四川绵阳南山中学实验学校2026届高三下学期数学周练测试（九）

绵阳南山中学实验学校高2023级高三（下）周练测试（九） 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，则 A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，，则 A．5 B． C．10 D． 3．记等差数列的前项和为，若，，则 A．6 B．8 C．10 D．12 4．函数是奇函数的充要条件是 A． B． C． D． 5．有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为 A．40 B．48 C．52 D．60 6．茶产业不仅是产业发展的新引擎，更是实现乡村振兴的关键力量．某山区农村茶产业合作社统计了村民每户家庭人口数与每户茶产业年收入的情况，已知变量和满足经验回归方程，且变量和一组相关数据统计结果如下表： 每户家庭人口数（人） 3 4 5 6 每户茶产业年收入（万元） 5 8 17 则下列说法错误的是 A． B．变量和呈正相关 C．该经验回归方程必过点 D．若某户家庭人口数为8时，预测该户茶产业的年收入为万元 7．已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是 A． B． C． D． 8．如图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．平面内有四边形，边平行于，对角线与交于点．若，，且的面积为3，则 A． B．的面积为6 C． D． 10．已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为，分别过上的点，作的垂线，垂足分别为，，线段的中点为，若直线不与坐标轴垂直，则下列结论正确的是 A．若，，则 B． C．若直线过点，则直线与的交点为 D．若直线过点，且，则四边形的面积为 11．定义在上的连续函数，对，都有，且，则下列说法正确的是 A． B．数列的前n项和为，则 C． D．若，则的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则_______． 13．已知的面积为1，，，则_______． 14．若方程的三个根成等比数列，则公比为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知函数，． （1）若，求在的单调递增区间； （2）若，当时，取得最小值，求. 16．（15分） 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）判断函数在的零点个数，并说明理由． 17．（15分） 如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱柱的体积为，求与平面所成角的正弦值. 18．（17分） 已知离心率相同的椭圆与椭圆分别是同一矩形（两组对边分别与对称轴平行）的内切椭圆和外接椭圆. （1）求a，b； （2）设直线l与椭圆相交于两点，与椭圆相交于两点，且A在线段BD上. （ⅰ）求证：； （ⅱ）若，恰为DE的三等分点，求坐标原点O到直线l距离的取值范围. 19．（17分） 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 绵阳南山中学实验学校高2023级高三（下）周练测试（九） 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D A B B C A A AD BCD ABD 1．A【详解】解不等式，得或， 即集合，则，则. 2．D【详解】因为，所以.故选：D 3．A【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 由，得，则，所以.故选：A 4．B【详解】代入得，因此， 代入得，结合即， 整理得对任意恒成立，平方化简得对任意恒成立，因此， 因此是奇函数等价于且，即， 反之若，必有，此时确实是奇函数，故充要条件为. 5．B【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择； 然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择. 根据乘法原理，总共有种选法.故选：B. 6．C【详解】由题知，. 代入，得出，所以，A选项正确； ，变量和呈正相关，B选项正确； 由题知，，该经验回归方程必过点，C选项错误； 当时，，故当某户家庭人口数为8时，预测该户茶产业的年收入为25.7万元，D选项正确；故选：C 7．A【详解】设，则， 由双曲线的定义，可得，所以，又由， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， ，即， 即，所以，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得，所以，所以双曲线的离心率为. 8．A【详解】解：正三棱柱中，，正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1， 如图，过作，垂足点为，连接，则， 与所成的角为，且，又，， 与平面所成的角为，且，，①， 再过点作，垂足点为，连接，又易知底面，底面， ，又，平面，平面， 二面角的平面角为，且，又， ，，②，又，，③， 由①②③得，又，，，在单调递增，． 9．AD【详解】如图：，则，故A正确． B选项：的面积为，故B错误． C选项：注意到与具有共线的底边，，且这两个底边对应的高相等，因此，因此， 所以，故C错误． D选项：因为与相似，所以， 因此，所以，所以，故D正确． 10．BCD【详解】选项A：由抛物线的定义可知，，故， 故，即，A错误. 选项B：由题意知，，设，，则， 则直线的斜率为.直线的斜率为， 因为，所以，B正确. 选项C：当直线过点时，设直线方程为， 与抛物线方程联立整理得，则. ，，则直线方程为， 令，则. 直线方程为， 令，则.故与的交点为，C正确. 选项D：由，可得，得.又，所以. 由题意可知，四边形为直角梯形， 所以其面积为 ，D正确.故选：BCD. 11．ABD【详解】对于选项:由，令，可得， 又，可推出，即为首项为1，公比为2的等比数列， 可得，对任意正整数成立，则，A正确. 对于选项:数列的前项和，正确. 对于选项:对，都有，且， 令，则，即， 由于 是连续函数，则也是连续函数，满足函数方程 的连续函数， 其解的形式为 , 故可设，则，结合，得， 故，满足； 则，C错误. 对于选项:若，且，则 ，当且仅当时取等号，即的最小值为4，D正确. 12．【详解】依题意，，设该圆锥的高为，则，. 由可得，化简得，故. 13．【详解】，，，. ，，，. ， 设的外接圆半径为，则由正弦定理得，，， ，即，化简得，. . 14．【详解】由，得，所以.设. 方程的根等价于直线与图象的交点的横坐标. 因为函数的导数为， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又时，，时，，作出的大致图象，如图： 则（*）， 因为成等比数列，设公比为，所以，， 代入（*）式得，由，得，即， 所以，解得，代入，可得， 整理得，解得或（舍去），则公比为. 15．【详解】（1）因为函数，， 所以， 令，解得：，， 令，令， 所以在的单调递增区间为，． （2），其中，， 因为当时，取得最小值，则，；所以， 所以，， 所以． 16．【详解】（1）由题意得，，，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为； （2）令，则，整理得， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 又，，所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点. 当时，，，两个不等式等号无法同时成立， ，此时函数无零点， 综上所述，在上存在唯一零点，即函数在上的零点个数为． 17．【详解】（1）取的中点为，连接， 因为为的中点，所以且， 又因为为的中点，，，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）因为平面平面，平面平面，， 所以平面，所以为三棱柱的高， 所以，所以，解得， 在平面内作，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以，设平面的法向量为， 则，令，则，则平面的一个法向量为， 设与平面所成角为，所以. 所以与平面所成角的正弦值为. 18．【详解】（1）由题知点，， 又因为两椭圆离心率相同，因此，即，，． （2）由（1）知，，当斜率k不存在时，显然成立； 当斜率k存在时，设直线l为，，，，， 联立得，，， 韦达定理，设中点为，则，， ， 联立得，，， 韦达定理，设中点为，则，， ，和Q重合， ，， （ⅱ）①当斜率k不存在时，， 联立得，，联立得，， 所以，计算得，所以． ②当斜率k存在时，，，， ，平方化简得，， 直线，所以原点到直线的距离为， ， ，，，， 综上，坐标原点O到直线距离的取值范围是． 19．【详解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为:． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 所以． 因为，所以，所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $