地面并支撑在对称中心，处．小温将长为2.8米的竹竿竖直立于地面，当点触碰到顶棚时，测得为1米． 【素材3】将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为27米．计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板． 【任务】 (1)确定中心：求图2中点到该结构最低点的水平距离． (2)确定形状：在图3中建立合适的直角坐标系，求的函数表达式． (3)确定高度：求挡风板的高度． 【典例02】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图1至图2，是经过某款蒸锅中心D和锅盖中心C所作纵截面的示意图，它由两段抛物线构成．蒸锅截线与锅盖截线交于点A，B，测得锅口直径，锅深，锅盖高．以直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系． 尝试：（1）求蒸锅截线表达式和锅盖截线表达式； （2）若锅中心D到水面距离为，求水面直径的长度； 探索：如图2，矩形为笼屉纵截面图（相邻笼屉用不同颜色区分），F，G在蒸锅截线上，笼屉直径轴，且，每层笼屉高为．在使用过程中，要求锅盖与锅能正常合上 （3）若，则锅与锅盖之间最多能放置几层笼屉？说明理由； （4）若E，H恰好在锅盖截线上，设所有放置的笼屉，下底面面积之和为S，直接写出：当 时 S最大，S的最大值是 ． 方法透视 考向解读 包括抛物线型运动轨迹（如投掷沙包、无人机飞行）、拱桥隧道截面等问题，通过建立坐标系将实际问题转化为函数模型求解。 方法技能 建立合适坐标系是关键：通常将顶点或对称轴置于y轴，利用已知点坐标求解析式；实际问题注意自变量取值范围与结果的合理性检验。 变式演练 【变式01】（25-26九年级上·河北·期末）为了提高检票效率，减少运营成本，某高铁站的调配团队研究了排队人数（人）与检票时间（分钟）、开放检票通道数量（个）之间的关系，有以下发现： 发现：候车总人数（人）； 发现：已检票人数（人）； 发现：排队人数（人）候车总人数已检票人数． （其中，且为整数） 请你结合调配团队的发现，完成下面问题： (1)当开放条检票通道，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为 ； (2)在（）的条件下，排队人数（人）在第几分钟达到最大值，最大值是多少？ (3)若要求排队人数最晚在第分钟后（包括第分钟）开始减少，且尽量少安排检票通道，以节省开支，请你直接写出至少应打开几条检票通道？ 【变式02】（25-26九年级下·河北唐山·月考）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间0.1-0.6秒之间，低于人类驾驶员0.8-2秒的反应时间． 总停车距离（l）反应距离（）制动距离（）；记作为：（l：从感知到车停共经过的距离，单位米；t：感知、计算的反应时间，单位秒；v：刹车前行车速度，单位米/秒；a：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下： 车速x（米/秒） 20 30 --- 停车距离l（米） 35 71.25 --- (1)请根据素材求：从感知到车停共经过的距离l与刹车前行车速度v的函数表达式； (2)请根据素材回答问题：某智能测试汽车以18米/秒正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算， ①请你判断，智能汽车不改变方向的情况下，能否在货物前停车？ ②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？（参考数据：每个车道的宽度为米，，，） 【变式03】（2025·河北唐山·二模）某电子屏上下边缘距离为，点在电子屏上的运动路线如图中虚线所示，当运动至点时达到最高点，此时距左边缘，之后的运动时间为秒，点是下落过程中某位置：水平方向继续以速度向右运动，竖直方向与电子屏上边缘距离为，由两部分组成：为常数，与的平方成正比，且有如表格中的数据． (1)用含的代数式表示； (2)若，用分别表示点的横坐标、纵坐标，求与之间的关系式； (3)甲、乙两点从左边缘不同位置出发，均能达到最高点，若乙点比甲先出发，在两点下落过程中，若某时刻甲恰好处于乙正上方，且距离不小于，直接写出的最小整数值． 题型08 二次函数营销问题 典例引领 【典例01】（25-26九年级上·河北衡水·期末）某商家以每件30元的价格购进一批商品，并规定每件商品的售价不得少于35元，月销售量（件）与该商品每件的售价（元）之间的一次函数关系，如图所示： 月销售量y（件） 60 80 该商品每件的售价（元） 70 60 (1)若每月销售这种商品100件，求每件商品的售价为多少元？ (2)若月销售量不低于40件，求月销售利润的最大值； (3)若月销售利润不低于1650元，求售价的取值范围． 【典例02】（2026·河北沧州·一模）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行30场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第场产品的销售量为（台），在销售过程中获得以下信息： 信息1：已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台； 信息2：产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场～第20场浮动价与销售场次成正比，第21场～第30场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如下数据： 场) 万元) (1)求与之间满足的函数关系式； (2)当产品销售单价为万元时，求销售场次是第几场？ (3)在这场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 方法透视 考向解读 考查利润最大化、成本优化等经济情境。通过建立总利润关于单价或销量的二次函数模型，求最值并给出决策建议。 方法技能 总利润=（售价-成本）×销量；根据题意列出函数关系式，化为顶点式求最大值；注意自变量的实际意义，结果取整数时需比较两侧值。 变式演练 【变式01】（2025·河北唐山·模拟预测）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变） 【变式02】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）项目式学习 我校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为30元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如表： 玩具店 A B C D E 销售单价/元 35 45 55 65 75 日销售量/个 65 55 45 35 25 任务二：模型建立 （1）观察发现，该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为______； 设日销售利润为（元），则该益智玩具的日销售利润与销售单价之间的函数关系式为______； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为100元，该玩具店老板想要每天获得900元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【变式03】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）近年来，古城内的普洱咖啡受到越来越多游客的喜爱，其种植规模与销量均在逐年增加．一咖啡园现种植甲、乙两种咖啡树，其中种植x棵甲咖啡树，每年所获得的利润（元）与x（棵）之间的函数解析式为，且当时，（元），种植z棵乙咖啡树，已知乙咖啡树每年的成本y（元）与种植乙咖啡树数量z（棵）之间满足函数关系（，），若乙咖啡树每棵每年可收入800元，种植乙咖啡树每年所获得的利润为（元），经过统计获得如下数据： Z（棵） 10 40 （元） 4920 7920 (1)求与x之间的函数解析式，并求的最大值； (2)求与z之间的函数解析式； (3)若该咖啡园计划种植甲咖啡树的数量是乙咖啡树数量的一半，求当种植多少棵甲咖啡树时，两种咖啡树所获得的年总利润最大？最大利润是多少？ 题型09 二次函数实物建模问题 典例引领 【典例01】（2025·河北保定·二模）如图，是一个抛物线形拱桥的截面示意图．桥下水面的宽度，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，拱顶距离水面，在点处装有一个宽光束射灯进行照明，光束的有效光照区域恰好能覆盖整个水面； (1)___________；求拱桥抛物线的解析式； (2)如图，当水面上升后，光束的有效光照区域为，无法照到整个水面，求此时照明灯照不到的水面区域的宽度； (3)如图，因河水上涨，点处一棵大树倒下并挡住了桥洞，大树顶端恰好落于点处，为避免产生阻塞，市政部门准备调用一装有机械臂的设备将大树移开．为机械臂的一部分，为保证抓取稳固，需始终保持机械臂，假设机械臂的起点始终在抛物线上，请问机械臂起点与树木之间距离是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在请说明理由． 【典例02】（2025·河北石家庄·模拟预测）点茶是宋代传统文化技艺．倒茶时的情景（图1）可以抽象为平面图形（图2），并建立平面直角坐标系．已知图中茶壶的壶嘴由线段与曲线组成，壶口为点，曲线与倒出的茶水可视作在同一条抛物线上．若点所在直线与轴（桌面）平行，且茶碗边沿（厚度忽略不计）点与壶口点所在直线垂直于桌面．已知线段，线段，壶柄与竖直方向的夹角为．茶碗的直径为，高度（含底部碗托）为．已知图2中，点距桌面的高度时，茶水恰好落在茶碗水面中心点． (1)求点距桌面的高度； (2)求抛物线的解析式； (3)为练习点茶技术，小华手持茶壶稳稳向上提起（视作向上平移），要使茶水完全落在茶碗内，求移动过程中点处距桌面的高度的取值范围． 方法透视 考向解读 将物理、工程等真实情境转化为二次函数模型。如2025年真题中固体热膨胀的线膨胀问题，考查跨学科建模与应用能力。 方法技能 先理解实际情境中的变量关系，确定自变量与因变量；根据已知数据点用待定系数法求解析式；验证模型是否符合实际问题情境。 变式演练 【变式01】（2025·河北石家庄·三模）一天放学后，妈妈带淇淇到面馆吃面，爱思考的淇淇仔细观察盛面汤的碗，发现汤碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），是抛物线的顶点，碗底高，碗口宽，与碗底宽平行．当碗中装满面汤时，面汤的最大深度．以为原点，水平线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)求图2中抛物线的解析式； (2)喝掉部分面汤后，汤的表面（后面简称“汤面”）下降了至处，求此时汤面的长； (3)将面汤碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，求此时汤面的长． 【变式02】（2025·河北保定·一模）冬奥会带动了滑雪运动的兴起，嘉嘉所在城市新建滑雪场，嘉嘉依据滑雪场地，以地面（所在直线）为轴，过起跳点作轴的垂线为轴，构建平面直角坐标系，米．有一运动员通过助滑坡后从起跳点处腾空跃起，沿运动轨迹运动，最后着陆在滑道上的点处，然后继续向点滑行，米．将运动员看做一点，其空中运动轨迹段可近似看作抛物线的一部分．已知点为运动员在空中的最高点，点为着陆点，且其到地面（所在直线）的距离为5米． (1)求点坐标； (2)求抛物线的解析式，并直接写出点坐标： (3)现该运动员从最高点处开始做转体动作，已知要完整做完这个转体动作，从开始转体到动作结束至少需40米的垂直距离．为保证在点处安全着陆，该运动员必须在位于点（为着陆坡上一点）正上方18米高度的点处停止做转体动作，准备着陆．请通过计算说明该运动员能否完整做完这个转体动作． 【变式03】（2025·河北保定·一模）如图，滑道是抛物线的一部分，滑道起点在轴的正半轴上，顶点在轴的正半轴上，，，终点可以沿抛物线调节，设点的横坐标为．一个小球（看作一点）从点发射出去，沿着滑动，并从点滑出，滑出后运动路线也是某抛物线的一部分（设此函数的二次项系数为），其顶点为，点，关于点成中心对称． (1)求的解析式． (2)若，小球沿能砸中点吗？请通过计算加以说明． (3)淇淇发现，的值与无关，请你验证这个结论． (4)在空中停留一物体（可看做线段），，，若小球不会撞到这物体，直接写出的取值范围． 题型10 双二次函数背景的综合问题 典例引领 【典例01】（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为（    ） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 【典例02】（2022·四川成都·二模）如图，抛物线C：与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D． (1)求a的值及顶点D的坐标； (2)点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为E，抛物线与x轴的交点为G，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线的表达式； (3)如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标． 方法透视 考向解读 河北中考标志性考法，连续四年压轴题均为“两个二次函数对比与动态变换”。考查顶点平移、交点分析、动点距离等，突出数形结合。 方法技能 分别处理两个函数的关键信息（顶点、对称轴、与轴交点），用参数表示平移后的解析式；“最短距离”常用对称转化或距离公式求解。 变式演练 【变式01】（2026·河北邢台·一模）已知，抛物线（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)抛物线的对称轴为直线_____（用含有的式子表示）； (2)若，函数值随着的增大而减小，求的取值范围； (3)如图，当时． ①将抛物线向左平移个单位长度后，当时，若抛物线对应的函数最大值与最小值的差为6，请求出的值； ②点为第四象限内抛物线上的一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点．以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 【变式02】（2026·河北邯郸·一模）已知二次函数的最大值是5，其图象记为抛物线． (1)直接写出的对称轴及的值； (2)当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； (3)如图，将抛物线：先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②已知直线与轴交于点，与直线：交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的坐标． 【变式03】（25-26九年级下·河北石家庄·月考）如图（1），在平面直角坐标系中，有抛物线，设抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴正半轴相交于点C，且， (1)求a的值； (2)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，使过点C和，求抛物线的解析式； (3)如图（3），将（2）中在y轴左侧的部分（包括点C）与在y轴右侧的部分组成的图象记为G． ①作直线平行于x轴，当直线与图象G有4个交点时，求m的取值范围； ②过点C作直线l平行于x轴，若点P是图象G上一个动点，当点P与直线l的距离小于4时，直接写出点P的横坐标t的取值范围． 题●型●训●练 1．如图，抛物线与轴交于，两点，点在点点的左侧，与轴交于点，点是抛物线上一动点． (1)求点，和的坐标； (2)如图，当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴于点交直线于点，作于点，当的周长最大，求点的坐标； (3)作直线交直线于点，当点关于轴的对称点落在抛物线上时，在备用图中进行探究，并直接写出点的坐标． 2．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)已知抛物线沿轴向右平移个单位长度后得到抛物线． ①用含的式子表示抛物线的顶点坐标； ②当时，若直线与抛物线只有一个公共点，求的值； (3)已知是的中点．当变化时，试探究点的运动轨迹是否为一条直线或一条抛物线的一部分？若是，请直接写出该直线或抛物线的解析式；若不是，请说明理由．[提示：若，则，的中点坐标为] 3．（2025·河北石家庄·三模）2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水项目女子10米跳台决赛中，全红婵以总分分获得冠军金牌，成功实现卫冕．如果将全红婵的身体看作一点，则她在跳水过程中运动的轨迹可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系（图中标出数据为已知数据），她从跳台A处起跳到入水的过程中，竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系式． (1)已知全红婵在完成某次跳水动作时，她在距离点A水平距离，距离水面的位置在空中到达最高点． ①求a，h，k的值； ②求此次跳水入水点离起跳点A的水平距离． (2)全红婵进行第二次跳水训练时，她的竖直高度与水平距离之间满足函数关系式．她起跳后到达最高点D，从最高点D开始计时，到水面的距离与时间之间满足函数关系式．若全红婵在到达最高点后用了的时间完成了极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）动作之后才入水，则b的取值范围是多少？ 4．（2026·河北石家庄·一模）已知抛物线过和． (1)与之间的数量关系是_____； (2)若该抛物线开口向下，当时，抛物线的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标； (3)对于该抛物线上的两点，，设，当时，均有，请直接写出的取值范围； (4)在（2）的条件下，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上对称轴右侧的一点，过点作轴的平行线交直线于点，过点分别作轴的平行线交抛物线的对称轴于点．过点作的平行线交轴于点，当四边形在直线，直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，请直接写出点的横坐标的值． 5．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线位于第一象限上的一点，过点分别作轴交于点，轴交于点，求的最大值； (3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的抛物线记为，与轴交于点，设的顶点的横坐标为，的长为． ①直接写出关于的函数解析式； ②若把点的横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”，当随的增大而增大，且抛物线将内（不计边界）的“整点”个数恰好平分（内“整点”不在抛物线上），直接写出的取值范围． 6．（2026·河北秦皇岛·一模）已知二次函数的最大值是，其图象记为抛物线． (1)求出的对称轴及的值； (2)当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； (3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②点在轴的负半轴上，过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的横坐标． 7．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图．某同学利用电脑软件来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式（，均为常数），通过输入不同的，的值，在电脑软件的展示区得到对应的抛物线．已知所得抛物线恰好经过和两点． (1)求与抛物线对应的、的值； (2)若把抛物线对应的、的值交换后，再次输入得到新的抛物线． ①求抛物线与轴交点的坐标； ②判断能否经过的顶点，说明理由； (3)作一直线：与抛物线交于点，，与抛物线交于点，，若，直接写出的值． 8．（2025·河北石家庄·三模）2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水项目女子10米跳台决赛中，全红婵以总分分获得冠军金牌，成功实现卫冕．如果将全红婵的身体看作一点，则她在跳水过程中运动的轨迹可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系（图中标出数据为已知数据），她从跳台A处起跳到入水的过程中，竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系式． (1)已知全红婵在完成某次跳水动作时，她在距离点A水平距离，距离水面的位置在空中到达最高点． ①求a，h，k的值； ②求此次跳水入水点离起跳点A的水平距离． (2)全红婵进行第二次跳水训练时，她的竖直高度与水平距离之间满足函数关系式．她起跳后到达最高点D，从最高点D开始计时，到水面的距离与时间之间满足函数关系式．若全红婵在到达最高点后用了的时间完成了极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）动作之后才入水，则b的取值范围是多少？ 试卷第2页，共117页 公司3 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数常考题型 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 二次函数的图象与性质 题型02 二次函数与几何的综合 题型03 二次函数的图象变换问题 题型04 二次函数与一次函数的综合 题型05 临界点与字母参数的讨论问题 题型06 二次函数的最值问题 题型07 二次函数的其它应用问题 题型08 二次函数营销问题 题型09 二次函数实物建模问题 题型10 双二次函数背景的综合问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次函数的图象与性质 典例引领 【典例01】（2025·福建·二模）已知二次函数（）的图像经过，两点，则下列说法错误的是（    ） A．该函数图像的对称轴为直线 B．若为该函数图像上的点，当时，一定成立 C．函数在处取得最值 D．无论m取何值，均满足 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．根据二次函数的图像与性质，逐项分析即可判断． 【详解】解：二次函数（）的图像经过，两点， 该函数图像的对称轴为直线，故A选项说法正确，不符合题意； 函数在处取得最值，故C选项说法正确，不符合题意； 对称轴， ， 代入到，得， ，故D选项说法正确，不符合题意； 若，当时，随的增大而减小；若，当时，随的增大而增大； 若为该函数图像上的点，当时，不一定成立，故B选项说法错误，符合题意； 故选：B． 【典例02】如图，二次函数：的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线，点B坐标为，则下面的五个结论： ①；②；③当时，或；④；⑤（m为实数），其中正确的结论是（    ） A．②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．开口方向，对称轴，与轴的交点坐标判断①，特殊点判断②，图象法解不等式，判断③，特殊点结合对称轴，判断④，最值判断⑤；掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴为， ∴与的函数值相等，即：，故②正确； ∵点关于的对称点为， ∴当时，或；故③正确； ∵图象过点，， ∴， ∴；故④错误； ∵抛物线的开口向下， ∴当时，函数值最大， 即：， ∴；故⑤正确； 综上，正确的结论是①②③⑤； 故选：D． 方法透视 考向解读 河北中考高频考点，近6年6考。主要考查对称轴、顶点坐标、增减性、与坐标轴交点，常作为中档题或压轴题出现，突出数形结合思想。 方法技能 牢记顶点式快速定位顶点与对称轴；判断增减性先看开口方向，再以对称轴为界分段讨论；图象信息题要善于“以图代数”。 变式演练 【变式01】二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（    ） A． B．函数的最大值为 C．当或1时， D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象可确定a，b，c的符号，从而确定abc的符号，由x=-1的函数值可确定B选项，由图象与x轴的一个交点及对称轴可确定C选项，由x=-2时的函数值可确定D选项． 【详解】∵二次函数的图象开口向下， ∴a＜0， ∵图象与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x=-1， ∴＝−1， ∴b=2a＜0， ∴abc＞0， ∴A选项不合题意， 由图象可知x=-1时，y取最大值， ∴a-b+c为最大值， ∴B选项不合题意， ∵由图象可知y=0的一个根为x=1， 由∵对称轴为直线x=-1， ∴另一个根为x=-3， ∴C选项不合题意， 由图象可知x=-2时，y＞0， ∴4a-2b+c＞0， ∴不正确的是D选项， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要能根据图象得出各系数之间的关系． 【变式02】（2025·河北石家庄·一模）如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求的值和图象的顶点坐标； （2）点在该二次函数图象上． ①当时，求的值； ②若点到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围； ③直接写出点与直线的距离小于时的取值范围． 【答案】（1），图象的顶点坐标为；（2）①当时，；②；③． 【分析】（1）根据待定系数法，即可求出a的值，把二次函数解析式，化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）①把代入二次函数解析式，即可；②设直线x=-2和直线x=2与抛物线的交点为A，B，可得：A(-2，3)，B(2，11)，进而即可求解；③设直线交x轴，y轴于点D，C，过点Q作QM⊥CD于点M，过点Q作QN∥y轴，交CD于点N，可得∆QNM是等腰直角三角形，当QM=时，则QN=2，设，N(m，m+5)，列出关于m的方程，求出m的值，进而即可得到结论． 【详解】（1）把代入中，得： ， ∴， ∴图象的顶点坐标为； （2）①在该二次函数图象上， ∴当时，； ②设直线x=-2和直线x=2与抛物线的交点为A，B，如图， 把x=2或x=-2，代入，得y=11或3， ∴A(-2，3)，B(2，11)， 当点到轴的距离小于2时，点Q在A，B之间的抛物线上（不包含A，B）， ； ③设直线交x轴，y轴于点D，C，则D(-5，0)，C(0，5)， ∴OC=OD，∠DCO=45°， 过点Q作QM⊥CD于点M，过点Q作QN∥y轴，交CD于点N， ∴∠QNM=∠DCO=45°， ∴∆QNM是等腰直角三角形，当QM=时，则QN=2， 在该二次函数图象上，点N在直线上， ∴设，N(m，m+5)， ∴，化简得：或， 解得：， ∴点与直线的距离小于时的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查二次函数、一次函数与平面几何的综合，掌握二次函数与一次函数的性质和图象，函数图象上点的坐标特征，是解题的关键． 【变式03】（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解的长度是解决本题的关键． 分别求出，和的长度，再根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 题型02 二次函数与几何的综合 典例引领 【典例01】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可，然后，过点作关于轴对称的点，连接与轴的交点即为所求的点；过点作关于轴对称的点，连接， 则只需与轴的交点即为所求的点，分别计算两种情况下的周长再取最小值即可． 【详解】如图，∵抛物线 的对称轴为点是抛物线上的一点， ∴，解得 ∴该抛物线的解析式为 ， 的周长，且是定值，所以只需最小， 如图，过点作关于轴对称的点，连接与轴的交点即为所求的点，则， 设直线的解析式为：则 ，解得， 故该直线的解析式为 ， 当时，，即， 同理，如图，过点作关于轴对称的点，连接 ，则只需与轴的交点即为所求的点， 如果点在轴上，则三角形的周长；如果点在轴上，则的周长； 所以点在时，三角形的周长最小， 综上所述，符合条件的点P的坐标是， 故选：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P． 【典例02】如图，在正方形中，点B、D的坐标分别是，，点C在抛物线的图象上，则b的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特征，过点作轴，过点作于，过点作于，利用三角形全等的即可得出点坐标，代入即可得出的值．确定点的坐标是解题关键． 【详解】解：过点作轴，过点作于，过点作于， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵点、的坐标分别是，， ∴， 解得：， ∴， ∵点在抛物线的图像上， ∴， ∴． 故答案为：． 方法透视 考向解读 常以压轴题形式出现，将二次函数与三角形、四边形、圆等图形结合。几何图形仅起辅助作用，以函数为主线考查综合应用能力。 方法技能 先求抛物线与坐标轴、几何图形各边的交点，再结合图形性质（如相似、全等、勾股定理）列方程求解；面积问题常转化为线段关系处理。 变式演练 【变式01】（2026·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点． (1)求抛物线的表达式，并求出顶点坐标； (2)已知直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． ①C（ ， ）； ②当时，如图，直线与轴交于点，与直线x＝2交于点E，当抛物线与线段仅有一个交点时，求k的取值范围； ③过点C与垂直的直线d交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．R为抛物线的对称轴上一点，射线，与x轴分别交于H，S．试探究：当m变化时，是否存在以为顶角的等腰，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)①；②或；③ 【分析】（1）将代入中，得到，推出抛物线的表达式为，配方成顶点式，可得到顶点坐标； （2）①由直线与x轴交于点C，令，得到，结合，得到，求得，得到点； ②当时，直线为，根据题意求得点，点，由抛物线可知，抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线沿对称轴上下平移，从而当抛物线与线段相切时有一个交点，；当抛物线经过点时，有两个交点，；当抛物线经过点时，有一个交点，；即可求得k的取值范围； ③存在，设， 直线与抛物线联立，求得，根据点是的中点，得到；再求得直线解析式为，然后直线与抛物线联立得，，求得，由点是的中点，得到；由题意知，求出，，代入得，要使对任意都成立，有，解得，即可得到点． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴将代入中，得， 解得，， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：①∵直线与x轴交于点C， ∴当时，，即， ∵， ∴，解得， ∴点； ② 当时，直线为， ∵直线与轴交于点， ∴当时，， ∴点， ∵直线与直线交于点， ∴， ∴点， 由抛物线可知，抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线沿对称轴上下平移， 当抛物线与线段相切时有一个交点，此时， 整理得，， ∴，即，解得； 当抛物线经过点时，有两个交点，； 当抛物线经过点时，有一个交点，； 综上可知，当抛物线与线段仅有一个交点时，或； ③存在，理由： ∵抛物线为，对称轴为，点为抛物线的对称轴上一点， ∴设， 直线与抛物线联立得，， 整理得，， ∴， ∵点是的中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即； ∵直线与直线：垂直， ∴直线的斜率为：，解析式为， ∴直线与抛物线联立得，， 整理得，， ∴， ∵点是的中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即； ∵等腰的顶角为，即，且，关于对称轴对称， ∴， ∵，， ∴，化简得， 整理得，， ∵要使对任意都成立， ∴，解得， ∴． 【变式02】如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段上一动点，求周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最小值为 (3)P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出表达式然后求出点A的坐标即可； （2）首先得到直线的表达式为：，作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点，勾股定理求出，，进而求解即可； （3）抛物线N由抛物线M平移得到，求出抛物线N的表达式为，得到顶点P的坐标为，，作于H，则，在中，，得到，进而列方程求解即可． 【详解】（1）∵顶点D的坐标为， 设二次函数表达式为 将点代入得 ∴抛物线M的表达式为： 当时，或1， ∵点A在点B左侧， ∴点A的坐标为； （2）当时，， ∴点C的坐标为 ∴设直线的表达式为： 故解得 ∴， ， ， ， 作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点 ， ∴所在直线垂直于y轴， 关于的对称点， ∴点的坐标为， ∴点G的横坐标为 将代入得， ∴点G的坐标为， ∵，， ∴， ∴ 即周长的最小值为； （3）∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为 将点代入得：， ∴抛物线N的表达式为 ∴顶点P的坐标为， 将代入，， ∴， 作于H，则， ∵ ∴点H为点P和点Q的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴， ∴ 或 ∴解第一个方程可得（舍）， 解第二个方程可得（舍）， 将代入P点坐标， P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，并灵活运用分类讨论及数形结合的思想分析解决问题是解题的关键． 【变式03】（2025·河北保定·一模）已知抛物线交轴于两点，交轴于点，矩形各顶点坐标分别是． (1)求抛物线顶点坐标，以及与轴交点的坐标，并求出的长度； (2)抛物线是原抛物线通过平移得到的新抛物线，此抛物线与轴的交点为和（在的左侧），若线段的长度在时，则的取值范围是多少； (3)当抛物线与轴的交点为，顶点为，当为何值时，以为顶点的四边形为菱形．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与特殊四边形的性质，掌握二次函数顶点式的转换，二次函数图形的平移，二次函数与菱形的性质的计算是关键． （1）把二次函数转换为顶点式得到顶点坐标，根据二次函数与坐标值的交点得到，运用两点之间的距离公式即可得到； （2）根据题意得到，由得对称轴，当为4时，点的坐标为，当为5时，点的坐标为，代入计算即可求解； （3）四边形是矩形，则，根据平移后抛物线，当时，四边形为菱形，列式为，即可求解． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， ， ； （2）解：当时，， ，则， 的对称轴， 当为4时，， ∴，把点的坐标为代入，得： 当为5时，， ∴把点的坐标为代入，此时． ； （3）解：四边形是矩形， ， 又平移后抛物线， 当时，四边形为菱形， ， ． 题型03 二次函数的图象变换问题 典例引领 【典例01】（2026·河北张家口·一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），当时，y的取值范围是． (1)求抛物线的解析式． (2)求k的值． (3)将抛物线在之间的函数图象记作，将在直线下方的部分向上翻折，其余部分不变，得到的新图象记作．设的最高点和最低点的纵坐标分别为和，若，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）由函数对称轴为直线,当时，y的取值范围是，可得是函数的最小值，即抛物线的顶点为，代入抛物线解析式可求得，即可得抛物线解析式； （2）由函数对称轴为直线,可得时，时对应的函数值为，即可求解； （3）依据题意，分在直线上或上方、在直线下方两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，当时，y的取值范围是， ∴是函数的最小值，即抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）可知抛物线对称轴为， ∵， ∴当时，取最大值， ∴， ∴k的值为8． （3）解：如图，设图象折叠后顶点M的对应点为，点H是图象上的点，图象为区域， 由（1）可知，由（2）可知，即点H在直线上， ∵点与点关于直线对称， ∴， 当点在直线上或上方时，的最高点为， 的最低点为， ∴，， 解得； 当点在直线下方时，的最高点为H， 的最低点为， ∴，， 解得； 综上所述，． 【典例02】（2025·河北石家庄·一模）如图1，抛物线与轴交于，两点（点位于点左侧），与轴交于点，抛物线由抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到，顶点为点． (1)直接写出_____，并求出点的坐标 (2)请说明：无论为何值，抛物线对应的函数值都小于0． (3)如图2，连接，，．请判定的形状，并说明理由； (4)将抛物线、的图象位于的部分组合成新图象，记作，当直线与图象有3个交点时，请直接写出的取值范围_____． 【答案】(1)； (2)详见解析 (3)是等腰三角形；理由见解析 (4)且， 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出抛物线与轴的交点坐标即可； （2）根据平移规则，求出新的抛物线的解析式，得到函数值的最大值小于0即可； （3）求出的长，判断三角形的形状即可； （4）设与轴交于点，交于点，分，分别求出直线经过三点时的值，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴， 当时， 解得：， ∴； （2）证明：∵， ∴平移后的解析式为：， ∴当时，函数有最大值， ∴无论x为何值，抛物线对应的函数值都小于0； （3）解：是等腰三角形，理由如下： 由（2）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）解：如图，设与轴交于点，交于点 ∵， ∴当时，， ∴点， 联立， 解得：， ∴， ∵， ∴当时，， ∴直线恒过点， 当时，直线为，此时直线与图象有2个交点， 当直线过点时，， 解得：， 此时直线与图象有2个交点； 当直线过点时，， 解得， 此时直线与图象有3个交点； 当直线过点时，， 解得：， 此时直线与图象有3个交点； 由图象可知，当且，时，直线与图象有3个交点． 故答案为：且，． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，等腰三角形的判定，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 方法透视 考向解读 平移是主要考法，河北近6年2考。考查图象变换过程中位置与系数的关系，常涉及平移后的函数解析式及点移动的最短距离。 方法技能 平移实质是顶点坐标的平移，口诀“左加右减、上加下减”；先将一般式化为顶点式，找准顶点后再平移；复杂变换可借助图形变换性质简化。 变式演练 【变式01】（2025·河北唐山·一模）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交y轴于点P．若将点P向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则t的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化-平移，由二次函数的图象交y轴于点P，可得，又将点P向右平移4个单位得到，故此时在二次函数上，从而计算得解． 【详解】解：∵二次函数的图象交y轴于点P， ∴， ∴将点P向右平移4个单位得到， 又∵此时在二次函数上， ∴， 解得． 故答案为：2． 【变式02】（2026·河北邯郸·一模）如图，抛物线与x轴相交于点，顶点为点D． (1)求抛物线P的解析式和点D的坐标． (2)在坐标平面上放置一透明矩形胶片，并在胶片上描画出抛物线P在矩形胶片内部（含边界）的一段，记为G，以点B为中心把该胶片旋转，得到矩形以及对应的图象． ①求旋转过程中G扫过的面积S； ②通过计算，判断抛物线P与在矩形的内部（含边界）的公共点的个数． 【答案】(1)， (2)①；②1 【分析】（1）利用待定系数法求解析式；然后配方成顶点式求解即可； （2）①如图，连接，证明出四边形是正方形，得到点D，B，共线，，，求出，然后利用代数求解即可； ②首先求出所在抛物线的表达式为，然后与抛物线联立求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得 ∴抛物线P的解析式为； ∴ ∴顶点D的坐标为； （2）解：①如图，连接 ∵， ∴， ∴ ∵四边形是矩形 ∴四边形是正方形 ∴， ∵以点B为中心把该胶片旋转，得到矩形 ∴点D，B，共线，， ∴ ∴旋转过程中G扫过的面积； ②∵， ∴由旋转的性质得， ∴所在抛物线的表达式为 ∴联立抛物线和得， 整理得， ∴ ∴抛物线P与在矩形的内部（含边界）的公共点的个数为1． 【变式03】（2026·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段的中点，点C为抛物线W的顶点，且抛物线W过点A． (1)求A，B两点的坐标，并直接写出点C的坐标； (2)求抛物线W的解析式； (3)抛物线和W关于y轴对称，直线交抛物线于点A和点D，点A是否为线段的中点？请给予说明； (4)将抛物线W向右平移m个单位长度得到抛物线，若点，，均在抛物线上，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)； (3)点A不是线段的中点；理由见解析 (4)m的取值范围为． 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用轴对称的性质求得抛物线的解析式为，联立求得，再利用坐标中点公式即可判断； （4）利用平移的性质求得抛物线的解析式为，分别用表示出，，，根据，列不等式组，据此求解即可． 【详解】（1）解：对于直线， 令，可得， ∴． 令，即，移项可得， 解得，∴． 因为点C为线段的中点，根据中点坐标公式， 可得C点坐标为，即． 因此，，，； （2）解：∵点为抛物线W的顶点， ∴设抛物线W的解析式为． ∵抛物线W过点， ∴将代入中， 可得，即， 解得． 将代入中， 可得； ∴抛物线W的解析式为； （3）解：点A不是线段的中点，理由如下， ∵抛物线和关于y轴对称，对于抛物线， 其关于y轴对称的抛物线，只需将x换成， 可得， 即抛物线的解析式为． 联立直线与抛物线的方程得， 可得， 移项可得， 因式分解得， 则或， 解得，． 当时，，即； 当时，，即． 已知，，， 根据中点坐标公式，线段的中点坐标为，即， 与不重合， ∴点A不是线段的中点； （4）解：∵将抛物线W向右平移m个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为． 已知点，，均在抛物线上， ∴， ， ， ∵， ∴， 解不等式①得； 解不等式②得； 因此，m的取值范围为． 题型04 二次函数与一次函数的综合 典例引领 【典例01】（2025·河北邢台·模拟预测）在平面直角坐标系中，关于抛物线与直线，下列说法正确的是（    ） A．两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是 B．无论取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2 C．若关于的方程在的范围内有两个整数解，则满足条件的的值有3个 D．若两个函数图象在第一象限有公共点，则 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线与一次函数的图像与性质，熟练掌握抛物线与一次函数的图像与性质是解题的关键．根据抛物线与一次函数的图像与性质进行判断即可． 【详解】解：A．因为抛物线的顶点横坐标是1，故A错误； B．方程的解是或． 当时，，故B错误； C．关于的方程在的范围内有两个整数解，即是整数，所以可以等于．所以满足条件的的值有3个．C正确； D．时两个函数图象在第一象限也有公共点，故D错误． 故选C． 【典例02】在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）． (1)若，当时，．求y的函数表达式． (2)写出一题a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标． (3)已知，二次函数的图象和直线都经过点（2，m），求证． 【答案】(1)y＝x2−x＋2 (2)（−1，0） (3)见解析 【分析】（1）把a＝1代入二次函数的关系式，再把x＝−1，y＝4代入求出b的值，进而确定二次函数的关系式； （2）令y＝0，则ax2＋bx＋2＝0，当Δ＝0时，求得b2＝8a，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标； （3）根据题意得到4a＋2b＋2＝2a＋4b，整理得b＝a＋1，则a2＋b2＝2a2＋2a＋1＝2（a＋）2＋，根据二次函数的性质即可得到a2＋b2≥． 【详解】（1）解：把a＝1代入得，y＝x2＋bx＋2， ∵当x＝−1时，y＝4， ∴4＝1−b＋2， ∴b＝−1， ∴二次函数的关系式为y＝x2−x＋2； （2）解：令y＝0，则ax2＋bx＋2＝0， 当Δ＝0时，则b2−8a＝0， ∴b2＝8a， ∴若a＝2，b＝4时，函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴只有一个公共点， ∴此时函数为y＝2x2＋4x＋2＝2（x＋1）2， ∴此函数的顶点坐标为（−1，0）； （3）证明：∵二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象和直线y＝ax＋4b都经过点（2，m）， ∴4a＋2b＋2＝2a＋4b， ∴2a＋2＝2b， ∴b＝a＋1， ∴a2＋b2 ＝a2＋（a＋1）2 ＝2a2＋2a＋1 ＝2（a＋）2＋， ∴a2＋b2≥． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键：（1）熟知待定系数法；（2）求得b＝a＋1；（3）熟知二次函数的性质． 方法透视 考向解读 一次函数与二次函数共占2道解答题。近年一次函数实际应用从图象型转向文字型，与统计跨领域结合，综合性增强。 方法技能 交点个数由方程组解的数目确定；联立函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，用判别式判断交点个数，韦达定理求交点坐标关系。 变式演练 【变式01】（2026·河北石家庄·一模）如图，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点为直线上一点，且横坐标为7，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出，，则直线的解析式为，进而得到，设向上平移个单位长度时，落在抛物线上，此时平移后，求解，可得平移后，则的取值范围为，当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设直线向下平移个单位，则平移后直线为，直线与抛物线有唯一交点，可得，即方程有两个相等的实数解，再进一步求解即可． 【详解】解：在中，当时，， 解得或， ，， 当时，， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 设向上平移个单位长度时，落在抛物线上， ∴此时， ∴， 解得， ∴平移后， ∴当线段沿轴向上平移，且当线段与抛物线有唯一交点时，的取值范围为； 当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时， 设直线向下平移个单位，则平移后直线为， ∴直线与抛物线有唯一交点， ∴，即方程有两个相等的实数解， ∴， 解得， 此时， 综上：当线段与抛物线有唯一交点时，点的纵坐标为的取值范围为或． 【变式02】（2026·河北石家庄·一模）已知一次函数（）的图象不经过第三象限，抛物线G的解析式为（），则当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】A 【分析】首先由一次函数得到，，然后得到抛物线开口向下，顶点坐标在第一象限，联立求出两个函数交点的横坐标为0和3，然后结合图象求解即可． 【详解】解：∵一次函数（）的图象不经过第三象限， ∴， ∴ ∵抛物线G的解析式为 ∴抛物线开口向下，顶点坐标在第一象限， 联立一次函数和抛物线，得 解得或 ∴一次函数和抛物线的交点的横坐标为0和3， 示意图如下： ∴由图象可得，当时，． 【变式03】（2026·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比它的横坐标的2倍还大1个单位长度，那么我们把这样的点叫做“好点”，如点和都是“好点”．如图，抛物线的顶点是“好点”，并且抛物线的开口方向和大小都不变．已知当顶点为时，与轴的交点为，直线与轴轴分别交于点，，设顶点的横坐标为． (1)当时，求与轴交点的坐标； (2)下面是关于的两个结论： 甲：与轴的交点有最高点． 乙：与轴的交点会沿轴的正半轴无限延伸． 请你判断哪个结论是正确的？并通过计算或推理说明理由． (3)若点在内部（不含边界），则对于上的点和点，比较与的大小； (4)当与线段只有一个公共点（含端点）时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)或 (2)甲正确，乙的说法不正确，见解析 (3) (4)或 【分析】（1）由已知顶点、过，求得抛物线．时，为“好点”，故．令，解得，则可得到与轴的交点； （2）抛物线顶点，，故．令，得，由二次函数性质，，故轴交点有最高点，进而即可判断； （3）联立与，得交点，在内，故．抛物线开口向下，对称轴，在对称轴右侧，随增大而减小，进而即可得解； （4）分两种情况：①与相切，联立方程得，解得；②过，代入得，仅时仅一个交点，进而即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，当抛物线的顶点为时， 设的函数表达式为，其中． 又此时与轴的交点为， ， 解得． 当时，根据“好点”定义可得的顶点是， 则此时的函数表达式为． 当时，有， 解得． 与轴交点的坐标为或； （2）解：甲正确，乙的说法不正确，理由如下： ∵点和都是“好点”， ∴当顶点的横坐标为时，且为好点时， 其纵坐标为， ∴抛物线的顶点的坐标为． 设的函数表达式为， 当时， ， ，且当时，取得最大值2， 即抛物线与轴的交点有最高点． （3）解：由（2）得，顶点的坐标为， 设，，则可得顶点所在函数图象的表达式为． ， 解得， 则该直线与的交点为， 又与轴的交点为，抛物线的对称轴为． 点在内部（不含边界）， ． 对于上的点和点，有， ∴点和点均在的对称轴右侧的图象上． 抛物线开口向下，在对称轴右侧的图象随的增大而减小， ； （4）解：由（2）得，的函数表达式为， 在线段中，当时，； 当时， 解得， ∴，， ①当与相切时，与线段只有一个公共点， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得； ②当经过点时，代入得 解得或． 当时，对称轴右侧的图象经过点，此时与线段有两个公共点； 当时，对称轴左侧的图象经过点，此时与线段只有一个公共点． 当时，与线段只有一个公共点． 综上所述，所求为或． 【点睛】本题以“好点”新定义为载体，融合二次函数解析式、最值、单调性、线段交点等核心考点，通过分类讨论、数形结合思想求解，全面考查二次函数的综合应用能力． 题型05 临界点与字母参数的讨论问题 典例引领 【典例01】（2021·福建泉州·二模）已知二次函数，当时，，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围． 【详解】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2﹣a+3（a＞0）， ∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，该函数取得最小值﹣a+3， ∵当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，当y＝3时，x＝2或x＝0， ∴1≤m≤2， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【典例02】（2025·河北石家庄·二模）如图，抛物线图象与轴相交于、两点，与轴交于点．现将抛物线图象向上平移7个单位长度，再向左平移个单位长度，所得新抛物线的顶点在内（不含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意得出平移后的解析式为，得出顶点坐标为，然后分当顶点在上时，当顶点在上时，求出的值，从而求出范围； 本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数图象的几何变换，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由， ∴顶点坐标为， ∴向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度的抛物线解析式为， ∴新线顶点为， ∵与轴相交于点和点，与轴交于点， ∴当时，， 解得：，， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，， 解得：，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 当顶点在上时，， 解得：， 当顶点在上时，， 解得：， ∴新拋物线的顶点在内（不含边界），的取值范围为； 故选C. 方法透视 考向解读 多出现在压轴题中，给定参数取值范围或特殊条件，讨论函数图象满足条件的参数值，考查分类讨论与逻辑推理能力。 方法技能 先明确参数在函数中的角色（如决定开口的a、决定对称轴的b），根据临界条件列出方程或不等式；分类讨论时注意每种情况的前提条件。 变式演练 【变式01】（2026·河北沧州·一模）对于题目：在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于两点、，过点且平行轴的直线与过点且平行轴的直线相交于点，若抛物线与线段没有公共点，求的取值范围．甲的计算结果是；乙的计算结果是，则（   ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲与乙的结果合在一起正确 D．甲与乙的结果合在一起也不正确 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图像问题，一次函数与坐标轴的交点，解题需要掌握数形结合的思想，根据直线，求得点A、点B和点C的坐标，根据抛物线解析式求得顶点坐标为和对称轴为，分两种情况：当时，抛物线经过点C时为临界值；当时，若当抛物线顶点在线段下方时，解得；进而求得的取值范围． 【详解】解：对于直线，令，解得； 令，得， ∴、， ∵过点且平行轴的直线与过点且平行轴的直线相交于点， ∴， ∵ =， ∴ 抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为， 当抛物线与线段有唯一公共点时，分两种情况： ① 当时，如图： 由图可得抛物线经过点C时，，解得，， 那么，与线段没有公共点时，； ② 当时， ∵抛物线与线段没有公共点， ∴当抛物线顶点在线段下方时， 解得： 如图 综上所述，的取值范围是或． 故选：C． 【变式02】（2025·河北唐山·二模）已知抛物线，抛物线，图象与图象组合成图象． (1)如图，当时， ①求图象最低点的纵坐标的值； ②点在图象上，求的值； (2)已知，，当此图象与线段只有一个公共点时，确定的取值范围． (3)若图象有且只有4个点到轴的距离等于5时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①此函数的最小值为；②的值为或； (2)或时函数与线段有一个交点； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、数形结合是解题的关键． （1）①分别求出两个函数的最小值，再比较大小即可； ②将分别代入函数解析式，求出的值即可； （2）根据题意得到公共点在上，分两种情况：当与相切时，当与相交时，分别计算即可； （3）根据题意，只需求轴下方的图象与有两个交点即可，分两种情况：时，求出；时，，求出． 【详解】（1）解：①当时， ：， ， 时，最小值为， ：， ， 时，最小值为， 图象最低点的纵坐标的值为； ②， ，， 当在上时，， 解得， ； 当在时，， 解得或（舍去）， 的值为或； （2）解：，，图象与线段只有一个公共点， 如图， 公共点在上， ，对称轴为直线， 令， 当与相切时，则， ， ， 解得或（舍去）； 当与相交时，交点在之间，如图所示： 当时，， ， ， 综上所述，或时函数与线段有一个交点； （3）解：两抛物线的对称轴为直线， 当时，如图1， 时，， 当时，， ， 或（舍去）， 当时，如图2， 当时，， 当时，， ， 或（舍去）， 综上所述，或． 【变式03】（2026·河北沧州·模拟预测）如图，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最值； (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值为4，最小值为 (3)①；②线段与二次函数的图象只有1个交点时，或；线段与二次函数的图象有2个交点时， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将二次函数的一般式化为顶点式，找出对称轴，结合自变量的取值范围求出最大值与最小值； （3）①，去绝对值，得到关于m的一次函数，根据“线段的长度随的增大而减小”即可求解；②分，，，几种情况，画出图形，即可判断交点个数． 【详解】（1）解：将点，点代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）解：， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取最大值为4． ， ∴当时，取最小值，最小值． ∴当时，二次函数的最大值为4，最小值为． （3）解：①， 当时，即，，的长度随的增大而减小， 当时，即，，的长度随增大而增大，不符合题意． 的取值范围为． ②线段与二次函数的图象只有1个交点时，或；线段与二次函数的图象有2个交点时，． ， ． 解得：． 如图①，当时，点在最高点，与图象有1个交点 如图②，增大过程中，当时，点与点在抛物线对称轴右侧，与图象只有1个交点 直线关于抛物线对称轴直线对称后的直线为． 时，与图象有2个交点，如图③， 当时，与图象有1个交点，如图④， 综上所述，线段与二次函数的图象只有1个交点时，或；线段与二次函数的图象有2个交点时，． 六、 题型06 二次函数的最值问题 典例引领 【典例01】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，待定系数法求出函数解析式，进而根据增减性结合二次函数的最值，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点、， ∴，解得：， ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为：，抛物线上的点到对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当时，，当时，， ∵当时的最大值与最小值的差为6，， ∴，且， 解得：或（舍去）； 故选：A． 【典例02】（2025·河北张家口·二模）如图，抛物线经过点，，点是抛物线的顶点． (1)求a，m的值及点的坐标； (2)将抛物线平移，使其顶点落在轴上，得到抛物线． ①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标； ②在①的条件下，抛物线上有一个动点，其横坐标为，当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)①3，；②． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和动点问题． （1）先根据点，求出对称轴，再利用对称轴公式即可求出和解析式，将代入解析式中即可求出，将解析式化成顶点式即可求出； （2）①根据抛物线的顶点落在轴上，且点的坐标为即可求出结果； ②先求出抛物线的表达式，再令，代入解析式求解，再结合点在抛物线上关于对称轴对称的点为点，且当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，即可求出结果． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 对称轴为直线， ， ， 的解析式为． 将代入，得， 即． ， 点的坐标为． （2）解：①抛物线的顶点落在轴上，且点的坐标为， ∴抛物线平移的最短路程为3，此时顶点坐标为． ②由①得，抛物线的表达式为． 令，则． 点在抛物线上关于对称轴对称的点为点，且当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2， ． 方法透视 考向解读 涵盖顶点处最值与区间最值两类。区间最值常与平移结合，给定自变量范围后求最值或根据最值差反推平移量，难度中等偏上。 方法技能 顶点处最值直接用公式；区间最值需比较端点和顶点（若在区间内）的函数值，取最大或最小。 变式演练 【变式01】在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】由完美点的概念可得：，即，由只有一个完美点可得判别式，得方程根为2，从而求得，所以得出函数解析式，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得x的取值范围． 【详解】由题意可得，，即 图象上有且只有一个完美点， ，则， 方程根为 函数 该二次函数顶点坐标为，与y轴交点为， 根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点， 在左侧，随的增大而增大; 在右侧，随的增大而减小; 且当时，函数的最小值为，最大值为1， 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键． 【变式02】（2025·河北邢台·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，过作平行轴的直线交轴于点，已知点． (1)求点的横坐标； (2)若抛物线经过点，当时，抛物线的最大值为，求的值； (3)若点、位于抛物线对称轴右侧图象的两侧．确定的取值范围． 【答案】(1)2 (2)6或 (3)或 【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征，有一定的综合性，运用数形结合、分类讨论的思想是解决第(2) (3)小题的关键． （1）将化成顶点式即可求解； （2）将点代入求出，进而可得其对称轴为， 当时，即时，，当时，即，，分别求解即可； （3）分两种情况：①当时，抛物线经过点时，可得；②当时，抛物线过点时结合性质可得，又，即可求解． 【详解】（1）解： 的坐标为， 点的横坐标为2； （2）解：当时，， 解之得，， 所以其对称轴为， 由题意知最大值为， 当时，即时， ， 解得（舍去）， 当时，即，， 解得不合题意舍去． 综合以上可得的值为6或． （3）解：①当时，由题意，即， 当抛物线经过点时， ，解得． 又点、分别位于抛物线对称轴右半部分的两侧， ； ②当时，抛物线过点时可得，又，即， 综上所述：的取值范围为或． 【变式03】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）已知直线分别与x轴、y轴相交于，B，O为坐标原点，C是的中点，二次函数的图象经过点A，C． (1)求a，b，c的值； (2)判断抛物线的顶点在不在直线上，并说明理由； (3)当时，求抛物线的最大值． 【答案】(1)a，b，c的值分别为，3， (2)顶点在直线上 (3)最大值为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）把代入可求出，进而即可求出点的坐标，再把点和点的坐标代入可求出，的值； （2）先求出二次函数的顶点坐标，把代入验证即可； （3）先判断出在的增减性，进而结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， 解得， ∴直线解析式为：， ∴直线与轴交点， ∵是中点， ∴为， ∵二次函数的图象经过点A，C， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴a，b，c的值分别为，3，； （2）解：根据题意得，抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 对于直线，当时，， ∴抛物线顶点在直线上； （3）解：抛物线开口向下，对称轴为， ∴在上单调递减． ∴当时，y取得最大值：． 七、 题型07 二次函数的其它应用问题 典例引领 【典例01】综合与实践：设计公交车停靠站的扩建方案． 【素材1】图1为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成．图2为某段结构示意图，，皆为轴对称图形，且关于点成中心对称，该段结构水平宽度为8米．    【素材2】图3为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5米的立柱，竖直立于地面并支撑在对称中心，处．小温将长为2.8米的竹竿竖直立于地面，当点触碰到顶棚时，测得为1米． 【素材3】将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为27米．计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板． 【任务】 (1)确定中心：求图2中点到该结构最低点的水平距离． (2)确定形状：在图3中建立合适的直角坐标系，求的函数表达式． (3)确定高度：求挡风板的高度． 【答案】(1)2米 (2)见解析 (3)2.675m或2.325m 【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象和性质，根据题意建立适当的平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据对称性求解即可； （2）以点为原点，按如图形式建立直角坐标系，由条件可求对称轴为，设顶点式为，把、代入求解即可； （3）把，分别代入（2）中解析式求解即可． 【详解】（1）解：由中心对称性得：米，由轴对称性得：米． 即图2中点到该结构最低点的水平距离为2米； （2）解：以点为原点，按如图形式建立直角坐标系， 由条件得，过、，对称轴为， 设顶点式为， 将、代入得， 解得：，， ； （3）解：，    情况①：当时，，    情况②：将时，，    综上，挡风板的高度为2.675m或2.325m． 【典例02】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图1至图2，是经过某款蒸锅中心D和锅盖中心C所作纵截面的示意图，它由两段抛物线构成．蒸锅截线与锅盖截线交于点A，B，测得锅口直径，锅深，锅盖高．以直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系． 尝试：（1）求蒸锅截线表达式和锅盖截线表达式； （2）若锅中心D到水面距离为，求水面直径的长度； 探索：如图2，矩形为笼屉纵截面图（相邻笼屉用不同颜色区分），F，G在蒸锅截线上，笼屉直径轴，且，每层笼屉高为．在使用过程中，要求锅盖与锅能正常合上 （3）若，则锅与锅盖之间最多能放置几层笼屉？说明理由； （4）若E，H恰好在锅盖截线上，设所有放置的笼屉，下底面面积之和为S，直接写出：当 时 S最大，S的最大值是 ． 【答案】（1）蒸锅截线表达式为，设锅盖截线表达式为；（2）；（3）锅与锅盖之间最多能放置6层笼屉，见解析；（4）； 【分析】由题易得，，，，再分别设顶点式即可得解． 根据可得，然后由两根即可求得的长度． 由题意易得F，G关于y轴对称，则有点G到y轴的距离为，即点G、H、K三点的横坐标为，即，然后由和表达式分别求出和，再根据求出笼屉的层数． 由（3）可知：，求出笼屉的层数，然后再由，根据二次函数求出时S取最大值，故分别取出或5计算出n和S，通过比较S的大小，进而确定出答案． 本题考查了二次函数的应用，涉及到用待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的图象和性质等知识点，熟练应用二次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】解：由题可知，，， 设蒸锅截线表达式为，设锅盖截线表达式为， 将点分别代入和的表达式得，， 蒸锅截线表达式为，锅盖截线表达式为； 记与y轴交于点G， 由题意可知，则， ， 令， 解得， ； 如图，设直线交于点K， ∵四边形是矩形， ∴轴， ∵F，G在蒸锅截线上，笼屉直径轴，且， ∴F，G关于y轴对称， ∴点G到y轴的距离为，即点G、H、K三点的横坐标为， ∴当时，则， 把点G、K的横坐标分别代入：，：得：，， ， 锅与锅盖之间最多能放置6层笼屉． 由（3）可知：， ∵E，H恰好在锅盖截线上， ∴，， ， ∴， ， 把看作整体，则上述函数关系可看作是S关于的二次函数， ∵，开口向下， ∴当时，即，面积S有最大值，此时笼屉的层数为， ∵笼屉的层数为正整数， ∴当时，解得， ∴， 当时，，即， 同理可得， 当时，S的最大值为， 故答案为：；． 方法透视 考向解读 包括抛物线型运动轨迹（如投掷沙包、无人机飞行）、拱桥隧道截面等问题，通过建立坐标系将实际问题转化为函数模型求解。 方法技能 建立合适坐标系是关键：通常将顶点或对称轴置于y轴，利用已知点坐标求解析式；实际问题注意自变量取值范围与结果的合理性检验。 变式演练 【变式01】（25-26九年级上·河北·期末）为了提高检票效率，减少运营成本，某高铁站的调配团队研究了排队人数（人）与检票时间（分钟）、开放检票通道数量（个）之间的关系，有以下发现： 发现：候车总人数（人）； 发现：已检票人数（人）； 发现：排队人数（人）候车总人数已检票人数． （其中，且为整数） 请你结合调配团队的发现，完成下面问题： (1)当开放条检票通道，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为 ； (2)在（）的条件下，排队人数（人）在第几分钟达到最大值，最大值是多少？ (3)若要求排队人数最晚在第分钟后（包括第分钟）开始减少，且尽量少安排检票通道，以节省开支，请你直接写出至少应打开几条检票通道？ 【答案】(1)； (2)排队人数（人）在第分钟达到最大值，最大值是； (3)至少应打开条检票通道． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）由（）得，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为，然后通过二次函数的性质即可求解； （）根据题意可得，，因为要求排队人数最晚在第分钟后（包括第分钟）开始减少，所以当，即，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：当开放条检票通道，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为：， 故答案为：； （2）解：由（）得，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为：， ∴， ∵， ∴当时，排队人数达到最大值，最大值是， ∴排队人数（人）在第分钟达到最大值，最大值是； （3）解：根据题意可得，， ∵要求排队人数最晚在第分钟后（包括第分钟）开始减少， ∴当，即， 整理得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴至少应打开条检票通道． 【变式02】（25-26九年级下·河北唐山·月考）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间0.1-0.6秒之间，低于人类驾驶员0.8-2秒的反应时间． 总停车距离（l）反应距离（）制动距离（）；记作为：（l：从感知到车停共经过的距离，单位米；t：感知、计算的反应时间，单位秒；v：刹车前行车速度，单位米/秒；a：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下： 车速x（米/秒） 20 30 --- 停车距离l（米） 35 71.25 --- (1)请根据素材求：从感知到车停共经过的距离l与刹车前行车速度v的函数表达式； (2)请根据素材回答问题：某智能测试汽车以18米/秒正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算， ①请你判断，智能汽车不改变方向的情况下，能否在货物前停车？ ②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？（参考数据：每个车道的宽度为米，，，） 【答案】(1) (2)①不能，见解析；②不成功，见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据待定系数法即可解答； （2）①将代入解析式即可解答；②根据解直角三角形的应用即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，经过和， 可得， 解得， 从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为； （2）解：①结论：不能在货物前停车．理由如下： 由题意得，米/秒，代入函数关系式得：米米， ∴不能在货物前停车； ②避险不成功，理由如下： 智能汽车感知、计算反应的时间为秒，此时汽车已行进9米， 如图，即， ， 由题意得，， ， 避险不成功． 【变式03】（2025·河北唐山·二模）某电子屏上下边缘距离为，点在电子屏上的运动路线如图中虚线所示，当运动至点时达到最高点，此时距左边缘，之后的运动时间为秒，点是下落过程中某位置：水平方向继续以速度向右运动，竖直方向与电子屏上边缘距离为，由两部分组成：为常数，与的平方成正比，且有如表格中的数据． (1)用含的代数式表示； (2)若，用分别表示点的横坐标、纵坐标，求与之间的关系式； (3)甲、乙两点从左边缘不同位置出发，均能达到最高点，若乙点比甲先出发，在两点下落过程中，若某时刻甲恰好处于乙正上方，且距离不小于，直接写出的最小整数值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）根据题意设出解析式，运用待定系数法求解即可； （2）利用已知的表示出，表示出函数解析式，再将代入解析式即可求解； （3）先表示出甲乙的横坐标，再利用横坐标相等表示，随后表示出甲乙的纵坐标，利用纵坐标之差不小于求解不等式即可． 【详解】（1）解：设，则： ， 当时，，当时，， ， ， ， （2）解：由题意得：， 故当时，①， ②． 由①可得：③， 把③代入②中，可得： ． （3）解：的最小值为3，理由如下： 在下落过程中，， ， 故当甲点恰好处于乙点正上方时，， ． 由（2）可知，， ． 当甲点恰好落在乙点正上方时，可设． 由题意知此时，即： ， 根据二次函数的图像与性质可得：， ， ， ，即的最最小整数值为3． 【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程在实际中的应用，理清题中的数量关系并正确计算是解题的关键． 题型08 二次函数营销问题 典例引领 【典例01】（25-26九年级上·河北衡水·期末）某商家以每件30元的价格购进一批商品，并规定每件商品的售价不得少于35元，月销售量（件）与该商品每件的售价（元）之间的一次函数关系，如图所示： 月销售量y（件） 60 80 该商品每件的售价（元） 70 60 (1)若每月销售这种商品100件，求每件商品的售价为多少元？ (2)若月销售量不低于40件，求月销售利润的最大值； (3)若月销售利润不低于1650元，求售价的取值范围． 【答案】(1)若每月销售这种商品100件，每件商品的售价为50元 (2)当时，w最大值为元 (3) 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数的应用，正确解读题意，列出关系式是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式，再求出时自变量的值即可； （2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值； （3）求出当时的自变量的值，根据抛物线的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：∵月销售量（件）与该商品每件的售价（元）之间的一次函数关系， ∴可设y与x之间的函数关系式为， 代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为， 每月销售这种商品100件，即时，， 解得， 即若每月销售这种商品100件，每件商品的售价为50元； （2）解：∵，即， 解得， 设月销售利润为元 当时，的最大值为元； （3）解：当时， 解得，或85， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴若月销售利润不低于1650元，售价的取值范围为 【典例02】（2026·河北沧州·一模）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行30场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第场产品的销售量为（台），在销售过程中获得以下信息： 信息1：已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台； 信息2：产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场～第20场浮动价与销售场次成正比，第21场～第30场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如下数据： 场) 万元) (1)求与之间满足的函数关系式； (2)当产品销售单价为万元时，求销售场次是第几场？ (3)在这场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)且为正整数 (2)销售场次是第场 (3)第场获得的利润最大，最大利润为万元 【分析】本题是一次函数，二次函数的综合运用，理解题意并列出函数关系式是顺利解题的关键． （1）根据第一场销售量及每场销售量的递减规律直接构建函数关系式； （2）分两段建立销售单价与场次的函数模型，通过给定数据求解参数后，代入单价为15万元的条件求解对应场次，结合场次范围筛选有效解； （3）依据利润公式分两段构建利润函数，利用二次函数的增减性和反比例函数的增减性分别求出两段的最大利润，比较后确定全场最大利润及对应场次，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得，其中且为正整数 （2）解：设基本价为万元当时， 设与的函数关系式为 将，代入得 解得 ，其中且为正整数 当时，设与的函数关系式为 将 代入得 解得 ，其中且为正整数 当时，令 解得，因，不符合范围，舍去 当时，令 解得， 符合的范围 答：销售场次是第21场． （3）解：设每场获得的利润为万元当时 ，二次函数图象开口向下，对称轴为 又，在对称轴左侧，随的增大而增大 当时，取得最大值，（万元） 当时 ， 在时，随的增大而减小 当时，取得最大值，（万元） 答：第21场获得的利润最大，最大利润为145万元 方法透视 考向解读 考查利润最大化、成本优化等经济情境。通过建立总利润关于单价或销量的二次函数模型，求最值并给出决策建议。 方法技能 总利润=（售价-成本）×销量；根据题意列出函数关系式，化为顶点式求最大值；注意自变量的实际意义，结果取整数时需比较两侧值。 变式演练 【变式01】（2025·河北唐山·模拟预测）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变） 【答案】（1）商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元； （2）当且 为整数时，； 当且 为整数时，； 当且 为整数时，； （3）公司应将最低销售单价调整为2875元 【分析】（1）设件数为x，则销售单价为元，根据销售单价恰好为2800元，列方程求解； （2）由利润（销售单价成本单价）件数，及销售单价均不低于2800元，按，，多种情况列出函数关系式即可； （3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价． 【详解】解：（1）设商家一次购买这种产品x件时，销售单价恰好为2800元， 由题意得：，解得：． 即商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元； （2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，由题意得： 当且 为整数时，， 当且 为整数时，， 当且 为整数时，； （3）因为要满足一次购买数量越多，所获利润越大， 所以y随x增大而增大，函数，均是y随x增大而增大， 而， 在时，y随x增大而增大， 由上述分析得x的取值范围为：时，即一次购买75件时，恰好是最低价，最低价为元， 答：公司应将最低销售单价调整为2875元． 【点睛】本题考查了一次、二次函数的性质在实际生活中的应用，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 【变式02】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）项目式学习 我校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为30元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如表： 玩具店 A B C D E 销售单价/元 35 45 55 65 75 日销售量/个 65 55 45 35 25 任务二：模型建立 （1）观察发现，该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为______； 设日销售利润为（元），则该益智玩具的日销售利润与销售单价之间的函数关系式为______； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为100元，该玩具店老板想要每天获得900元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）；； （2）该益智玩具的销售单价应定为50元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，从而求出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为，然后通过即可求解； （）设该益智玩具的销售单价应定为元，由题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】解：（）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， ∴，解得， ∴益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， ∴， 故答案为：；； （）设该益智玩具的销售单价应定为元， 由题意得，， 整理得， 解得，， ∵尽快减少库存， ∴， 答：该益智玩具的销售单价应定为元． 【变式03】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）近年来，古城内的普洱咖啡受到越来越多游客的喜爱，其种植规模与销量均在逐年增加．一咖啡园现种植甲、乙两种咖啡树，其中种植x棵甲咖啡树，每年所获得的利润（元）与x（棵）之间的函数解析式为，且当时，（元），种植z棵乙咖啡树，已知乙咖啡树每年的成本y（元）与种植乙咖啡树数量z（棵）之间满足函数关系（，），若乙咖啡树每棵每年可收入800元，种植乙咖啡树每年所获得的利润为（元），经过统计获得如下数据： Z（棵） 10 40 （元） 4920 7920 (1)求与x之间的函数解析式，并求的最大值； (2)求与z之间的函数解析式； (3)若该咖啡园计划种植甲咖啡树的数量是乙咖啡树数量的一半，求当种植多少棵甲咖啡树时，两种咖啡树所获得的年总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)，的最大值为7140元 (2) (3)当种植17棵或18甲咖啡树时，两种咖啡树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握利润=总收入总支出的关系式和待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法和二次函数的性质解答即可； （2）利用利润=总收入-总支出得到，再利用待定系数法解答即可； （3）设每年的总利润为W元，则，利用题意得到W与x的函数关系式，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵当时，元， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，的最大值为7140元； （2）解：由题意得：， 由表格可得：当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设每年的总利润为W元，则， 由题意：， ∴ ， ∵， ∴当时，W有最大值，但x为正整数，抛物线的对称轴为直线， ∴当或18时，W有最大值，W的最大值为14548元， ∴当种植17棵或18甲咖啡树时，两种咖啡树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元． 题型09 二次函数实物建模问题 典例引领 【典例01】（2025·河北保定·二模）如图，是一个抛物线形拱桥的截面示意图．桥下水面的宽度，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，拱顶距离水面，在点处装有一个宽光束射灯进行照明，光束的有效光照区域恰好能覆盖整个水面； (1)___________；求拱桥抛物线的解析式； (2)如图，当水面上升后，光束的有效光照区域为，无法照到整个水面，求此时照明灯照不到的水面区域的宽度； (3)如图，因河水上涨，点处一棵大树倒下并挡住了桥洞，大树顶端恰好落于点处，为避免产生阻塞，市政部门准备调用一装有机械臂的设备将大树移开．为机械臂的一部分，为保证抓取稳固，需始终保持机械臂，假设机械臂的起点始终在抛物线上，请问机械臂起点与树木之间距离是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，最大值为 【分析】题目主要考查坐标与图形，等腰三角形的性质，二次函数的综合应用，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）根据题意得出，，顶点，即，设拱桥抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）设的解析式为，利用待定系数法确定的解析式为，得出此时点坐标为，然后代入函数解析式求解即可； （3）过点作轴于点，交于点，根据题意得出，设，则，得出关于的二次函数求解即可． 【详解】（1）解：； 由题知，，，顶点，即， 设拱桥抛物线的解析式为， ， 解得， 拱桥抛物线的解析式为； （2）设的解析式为， ， ， 的解析式为， 当时， ，此时点坐标为 ， 解得：，， 此时点坐标为， 照明灯照不到的水面区域的宽度； （3）存在， 如图，过点作轴于点，交于点， 顶点为， ， ， ， ， 设，则， ， 当时，的最大值为1， 的最大值为． 【典例02】（2025·河北石家庄·模拟预测）点茶是宋代传统文化技艺．倒茶时的情景（图1）可以抽象为平面图形（图2），并建立平面直角坐标系．已知图中茶壶的壶嘴由线段与曲线组成，壶口为点，曲线与倒出的茶水可视作在同一条抛物线上．若点所在直线与轴（桌面）平行，且茶碗边沿（厚度忽略不计）点与壶口点所在直线垂直于桌面．已知线段，线段，壶柄与竖直方向的夹角为．茶碗的直径为，高度（含底部碗托）为．已知图2中，点距桌面的高度时，茶水恰好落在茶碗水面中心点． (1)求点距桌面的高度； (2)求抛物线的解析式； (3)为练习点茶技术，小华手持茶壶稳稳向上提起（视作向上平移），要使茶水完全落在茶碗内，求移动过程中点处距桌面的高度的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，二次函数的解析式、平移及实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）延长交轴于点，由及，可得，，又因为，进而求出长即可得出答案； （2）分别求出，，得出抛物线的对称轴是直线，再利用待定系数法，设抛物线的解析式为，将点、点代入解析式求出、的值，即可得出答案； （3）设抛物线向上平移个单位，设茶碗边沿点对面的点为，当平移后的抛物线过点时，得，结合题意，从而得出，由的原始高度为，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，延长交轴于点， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 点距桌面的高度为； （2）由题意：，， ， ， ， 抛物线的对称轴是直线， 茶碗的直径为，高度（含底部碗托）为， ， 设抛物线的解析式为， 将点、点代入解析式得： ，即， 解得：，， 抛物线的解析式为； （3）设抛物线向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为， 如图所示，设茶碗边沿点对面的点为， 茶碗的直径为，点， 点， 根据题意，当平移后的抛物线过点时， 得，即， 要使茶水完全落在茶碗内，， 的原始高度为，则， ， 则移动过程中点处距桌面的高度的取值范围为． 方法透视 考向解读 将物理、工程等真实情境转化为二次函数模型。如2025年真题中固体热膨胀的线膨胀问题，考查跨学科建模与应用能力。 方法技能 先理解实际情境中的变量关系，确定自变量与因变量；根据已知数据点用待定系数法求解析式；验证模型是否符合实际问题情境。 变式演练 【变式01】（2025·河北石家庄·三模）一天放学后，妈妈带淇淇到面馆吃面，爱思考的淇淇仔细观察盛面汤的碗，发现汤碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），是抛物线的顶点，碗底高，碗口宽，与碗底宽平行．当碗中装满面汤时，面汤的最大深度．以为原点，水平线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)求图2中抛物线的解析式； (2)喝掉部分面汤后，汤的表面（后面简称“汤面”）下降了至处，求此时汤面的长； (3)将面汤碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，求此时汤面的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，解直角三角形，含度角的直角三角形的性质，待定系数法确定函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）依题意，，，设抛物线解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入解析式，即可求解； （3）作出线段，设与轴的交点为．由（1）知，，进而求得，得出直线的解析式为．联立抛物线解析式，进而求得，进而根据勾股定理求两点距离，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 设抛物线解析式为， ∵，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）∵汤面下降了 ∴此时汤面与碗底距离为，即． 令， 解得（舍去）， ∴汤面的宽度为． （3）∵ ∴． 如解图，作出线段，设与轴的交点为． 由（1）知，， ∴． ∵， ∵ ∴， ∴． 设直线的解析式为．将分别代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 令， 解得或 （舍去） ∴， ∴． 【变式02】（2025·河北保定·一模）冬奥会带动了滑雪运动的兴起，嘉嘉所在城市新建滑雪场，嘉嘉依据滑雪场地，以地面（所在直线）为轴，过起跳点作轴的垂线为轴，构建平面直角坐标系，米．有一运动员通过助滑坡后从起跳点处腾空跃起，沿运动轨迹运动，最后着陆在滑道上的点处，然后继续向点滑行，米．将运动员看做一点，其空中运动轨迹段可近似看作抛物线的一部分．已知点为运动员在空中的最高点，点为着陆点，且其到地面（所在直线）的距离为5米． (1)求点坐标； (2)求抛物线的解析式，并直接写出点坐标： (3)现该运动员从最高点处开始做转体动作，已知要完整做完这个转体动作，从开始转体到动作结束至少需40米的垂直距离．为保证在点处安全着陆，该运动员必须在位于点（为着陆坡上一点）正上方18米高度的点处停止做转体动作，准备着陆．请通过计算说明该运动员能否完整做完这个转体动作． 【答案】(1) (2)， (3)不能完整做完这个转体运动，见解析 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出表达式． （1）由题意可知，，利用待定系数法求出所在直线的表达式为，然后将代入即可求出答案； （2）利用待定系数法求出抛物线的表达式，然后配方成顶点式即可求出点P的坐标； （3）根据题意得到，求出，然后代入求解比较判断即可． 【详解】（1）由题意可知，， 设所在直线的表达式为 则：，解得 ∴所在直线的表达式为 ∵点到地面的距离为5米    ∴ 解之得： ∴； （2）将，代入抛物线得： ， 解之得： ∴抛物线的解析式为； ∴； （3）由题意可知： 整理得 解得（不符合题意），， 当时， ∵    ∴不能完整做完这个转体运动． 【变式03】（2025·河北保定·一模）如图，滑道是抛物线的一部分，滑道起点在轴的正半轴上，顶点在轴的正半轴上，，，终点可以沿抛物线调节，设点的横坐标为．一个小球（看作一点）从点发射出去，沿着滑动，并从点滑出，滑出后运动路线也是某抛物线的一部分（设此函数的二次项系数为），其顶点为，点，关于点成中心对称． (1)求的解析式． (2)若，小球沿能砸中点吗？请通过计算加以说明． (3)淇淇发现，的值与无关，请你验证这个结论． (4)在空中停留一物体（可看做线段），，，若小球不会撞到这物体，直接写出的取值范围． 【答案】(1)或 (2)不能，见解析 (3)见解析 (4)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）设的解析式为，代入，即可得到答案； （2）求出，，代入求出，当时，，即可进行判断； （3）由题意得到，将点的坐标代入，得，求出，即可得到结论； （4）由题意得到当时，与线段相切，将点代入，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可设的解析式为， 代入，得， 解得， 的解析式为或； （2）解：不能． 理由： 若，将代入的解析式，得 ， ． 点，关于点成中心对称，且， ， ，将点的坐标代入，得 ， 解得， ． 当时，， 不能砸中点； （3）解：，， ，即， ． 将点的坐标代入，得． ， ， 解得，故的值与无关； （4）解：或． 由（3）可知，， 当时，解得或（舍去）， ． ， 当时，与线段相切， 若小球不会撞到物体，则． 将点代入，得， 解得或（舍去），此时． 当时，，小球能越过点， 当时，小球不会撞到物体． 综上所述，的取值范围是或． 题型10 双二次函数背景的综合问题 典例引领 【典例01】（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为（    ） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的对称性．由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 【详解】解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴， 故选：C． 【典例02】（2022·四川成都·二模）如图，抛物线C：与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D． (1)求a的值及顶点D的坐标； (2)点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为E，抛物线与x轴的交点为G，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线的表达式； (3)如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或或 【分析】（1）把抛物线的解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；将点代入，即可求出a的值； （2）连接，作轴于，作轴于M，证明，可得，，故抛物线的顶点E的坐标为，即可得出抛物线的函数表达式； （3）设点，作轴于，轴于M，于N，根据旋转可得，进而可得点的坐标为，点N的坐标为，再分类讨论即可得出答案．①当是直角三角形时，显然只能有；②当是直角三角形时，显然只能有；③当是直角三角形时，i）当时，ii）当时，根据勾股定理列方程求出m的值，即可求出P点的坐标． 【详解】（1）解：由，可得， ∴顶点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴可得， 解得； （2）解：对于抛物线：，由（1）可知，， 令，可得， 整理可得， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，； 如下图，连接，作轴于，作轴于M， ∵， ∴， 根据题意，点，E关于点成中心对称， ∴过点B，且， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴抛物线的顶点E的坐标为， ∵抛物线由绕点P旋转后得到， ∴抛物线的函数表达式为； （3）解：∵抛物线由绕x轴上的点P旋转后得到， ∴顶点，E关于点P成中心对称，由（2）知，点E的纵坐标为8， 设点，如下图，作轴于，轴于M，于N， ∵旋转中心P在x轴上， ∴， ∴点的坐标为，点N的坐标为， 根据勾股定理得，， 显然，、和不可能是直角三角形， 分情况讨论： ①当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得，， ， ∴，解得， ∴， ∴点P的坐标为； ②当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得： ， ， ∴，解得：， ∴， ∴点P的坐标为， ③当是直角三角形时， ， ， i）当时，， 即，解得， ∴， ∴点P的坐标为； ii）当时，， 即， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； iii）∵， ∴． 综上所述，当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时， 点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了图形的变换—中心对称变换、二次函数综合应用、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，根据旋转中心是对应点连线的中点确定点的坐标和分情况讨论是解答本题的关键． 方法透视 考向解读 河北中考标志性考法，连续四年压轴题均为“两个二次函数对比与动态变换”。考查顶点平移、交点分析、动点距离等，突出数形结合。 方法技能 分别处理两个函数的关键信息（顶点、对称轴、与轴交点），用参数表示平移后的解析式；“最短距离”常用对称转化或距离公式求解。 变式演练 【变式01】（2026·河北邢台·一模）已知，抛物线（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)抛物线的对称轴为直线_____（用含有的式子表示）； (2)若，函数值随着的增大而减小，求的取值范围； (3)如图，当时． ①将抛物线向左平移个单位长度后，当时，若抛物线对应的函数最大值与最小值的差为6，请求出的值； ②点为第四象限内抛物线上的一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点．以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围为或 (3)①的值为② 【分析】（1）直接根据抛物线对称轴公式求解即可； （2）分两种情况：若，若，运用二次函数的性质分别求得a的取值范围即可； （３）①求出平移后抛物线解析式，得对称轴为，再分、和三种情况讨论求解即可； ②根据图象折叠的对称性，得点，根据翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴，可得且，即可求得答案． 【详解】（1）解：的对称轴为：， 所以，对称轴为直线； （2）解：抛物线的对称轴为，开口方向由决定： 当时，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随增大而减小； 要使时，y随增大而减小，需满足，即； 当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随增大而减小； 要使时，y随增大而减小，需满足，即． 综上，的取值范围为或． （3）解：当时，抛物线的解析式为． ①抛物线向左平移个单位后，解析式为，对称轴为； 当时，即，在上随的增大而增大， 当时，取最大值； 当时，取最小值， 差值为：， 解得：（不合题意，舍去）； 当时，即，函数最小值为，最大值为或时的较大值， 此时，时，值较大，为， 所以，， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，即，在上，随的增大而减小， 当时，取最大值； 当时，取最小值， 差值为：， 解得：（不合题意，舍去）； 综上，的值为； ②∵， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线, ∵点为第四象限内抛物线上的一点，且轴， ∴、关于对称轴对称，且, 以直线（即直线）为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，原顶点关于直线的对称点即为翻折后图象的顶点．则， 设翻折后函数解析式为， 令，得： ∴ ∴，且， ∴，且， 设两个交点的横坐标为，则或， ∵， ∴，则恒为正数； 要使交点都位于轴上正半轴上，则， ∴ 解得， ∴． 【变式02】（2026·河北邯郸·一模）已知二次函数的最大值是5，其图象记为抛物线． (1)直接写出的对称轴及的值； (2)当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； (3)如图，将抛物线：先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②已知直线与轴交于点，与直线：交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)对称轴为直线， (2) (3)；或 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线计算即可得到对称轴，再根据当时，，列式即可得出的值； （2）先得到当和对应的的值，再得到二次函数图象在时的增减性，即可得到、的值，最后根据列式计算即可； （3）先将抛物线的解析式表示为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，得到平移后的抛物线的解析式；根据题意得到点，，，的坐标，进而可表示出，的长，最后根据列式计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的最大值是5， ∴当时，， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下， 当时，随的增大而减小， 当时，函数的最大值是，最小值是， 当时，取最大值，当时，取最小值， 即，， ， ， 解得，（负值舍去）， ； （3）解：， 则， 解：由题意点，则点，，， ， ， 当时，即， 解得或或（不合题意，舍去）， 当时，点的坐标为或． 【变式03】（25-26九年级下·河北石家庄·月考）如图（1），在平面直角坐标系中，有抛物线，设抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴正半轴相交于点C，且， (1)求a的值； (2)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，使过点C和，求抛物线的解析式； (3)如图（3），将（2）中在y轴左侧的部分（包括点C）与在y轴右侧的部分组成的图象记为G． ①作直线平行于x轴，当直线与图象G有4个交点时，求m的取值范围； ②过点C作直线l平行于x轴，若点P是图象G上一个动点，当点P与直线l的距离小于4时，直接写出点P的横坐标t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②且 【分析】（1）先求出点C坐标，再根据待定系数法，将点C坐标代入抛物线解析式中，可求出a的值； （2）由题意“将抛物线平移得到抛物线，使过点C”，可设，再由过点，可将点代入中，从而求得b的值，最后得到抛物线的解析式； （3）①先求出抛物线的顶点坐标，再通过观察可知，直线与图象G有4个交点，则；②设与直线l交于点D，与直线l交于点E，分点P在抛物线上以及点P在抛物线上，两种情况进行探究，找到抛物线上的点到直线l的距离等于4的t的值，运用分类讨论以及数形结合思想，得到符合题意的t的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线与y轴正半轴相交于点C， ∴将点代入中， 可得：， 解得：； （2）解：由（1）可知，， 则， 即， ∵将抛物线平移得到抛物线，使过点C， ∴可设， ∵过点， ∴将点代入中， 可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （3）解：①设点H为抛物线的顶点， ∵， ∴， ∵直线与图象G有4个交点， ∴； ②如图，设与直线l交于点D，与直线l交于点E， ∵过点C作直线l平行于x轴，， ∴直线l的解析式为：， ∴对于抛物线，令， 可得：， 解得：，， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标， 当点P在抛物线上，设， 当点P在抛物线上，且位于点D左侧时， 令， 解得：（舍去）或， 此时t的取值范围是：． ∵抛物线的顶点坐标，直线l的解析式为：， ∴抛物线的顶点与直线l的距离恰好为4， ∴当点P在抛物线上，且位于抛物线的顶点与点D之间时， t的取值范围是：且， ∴当点P在抛物线上，t的取值范围是：且． ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴对于抛物线，令， 可得：， 解得：，， ∴， ∴当点P在C，E之间（包括点E）时，均符合题意， 此时t的取值范围是：， 当点P在抛物线上，且位于点E右侧时， ∵ ∴设， 令， 解得：（舍去）或， 此时t的取值范围是：， ∴当点P在抛物线上，t的取值范围是：， 综上，符合条件的t的取值范围是：且． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及运用分类讨论思想和数形结合思想求相关参数的取值范围，综合难度较大． 题●型●训●练 1．如图，抛物线与轴交于，两点，点在点点的左侧，与轴交于点，点是抛物线上一动点． (1)求点，和的坐标； (2)如图，当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴于点交直线于点，作于点，当的周长最大，求点的坐标； (3)作直线交直线于点，当点关于轴的对称点落在抛物线上时，在备用图中进行探究，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是 (2)点的坐标是 (3)，， 【分析】（1）分别令，，即可求解； （2）可求直线的解析式为，设点的坐标为，由于当的周长最大时，斜边最大，从而可求； （3）进行分类讨论：①当直线与轴重合时，此时与重合；当直线与轴不重合时，设直线的解析式为：，从而可求出用表示的的坐标，将对称点的坐标代入抛物线，可求具体的值，从而可求解． 【详解】（1）解：把代入中， 得， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 把代入中， 得， 点的坐标是． （2）解：设直线的函数表达式为， 点，点， ， 解得， 直线的解析式为， ， 点，点， ， ， 设点的坐标为， 轴于点交直线于点， 轴，点的坐标为， ， ， 是等腰直角三角形， 当的周长最大时，斜边最大， ， ， 当时，取得最大值， 当时， ， 点的坐标是． （3）解：如图： ①当直线与轴重合时， 此时与重合， ， ②当直线与轴不重合时， 设直线的解析式为：， ， 解得：， ， ， 关于轴的对称点坐标为， ， 解得：， 直线的解析式为：， ， 解得：， ， ，， 的坐标为：或， 综合①②得：的坐标为，， ． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点求法，动点产生的最值问题，关于点的对称问题，掌握具体求法是解题的关键． 2．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)已知抛物线沿轴向右平移个单位长度后得到抛物线． ①用含的式子表示抛物线的顶点坐标； ②当时，若直线与抛物线只有一个公共点，求的值； (3)已知是的中点．当变化时，试探究点的运动轨迹是否为一条直线或一条抛物线的一部分？若是，请直接写出该直线或抛物线的解析式；若不是，请说明理由．[提示：若，则，的中点坐标为] 【答案】(1)抛物线解析式：，点坐标： (2)①顶点坐标：；②当时， (3)中点的运动轨迹抛物线的一部分 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数交点问题，二次函数图像的平移． （1）待定系数法求二次函数解析式，根据一次函数解析式得出的坐标； （2）①先化为顶点式，再根据二次函数的平移的性质，即可求解； ②根据题意联立直线与抛物线解析式，令，即可求解； （3）联立直线与抛物线解析式，设交点横坐标为， 进而根据中点坐标求得的坐标，消去参数，得出的关系，即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线 解得： 因此，抛物线解析式为： 直线与轴交点，令： ， 因为， 所以：， 故点坐标为； （2）解：①抛物线向右平移个单位： ∴抛物线的顶点坐标为 ②当时，直线方程： 联立直线与抛物线： 化简： 移项整理： ， ， 因为只有一个公共点， ∴， 解得： （3）解：中点的运动轨迹抛物线的一部分 联立直线与抛物线： 整理得： 设交点横坐标为，则：， 中点的横坐标： 中点的纵坐标： 由，得 代入： 因此，中点的轨迹方程为： 3．（2025·河北石家庄·三模）2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水项目女子10米跳台决赛中，全红婵以总分分获得冠军金牌，成功实现卫冕．如果将全红婵的身体看作一点，则她在跳水过程中运动的轨迹可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系（图中标出数据为已知数据），她从跳台A处起跳到入水的过程中，竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系式． (1)已知全红婵在完成某次跳水动作时，她在距离点A水平距离，距离水面的位置在空中到达最高点． ①求a，h，k的值； ②求此次跳水入水点离起跳点A的水平距离． (2)全红婵进行第二次跳水训练时，她的竖直高度与水平距离之间满足函数关系式．她起跳后到达最高点D，从最高点D开始计时，到水面的距离与时间之间满足函数关系式．若全红婵在到达最高点后用了的时间完成了极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）动作之后才入水，则b的取值范围是多少？ 【答案】(1)①，，．② (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）①根据顶点式的含义可直接求出，，再将代入解析式可求出． ②令，可求出入水点离起跳点A的水平距离． （2）求出的最高点得出，令，得，根据到达最高点后用了的时间完成了极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）动作之后才入水，得出求解即可． 【详解】（1）解：①由题意，得，抛物线的顶点坐标为， ∴，，∴． 将代入，得， 解得． ②由①得，． 令，解得，（舍去）． ， ∴此次跳水入水点离起跳点A的水平距离为． （2）解：∵竖直高度与水平距离之间满足函数关系式， ∴点D的横坐标为，代入，得， ∴． 令，得，解得． ∵全红婵在到达最高点后用了的时间完成了极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）动作之后才入水， ∴，即， 解得． 4．（2026·河北石家庄·一模）已知抛物线过和． (1)与之间的数量关系是_____； (2)若该抛物线开口向下，当时，抛物线的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标； (3)对于该抛物线上的两点，，设，当时，均有，请直接写出的取值范围； (4)在（2）的条件下，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上对称轴右侧的一点，过点作轴的平行线交直线于点，过点分别作轴的平行线交抛物线的对称轴于点．过点作的平行线交轴于点，当四边形在直线，直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，请直接写出点的横坐标的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为，点的坐标为 (3)的取值范围为 (4)的值为或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一次函数函数的结合，函数与几何图形的结合，方程与不等式，矩形的判定和性质等知识点． （1）根据抛物线的对称性得到与之间的数量关系． （2）根据抛物线的图象和性质，得到点和点所在的位置，进而得到两点的坐标． （3）根据抛物线的图象和性质，判断当时，均有时的取值范围，进而得到的取值范围． （4）根据抛物线与坐标轴的交点坐标，得到直线和直线的表达式，由题意得四边形为矩形，根据当点位于第一象限时和当位于第四象限时，分两种情况讨论，得到对应的或，列出关于的一元二次方程，解得的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过和， ∴和的纵坐标相同， ∴和是关于抛物线对称轴对称的两点， ∴抛物线的对称轴为：，即； （2）解：∵抛物线的对称轴为：，由抛物线图象可知， ∴当时，抛物线的最高点的横坐标为，最低点的横坐标为， ∵点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 由（1）知抛物线的表达式为：， ∴代入点的坐标，得：，解得：， ∴抛物线的表达式为：，即， ∴抛物线的顶点坐标为：，即点的坐标为； （3）解：由（1）知抛物线的表达式为：， ∵抛物线上的两点，，当时，均有， ∴当时，， 根据抛物线的对称性可知，当时，也有， ∵，当时，有， ∴当，且，解得：时，满足要求，有， ∴的取值范围为； （4）解：由（2）知， ∴点，点，点， ∴设直线的表达式为：， 代入点，点，得直线的表达式为：， 设直线的表达式为：， 代入点，得直线的表达式为：， 点在抛物线上， ， 点均在对称轴所在直线上， ， 由题意得四边形为矩形， 如图，当点位于第一象限时，当与共线时，满足在直线之间的部分的面积恰好是矩形面积的一半， 此时四边形为正方形，， ， 即， 解得：， ∵点是对称轴右侧的一点， ∴，取， 如图，当位于第四象限时，对角线不在上时，令交对称轴于， 交于，根据矩形对称性，当时，则， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去）或， 综上，的值为或． 5．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线位于第一象限上的一点，过点分别作轴交于点，轴交于点，求的最大值； (3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的抛物线记为，与轴交于点，设的顶点的横坐标为，的长为． ①直接写出关于的函数解析式； ②若把点的横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”，当随的增大而增大，且抛物线将内（不计边界）的“整点”个数恰好平分（内“整点”不在抛物线上），直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)①当时，，当或时，；②或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，线段和的最值问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移问题； （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，求得直线的解析式为，进而分别表示出，根据二次函数的性质，即可求解． （3）①求出原抛物线顶点坐标，则由平移的性质可得的顶点坐标为，则的解析式为，进而得到，则，据此求解即可； ②根据①所求求出随增大而增大时，的取值范围，再根据、、的坐标确定内的整点个数和整点坐标，再分图和图两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入到中得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）当时，， ∴ 设直线的解析式为代入， 解得： ∴直线的解析式为， 设，则 ∴ ∴ ∴的最大值为； （3）解：①∵原抛物线解析式为， ∴原抛物线的顶点坐标为 ∵将此抛物线沿水平方向平移，得到的抛物线记为w，w的顶点的横坐标为m， ∴w的顶点坐标为， ∴w的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， 当，即时，则， 当，即或时，则； ②如图2所示， 当时，此时函数开口向下，对称轴为y轴，那么当时，d随m增大而增大， 当时，此时函数开口向上，对称轴为y轴，那么当时，d随m增大而增大； ∵， ∴内的整点有共6个整点， 如图3所示，当抛物线w的对称轴右侧平分整点个数时， 则， 解得， ∴； 如图4所示，当抛物线w的对称轴左侧平分整点个数时， 则， 解得； 综上所述，或． 6．（2026·河北秦皇岛·一模）已知二次函数的最大值是，其图象记为抛物线． (1)求出的对称轴及的值； (2)当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； (3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②点在轴的负半轴上，过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的横坐标． 【答案】(1)对称轴为直线， (2) (3)；或 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线计算即可，再根据当时，，列式即可得出的值； （2）先得到当和对应的的值，再得到二次函数图象在时的增减性，即可得到、的值，最后根据列式计算即可； （3）先将抛物线的解析式表示为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，得到平移后的抛物线的解析式；设点，即可得到点，，的坐标，进而可表示出，的长，最后根据列式计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， 当时，函数的最大值是，最小值是， 当时，取最大值，当时，取最小值， 即，， ， ， 解得，（负值舍去）， ； （3）解：， 则， 设点，则点，，， ， ， 当时，即， 解得或或（不合题意，舍去）， 当时，点的横坐标为或． 7．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图．某同学利用电脑软件来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式（，均为常数），通过输入不同的，的值，在电脑软件的展示区得到对应的抛物线．已知所得抛物线恰好经过和两点． (1)求与抛物线对应的、的值； (2)若把抛物线对应的、的值交换后，再次输入得到新的抛物线． ①求抛物线与轴交点的坐标； ②判断能否经过的顶点，说明理由； (3)作一直线：与抛物线交于点，，与抛物线交于点，，若，直接写出的值． 【答案】(1)的值为，的值为0 (2)①，；②抛物线经过的顶点，理由见解析 (3) 【分析】（1）将和代入解析式，列出方程组，求解即可； （2）根据题意求出抛物线的解析式，①令，代入求的值即可；②先求抛物线的顶点坐标，把顶点的横坐标代入的解析式，判断纵坐标是否相等即可； （3）根据题意，结合图象可得，分别把代入抛物线和抛物线的解析式，计算出交点的横坐标，从而得到，，再根据，列方程，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过和， ，解得， 则与抛物线对应的的值为，的值为； （2），， ：， 抛物线是由抛物线对应的、的值交换所得， ：， ①当时，，解得，， 则抛物线与轴交点的坐标为，； ②抛物线经过的顶点，理由如下， ， 的顶点坐标为， 当时，， 则抛物线经过的顶点； （3）的值为， 理由如下：直线：与抛物线和抛物线均有两个交点，的顶点坐标为， 由图可得，， 当时，，解得，则， 当时，，解得，则， ，即， ，即， 左右平方，整理得，， 解得， 则的值为． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，求顶点坐标，解方程等知识点，正确掌握相关知识是解题的关键． 8．（2025·河北石家庄·三模）2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水项目女子10米跳台决赛中，全红婵以总分分获得冠军金牌，成功实现卫冕．如果将全红婵的身体看作一点，则她在跳水过程中运动的轨迹可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系（图中标出数据为已知数据），她从跳台A处起跳到入水的过程中，竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系式． (1)已知全红婵在完成某次跳水动作时，她在距离点A水平距离，距离水面的位置在空中到达最高点． ①求a，h，k的值； ②求此次跳水入水点离起跳点A的水平距离． (2)全红婵进行第二次跳水训练时，她的竖直高度与水平距离之间满足函数关系式．她起跳后到达最高点D，从最高点D开始计时，到水面的距离与时间之间满足函数关系式．若全红婵在到达最高点后用了的时间完成了极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）动作之后才入水，则b的取值范围是多少？ 【答案】(1)①，，．② (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）①根据顶点式的含义可直接求出，，再将代入解析式可求出． ②令，可求出入水点离起跳点A的水平距离． （2）求出的最高点得出，令，得，根据到达最高点后用了的时间完成了极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）动作之后才入水，得出求解即可． 【详解】（1）解：①由题意，得，抛物线的顶点坐标为， ∴，，∴． 将代入，得， 解得． ②由①得，． 令，解得，（舍去）． ， ∴此次跳水入水点离起跳点A的水平距离为． （2）解：∵竖直高度与水平距离之间满足函数关系式， ∴点D的横坐标为，代入，得， ∴． 令，得，解得． ∵全红婵在到达最高点后用了的时间完成了极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）动作之后才入水， ∴，即， 解得． 试卷第2页，共117页 公司3 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $