8.2.1 一元线性回归模型（教学设计）数学人教A版选择性必修第三册

8.2.1 一元线性回归模型 教学设计 1.教学内容 本节课是人教 A 版（2019）选择性必修第三册 8.2.1 一元线性回归模型，是前两节课相关关系、样本相关系数的延伸，核心是建立一元线性回归模型解决实际问题。本节课先明确一元线性回归模型的表达式，区分解释变量、响应变量和随机误差项的含义，理解模型的本质是用线性关系近似刻画两个变量的相关关系。掌握最小二乘法的核心思想，无需复杂推导，重点理解其用于求解回归直线方程参数的原理，学会写出回归直线方程。通过实例感知模型的应用价值，能结合回归直线分析变量间的线性趋势，为后续回归分析的应用奠定基础，培养学生用数学模型解决实际问题的素养。 2.内容解析 本节课是人教 A 版（2019）选择性必修第三册 8.2.1 一元线性回归模型，是成对数据统计分析的核心内容，承接前两节课变量相关关系、样本相关系数的知识，实现从定性判断、定量刻画到模型构建的过渡，为后续回归分析的应用和模型检验奠定基础。本节课核心围绕一元线性回归模型展开，先明确模型的表达式，清晰区分解释变量、响应变量和随机误差项的含义，帮助学生理解模型的本质的是用线性关系近似拟合两个变量的非确定性相关关系，体现数形结合和建模思想。重点讲解最小二乘法的核心思想，简化推导过程，聚焦参数求解原理，引导学生掌握回归直线方程的书写方法。结合生活实例，让学生感知模型的实际应用价值，学会通过回归直线分析变量间的线性变化趋势，提升数据处理和建模应用能力，培养用数学知识解决实际问题的素养。 教学重点：理解一元线性回归模型的含义及各组成部分的意义，掌握最小二乘法的核心思想，能写出回归直线方程并初步分析其意义。 1.教学目标 （1）结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义 （2）了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法. （3）针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 2.目标解析 （1）结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义：通过生活中线性相关实例，引导学生理解一元线性回归模型的表达式及本质，区分解释变量、响应变量和随机误差项，明确模型参数的统计意义，知晓参数反映的变量间线性关联规律，培养建模意识和数据分析素养。 （2）了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法：学生需理解最小二乘原理的核心是最小化残差平方和，无需复杂推导，重点掌握参数的估计思路和方法，能根据样本数据计算参数，提升数据处理和运算能力，理解模型构建的科学依据。 （3） 针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测：结合具体实际问题，引导学生运用回归直线方程，根据解释变量的取值预测响应变量的可能值，学会解读预测结果的意义，体会模型的实际应用价值，提升运用数学模型解决实际问题的能力。 学生已掌握变量的相关关系、样本相关系数的知识，能判断线性相关类型、定量刻画相关程度，但对数学建模认知较浅，对回归模型的本质及参数意义理解不足，运算能力和逻辑推理能力参差不齐。预估教学困难：一是难以理解一元线性回归模型的含义，混淆各组成部分的作用；二是无法掌握最小二乘原理及参数估计方法，运算易出错；三是不会运用模型进行实际预测，缺乏建模应用意识。解决方法：结合实例拆解模型结构，辨析各部分含义；简化原理推导，聚焦核心思路，通过分步演示和练习巩固参数估计；结合实际问题，引导学生逐步掌握预测方法，强化应用训练。 教学难点：理解一元线性回归模型的含义及参数的统计意义，掌握最小二乘估计方法，并能运用模型解决实际预测问题。 1． 创设情境，引入新知 特殊的相关关系 思考：（1）以上四种相关关系，相关性强弱程度怎么样？ （2）这四种相关关系，有什么共同的特点？ 教师：这就是本节课将要学习的一元线性回归模型 2．探究新知 引言：恩格尔系数(Engel’s Coefficient)指的是居民家庭中食物支出占消费总支出的比重，是表示生活水平高低的一个指标．其计算公式：恩格尔系数＝食物支出金额÷总支出金额． 一个家庭收入越少，家庭总支出中用来购买食物的支出所占的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭支出中用来购买食物的支出所占比例将会下降. 思考：恩格尔系数是预测生活水平高低的一个模型，那么当两个变量线性相关时，我们如何对成对样本数据建立一个模型进行预测？ 问题：一般来说，父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如下表所示. 表8.2-1 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 教师：利用前面表示数据的方法，以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系，再将表中的成对样本数据表示为散点图. 学生：尝试着画散点图. 预设： 教师：观察散点图的的特点， 总结父亲身高和儿子身高有什么关系？ 学生：结合上节课知识发现，由图可知散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关. 教师：借助计算器，求出样本相关系数r的值，根据r的值得出怎样的结论. 学生：借助计算器，结合样本相关系数r公式计算出结果：r≈0.886， 结论：|r|的值接近于1，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高. 思考：根据上表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？ 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 学生：结合表格中数据特点， 分析得出结论. 预设：表中的数据，存在父亲身高相同而儿子身高不同的情况.例如，第6个和第8个观测父亲的身高均为172cm，而对应的儿子的身高为176cm和174cm；同样在第3，4个观测中，儿子的身高都是170cm，而父亲的身高分别为173cm，169cm. 结论：可见儿子的身高不是父亲身高的函数同样父亲的身高也不是儿子身高的函数，所以不能用函数模型来刻画. 定义：由于儿子的身高和父亲的身高身高有较强的线性相关，因此我们可以用一次函数来刻画父亲身高对儿子身高的影响，而把影响儿子身高的其他因素，如母亲身高，生活环境等作为随机误差，得到刻画两个变量之间关系的线性回归模型. （随机误差是一个随机变量） 用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差. 假定随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值σ2，则它们之间的关系可以表示为 (1) 我们称(1)式为Y关于x的一元线性回归模型. 其中e是Y与bx+a之间的随机误差. Y称为因变量或响应变量；x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数； 模型中的Y也是随机变量，其值虽不能由变量x的值确定，但却能表示为bx+a与e的和，前一部分由x所确定，后一部分是随机的. 如果e=0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 思考：为什么要假设E(e）=0，而不假设其为某个不为0的常数？ 学生：与同桌交流，结合教材，尝试得出答案 预设： ①因为误差是随机的，即取各种正负误差的可能性一样，所以它们均值的理想状态应该为0. ②如果随机误差时一个不为0的常数α，则可以将α合并到截距项a中，否则模型无法确定，即参数没有唯一解. ③另外，如果α不为0，则表示存在系统误差，在实际建模中也不希望模型有系统误差，即模型不存在非随机误差. 思考：结合父亲与儿子身高的实例，说明回归模型(1)的意义？ 预设：可以解释为父亲身高为xi的所有男大学生的身高组成一个子总体，该子总体的均值为bxi+a，即该子总体的均值与父亲身高是线性函数关系. E(Y)=E(bx+a+e)=E(bx+a)+E(e)=(bx+a)+0=bx+a 思考：对于父亲身高为xi的某一名男大学生，他的身高yi一定是bxi+a吗？ 预设：对于父亲身高为的某一名男大学生，他的身高并不一定为 bxi+a ，它仅是该子总体的一个观测值，这个观测值与均值有一个误差项ei=yi -(+a) 思考：结合具体实例解释产生模型(1)中随机误差项的原因吗? 预设：在研究儿子身高与父亲身高的关系时，产生随机误差e的原因有: (1) 除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素，比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等； (2)在测量儿子身高时，由于测量工具、测量精度所产生的测量误差； (3)实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，可以利用一元线性回归模型来近似这种关系，这种近似也是产生随机误差e的原因. 牛刀小试： 练1：有人收集了10年中某城市居民年收入（即此城市所有居民在一年内的收入的总和）与某种商品的销售额的有关数据：（单位：亿元） 第年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年收入 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 销售额 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 画出散点图，如果它们之间近似呈线性关系，请画出一条直线来近似表示这种关系. 预设：散点图如图所示： 从散点图中可以看出年收入与销售额之间的总体趋势成一条直线，也就是说它们之间是线性相关关系. 练2：下图是根据的观测数据得到的散点图，则变量能用一元线性回归模型来刻画，且的是（    ） A． B． C． D． 预设：根据变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，又，所以散点从左上至右下． 故选：A. 练3：根据如下样本数据，得到回归直线方程，则（    ） 3 4 5 6 7 8 -3.0 -2.0 0.5 -0.5 2.5 4.0 A．， B．， C．， D．， 预设：从整体上看这些点大致分布在一条直线的周围，且该回归直线的斜率为正，在轴上的截距为负则， 故选：C 练4：研究表明某地的山高（km）与该山的年平均气温（℃）具有相关关系，根据所采集的数据得到线性回归方程，则下列说法错误的是（   ） A．年平均气温为5℃时该山高估计为5km B．该山高为8km处的年平均气温估计为10℃ C．该地的山高与该山的年平均气温的正负相关性与回归直线的斜率的估计值有关 D．该地的山高与该山的年平均气温成负相关关系 预设：对于A，因为时，，即山高估计为5km，A正确；对于B，令，解得，即山高为8km处的年平均气温估计为℃，B错误；对于C，由线性回归方程的系数的含义可知C正确；对于D，因为，所以该地的山高与该山的年平均气温成负相关关系.故选：B 3．能力提升 类型一：一元线性回归模型辨析 例题1 （多选）在线性回归模型中，下列说法不正确的是（    ）． A．是一次函数 B．响应变量Y是由解释变量x唯一确定的 C．响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生 D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生 预设：对于A中，线性回归模型中，方程表示的不是确定性关系，因此不是一次函数，所以A说法错误； 对于B中，响应变量Y不是由解释变量x唯一确定的，所以B错误； 对于C中，响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生，所以C正确； 对于D中，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，所以D错误． 故选：ABD． 总结：这类概念辨析题，只需要根据一元线性回归模型的相关定义即可逐一判断. 题型二：一元线性回归模型中随机误差的计算 例题2 党的二十大报告指出，坚持创新在我国现代化建设全局中的核心地位．为此某市大力发展科技创新，其科技创新投入资金x（单位：百万元）与回报资金（单位：百万元）满足一元线性回归模型，已知投入200万元时，回报450万元，且每多投入100万元，回报资金多130万元．若2023年该市计划科技创新投入350万，则预估回报资金为 万元． 预设：由题可知投入资金与回报资金满足一元线性回归模型，而当时，，故．又每多投入100万元，回报资金多130万元，故，．所以．当时，．故回报资金为645万元． 归纳总结：通过已知条件建议关于和方程组解方程组到回归方程即可. 题型三：一元线性回归模型与散点图 例题3 （1）下图是根据的观测数据得到的散点图，则变量能用一元线性回归模型来刻画，且的是（    ） A． B． C． D． 预设：根据变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，又，所以散点从左上至右下． 故选：A. （2）鲫鱼产卵后，鱼卵的孵化时间（单位：天）会受到水温（单位：℃）的影响，下面是某生物研究小组进行8次观察实验收集到的数据： 水温x/℃ 15 16 18 20 21 23 26 29 孵化时间y/天 8 7 6 5 5 4 3 2 (1)画出上述成对数据的散点图； (2)已知水温对鱼卵的孵化时间可表示为一元线性回归模型，请在散点图中近似地作出表示孵化时间y和水温x之间关系的直线，并说明该一元线性回归模型的自变量与因变量． 预设：（1）以x轴表示水温，y轴表示孵化时间，可作散点图如下： （2）直线如图所示，由（1）中散点图及一元线性回归模型定义可得，其中水温x为自变量，孵化时间y为因变量． 题型四：一元线性回归模型的实际应用 例题4 若某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过 亿元． 预设：由题意得财政收入x与支出y满足线性回归方程为，其中， 当时，， 因为 ，所以， 所以今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过10亿元， 故答案为：10 4．课堂小结 作业1：完成教材：第107页 练习第1,2,3题.. 作业2：配套辅导资料对应的《一元线性回归模型》.  8.2.1 一元线性回归模型 一、模型含义 表达式：（简要标注核心形式） 组成：解释变量、响应变量、随机误差项 参数：统计意义（简要说明） 二、最小二乘原理 核心：最小化残差平方和 作用：求解模型参数 三、应用：根据回归方程进行实际预测 本节课教学围绕一元线性回归模型展开，基本达成预设教学目标，能有效衔接前两节课知识，通过实例拆解模型结构，帮助学生理解模型含义及各组成部分的作用，简化最小二乘原理的推导，聚焦参数估计方法，引导学生初步掌握回归方程的应用与预测。但教学中仍有不足：部分学生对随机误差项的意义理解模糊，难以区分模型与回归直线的差异；最小二乘参数估计的运算步骤掌握不熟练，易出现计算错误；对模型预测的应用指导不足，学生难以灵活应对实际问题。同时，课堂分层练习不足，对学困生的关注不够及时。后续将优化教学环节，增加实例辨析，强化运算指导，设计分层练习，加强课堂反馈，及时查漏补缺，提升学生的建模能力和数据分析素养。 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $