6.4 平面向量的应用-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课时卷

号D=(9,9),所以P的坐标为(9,9)】 入+2=2m, 6.解：由a=2b,知 2-cos'a=m+2sin a, /=2m-2, cos2a+2sin a=-sin2a+2sin a+ λ2-m=cos2a+2sina, 1=-(sina-1)2+2,.-2≤cos2a+2sina≤2，.-2≤x2- m=(2m-2-m<2∴≤m<2,“六=20n2=2-品 m m 一6<2-品<1…六的取值范围为[-6，山。 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 【基础过关】 1.A[解析：a·b=一x十6=3，故x=3.故选A.】 2.A[解析：a=√32+4=5,1b1=52+122=13.a·b= 3X5+4X12=63.设a与b的夹角为0，所以cos0=写好3 器放选A】 3.AD[解析：a=b=2,故A正确，B,C显然错误，a一b= (1,一1)，所以(a一b)·b=1一1=0，所以(a一b)⊥b.故D正确. 故选AD.1 4.B[解析：由题意可得a·b=x·1+1×(-2)=x-2=0,解 得x=2.再由a十b=(x+1,-1)=(3,-1),可得|a+bl= √10.故选B.】 5.A【解析：由题设知AB=(8,-4),AC=(2,4),BC= (-6,8),所以AB.AC=2×8+(-4)×4=0,即AB⊥AC.所以 ∠BAC=90°，故△ABC是直角三角形.故选A.] 6.B[解析：：a=(2,0),b1=1,∴a=2,a·b=2×1× cos60°=1..|a+2b|=√a2+4a·b+4b=2√3.故选B.】 7.B【解析：：四边形OABC是平行四边形，.O才=C克，即 (4-0,2-0)=(a-2,8-a),.a=6,0A=(4,2),0元= (2,6),设向量0i与0心的夹角为0，c0s0= OA·O心 1OA1ō 4×2+2×6 十2X√2十=艺，又0∈(0，x)·OA与O心的夹角为 牙故选B】 8.4[解析：：a+2b=(1,5),.a·(a+2b)=4.】 9.一1【解析：由题意得ma一b=(m十1，一m),根据向量垂直 的充要条件可得1×(m十1)+0×(-m)=0,所以m=-1.】 10.-2√0[解析：由|a+b2=|a2+1b2,得a·b=0,即 m+2=0,解得m=一2.所以a+b=(-1,3),所以 1a+bl=/10.] 1.解：1)设c=(z,,由1cl=3V2c/a可得y叶x=0。所 x2+y2=18, 以x=一3·或。故c=（一3,3)或c=(3,一3). y=-3, (2)因为a=√2，且a⊥(a-2b),所以a·(a-2b)=0,即a2 2a6=0.所以ab=1,故ms0=合治号因为9c0, 所以0=平 12.解：(1)因为向量a=(1,W3),b=(一2,0)，所以a一b= (1,W3)-(一2,0)=(3，W3),设a-b与a之间的夹角为0，所以 m=侣停因为0c0,所以向量a一6与 a的夹角为晋 (2)la-tb12=a2-2a…b+6=4t+4+4=4(e+分）广+ 3.易知当t∈[-1,1]时，|a-tb|2∈[3,12]，所以|a一tb|的取 值范围是[√3,2√3] 【能力提升】 1.B[解析：由m十n=(2λ十3,3)，m一n=(一1，一1)， (m十n)⊥(m-n),可得(m十n)·(m-n)=(2入十3,3)· (-1,-1)=-2入-6=0，解得入=-3.故选B.】 2.ABC[解析：AB=(2,3),AC=(1,k),.BC=AC-AB= (-1,k-3).若∠A=90°，则AB.AC=2X1+3×k=0,.k= -号若∠B=90,则A市.BC=2X(-1)十3k-3)=0,k= 号若∠C=90,则衣.武=1×(-1D+(0-3)=0,= 3生y正，故所求k的值为-号或号或生y正，放选ABC】 2 2 3.C[解析：设点P的坐标为(x,0),则A市=(x一2，-2)， BP=(x-4,-1).Ap·Bp=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)= x2-6x+10=(x-3)2+1,所以当x=3时，AP·BP有最小值 1.此时点P的坐标为(3,0).故选C.】 4.A【解析：因为△ABC是锐角三角形，所以A+B>受，即 受>A>登-B>0,又因为函数y=sinx在(0，乏)上单调递 增，所以sinA>sin(受-B）=cosB,所以p·9=sinA- co0sB>0,设p与g的夹角为0，所以os0=员>0，又因为 p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角.故选A,] 5.【解析：以A为原点，AB所在直 Y个 线为x轴、AD所在直线为y轴建立如 图所示平面直角坐标系.：AB=√2， BC=2,∴.A(0,0),B(2,0),C(√2,2)， D(0,2),:点E在边CD上，且D龙= B 2成(22迹=(2g22 庞-=(-号2)小A在.成=-青+4=器】 6.解：(1)AD=AB+BC+CD=(x+4,y-2),.Di=-Ad= (-x-4,2-y).又BC∥DA,且BC=(x,y),x(2-y) y(-x-4)=0,即x+2y=0. (2)AC-AB+BC-(x+6,y+1),Bd=B武+Cd=(x-2,y-3). :AC⊥Bi,.AC·Bi=0,即(x+6)(x-2)+（y+1) (y一3)=0.由(1)知x十2y=0,与上式联立，化简得y2一2y 3=0,解得y=3或y=-1.当y=3时，x=-6,此时AC (0,4),Bd=(-8,0);当y=-1时，x=2,此时AC=(8,0), Bd=(0,-4),∴.Sa边带Acm=号1C·1Bd=16. (一13)十（一5)×（一15）=一3(J).∴.力F,F2对质点所做的功 6.4平面向量的应用 分别为一99J和一3J. 6.4.1平面几何中的向量方法 (2)W=F.AB=(F1+F2)·AB=[(3,4)+(6,-5)]·(-13, 6.4.2向量在物理中的应用举例 -15)=(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)× (-15)=一117+15=一102(J)..合力F对质点所做的功为 【基础过关】 -102J. 1.B[解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为y1十2. 【能力提升】 注意速度是有方向和大小的，是一个向量.故选B.】 1.B[解析：以A为坐标原点，AByA 2.D[解析：F做的功为F·s=|F1s·cos60°=10×14X 所在直线为x轴，AD所在直线为yD 合=70，故选D,】 轴，建立如图所示的直角坐标系.设 3.C[解析：AB=(19,4)-（-2,-3)=(21,7),AC= |AD1=a(a>0),则A(0,0),C(4,a), (-1,-6)-(-2,-3)=(1,-3),AB·AC=21-21=0, D(0,a),E(2,0),所以D范= ∴AB⊥AC.则∠A=90°，又1AB1≠AC,∴△ABC为直角三角 (2,-a),AC=(4,a).因为Di⊥AC,A E B x 所以DE·AC=0,所以2X4+(-a)·a=0,即a2=8.所以a= 形.故选C.】 4.BD【解析：根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最 2√2，所以Di=(2,-2√2)，所以D=√2+（-2√2)2=2√3. 少.船垂直到达对岸时航行的距离最短.故选BD.】 故选B.】 5.D【解析：作O才=f,O范=F2,O元=-G(图略)，则O心= 2.B[解析：如图所示，D为BC边的中点， OA+OB,当|F1|=|F2|=|G时，△OAC为正三角形，所以 则A市=号(AB+AC.因为3A府-AB ∠AOC=60°，从而∠AOB=120°.故选D.】 6.D[解析：∵Oi·Oi=Oi.O心，∴.(Oi-O心)·oi=0, AC=0,所以3AM=2A市，所以AM ∴Oi.CA=0,∴OB⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥AB,∴.O为三 号动，所以S6w=号San=合S6Ac, 条高所在直线的交点.故选D.】 B 故选B.] 7.D[解析：AC·Bd=0,∴AC⊥BD.∴四边形ABCD的面 3.C[解析：假设BC的中点是O,则AC-AB=(AC+AB)· 积S=之1aC·|B1=号×V而×2V而=10.故选D.1 (AC-AB)=2A0·BC=2A立.BC,即(A0-AM·BC= 8.1 【解析：：O巾=Oi+分(AB+A心)，∴O-Oi- Mò·BC=O,所以Mò⊥BC,所以动点M在线段BC的中垂线 上，所以动点M形成的图形必通过△ABC的外心，故选C.】 合（恋+AO,A市=(A边+AG,:AP为R△ABC斜边BC 4.10[解析：设重力为G,每根绳的拉力分别为F1,F2,则由题 意得F,F2与-G都成60°角，且|F|=|F2|,F1+F2十G=0. 的中线.∴.|AP=1.】 .F=|F2|=|G=10N,.每根绳子的拉力都为10N.】 9.0.5【解析：如图所示，实际=十 v*=4十2，|4|=20，|2|=12， V实标 5.-号【解析：F市-Fò+O办，F成-F动+O成，且O心=-成， ∴.实际=√M-%下=√202-12= V2 所以F市.Fi=(Fd+O市).(F0+O)=F心-O市=号 8 16(km/h.所需时间t=6=0.5h). A .该船到达B处所需的时间为0.5h.] 水流方向 1=-81 10.一号【解析：如图所示，以 y本 6.解：如图所示，设水的速度为，风的速度为2，”十=a.可 求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3km/h.设船的实际航 A为坐标原点，以AB所在直线 C 为x轴，以AD所在直线为y轴建 D F 行速度为v,方向由南向北，大小为2√3km/h.船本身的速度为 E 立平面直角坐标系，则A(0,0), 3,则a十y3=v,即y=v一a,由数形结合知，3的方向是北偏西 B(2,0),D(0,1),.C(2,1) (A)0 ⊙ 60°，大小是√3km/h. E,F分别为BC,CD的中点，∴E(2,）,F1,1),A正+ A市=(3，)，d=(-21),(+a…动=3×(-2)+ 号×1=-号1 6.4.3余弦定理、正弦定理 11.证明：设AB=a,AC=b,AD=e,Di=c,DC=d,则a=e十c, b=e+d,所以a2-b=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d- 第1课时余孩定理 d,由条件知，a2=c2-d+b,所以e·c=e·d,即e·(c-d)= 【基础过关】 0,即AD·C范=0，所以AD⊥BC. 1.B【解析：由余弦定理，得cosA=+之-a=4十25-19 2bc 2×2×5 12.解：(1)A方=(7,0)-(20,15)=(-13，-15)，w1=F· 1 AB=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)= ,又0°<A<180,所以A=60.故选B.】 -99(J),w2=F2·AB=(6,-5)·(-13,-15)=6× 2.A[解析：由余弦定理得c2=12+22-2×1×2cos60°=3，所 79 以c=√3.所以△ABC为直角三角形，A=30°.故选A.] 3.B【解析：由余弦定理得c0SB=Q+C-:-25十64-49 2ac 2×5×8 合又0<B<180,所以B=60,所以A+C=120.故选B1 4.B【解析：a>b>c,∴.C为最小角且C为锐角，由余弦定 理，得sC=+。_+4-9又C 2ab 2X7×4√3 为锐角，心C=石故选B】 5.A【解析：a2-6+c2=V5ac,cosB=+C-位 2ac 票-受又B为△ABC的内角，B-云放选A】 6.A[解析：由余弦定理c2=a2十b一2 abeos C=(a十b)2- 2ab-2abcos C,(a+b)2-c2=2ab (1+cos C)=2ab(1+ c0s60)=3ab=4,ab=亭故选A】 7.A【懈析：在△ABC中，因为cos会-若，所以1中A 2 会+分，所以0sA=名，由余孩定理，知+L-点，所以 b1 2bc b2+c2一a2=2b,即a2十b2=c2,所以△ABC是直角三角形.故 选A.】 &2【得折asC+asB=6.t。之+c.十- 2ca 器-a21 9.5 3 2 【解析：由余弦定理，可得©osA= AC+AB-BC-4+E=合又0<A<,A 2AC·AB 2×3×4 吾，所以smA=复则AC边上的高为A=ABsin A= 3x9-￥9】 10.√19[解析：由题意得a十b=5,ab=2.由余弦定理，得c2= a2+b-2 abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2= 19,所以c=√19.] 11.解：(1).(a十b十c)(b十c-a)=3bc,.a2=b十c2-bc,而 +-2bccos A,:2cos A=1,'cosAAE (0)A=号 (2)在△ABC中，a2=6+c2-2 bccos A,且a=√3，∴.(3)2= :+2-2c·之=+2-bc.①又b+c=23,与①联立，解 得c=3什c=25:b=6=尽，△ABC为等边三角形. bc=3, 12.解：(1)：cosA=2cos3号-1,2cos3分+cosA=0,∴2cosA+ 1=0,c0sA=-7A=120. (2)由余弦定理，知a2=+c2-2 bccos A,又a=2V3,b=2, c0sA=-2,(2③2=2+2-2X2×cX(-7),化简，得 c2十2c-8=0,解得c=2或c=-4(舍去) 80无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 【能力提升】 1.B【解析：6=ac,c=2a,∴=2a,cosB=Q+C-&= 2ac E士2延-子故选B.】 2a×2a 2.D[解析：设该等腰三角形为△ABC,且A,B,C所对的边分 别为a,b,c,顶角为C,周长为l,因为l=5c,所以a=b=2c,由余 弦定黑，得omsC-十城兰-装=令故选D】 2ab 3.B【解析：由余弦定理，得a2=+c2-2 bccos A,因为A= 3,a=4,所以16=+c2-bc,因为B+c2≥2bc,所以16+bc>≥ 2bc,即bc≤16，当且仅当b=c=4时等号成立.故选B.] 4.C[解析：.b=3,c=4,且△ABC是锐角三角形，∴.cosA= +C-a>0,且c0sC=+-C>0,7<a2<25,万< 2bc 2ab a<5.故选C.] 5.一19[解析：设三角形的三边分别为a,b,c,依题意得，a=5, b=6,c=7..AB.BC=|Ai1·|BC1·cos(π-B)=-ac· cosB.由余弦定理，得=a2十c2-2ac·cosB,.-ac· c0sB=2(8-a2-c2)=2(62-52-7)=-19,AB· BC=-19.1 6.解：(1)由已知得，-cos(A十B)+cosA·cosB-√3sinA· cosB=0,即sin Asin B-√3 sin Acos B=0.因为sinA≠0，所以 sinB-√3cosB=0.又cosB≠0，所以tanB=√3.又0<B<π， 所以B=子 (2)由余弦定理，得b=a2十c2-2 accos B.因为a十c=1, c0sB号，所以公=3(a-号）)广+子又a+e=1,所以0<a< 1,所以<B<1,即号<<1. 6.4.3余弦定理、正弦定理 第2课时正孩定理 【基础过关】 1A【解析：根据正弦定理，得密合号-三赦选八】 2.B【解析：A=105°，B=45°，.C=30°.由正弦定理，得c= bsin C_22sin30°=2.故选B.】 sin B sin 45 a 3.B【解析：由题意及正弦定理可知，sA=6=nB,则 sinB=1,又B∈(0，π)，故B为直角，△ABC是直角三角形.故 选B.] 4ACD【解析：对于选项A,由正弦定理品A二品B b sinC=2R,可得a:b:c=2 Rsin A:2 Rsin B:2 Rsin C= C sinA:sinB:sinC,故A正确；对于选项B,由sin2A=sin2B, 可得A=B,或2A十2B=元，即A=B或A十B=受，故B错误； 对于选项C,在△ABC中，由正弦定理可得，sinA>sinB台a> b台A>B,因此A>B是sinA>sinB的充要条件，故C正确；对 b 于选项D,由正弦定理ABsC=2R,可得右边= b+c sin B+sin C 2 Rsin B+2 Rsin C=2R=左边，故D正确.故 sin B+sin C 20sin60一5，且c>b,∴.C②>B,故有两解；选项C中，A 18 选ACD.】 90°，a=5,c=2,∴b=√a2-c=√/25-4=√2I,有解；选项D 5.D【解析：由正弦定理品A=D得50=”B b 15 10 中，“万mB= b 25×三=品，又b<a,角B只 5 30 ∴.sinB=10sin60°10XS =15 -5.:a>b,A>B,又A= 有一解.故选ABD.] 15 3 3.(W3,2)【解析：在△ABC中，B=60°，c=2,由正弦定理 60°，∴.B为锐角.∴cosB=√1-sinB= 3 BC得c=船吕若此三角形有两解，则必须清足的 b 选D.] 6.D[解析：在△ABC中，因为A:B:C=1：2:3,所以B= 条件为c>b>csin B,即V3<b<2.] 2A,C=3A,又A+B+C=180°，所以A=30°，B=60°，C=90°，所 4.(1,2)[解析：因为A十B十C=π，C=2B,所以A=π一3B> 以a:b:c=sinA:sinB:sinC=sin30°：sin60°：sin90°= 0,所以0<B<音，所以号<cosB<1,1<2cosB<2.又台- 1:√3：2.故选D.] 7.C【解析：由正弦定理和已知条件，得4E 2 曲Sm2晋-2osB,故1K合<2.】 sin B sin B sin Bsin 30 5.①②③[解析：A>B台a>bsin A>sinB,故①成立.函数 ∴sinB=√3>1，∴.此三角形无解.故选C.】 y=cosx在区间[0，π]上单调递减，：A>B,.cosA<cosB,故 84 [解析：△ABC的外接圆的直径为2R= a sin A ②成立.在锐角三角形中，：A十B>受，0<受-B<A<受， 2 43.1 sin 603 又函数y=simx在区间(0，号)上单调递增，则sinA> 9子或5 【解析：由正弦定理，得nA-25如B_×号 sin(受-B）,即sinA>cosB,同理sinB>cosA,sinA+ b sinB>cosA+cosB,故③成立.】 号，又AE(0,e>6,A>BA=号支等】 6.解：由正弦定理，得in A-sin Bsin C,即sinB-snC 【解析：在△ABC中，由c0sA=号osC= 21 13 13,可 5=2,b=2sinB,c=2sinC,△ABC的周长为L=a+b+ 得sinA=3 5·snc二1多，所以sinB=sin(A+C)=sinA c=3+2sin B+2sin C=3+2sin B+2sin (-B)=3+ cos C+cos Asin C= 65,又a=1,故由正弦定理得，b 6 3sinB+V3cosB=+2V5sin(B+g)入，又B∈(o,), "界-器】 a 11.解：snA=snCa= csin A_=10sin45°=10√2.B= B+吾∈（答，），sim(B+吾)∈（分，1]，Le sin C sin30° (2√5,3√.即△ABC的周长的取值范围为(2√5,3√3]. 180°-(A+C)=180-(45+30)=105,又：3 B-sin C C 6.4.3余弦定理、正弦定理 :6=csinB=10sim105°=20sin75°=20×5+2=5W6+ 第3课时正孩、余孩定理与三角形的 sin C sin30° 4 边角关 √2). 【基础过关】 卫.解：由正弦定理，得Bc得smB=C=因 C 2 1.AC[解析：由正弦定理，得3sinA=2 sin Bsin A,所以sinA· 为b>c,所以B>C=30°，所以B=60°或120°.当B=60°时，A= (2sinB-√3)=0.因为0<A<π，0<B<π，所以sinA≠0， 90°，a=csinA_6sin90° sin C =12.当B=120°时，A=30°，a= sin 30 s血B=号，所以B=受或警故选AC】 3 sinC=sn30=6.所以a=6或12. csin A_6sin30° 2.A【解析：设直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2十b2= c2,三边都增加x,则(a十x)2十(b十x)2一(c十x)2=a2十b2+ 【能力提升】 2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)x+x2>0,所以新 l.B【解析：由正弦定理，知sinA=sinC,sinC=cosC, a 三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形. ∴cosC=sinC,.tanC=1,又：0°<C<180°，∴C=45°.故 故选A.】 选B.] b 3.C【解析：由正弦定理sinA=snB-sinC,及cosA C 2.ABD【解析：选项A中，·sinA=sin Bsin B= BC得票合黑是-票名即unA=mB= b 16×sin30°=1，B=90,即只有一解；选项B中，”sinC 8 tanC,所以A=B=C,即△ABC为等边三角形.故选C.] 4.A【解析：由余弦定理，得6.+二心十a·。+二-止 2bc 2ac c2→c=1,即△ABC的周长为5.故选A.] 5.C【解析：由iA=sinB和3sinA=5sinB,得3a=5b,即 b=是a,又b十c=2a,c=子a,曲余弦定理，得c0sC= 7 。子=一合C-警放选C】 2ab 6.A[解析：：asin A-bsin B=4 csin C,∴.由正弦定理，得a2- =4c2,即a2=4r2十B,由余弦定理，得cosA=+c-a- 2bc -色-=6故选A】 +2-4c2+)=3c= 2bc c 7.ABC[解析：对于选项A,根据余弦定理，可得a2=b十c2 2 bccos A,故A恒成立；对于选项B,根据正弦定理边角互化，可 得asin B=bsin A台ab=ab,故B恒成立；对于选项C,根据正弦 定理，得a=bcos C+ccos B→sinA=sinB·cosC+sinC cosB=sin(B十C)=sinA,故C恒成立；对于选项D,根据正弦 定理边角互化，可得sin Acos B十sin Bcos C=sinC=sin(A十 B)=sin Acos B++cos Asin B,sin Bcos C=cos Asin B, sinB≠0，所以cosC=cosA,只有当A=C时，等式成立，故D 不恒成立.故选ABC.】 8.号V3【解析：由a2+-2=ab,得cosC=。+-c 2ab 分，：Ce(0,C=音，由正弦定理AC得a= -=√3.] sin C 2 9.直角三角形【解析：，b=acos C,.sinB=sin Acos C,则 sin(A+C)=sin Acos C.即cos Asin C=0,,A,C∈(0，π)， sinC≠0，cosA=0,A=受，△ABC为直角三角形.】 10.6sin(B+若)十3【解析：在△ABC中，由正弦定理得 AC 3 AB mB9'如-(B+号刀 -3,即AC=25simB,AB= 2 23m(写-B),所以三角形的周长为BC+AC+AB=3+ 23snB+2sm(答-B）-3+3W3snB+3osB-6on(B+若)+3】 山.解：1)油aosC+厚=6，得s血Acos C+-号nC=5nB 因为sinB=sin(A+C)=sin Acos C十cos Asin C,所以 号nC=cAi血C因为nC≠0，所以cmsA-怎因为0< A<,所以A=晋 (2)由正弦定理，得sinB=sinA-号.所以B=子或.①当 B=夸时，由A=若，得C=受，所以c=2:②当B=时，由 A=石，得C=,所以c=a=1,综上可得c=1或2. 12.解：1)由余弦定理，得c0sB=+-心，cosC 2ac 2ab 8是=2a年。即+· a.cos B 2ab 2ac ·a2+-元9 一2a+c,整理，得a2+c2-B十ac=0,∴cosB=+e-& b 2ac 2股=-合又0<B<B=号 2ac 3 （2)将6=V压a+c=4,B=子代入=a+-2 B,得 18=d2+(4-a)2-2a4-a)·cos子，即a2-4a+3=0.解得 a=1或a=3. 【能力提升】 1.C[解析：因为acos B+bcos A=4sinC,所以由正弦定理可 得sin AcosB十sin BeosA=架S,化简得sin(A+B)= 4架C,在△ABC中，sn(A十B)=nC,解得R=2,所以 △ABC外接圆的面积为S=πR2=4π.故选D.] 2.A[解析：因为在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是 a,b,c,且8b=5c,C=2B,所以8sinB=5sinC=5sin2B= 10 sin Bos B,又sinB≠0，所以cosB=号，所以cosC- c0s2B=2cosB-1=云故选A.】 3.D【解析：由A=子，smB=2easC→8是=厄→ a(空-da（9-9+号mc-gc-1又 cos C cos C C∈(0，x),则C=子，所以B=受，所以△ABC为等腰直角三角 形.故选D.】 4.2号【解析：2 2in Asin Beos C=sinC,2 abeos C=d2→ a2+-c2=c2→a2+E=2,osC=2+,-c=2+ c2 2ab 4ab 合，0<C<0<C≤骨，当且仅当a=b时取等号.即角C 的最大值为牙】 5.103【解析：由余弦定理得=a2+d2-2ac·cosB=5ac, 3 由正弦定理，得simB=5 sin Asin C=-子，所以sin Asin C- 3 sinB=105.】 所以盟品-m品c=9 6.解：(1)在△ABC中，设其外接圆半径为R,根据正弦定理得 加A录mB=泉inC-京代入也-n0B a sin B-sinA,得 结=产。所以-d=a①因为cos(A-B)+cosC 1-cos2C,所以cos(A-B)-cos(A+B)=2sin2C,所以sinA sinB=inC.由正弦定理，得录·泉-（录）广，所以ab=.② 把②代入①得，b2-a2=c2,即a2+c2=.所以△ABC是直角 三角形. (2)由(1)知B=艺，所以A+C=艺，所以C=交-A.所以 snC=sin(受-A)=cosA根据正弦定理，得告- sinA+sinC=sinA+cosA=√2sin(A+平).因为ac<ab- 2h.即此时两船间的距离为2h米.故选A.] sin B 30 C,所以a<,所以0<A<受，所以冬<A+冬<受所以号 30° B sin(A+于)<1，所以1<Esin(A+)<E,即'的取值 范围是(1W2) 7.A[解析：在△PAB中，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB= 6.4.3余弦定理、正弦定理 60m,sin15°=sin(45°-30)=sin45°cos30°-cos45°· 第4课时 利用正弦、余孩定理 sin30°=6-E,由正弦定理，得PB=ABsin30°=30(5十 解决实际问题 4 sin15° 【基础过关】 V②)m,所以建筑物的高度为PBsin45°=30W6+V2)X号- 2 1.A【[解析：∠ABC=180°-45°-105°=30°，在△ABC中，由 (30+30√3)m.故选A.] 390得AB-100×号=502(m.故选A】 AB 50 8.210[解析：由题意知∠ACB=120°，在△ACB中，由余弦定 理，得AB2=AC+BC-2AC·BC·cos∠ACB=902+1502- 2.B【解析：如图所示，∠ACB=90°.又因 ↑北 4 2×90X150×(-7）=44100.AB=210,DE=210.】 为AC=BC,所以∠CBA=45°.易得B= 30°，所以a=90°-45°-30°=15°.所以点 9.7[解析：因为A,B,C,D四点共圆，所以D十B=元.在 309 A在点B的北偏西15°方向上.故选B.】 △ABC和△ADC中，由余弦定理，可得82+52-一2×8×5X 3.D【解析：如图所示，C=180°-60°- 609 c0s(x-D)=32+53-2X3X5Xc0sD,解得c0sD=-7,代入 75°=45°，AB=10海里.由正弦定理，得 10 BC 得AC=3+52-2×3×5×(-3)=49,故AC=7km,即AC 2 sin45一sn60,所以BC=5V6海里.故 的长为7km.】 选D.】 10.30√2【解析：如图所示，在 北 △ABC中，∠BAC=30°， ∠ACB=105°，则∠ABC=45°， AC=60km,根据正弦定理，得 60° 15 BC-ACsin∠BAC-60sin30° = 230° 东 sin∠ABC sin45° A 人60°75 B 30√2(km).] 11.解：(1)依题意，知∠BAC=120°，AB=6,AC=5×2=10.在 4.AB[解析：如图所示，在△ABC中，AB=x,BC=3,AC= △ABC中，由余弦定理，得BC=AB2十AC2一2AB×ACX √3，∠ABC=30°，由余弦定理得AC=AB2十BC-2AB· cos∠BAC=62+102-2×6×10×cos120°=196，解得BC= BC·cos∠ABC,即(W3)2=x2+32-2x·3·cos30°.∴x2- 14,m-BC=7 n mile/h,所以渔船甲的速度为7 n mile/h 2 3√3x+6=0,解得x=2√3或x=√3.故选AB.】 (2)在△ABC中，AB=6,∠BAC=120°，BC=14,∠BCA=a.由 个北 30° 150° 正弦定，科出-用血。-A2如 6 BC 14 3 3 3W3 C 14 5.D[解析：如图所示，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，所 12,解：在△ABC中，因为cosA=号osC=子，所以snA 以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10海里，在Rt△ABC 中，由正弦定理，可得AB=5海里，所以这艘船的速度是10海 imC=手从而snB=sn[x-(A+C]=sin(A+C 5 里/时.故选D.] sin Acos C+cos Asin C-5> 品×是+×号-器由 AB= sinB,得AB=AC AC →东 ·snC=1窖×号=1040(m).所以索道 63 15° A 65 60° AB的长为1040m. 【能力提升】 D10 小 1.ABC[解析：对于选项A,利用三角形内角和定理先求出C= 6.A[解析：如图所示，BC=√3h,AC=h,∴.AB=√3h十h 一A-B,再利用正弦定理B一sC解出c:对于选项B,直 81 接利用余弦定理c2=a2十b2一2 abcos C即可解出c;对于选项 C,先利用三角形内角和定理求出C=π一A一B,再利用正弦定 理AC解出c;对于选项D,不知道长度，显然不能求。 故选ABC.】 2.D【解析：方法一设AB=x,则BC=x.∴.BD=10十x. an∠ADB-品-1D千号解得x=55+1D.A点离 地面的高AB等于5（√3+1）m.方法二.∠ACB=45° ∠ADC=30°，.∠CAD=45°-30°=15°.由正弦定理，得AC= CD 10 sn∠CAD·sim∠ADC=sniF·sm30=56W6+2.AB= ACsin45°=5(3+1).即A点离地面的高AB等于5(W3+ 1)m.故选D.] 3.B[解析：依题意，可得AD=20√10，AC=30√5，又CD=50,所 以在△ACD中，由余弦定理，得os∠CAD=AC土AD-CD 2AC·AD (30W5)2+(20√0)2-50=6000-=2」 2X305×20√10-600V2=乞，又0<∠CAD< 180°，所以∠CAD=45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为 45°.故选B.1 4.A[解析：如图所示，设水柱的高度是 hm,水柱底端为C,则在△ABC中， ∠BAC=60°，AC=h,AB=100,BC=√3h, 根据余弦定理得（√3h)2=h2+1002一2× h×100×cos60°，即h2+50h-5000=0,即 (h-50)(h+100)=0,解得h=50或h= 一100（舍去），故水柱的高度是50m.故选A.] 5.号km,9km,2km【解析：在△ABC中，AB-AC 1.5×8=12(km).在△ACD中，AD-AC=1.5×20=30(km). 设AC=xkm,则AB=(12+x)km,AD=(30+x)km.在 △ABC中，cos∠ACB=2+400-（Q2+x)2=256=24x 2×20×x 40x 32-3红，在△ACD中，cos∠ACD=+115630+) 5x 68x 256602=64-5工.“B,C,D在一条直线上，：64-15= 68x 17x 17x -32延，即64气5-3与32，解得x-经即AC=9k如m 5x 17 5 AB=132km,AD=258km.】 7 7 6.解：设缉私船应沿CD方向行驶t小时（在D点），才能最快截 获走私船，则CD=10√3t,BD=10t,在△ABC中，由余弦定理， 得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=(√3-1)2+22 2(W5-1)×2×cos120°=6.BC=√6.又 BC sin∠BAC sn2%Bcsm∠Asc=AC:∠BAc=2sn120 AC BC √6 号，又0r<∠ABC<60,∠ABC=5,B点在C点的正东 方向上，∴∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理， 得sn2 BCD-sin儿Bsin∠BcD=BD·CBD- BD CD CD 10t·sin120°_1 10w3t .又0<∠BCD<60°，∠BCD=30°，缉 82 无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD中，∠CBD=120°， ∠BCD=30°，∴.∠CDB=30°，∴.BD=BC,即10t=√6.∴.t= 小时≈15分钟.“年私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最 快截获走私船，大约需要15分钟 7.解：(1)如图，作SC⊥OB于点C,依题意∠CSB=30°， N C --1S B ∠ASB=60°.又SA=√3，故在Rt△SAB中，可求得AB= SA an30=3,即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为3米.在 Rt△SCO中，SC=3,∠CSO=30°，OC=SC·tan30°=√3.又 BC=SA=√3，故OB=2√3，即立柱的高度OB为2√3米 (2)如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面 直角坐标系，连接SM,SN.设M(cosa,sina),a∈[0,2x),则 N-cosa,-sina),由(1)知S(3,-√③).故M=(cosa-3,sina十V3), Si=(-cosa-3,-sina+√3).Si.Si=(cosa-3)· (-cosa-3)+(sina+3)·(-sina十3)=11.1SM·1Sd1 √(cosa-3)2+(sina+√3)2·√(-cosa-3)2+(-sina+V3)2- √13-(6cosa-2√3sina)·√13+(6cosa-2V3sina)- √i69-[43cs(a+晋)订-√i9-48cs(a+吾).由ae [0,2x)知1S脑1·|i1∈[11,13]，所以cos∠MSN= :高c[最]，知∠Asv为税角，放当视角 ∠MSN取最大值时，c0s0=贵 M 0 N 注S B n77777777777777777 8.解：1)在△ADF中，由正弦定理，sn∠DAF-sin乙ADF DF AF DE AF 即nPQa,因为DF=CE=,所以AF tsin a sin (B-a)' 在Rt△AFG中，AG=AFsin B=tsin sin,所以AB的高为 sin(B-a) AG+BG-tsin g sin a. sin(B-a) DF (2)在△BDF中，由正弦定理，sn∠DBF= DB sin∠BFDi DF -DB.因为DF=CE=t,所以DB tsin力 sin (n sinn sin(6+7分在 DF AD △ADF中，由正弦定理，sn∠DAF=n乙APD'即 sn9to)a2,所以AD= m0在△ABD中，由余弦 定理可知，AB2=AD2十DB2一2AD·DB cos∠ADB,即 B=120,于是SAm=合·AB·BC·sinB=之×BX1X AB-√+7-2品0高 sin120°=￥.1 6.4.3余弦定理、正弦定理 第5课时正孩、余孩定理在平面 10.【解析：由正弦定理得sCA,即sC C 3 6 ,解得 几何中的应用 2 【基础过关】 sinC=号，又c<a,所以C<A,且0°<C<180°，所以C=30°，故 1.B【解析：由题意可知a=√3，b=4,C=否，所以SAc- B=90,所以S=4c=合×1x9-停】 合asnC=子×BX4X合-=.故选B】 11.解：(1)，(sinB+sinC)2=sin2A十sin Bsin C.∴.由正弦定 2.B[解析：在△ABC中，A=30°，a=b=2,由等腰三角形的性 质可得A=B=30°，则C=180-30°-30°=120°，∴S△Bc= 理，得(b+c)=a2+bc,即+e2-d2=-bc,cosA=-之， 之nC=宁×2X2×号-E故选B】 A∈(0，π)，A=2 3 3.C[解析：在△ABC中，AB=√3，AC=1,B=30°，S△ABc= (2:s=含beain A-9e=2v3,6c=8,又6+c=6,a2 A 合AB·ACsin A=号，可得sinA=1,所以A=90,所以C b+c2-2 bccos A=(b+c)2-bc=36-8=28,.a=2√7. 180°-A-B=60°.故选C.] 12.解：(D因为D=2B,osB=号，所以c0sD=cos2B 4.AD【解析：AB=V5,AC=1,B=吾，又由余弦定理得 2cos2B-1=- 子因为DE(0,x),所以sinD=V-cosD- AC=AB2+BC-2AB·BC·cOsB,∴BC-3BC+2=0, BC=1或BC=2,:Sac=号·AB·BC·sinB,∴Sa= 2.因为AD=1,CD=3,所以△ACD的面积为S=子AD· 号或S=放选AD.】 CD·sinD=号×1X3x22=V2 3 (2)在△ACD中，AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cosD=12,所 5.C[解析：将c2=a2+-2 abcos C与(a十b)2-c2=4联立， 以AC2原图为C=26,气2C所以益品 AC AB 解得ab=4∴Sc=子anC=反.故选C】 6.D[解析：因为DC=5,DA=7,AC=8,所以cos∠ADC= AB AB sn=2B)=sA2B2 sin Bcos所以AB=4, 7表誉-，因此as∠AnB=-子所以sm∠ADB= 2×7×5 【能力提升】 4y,又B=45°，DA=7,由正弦定理，可得DA AB 1.B【解析：由题意及三角形的面积公式，得inC=5,尽， sin B sin∠ADB' 7×49 即宁a×5×号-5v5,解得a=4,根据余孩定理，得2=a十 2 所以AB=DA·sin∠ADB sin B =4√6.故选D.] 2 6-2 abcos C,即c=16+25-2×4×5X7=21,所以c= 2 √21，所以△ABC的周长为9十√21.故选B.] 7,A【解析：因为b=2e=5,S=csA=号cinA 2.A【解析：设向量a与b的夹角为0，则由题意得cos0= 5sinA,所以sinA-cosA.所以sin2A+cos2A= 1 4COs2A十 a·b a则如Y所 2×2-1×2 1a11i- 10 号cosA=1.所以cosA-25所以cd=8+- 以平行四边形的面积为S=2×之×ab1sm0=5×22× 2bc0sA=4+5-2X2X5×25=9-8=1.故选A.】 5 30=6.故选A.] 10 8.45°3+3 b 3.63 A 【解析：如图所示，：S△ABc= 4 【解析：在△ABC中，由正弦定理品A二品B 5 得s血B=04-90=号，又因为a,所以B<A,所 3 a Sam+Sam号X3X2Xsn60=号× √3 以B=45,则C=75,则Sec=名alnin C=之×5×Ex 3AD×sin30+号×2 ADX sin30, sin75°=3+5.1 AD=65.1 5 4 9. [解析：由sinB十√3cosB=0,可得tanB=-√3，所以 4.等腰三角形牙【解析：c=2 acos B,根据正弦定理可 sin C=2sin A cos B,sin(A+B)=2sin Acos B,.'sin(A- B)=0,A=B,∴△ABC为等腰三角形.“5=合a-子， nc=是a+子-子=+-子， ∴sinC-+-C,又由余弦定理可得cosC=+一C 2ab 2ab sinC=cosC,即tanC=l,:Ce(0,xC=平.】 5.C[解析：如图所示，连接BD,由余弦 A 定理得在△ABD中，BD2=4十16-2X 2×4CosA=20-16cosA,在△CBD中，B BD2=16+36-2×4×6cosC=52 48cosC,,A+C=180°，.20-16c0sA= 52+48c0sA,解得cosA=-合A= 120,C=60°.S=SaAm+Sam=号×2X4×sin120°+7× 4×6×sin60°=8V3.故选C.] 6.解：(1)f(x)=sin xcos-cos2(x+于），x∈R.化简可得 f)=号m2z-合-合cos(2x+受）=合sm2z十 合sn2x-号=sn2z-7,由-受+2kx≤2x≤受+2kx,k∈ 乙.可得-十kx≤x≤牙+，k∈乙，函数f(x)的单调递增 区间是[-牙十m,年+x]∈乙 (2)由f(号)=0，即smA-合=0，可得snA=合，：0<A< 受∴0sA=由余弦定理4=分+C-2次0sA,可得1十 2 √3bc=b2+c2.6+c2≥2bc,当且仅当b=c时等号成立.∴1+ VB6c>2c,bc≤2+V3.△ABC的面积为S=号csinA≤ 2生，放△ABC面积的最大值为2中 4 习题课(2) 【基础过关】 l1.C【解析：：b=a2+c2-2 accos B=a2+c2十ac,∴.ac -2ac0sB,cosB=-合，又0°<B<180,B=120.故选C】 2.C[解析：根据正弦定理，可得a2十b<c2.故由余弦定理，得 cosC=a+-C<0,故C是纯角，△ABC是钝角三角形.故 2ab 选C.】 3.D【解析：依题意得S=之tesin A=之×1 Xesin60=E,解 得c=4,由余弦定理，得a=√+42-2X1×4cos60=√/13. 故选D.1 4.B【解析：由余弦定理，得c0sA=+-d=25+36-16 2bc 2×5×6 子，所以即2-2血8sA-2agsA-sA=1.故选B.】 sin C sin C C 3 5.B【解析：由p∥g,得(a十c)(c-a)-b(b-a)=0,即c2- 2-f十ab=0,即心+-合=60sC,又Ce0,.所以 2ab C=牙故选B】 6.BC【解析：cosB=+C-,a2+2-B=2 accos B, 2ac 代入已知等式，得2ac·cos Btan B=ac,即sinB-9,则B= 牙或牙故选BC.】 7.B【解析：设另一条边长为x,则由余弦定理得x2=2+32一 2×2×3×号=9，x=3.设c0s0=号，0为长度为2,3的两边 的夹角：则血8--华吸-品。立 3 3 平即外接圆的直径为平故选B】 8.66【解析：如图所示，∠ASB=180°-个北 15-45=120,AB=26×号- 33V6(km),由正弦定理，得35 sin120°= SB sin45SB=66km.】 S A 9.45°【解析：由正弦定理，得a2十c2- V2ac=B,由余弦定理，得=d2+C一2 acos B,故cosB一号. 又因为B为三角形的内角，所以B=45°.] 10.40√3[解析：设另两边长分别为8x,5x,x>0,则由余弦定 理，得c0560-64+25-1出-方，解得x=2或x=-2(合 80x2 去)，则另两边长分别为16,10，所以三角形的面积为S=号× 16×10×sin60°=40√3.] 11.解：(1)在△ABC中，由正弦定理得AB=simC·BC= sin A 2BC=2√5. (2)在△ABC中，根据余弦定理的推论，得cosA= CC=25,A-万= 2AB·AC 5 sm2A=2 2sin Acos A=号，cos2A=coA-simA=号， ∴sn(2A-子)=sn2A·cs子-eos2As子-g 12.解：方法一由正弦定理知a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,R为 △ABC外接圆的半径.a+b=cosB+cosA,由正弦定理得 a cos B sin A+sin B cos B+cos A,.'.sin Acos B+sin B.cos B= sin A cos B sin Acos B++sin Acos A,.'.sin Bcos B=sin Acos A,.'.sin 2B= sin2A,·2A=2B或2A+2B=元，即A=B或A十B=受， .△ABC为等腰三角形或直角三角形. 方法三由+6osB十c5A,得1+1+8合，即 a cos B a a b2+c2-a2 合由余弦定理，得mA 2bc 62+c2-a2 2ac b=a(6+c2-a2) a=6aT=3a(你+e2-a2)=f(a2+c2-),a2c- (4,6] a=6c2-b,c2(a2-6)=(a2-)(a2+b)..a2=或c2= (2)由(1)知8+e=9(smB+simC) a2+.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. 【能力提升】 9[1+sin(2c-吾)]c∈(o,号)，÷2c-晋∈ 1.A【解析：：cosA=+-心=公+2-c= 2bc 2bc (-吾得)…2m(2c-吾)e(-},]+e 《b)十4>0,0°<A<90°，即A是锐角.放法A [1+7sm(2c-吾)]e4,8 2bc 6.解：(1)，2 asin A=(2b一c)sinB+(2c一b)sinC,由正弦定理 2.BD[解析：a一b=ccos B一ccos A,∴.a一b=c· 得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=2+c2-a2,∴.cosA= 。+2-&-c.+-a,去分母得2a2b-26a=a2b+e2b 2ac 2bc +E-号0<A<180,A=60 2bc b-(ba十c2a-a3),整理得ab(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2- (2)A+B+C=180°，∴.B+C=180°-60°=120°，由sinB+ C),当a-b=0时，△ABC为等边三角形，则5ac=2× sinC=√3，得sinB+sin(120°-B)=√3，.sinB+sin120°· 6r×号-3，当a-6≠0时，b=d+ab+公-，即a2+ cosB-os120snB=5,号shB+9cosB=v5,即 2 分=C,得△ABC为直角三角形，则5ae=名×，5×答-反 sin(B+30°)=1.又0°<B<120°，∴.30°<B+30°<150°， .B+30°=90°，即B=60°，∴.A=B=C=60°，∴.△ABC为正三 √3 角形 故选BD.] 3(1,2]【解析：因为2B=A+C=x-B,即B=号，又A 7解，1由题意得S=宁·。…号-9。，品-9,8 4 mCnB32,所以Bi·BC=cacos B2ac○ sin号 2,则s-5+s-9。-98+e-号，即d+e F=2,由余弦定理得c0sB=。+c一位，整理得ac0sB=1,则 2 n Asin C,因为A=ξ-C,所以B时·成=号 2ac 1 0<c<受 cosB>0.又：sinB=分，则cosB=√1-（日）-29ac 3 sim(2C-晋)，由锐角三角形ABC知 0<A<受 即<C< cos B 4 8 受所以看<2C-晋<号BBCc(1,]1 (2)由正弦定理得品B=品A-C则B=品· 32 4.3W3[解析：因为AD⊥AC,所以sin∠BAC=sin(∠BAD+ C ac 90)=os∠BAD=22,又AB=3V,AD=3,所以BD= sin C "sin Asin C 3 AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=18+9-2X3W2X3X 8.(1)证明：因为sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),所以sinC· sin Acos B-sin Csin Bcos A=sinB sin C cosA-sin Bsin A. 2=3,所以BD=尽，所以cos∠ADB=AD+BDAB= 3 2AD·BD cosC,所以ac.。+e-E-2c·+2-a--ab. 2ac 2bc -号，故ms∠ADC=-os∠ADB=9,又 2×3X√5 。+5c,即心+g-B-（心+2-4)=-2+-C,所以 2ab 2 2 eos∠ADC=品所以CD=3.1 2a2=b2+c2. 5解：1)方法-：A=晋a=2,又：cosA-十C (2)解：因为a=5,msA-票由1)得分十2=50，由余弦定理 2bc +c-2bc=a,（6+c)-4=3c≤3.b+c),即b+c≤ 可得a=8+d-2cosA,则50-c=25,所以c=号，故 2bc 4 (b+c)2=b+c2+2bc=50+31=81,所以b+c=9,所以 4,当且仅当b=c=2时，b+c=4,又b+c>a,∴.C△ABc=a十b十 △ABC的周长为a+b+c=14. c∈(4,6]. 2 4 第七章复数 方达二由正弦定理得血sn心mA如奇 7.1复数的概念 b后nB=后mc,B-号-C6+c=清（nB+ 7.1.1数系的扩充和复数的概念 【基础过关】 sim0=4sim(c+吾)，：c∈(o,ξ)，∴c+吾∈(g,g), 1.A【解析：根据复数的基本概念，可得复数2-的实部为 b+c=4sim(C+吾)∈(2,4]，又a=2,CaM=a+b+c∈ 2.故选A.] 836.4平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的应用举例 。基础过关) 1.人骑自行车的速度是1，风速为2，则逆风行驶的速度为 A.v1-v2 B.y十2 C.|y1|-ly2| D.5 2.已知力F的大小F|=10,在F的作用下产生的位移s的大小s|=14,F与s的夹角为60°，则F 做的功为 A.7 B.10 C.14 D.70 3.已知点A(-2,-3),B(19,4),C(-1,-6),则△ABC是 ( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 4.(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是 () A.船垂直到达对岸所用时间最少 B.当船速v的方向与河岸垂直时用时最少 C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样 D.船垂直到达对岸时航行的距离最短 5.当两人提起重量为G引的旅行包时，两人用力方向的夹角为0，用力大小都为F|,若|F|=|G引，则0 的值为 ( ) A.30° B.60 C.90° D.120 6.点O是△ABC所在平面内的一点，满足OA.O=O范.O心=O元.OA,则点O是△ABC的 ( A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高所在直线的交点 7.在四边形ABCD中，若AC=(1,3),BD=(一6,2)，则该四边形的面积为 ( ) A.5 B.2√5 C.5 D.10 8.在R△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足O=O+号(AB+AC,则 1A产1= 9.一条河宽为8000m,一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20km/h,水速为 12km/h,则船到达B处所需时间为 h. 10.已知在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,E,F分别为BC,CD的中点，则(AE+AF)· B市= 11.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2一AC心=DB2一DC,求证：AD⊥BC. D 12无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 12.已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,一5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0). (1)求F1,F2分别对质点所做的功； (2)求F1,F2的合力F对质点所做的功. ■能力提升) 1.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4,点E为AB的中点，且D⊥AC,则|D等于 ( A号 B.2√3 C.3 D.2√2 B 2.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3AM一AB-AC=0,则△ABM与△ABC的面积之 比为 ( A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:5 交 3.在△ABC中，设AC心一A=2AM·BC,那么动点M形成的图形必通过△ABC的 烯 A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 120° 4.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10N,则每根 辨 绳子的拉力大小为 N. 5.如图所示，BC,DE是半径为1的圆O的两条直径，B京=2Fò，则F市· F龙= D 6.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3km/h,方向正B 0 C 东，风吹向北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3km/h,若要使该船 由南向北沿垂直于河岸的方向以2√3k/h的速度横渡，求船本身的速度大小及 方向. 6.4.3余弦定理、正弦定理 第1课时余弦定理 基础过关) 1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=√19，b=2,c=5,则A的大小为 A.30° B.609 C.45 D.90 2.已知在△ABC中，a=1,b=2,C=60°，则角A等于 A.309 B.459 C.60° D.90 3.在△ABC中，已知a=5,b=7,c=8,则A十C等于 A.90° B.120 C.135° D.150° 4.在△ABC中，a=7,b=4√3，c=√13，则△ABC的最小角为 A晋 B. c牙 D最 5.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2一b2+c2=√3ac,则角B为 始 A音 B.3 c吾或号 31 D晋或晋 h 6.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足(a+b)2一c2=4,且C=60°，则ab的值为 ( 解 A.3 B.8-4√3 C.1 长 室 7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,bc,且c0s2号=，则△ABC是 2-2c ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 8.在△ABC中，已知a=2,则bcos C+ccos B= 9.在△ABC中，AB=3,BC=√13，AC=4,则A= ,AC边上的高为 三 10.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且a,b是方程x2-5x十2=0的两个根，C=60°， 则c= 11.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(b+c一a)=3bc. (1)求A的大小； (2)若b+c=2a=2√3，试判断△ABC的形状. 12.已知A,B.C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a,6c,且2aos含+c0sA=0 (1)求A的大小； (2)若a=2√3，b=2,求c的值. 。能力提升) 1.在△ABC中，已知b=ac且c=2a,则cosB等于 A号 B c. n号 2.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 A8 B是 ag D 3.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c若A=号，a=4,则bc的最大值为 A.163 B.16 C.323 D.32 3 3 4.在锐角三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=3,c=4,则实数a的取值范围是 () A.(1,7) B.(1,5) C.(7,5) D.(3,5) 5.若△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则AB·BC= 6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-√3sinA)·cosB=0. (1)求B的大小； (2)若a十c=1,求b的取值范围. 学 6.4.3余弦定理、正弦定理 第2课时正弦定理 。基础过关) 1.在△ABC中，a=5,b=3,则sinA:sinB的值是 A号 B号 c 2.在△ABC中，若A=105°，B=45°，b=2√2，则c等于 A.1 B.2 C.√2 D.√5 3.在△ABC中，a=bsin A,则△ABC一定是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.(多选)下列说法正确的是 A.在△ABC中，a:b：c=sinA：sinB:sinC B.在△ABC中，若sin2A=sin2B,则A=B C.在△ABC中，若sinA>sinB,则A>B;若A>B,则sinA>sinB D.在△ABC中，sAnB-SnC b+c 5.在△ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB等于 A.-22 B22 3 3 C.、6 3 n 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A:B:C=1:2:3,则a:b:c等于 A.1:2:3 B.3:2:1 C.2：√3：1 D.1：√3：2 7.已知在△ABC中，b=4√3，c=2,C=30°，那么此三角形 A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 8.在△ABC中，已知a=2,A=60°，则△ABC的外接圆的直径为 9.在△ABC中，若a=3,b=2,B=T,则A= 10.△ABC的内角AB,C的对边分别为a,6c,若c0sA=号e0sC=品a=1,则snB= b= 11.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=10,A=45°，C=30°，求a,b和B的值. 14无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 12.在△ABC中，已知b=6√3，c=6,C=30°，求a的值. 。能力提升) 1.在△ABC中，若inA=osC,则C的值为 ) e A.301 B.459 C.60° D.90° 2.(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是 ( A.a=8,b=16,A=30°，有一解 B.b=18,c=20,B=60°，有两解 C.a=5,c=2,A=90°，无解 D.a=30,b=25,A=150°，有一解 3.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足B=60°，c=2的三角形有两解，则b的取值 范围为 换 4.在△ABC中，若C=2B,则6的取值范围为 管 5.锐角三角形的内角分别是A,B,C,并且A>B,则下列三个不等式中成立的是 .(填序号) ①sinA>sinB;②cosA<cosB;③sinA+sinB>cosA+cosB. 6.在△ABC中，a=3,A-,试求△ABC的周长的取值范围. 6.4.3余弦定理、正弦定理 第3课时正弦、余弦定理与三角形的边角关系 基础过关) 1.(多选)在△ABC中，若√3a=2 bsin A,则B等于 A晋 B晋 C.2 D. π 3 6 2.如果将直角三角形的三边各增加同样的长度，则新三角形的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度确定的 3.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边，且满足，a b cos A cos Bcos C,则△ABC的形 状是 () A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcos A十acos B=c2,a=b=2,则△ABC的周长 为 () A.5 B.6 C.7 D.7.5 5.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b十c=2a,3sinA=5sinB,则C等于( ) 约 A B贸 c号 D 剂 6.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin A一bsin B=4 csin C,cosA= ,则等 4 ▣ 于 A.6 B.5 C.4 D.3 长 室 7.(多选)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列等式恒成立的是 A.a2=62+c2-2bccos A B.asin B=bsin A C.a=bcos C++ccos B D.acos B+bcos C=c 8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=若，a2+-2=ab,c=3,则角C= ,a= 剂 9.在△ABC中，若b=acos C,则△ABC的形状为 10.在△ABC中，A=,BC=3,则△ABC的周长为 (用含B的式子表示)， 1Ⅱ.已知△ABC中，角A,B.C所对的边分别为a,6,且acaC+怎-6 (1)求A的大小； (2)若a=1,b=√3，求c的值， 12.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且osB=一。6 1cosC2a十c (1)求B的大小； (2)若b=√13，a+c=4,求a的值. 。能力提升) 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos B十bcos A=4sinC,则△ABC外接圆的 面积为 () A.16π B.8π C.4π D.元 2.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cosC等于 () 7 7 24 A.25 B.一25 c±品 0.2函 3.在△ABC中，若A=于，sinB=√2cosC,则△ABC为 () A.直角非等腰三角形 B.等腰非直角三角形 C.非等腰且非直角三角形 D.等腰直角三角形 4.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2 sin Asin Bcos C=sin2C,则+B- ,角C的最大值为 5.在△ABC中，a,bc分别为角A,B,C的对边，B=,若a2+C=4ac,则mAt号= sin Asin C 6在人ABC中，已知-n0后n不且cDA-B+sC=1-os2C (1)试确定△ABC的形状； (2)求“的取值范围。 15 数 6.4.3余弦定理、正弦定理 第4课时利用正弦、余弦定理解决实际问题 ,基础过关) 1.如图所示，设A,B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先 B 确定一点C,测出A,C的距离为50m,∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A,B两点的 距离为 A.50√2m B.50√/3m C.25√2m D.252 2 m 2.若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC=BC,则点A在点B 的 () A.北偏东15°方向上B.北偏西15°方向上 C.北偏东10°方向上D.北偏西10°方向上 3.已知海上A,B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B 岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是 () A.10√3海里 B10海里 C.5√2海里 D.5√6海里 4.(多选)某人向正东方向走了xkm后向右转了150°，然后沿新方向走了3km,结果离出发点恰好 √3km,则x的值为 () A.√3 B.23 C.2 D.3 5.一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航 行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的 速度是 () A.5√2海里/时 B.5海里/时 C.10√2海里/时 D.10海里/时 6.从高出海平面h米的小岛上看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两 船间的距离为 () A.2h米 B.√2h米 C.3h米 D.2√2h米 7.如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A,B两点，从A,B两点测得建 筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A,B两点间的距离为60m,则该建筑物的 高度为 4530° B 60m A A.(30+30√3)m B.(30+15√/3)m C.(15+303)m D.(15+15√3)m 8.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC=50°，∠CBE=70°， AC=90,BC=150,则DE= D 16 无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 9.如图所示，为了测量A,C两点间的距离，选取同一平面上B,D两点，测 出四边形ABCD各边的长度（单位：km):AB=5,BC=8,CD=3,DA= 5,A,B,C,D四点共圆，则AC的长为km. D 10.一艘船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向上，行驶4h 后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向上，这时船与灯塔间的距离为 km. 11.如图所示，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile,渔船乙以 5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追 赶渔船乙，刚好用2h追上 (1)求渔船甲的速度； (2)求sina的值. 北 西 东 609 B 南 辨 12.如图所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C, 另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1260m,经测量， easA号eosC-是求案道AB的长。 A B 、 能力提升) 1.(多选)如图所示，为了测量某湖泊两侧A,B间的距离，李宁同学首先选定了与 A,B不共线的一点C,然后给出了三种测量方案（△ABC的角A,B,C所对的边 分别记为a,b,c),则一定能确定A,B间距离的所有方案为 ( ) A A.测量A,B,b B.测量a,b,C C.测量A,B,a D.测量A,B,C 2.如图所示，D,C,B在地平面同一直线上，DC=10m,从D,C两地测得A点的仰 角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于 ) A.10m B.5√3m 30°45° D C.5(√3-1)m D.5(3+1)m 3.如图所示，两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平C 面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 A.309 B.45° C.60° D.75° 4.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正 西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B,在B点测得 水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 ( ) 地 器 A.50m B.100m C.120m D.150m 5.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市 ()↑北 B,C,D.已知B,C两市相距20km,C,D两市相距34km,C市在B,D两市 之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8s后B市感到地表震动，20s B 后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5k,则震中A 到B,C,D三市的距离分别为 6.如图所示，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（√3一1）海里的B处有一艘走私船.在A处北 偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10√3海里/时的速度追截走私船，此时走 私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.则缉私船沿什么方向行驶才能最快截 获走私船？并求出所需时间. 北 759 1459 7.如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B 的俯角均为30°，已知摄影爱好者的身高约为√3米（将眼睛S距地面的距离SA按√3米处理）， (1)求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB; (2)立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN,且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内 旋转.在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN的视角∠MSN(设为)是否存在最大 值？若存在，请求出∠MSN取最大值时cosO的值；若不存在，请说明理由， S B A 7777777777777777777777777 8.(2022·辽宁)在实际生活中，为了测量建筑物的高度，可借助的方法有很多.如图1所示，为了得到 建筑物AB的高，可以在水平面的C点处先测量仰角∠ADG=α（其中CD=a米是测量仪器高度）， 然后前进t米到达点E后(CE=t米，CD=EF为测量仪器的高度)，再测量仰角∠AFG=3的大 小，最后根据有关数据和直角三角形知识就可得到AB的高.但是，在这种测量方法中，要保证C, E,B在一条直线上，而且AB要与BC垂直（实际生活中直线BC不一定水平），否则误差会比较 大.为了避免这种误差：将以上方法调整为，使C,E,B三点不共线，测得∠ADB=Y,∠BDF=6, ∠ADF=0,∠BFD=7,∠AFD=o,CE=t米，如图2. (1)若C,E,B三点共线，且AB⊥BC,试写出图1中建筑物AB的高（单位：米）的表达式（用a,B,t, a表示)； (2)当C,E,B三点不共线且并不确定平面CBE是否为水平面时，试写出图2中建筑物AB的高 (单位：米)的表达式（结果用Y,6,0,,9,t表示，写出原始表达式即可，不必分母有理化）. B D 图1 图2 1 数学 6.4.3余弦定理、正弦定理 第5课时正弦、余弦定理在平面几何中的应用 。基础过关) 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c若a=3,b=4,C=若，则△ABC的面积为 A.2√3 B.3 C.√13 D.w39 2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=30°，a=b=2,则△ABC的面积为( A.1 B.√3 C.2 D.2√3 3在△ABC中，AB=3,AC1,B=30,SAc,则C等子 A.60°或120 B.309 C.60° D.45° 4.(多选)在△ABC中，AB=3,AC=1,B=否，则△ABC的面积可以是 A号 B.1 c. D.3 5.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2一c2=4,C=120°，则△ABC的面积 为 () A号 B.3 C.√3 D.2√3 2 6.如图所示，在△ABC中，B=45°，AC=8,D是BC边上一点，DC=5,DA=7,则 AB的长为 () A.4√2 B.43 C.8 D.4√6 B 7.若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,c=√5，△ABC的面积S= √5 cosA,则a等于 () A.1 B.5 C.√13 D.17 8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=√3，b=√2，A=60°，则B= ,△ABC 的面积是 9.已知在△ABC中，AB=√3，BC=1,sinB+√3cosB=0,则△ABC的面积为 0.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,A=60°，c三3，则△ABC的面 为 11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(sinB+sinC)2=sinA十sin Bsin C. (1)求A的大小； (2)若b+c=6,△ABC的面积为2√3，求a的值. 18无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 12.如图所示，在四边形ABCD中，D=2B,且AD=1,CD=3,cosB= 3 (1)求△ACD的面积； (2)若BC=2√3，求AB的长. B 。能力提升) 1.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=5,C=60°，且△ABC的面积为5√3，则 △ABC的周长为 ) A.8+√21 B.9+21 C.10+√21 D.14 2.已知向量a=(2,一1)，b=(2,2),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为 ( )1洲 A.6 B.3 C.4 D.8 惑 3.已知在△ABC中，AC=2,AB=3,∠BAC=60°，AD是△ABC的角平分线，则AD= 4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,bc,S为△ABC的面积，若C=2 acs B,S=42- ,则△ABC的形状为 4 ,C的大小为 5.在圆O的内接四边形ABCD中，AB=2,BC=6,CD=AD=4,则四边形ABCD的面积S为 A.43 B.63 C.85 D.10√3 6.设f(x)=sin xcos-cos2(+T）x∈R (1)求f(x)的单调递增区间； (2)在镜角三角形ABC中，A,B,C的对边分别为a,bc,若f(2)=0,Q=1,求△ABC面积的最 大值.