四川绵阳南山中学实验学校2026届高三下学期数学周练测试（十一）

绵阳南山中学实验学校高2023级高三（下）周练测试（十一） 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．已知，则 A．32 B．31 C．1 D． 3．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝ A． B． C． D． 4．诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是 A．极差 B．平均数 C．标准差 D．中位数 5．将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为 A． B． C． D． 6．已知实数，，若，，则 A． B． C． D．1 7．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，且满足，则双曲线的离心率为 A．2 B． C． D． 8．已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若函数与函数的图象关于y轴对称，则 A．与有相同的零点 B．为偶函数 C．与有相同的极值点 D．对任意的，都有 10．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若是偶函数，则 A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数在上的所有零点之和为，则的取值范围是 11．已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则 A．圆与直线相切 B．圆的面积的最小值是 C．的最大值是 D．存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研．已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有________种（用数字作答）． 13．已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________. 14．已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知数列的前项和为，若，且． （1）证明：为等差数列，并求． （2）若，数列的前项和，求证：． 16．（15分） 如图，三棱柱的所有棱长均为2，且． （1）证明：； （2）若三棱柱的体积为3，求平面与平面所成角的余弦值． 17．（15分） 已知函数． （1）若，函数，讨论的单调性； （2）若恒成立，求t的取值范围． 18．（17分） 已知动圆与圆：外切，同时与圆：相内切. （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）设曲线与轴交于，两点（在左侧），过的动直线交于，两点，直线，交直线于，两点，证明： （i）以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标； （ii）直线与圆相切. 19．（17分） 在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. （1）求，； （2）求的分布列； （3）求. 周练（十一）第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 绵阳南山中学实验学校高2023级高三（下）周练测试（十一） 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C D B C A C ABD BC ACD 1．B【详解】由，解得或，则或， 所以集合没有包含关系，，或或 2．D【详解】令，则；令，则，故. 3．C【详解】由题意， 则z的共轭复数 4．D【详解】根据题意，将8个数据从小到大排列，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分， 得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，最中间的两个分数不变， 而最高分、最低分、平均分、标准差都有可能发生变化，因此一定不变的数字特征是中位数.故选：D. 5．B【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为，由，可得，解得. 6．C【详解】，故，，，故，所以， 因为，所以，，所以. 7．A【详解】由已知M为的中点，而O是的中点， 所以，由于⊥，所以是线段的中垂线， 故，由双曲线的对称性知， 所以， 故. 8．C【详解】，，，， ， ，，，，， ，， ， ， ，，，， 在中，，，， ，，，， ，，， 是边上一点，. 9．ABD【详解】由函数与函数的图象关于y轴对称，得， 对于A，由，得，由，得，则与有相同的零点，A正确； 对于B，，则， 为偶函数，B正确； 对于C，由，求导得，当时，，当，， 函数有唯一极值点，由，求导得，当时，， 当，，函数有唯一极值点，C错误； 对于D，令，函数都是上的增函数， 则是上的增函数，当时，，则， 由为偶函数，得当时，，因此，都有，D正确. 10．BC【详解】因为函数的图象向左平移后得到函数的图象， 所以，又因为是偶函数， 所以，得，即， 再由，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 所以函数的图象关于点对称，B正确； 对于C，因为， 所以 ， 因为，所以，函数在单调递增，C正确； 对于D，因为， 所以函数在上的零点，转化为函数与图象在上的交点的横坐标， 令，所以函数在有两条对称轴和，如图： 当时，函数与有两个交点，且关于对称， 即，所以，得. 当时，函数与有3个交点，， ，所以，得. 所以函数在上的所有零点之和为，则，D错误. 11．ACD【详解】如图：过点作于点，设，则，. 对于A，由抛物线的定义可知，圆心到直线的距离等于半径，所以圆与直线相切，A正确； 对于B，因为圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的面积的最小值是，B错误； 对于C，因为，所以， 所以， 令，则， 当且仅当，即时等号成立，所以C正确； 对于D，，， 化简得，得，即，再代入 得，所以存在或使得成立，D正确. 12．18【详解】先将3名男生和2名女生按要求分成两组，有两类分组方法： 第一类：由1男1女组成一组，其余2男1女组成一组，有种分法； 第二类：由1男2女组成一组，其余2男组成一组，有种分法.所以共有种分组方法. 再将分好的两组分配到甲、乙两地参加社会调研，有种分法， 根据乘法分步原理，不同的安排方案有种. 13．【详解】由题可知，设夹角为，则，， 设，；，代入坐标化简得： 故的最大值为原点到圆上的点最大距离，如下图所示， 又圆心，半径，，故. 14．【详解】函数在上单调递增， ，在上单调递增，， 当，即时，，且， 当，即，，且， 当，即时，，且， 因此， 在坐标系内作出函数和的图像，如图所示： 关于的方程恰有三个不相等的实数根，则.所以实数的取值范围是. 15．【详解】（1）， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，所以； （2）， ． 16．【详解】（1）取中点，连接，，又因为是等边三角形，所以， 又因为，，所以是等边三角形，所以， 又因为，平面，所以平面， 又平面，所以. （2）由三棱柱的体积为3．可知三棱锥的体积为1． 即, 解得，即，所以，又， 所以以为原点．以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，所以， 设平面的法向量为，则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 又；设平面的法向量为， 则，令，得，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角为，. 即平面与平面所成角的余弦值为． 17．【详解】（1）当时，，函数的定义域为， 且， 当时，在上恒成立，所以在上单调递减； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由，可得， 令，则， 所以，即在上单调递增， 且当时，；且时，，故存在，使得， 即存在，也即，且当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故， 又因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以，解得，所以实数的取值范围为. 18．【详解】（1）圆化为标准方程为，圆心，半径 圆化为标准方程为，圆心，半径；设动圆圆心，其半径为. 由题意，圆与圆外切，与圆内切，故， 两式相加得.即动点到两定点与的距离之和为常数12，且 满足椭圆的定义，于是其方程为： （2）曲线与轴交于，两点， 由方程令，得，即，，点为椭圆的右焦点. （i）法1：设过点的动直线的方程为：， 代入椭圆方程整理得：， ， 设，，则，， 不妨记，则；直线的方程为：，与直线交于点，则， 同理，直线与直线交于点，则， ，，，而， 在以为直径的圆上即圆过定点， 由对称性知，圆还过定点，所以圆过定点和. 法2：设过点的动直线的方程为：， 代入椭圆方程整理得：，， 设，， 则，，， 直线的方程为：，所以点，同理， 设以为直径的圆与轴的交点，则， 即（*）， 而 ， 代入（*）可得，得或即圆过定点，定点坐标为或. （ii）直线的方程为：，点，同理，， 而 ， ，而的方向向量， ，于，故直线与圆相切，切于点. 19．【详解】（1）表示第一次就生成并结束过程，即第一次预测为，且审核生成， . 表示第二次生成并结束过程，情况有：第一次预测为，且审核生成，第二次预测为；第一次预测为，审核必生成，第二次预测为，且审核生成. . （2）（，）时，第个词元输出为， 若前面个词元都预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故， 当时， 若前面个词元都没有预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故 所以的分布列为： 1 2 3 … … （3）由（1）得，由（2）得， ， ， ， ， 所以 所以 周练（十一）答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $