专项06 二次函数综合压轴解答题8大题型（大题专练）（浙江专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项06 二次函数综合压轴 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近两年浙江中考稳定为解答压轴，10分。2024年侧重分段函数+实际应用（无人机航拍）；2025年强化含参、中点、区间最值、函数与几何融合。核心考点为解析式、顶点、对称轴、最值、动点、存在性． 命题趋势：代几深度融合、参数讨论、数形结合、分类讨论；从纯计算转向建模与思维创新；设问梯度清晰（3小问）。 2026年预测：仍为压轴解答题；重点考查含参二次函数、区间最值、动点+特殊图形（平行四边形/矩形）、面积最值、存在性探究；强化几何变换、最短路径、代数推理；注重分类讨论、坐标法、方程思想。. 题型01 根据因变量的取值情况求参数的取值范围 析典例·建模型 1．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数（为常数且）． (1)当点在该二次函数图象上时，求的值． (2)已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）把点代入二次函数解析式即可解答； （2）①当时，抛物线开口向下，根据二次函数解析式可得对称轴为直线，根据题意推出到对称轴的距离比到对称轴的距离小即可解答； ②根据，可得或，代入不等式即可解答． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式， 得， 解得； （2）①证明：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ， 为到抛物线对称轴直线的距离， 为到抛物线对称轴直线的距离， ， 抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大， ； ②解： 或， 当时，， ， 解得， 解得， ∴不等式组无解； 当时，即， ， ， 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， 综上，． 研考点·通技法 此类题型常考察已知函数值范围求解析式中参数范围，结合区间最值、图象交点、不等式恒成立求参数，二次函数含参最值与存在性问题. 1. 先确定函数类型与自变量取值范围，写出函数表达式 2. 利用函数单调性、顶点、区间端点确定最值 3. 结合因变量取值范围列出对应不等式 4. 解不等式并结合图象取舍，注意分类讨论 5. 验证端点与特殊情况，规范写出最终范围. 破类题·提能力 1．（2026·浙江·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)若，时，求的值； (3)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)0 (3)或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，增减性，对称轴，掌握二次函数图象的性质是解题的关键； （1）将代入中，得，再将一般式化为顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标； （2）由求出，，再根据得到，代入计算即可； （3）的对称轴为，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据开口方向分类讨论． 【详解】（1）解：当时，抛物线， 配方，得， ∴当时，抛物线的顶点坐标为； （2）解：当时，，， 将代入得，，即， ∵， ∴， 将代入得，， 解得：或， ∵点、不重合， ∴； （3）解：∵的对称轴为， ∴关于对称轴对称的点坐标为， 当时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴，都在对称轴右侧， ∵对于，都有， ∴，解得，此时； 当时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴ ∴，都在对称轴的左侧， ∵对于，都有， ∴，解得，此时； 综上所述，的取值范围为或． 2．（2026·浙江舟山·一模）设二次函数． (1)若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标； (2)判断该函数是否存在最大值11，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)该函数存在最大值11，此时的值为或； (3)或． 【分析】（1）根据抛物线对称轴求出的值，再代入解析式化为顶点式，即可得解； （2）将解析式化为顶点式可得当时，该函数有最大值，再根据一元二次方程根的判别式求解即可； （3）将点代入函数解析式求出，从而判断函数图象开口向下，对称轴为直线，则，且，即可得解． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线， ， 解得：， ， 该函数的顶点坐标为； （2）解：， 若该函数存在最大值11， 则，整理得， ， 解得：，， 即该函数存在最大值11，此时的值为或； （3）解：点在函数图象上， ， 解得：， ， 函数图象开口向下，对称轴为直线， ，且， 和在函数图象上，且当时，都有， 或． 3．（2026·浙江舟山·一模）已知抛物线，，为坐标原点，，为该抛物线上的两点，且． (1)已知点，求该抛物线与轴的另一交点坐标． (2)记抛物线的对称轴与轴的交点为，若点在轴正半轴上，满足，求的值． (3)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入得出二次函数的解析式，然后令进行求解即可； （2）由题意易得，，然后把代入进行求解即可； （3）由题意易得，在直线左侧，则有对于，都有，则，然后问题可进行求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：或（舍）， ∴二次函数的解析式为， 令得，解得：， ∴该抛物线与轴的另一交点坐标为； （2）解：由可知：对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入得：， 解得：或（舍）， 所以； （3）解：因为抛物线开口向下，故当时，随的增大而增大， ∵， ∴，在直线左侧， 若对于，都有， 则， 因为，， 所以， 解得：． 题型02 根据自变量的取值情况求参数的取值范围 析典例·建模型 1．（2026·浙江温州·一模）已知抛物线（b为常数）经过点,． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当时,,求k的最大值． (3)过点B与x轴平行的直线交抛物线于点,若,求t的取值范围． 【答案】(1) (2)2． (3)． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可. （2）结合二次函数的图象和性质求解即可. （3）利用二次函数的对称性以及图象和性质求解即可. 【详解】（1）解：把代入,得,解得, ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：∵,,对称轴为直线, ∴当时,；而当或2时,, ∴由图象可得,当时,, ∴k的最大值为2． （3）解：∵点和点关于对称轴为直线对称， ∴，即, ∵ , 即, ∴． ∵,且当时，y随x的增大而减小, ∴当时,；时,． ∴t的取值范围是． 研考点·通技法 此类题型考察二次函数区间内恒成立问题，函数图象与线段/区间有交点，存在自变量使函数满足条件，结合开口、对称轴位置讨论参数. 1. 确定函数解析式与自变量取值区间，判断开口方向 2. 分析对称轴与给定区间的位置关系，分类讨论 3. 结合端点函数值、顶点最值列出不等式 4. 解不等式组，确定参数初步范围 5. 结合图象与题意验证端点，排除不合理解，写出最终范围。 破类题·提能力 6．（2026·浙江·一模）定义：若函数图象上存在点，，且满足，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数，当时，；当时，则函数的“域差值”为2 (1)点在的图象上，“域差值”，求m的值； (2)已知函数，求证该函数的“域差值”； (3)点为函数图象上的一点，将函数的图象记为W1，将函数的图象沿直线翻折后的图象记为当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意得到的值，再由，列方程解答，即可； （2）设函数图象上存在点，且满足，，可得，再利用不等式的性质即可得出，即； （3）当两部分组成的图象上所有的点满足“域差值”时，则，可得，对于函数的图象沿直线翻折后的图象即为：，利用对称性可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵点，在的图象上， ∵“域差值”， ， 即， 整理，得：， 解得：，， 经检验，，均是方程的解， ∴m的值为或； （2）证明：设函数图象上存在点，且满足， 当时，， 当时，， ， ， ， ， 即， 故该函数的“域差值”； （3）   解：∵点为函数图象上的一点， ， 由（2）得：， 当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时， 则， 解得：， ∴如图，当时，函数的图象上所有的点都满足“域差值”． 对于函数的图象沿直线翻折后的图象记为， 可得：， ∴． 【点睛】本题是函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，数形结合思想，解题的关键是正确理解题意并运用新定义解决问题． 题型03 二次函数与几何综合 析典例·建模型 1．（2026·浙江温州·一模）综合与实践 【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有． (1)【猜想验证】请证明上述结论． (2)【实践应用】如图2，若，则的坐标为___________． (3)【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点．经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合圆周角定理，证明∽即可； （2）根据求值即可； （3）根据，结合根与系数的关系求解即可. 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵，， ∴∽， ∴， 即； （2）解：由（1）知，， ∵， ∴，，， ∴， 解得， ∴； （3）解：设，， ∵， 即， 当时，由韦达定理可得，， ， 则． 研考点·通技法 此类题型考察函数与特殊三角形、四边形结合，线段最值与面积最值，动点存在性问题，相似与全等判定，铅垂高求面积，坐标法几何证明. 1. 由已知条件求出二次函数解析式 2. 设出动点坐标，用含参数式子表示相关线段长度 3. 结合几何图形性质列方程或不等式 4. 利用相似、勾股、面积公式建立等量关系 5. 分类讨论特殊图形情况，求解参数并验证合理性 6. 结合图象取舍解，规范写出结论。 破类题·提能力 1．（2026·浙江·二模）如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接． (1)求的值； (2)求的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入即可求得，把代入即可求得； （2）过点作交于，交于点，先求出的最大值，再证明，可得，即可求解； （3）先求得抛物线的顶点坐标，可得抛物线的对称轴和最大值，根据二次函数的图象与性质对进行分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， 把代入得，， 解得， ∴． （2）解：过点作交于，交于点， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴ ∴当时，有最大值为． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴当有最大值时，取到最大值， ∴的最大值为． （3）解：由得， ∴顶点为，即当时，有最大值4， ∵抛物线对称轴为， ∴当时或时，值相等，即， ①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，， ∵， ∴， 解得（舍），； ②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即， ∴，不符合题意； ③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴都不符合，舍去； 综上所述，． 2．（2026·浙江丽水·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)求抛物线的顶点的坐标；（要有过程） (2)若直线与抛物线的一个交点的横坐标为4，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当时，求的长． ②当点在点的下方，且线段的长随的长的增大而减小时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①10；② 【分析】（1）一般式化成顶点式，根据顶点式，直接写出顶点坐标即可； （2）①求出点坐标，进而求出抛物线的解析式，求出的坐标，进而求出的长即可；②根据点在点的下方，求出，根据，结合二次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； ∴顶点的坐标为； （2）解：①当时，， ∴， 把代入，得，解得， ∴， 由题意，，， 当时，，， ∴； ②由①知：，，抛物线的解析式为， 当时，解得或， ∵点在点的下方， ∴， ∴，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵线段的长随的长的增大而减小，即线段的长随的增大而减小，， ∴． 3．（2026·浙江温州·一模）已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），且，图象顶点的横坐标为4． (1)求两点的坐标． (2)求方程的解． (3)若，将此二次函数在轴下方的图象沿轴翻折得到新的函数图象，若直线与新图象有4个交点，从左至右依次为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的对称性； （1）先确定二次函数对称轴为直线，且两点关于对称，再根据，得到两点到的距离为，即可得到； （2）由利用交点式得到，即，代入方程求解即可； （3）先求出抛物线解析式为，翻折后，再画出图形，设，则，分别代入对应解析式，结合 ，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，图象顶点的横坐标为4． ∴二次函数对称轴为直线，且两点关于对称， ∵，在的左侧， ∴两点到的距离为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程化简为：， ∴， 解得：； （3）解： ， 翻折后， 如图，直线与新图象有4个交点，从左至右依次为， ，对称轴为直线， 设，则， 分别代入对应解析式，得：， ， 即， 解得：， ． 题型04区间最值问题 析典例·建模型 1．（2026·浙江·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线为．（为常数，） (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)将抛物线向下平移个单位后与轴交于，两点，求的长． (3)当（）时，的最大值与最小值之差为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，解题关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）将代入抛物线解析式中，化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）根据平移的特征写出平移后的解析式，令，解方程即可求得抛物线与轴的交点坐标，即可得解； （3）将抛物线化为顶点式，得到对称轴，结合，，，可得到抛物线的最值情况，根据最大值与最小值之差为列式计算即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线为. 抛物线的顶点坐标为； （2）解：抛物线向下平移个单位后为， 令，即， ， 解得或， 抛物线与轴的交点分别为，， ； （3）解：， 对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ，， 当时，取到最大值为， 当时，取到最小值，最小值为， 的最大值与最小值之差为， ， 化简得：，即， ， ， ， . 2．（2026·浙江·模拟预测）已知二次函数（为常数）图象经过点． (1)求二次函数表达式． (2)过点（其中）与轴平行的直线交抛物线于，两点，若，求的值． (3)设，二次函数图象在这一段夹在直线和直线之间，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）将代入，求出a的值，即得函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由得点在对称轴右边，点在对称轴左边．设点，则点，由B、C关于对称轴对称，得，求出s，即可求出t值； （3）根据二次函数图象在这一段夹在直线和直线之间，求的最大值，得直线与二次函数图象相切，直线与二次函数图象相交，求出b的值，得到另一条直线的解析式，联立解方程即得． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴二次函数表达式为． （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 设点，则点， ∵， ∴ ∵ ∴, ∴， 当时，， 解得， ∴， ∵， ∴不合； 当时， 解得， ∴，符合． 综上，的值为． （3）解：∵， ∴二次函数在的图象端点分别位于对称轴的两侧， ∵二次函数图象开口向下，直线在直线的上方， ∴当直线和二次函数图象相切时， 直线和二次函数图象两交点间的水平距离最大， 的值最大， 设直线和这一段图象切点为， ∴， 化简得． ∴， 解得， ∴另一条直线为． ∴当端点在直线上时， 设端点为，， 端点满足， 解得． 又， 故为使最大， 取． 故的最大值为6． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的图象性质，一次函数图象和性质，二次函数图象与一次函数图象交点，是解题的关键． 研考点·通技法 此类题型考察二次函数在固定自变量区间内的最大、最小值，含参函数对称轴变动引发的最值讨论，结合实际问题的区间最值，根据最值范围反求参数. 1. 确定函数解析式、开口方向与自变量取值区间 2. 求出对称轴，判断对称轴与区间的位置关系 3. 开口向上时，离对称轴越远函数值越大；开口向下则相反 4. 分别计算顶点及区间端点处的函数值，比较得出最值 5. 含参问题分类讨论，结合题意列出不等式求解参数范围 6. 验证端点与特殊情况，规范写出结果。 破类题·提能力 1．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知抛物线（为常数）． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若抛物线与轴交于点． ①求的值． ②设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间．若直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6，求的值． 【答案】(1)直线 (2)①或8；②或24 【分析】（1）先把抛物线的解析式化成顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）①直接将代入抛物线得到t的方程求解即可；②分和8两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵（为常数）， ∴对称轴为直线． （2）解：①把代入得：，解得：或8． ②由①得：或8， 当时，，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间，且， ∴下方的平行线不能在顶点上方， ∵直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6， ∴下方的直线经过顶点，此时与抛物线两交点的横坐标分别为和， ∴，两交点为，此时，为直线， ∴； 当时，， ∵抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间，且， ∴下方的平行线在顶点上方， ∵直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6， ∴直线与对称轴右侧的抛物线交点横坐标分别为且要尽可能靠近对称轴， ∴，即：直线与对称轴右侧的抛物线交点分别为， ∴． 综上，或24． 2．（2026·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线（k为常数）上． (1)当时，求的值； (2)若点也在该抛物线上，且，均为负数，求的取值范围； (3)当时，若该抛物线对应的函数最大值是，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查含参数的二次函数综合问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入二次函数表达式求值即可； （2）先求出、的表达式，再结合，均为负数，得出与相关的不等式，最后求解即可 （3）由于函数顶点横坐标未确定，故对的取值分三种情况进行讨论，对每种情况下的进行求解，并检查是否符合讨论的前提，最终得出结果． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故的值为． （2）解：当时，， 当时，， ∵，均为负数， ∴， 解得； ∴， 解得； 故的取值范围为． （3）解：函数对称轴为直线， 结合以及对称轴为直线，进行分类讨论： 当，即时， ，函数取得最大值， 即， 解得，不满足，故舍去； 当，即时， ，函数取得最大值， 即， 解得或（不满足，故舍去）； 当，即时， ，函数取得最大值， 即， 解得； 综上，或． 3．（2026·浙江嘉兴·一模）已知二次函数（为常数）． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)过点且与轴平行的直线交二次函数的图象于点，，． ①求的取值范围； ②若，且当时，二次函数的最小值为2，求的值． 【答案】(1) (2)①，②的值为或． 【分析】（1）直接利用对称轴公式进行计算即可； （2）①求出时的的值，即可得出结果；②根据题意，易得点在二次函数的图象上，待定系数法求出函数解析式，再分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线． （2）解：①如图1，当时， 则二次函数的图象经过点， ∴， ∴当时，． ②如图2，∵，且二次函数图象的对称轴为直线， ∴点在二次函数的图象上， ∴，解得． ∴． （Ⅰ）当时，， ∴当时，二次函数的最小值为2， ∴，解得（舍去）或． （Ⅱ）当时，， ∴当时，二次函数的最小值为2， ∴，解得或（舍去）． 综上：的值为或． 4．（2026·浙江舟山·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值； (3)当自变量x满足时，y的最大值为m，最小值为n，且，求t的值． 【答案】(1) (2)3 (3)3或 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用函数图象平移的规则“左加右减，上加下减”得到平移后的函数表达式，再求得时的m值即可； （3）分，，三种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点， ∴，，则， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：将该函数图象向上平移m个单位后，所得函数表达为， ∵所得图象与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得； （3）解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，， ∴抛物线上，横坐标为5的点的对称的点的横坐标为， ∴当时，最大值，最小值， 由得， 解得，（舍去）； 当时，最大值，最小值， ∴不满足，不符合题意； 当时，最大值为，最小值为， 由得， 解得，（舍去）， 综上，t的值为3或． 题型05 二次函数的实际应用 析典例·建模型 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）某商店出售一批进价为每件20元的日用品，经调查发现，该日用品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足． (1)求日销售利润与销售单价之间的函数关系式． (2)销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为30元时，日销售利润最大，最大利润为300元 【分析】（1）根据“日销售利润=单件利润×日销售量”，列出函数解析式，即可解答； （2）将二次函数配方成顶点式，结合二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：． （2）解：， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当销售单价定为30元时，日销售利润最大，最大利润为300元． 研考点·通技法 此类题型考察抛射物体运动、几何图形面积最值、商品销售利润最大、工程与方案优化类问题. 1. 审题并设出自变量与因变量 2. 根据题意列出等量关系，建立二次函数模型 3. 配方或用公式求顶点坐标，确定最值 4. 结合实际意义确定自变量取值范围 5. 判断最值是否在有效区间内，取舍结果 6. 规范作答，写出最值及对应条件 破类题·提能力 1．（2026·浙江舟山·一模）某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示． 调研主题 装饰舞台—安装电子屏幕 模型抽象 顶棚截面图如图所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点成中心对称，以点为原点，过点的水平直线为轴，过点且垂直于轴的竖直直线为轴建立平面直角坐标系．舞台平面与轴平行，交轴于点． 安装方式 矩形电子屏幕如图所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点处，左端从抛物线上的点处拉一条绳索固定，轴，交轴于点，点、在边上，边与平行于轴． 任务目标 1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于米； 2．与轴之间的距离为，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计） 数据采集 顶点F的坐标为，， (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算说明与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度． 【答案】(1) (2)与舞台平面l之间的距离符合要求， 【分析】（1）由关于原点中心对称的点的坐标特征，可得抛物线的顶点坐标，根据待定系数法即可得抛物线的函数表达式； （2）由题意可得与舞台平面之间的距离，当时，，可得，结合已知即可得绳索的长度． 【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线关于点成中心对称，顶点的坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把点代入， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：由题意可得与舞台平面之间的距离为， 当时，， ∴， 由题可得的长度为， ∴， ∴与舞台平面之间的距离符合要求，绳索的长度为． 2．（2026·浙江杭州·模拟预测）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线． 【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离（单位：m）和竖直高度（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图． 设抛物线的表达式为． … … … … (1)【建立模型】求出抛物线的函数表达式； (2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离； (3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为，顶点为，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米． 【答案】(1) (2)，投掷的距离为米 (3)改进后投掷实心球的距离能超过10米 【分析】（1）由表格分析出对称轴和顶点坐标，再将一个点坐标代入求出的值即可； （2）由（1）可得顶点坐标，令求出对应的的值即可； （3）先根据题意写出新的函数表达式，再令求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知，点和点的纵坐标相等， ∴抛物线的对称轴为直线， 结合表格可知，顶点坐标为， ∴，，， 将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）可知，顶点坐标为，顶点即最高点， 将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）， ∴小明该次投掷实心球的距离为9.8米； （3）解：根据题意，改进后，， 将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）． ∵， 又∵， ∴， ∴． 答：改进后投掷实心球的距离能超过10米． 3．（2026·浙江舟山·一模） 《观景拱桥的设计》 项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示： 任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式． 任务2 利用模型 （2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离． 任务3 分析计算 （3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度） 【答案】（1）；（2）；（3）米 【分析】此题考查二次函数和三角函数的性质及其应用，要结合图形分析并解决问题是解题关键． （1）设抛物线的解析式为，运用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，进而表示出，的长，由， 列方程求解可得，的长，进而根据线段之间的和差关系可求得的长； （3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示，根据平行可设直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式，根据相切结合根的判别式列式计算，即可求得直线的解析式，进而可得点的坐标，即可求得的长，根据射灯射出的光线与地面成角，可得，解直角三角形即可求得的长． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，， 根据对称性可得， 设点的坐标为， 根据题意得，， ， ， 解得，（不合题意，舍去）， ，， ， ； （3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示， ，光线所在的直线解析式为， 设直线的解析式为， 联立， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， ，， ， 即光线与抛物线之间的距离为米． 题型06 二次函数中的证明问题 析典例·建模型 1．（2026·浙江·模拟预测）已知抛物线（b、c为常数）经过点． (1)若抛物线经过点． ①求抛物线的函数表达式； ②若抛物线上的点在直线的上方，当时，求m的取值范围． (2)若抛物线与x轴的另一个交点为C，与y轴的交点为D，求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）①用待定系数法，即可求解；②根据二次函数和不等式的关系，即可求解； （2）根据抛物线经过点，可得，则，分别求出点C、D的坐标，即可求证． 【详解】（1）解：①抛物线经过点，点， ，解得， ； ②， 顶点坐标，开口向下，点在抛物线上， ， 当时，；，即时，； 点在直线的上方， 当时，m的取值范围是：； （2）证明：抛物线经过点， ，则， 当时，，即， 当时，，解得，， ， ， ． 研考点·通技法 此类题型考察证明线段相等、角相等、三点共线、特殊三角形、特殊四边形、垂直平行关系，以及代数式恒成立、定点定值问题. 1. 求出二次函数及相关点坐标，打好基础 2. 用坐标表示线段、距离，转化为代数运算 3. 利用勾股定理、距离公式、斜率关系推导等量或位置关系 4. 结合特殊图形性质进行推理验证 5. 对定点定值问题，消去参数得出与变量无关的结论 6. 严谨书写推导过程，完整呈现证明逻辑 破类题·提能力 1．（2026·浙江杭州·一模）已知关于x的二次函数． (1)当函数图象经过点时． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上，求的值． (2)设点，是该函数图象上的两点，且．求证：． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【分析】（1）①把代入，得出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可；②根据平移方式求出平移后的两点坐标，代入①中所求关系式，得出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可； （2）把点，分别代入，结合得出，根据平方的非负数性质即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为． ②∵， ∴点向右平移个单位的坐标为，向左平移个单位的坐标为， ∵点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上， ∴， 解得：． （2）证明：∵， ∴， ∵点，是该函数图象上的两点， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴． 2．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数的函数值和自变量的部分对应值如下表所示： … … … … (1)当时， 求该二次函数图象的顶点坐标； 若，求的取值范围； (2)求证：． 【答案】(1)顶点坐标为； (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）令，求得对应的值，然后根据二次函数的对称性即可确定顶点坐标；根据函数图象的对称性可得：离对称轴越远，函数值越大，得到对应的点比对应的点距离对称轴远，列不等式，解不等式即可得解； （2）令，得到，进而表示出，结合即可得证． 【详解】（1）解：当时， 当时，， 当时，， 由二次函数的对称性可知顶点坐标为． 二次函数图象的对称轴为直线，且，开口向上， 离对称轴越远，函数值越大， ， 对应的点比对应的点距离对称轴远， ，即， 或， 解得或， 观察表格可知，， ． （2）证明：当时，， ， ， ， ． 题型08 二次函数图象性质特点 析典例·建模型 1．（2026·浙江湖州·一模）已知二次函数（a为常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标； (2)与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长； (3)若，点，在该二次函数图象上，试说明． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）把代入二次函数解析式得，然后配成顶点式即可求解； （2）由题意易得该二次函数与x轴的交点坐标为，则有该二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：当时，则二次函数的解析式为， 化为顶点式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：令，则有，解得， ∴该二次函数与x轴的交点坐标为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称， ∵点B的横坐标为， ∴点B到对称轴的距离为， 根据对称的性质可知：； （3）解：∵点，在该二次函数图象上， ∴， ， ∴ ， 当时，即， 解得：， ∵，且， ∴， 即． 研考点·通技法 此类题型考察判断开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性；判断与坐标轴交点个数；根据图象判断系数关系及代数式符号；图象平移变换. 1. 由二次项系数确定开口方向，a＞0向上，a＜0向下 2. 用公式求出对称轴与顶点坐标 3. 结合对称轴判断函数增减区间 4. 由判别式判断与x轴交点个数，由c确定与y轴交点 5. 根据图象位置分析a、b、c符号及相关代数式正负 6. 按“左加右减，上加下减”处理平移问题，结合题意得出结论 破类题·提能力 1．（2026·浙江金华·一模）我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离．已知点为平面直角坐标系内一点． (1)若将点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，求点的平移距离的长度； (2)将直线平移得直线，设直线上任意一点平移后的对应点为．若直线的平移距离，且直线平行于第二、四象限的角平分线，求直线的函数表达式； (3)将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，当时，抛物线上的点到轴的距离都小于，求抛物线的平移距离的取值范围． 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为或 (3) 【分析】（1）根据平移的规律求出平移后点的坐标，再根据距离公式求解即可； （2）先确定平移方向，再结合平移距离求出平移的单位长度，最后根据直线平移规律求函数表达式； （3）设沿射线平移的距离为，可看成沿轴向右平移个单位，沿轴向上平移个单位，确定平移后抛物线的顶点，进而得到平移后抛物线的解析式，最后利用抛物线上的点到轴的距离都小于列不等式求解. 【详解】（1）解：∵点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴， ∴； （2）解：∵直线平行于第二、四象限的角平分线， ∴点沿直线的方向平移， ∴设点沿轴平移个单位，沿轴平移个单位， ∵， ∴， ∴直线沿直线方向平移个单位，相当于向左平移个单位，向上平移个单位，或向右平移个单位，向下平移个单位， ∴直线的函数表达式：或， 即：直线的函数表达式为或； （3）解：∵ ∴平移前顶点 设沿射线平移的距离为，可看成沿轴向右平移个单位，沿轴向上平移个单位， ∴， 解得：， ∴平移后顶点为， ∴平移后解析式：， ∵， ∴， 当时， ∴当时，抛物线的顶点始终满足到轴的距离小于， ∵当时，， 当时，， ∵， ∴当时，最大， ∵， ∴解得， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴综上：. 2．（2026·浙江湖州·模拟预测）定义：对于y关于x的函数，在范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m． (1)对于一次函数，在的范围内，分别求出M和m的值． (2)对于二次函数，甲、乙两位同学有以下说法： 甲同学说：“在的范围内，，．” 乙同学说：“在的范围内，若，则，．” 甲、乙两位同学的说法正确吗?请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由 【答案】(1)； (2)甲同学说法错误；乙同学说法错误，理由见解析 【分析】（1）根据一次函数的增减性得到最值即可； （2）先配方，得到二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质分别判断甲、乙同学的推断即可． 【详解】（1）解：因为一次函数的函数值y随自变量x的增大而增大， 所以当时，；当时，． （2）解：甲同学说法错误；乙同学说法错误． 对“甲同学说法”的判断理由如下： ， ∵抛物线开口向上，在的范围内， ∴当时，函数最小值为， 当时，， 当时， ∴在的范围内函数最大值； 对“乙同学说法”的判断理由如下： 二次函数，对称轴为， 时，则在的范围内，随的增大而减小， 时，二次函数有最大值，时，最小值， ∵， ∴，即， ∵， ∴一元二次方程没有实数根， ∴不符合题意； 时， 时，二次函数有最大值，当时，有最小值， ，符合题意； 时， 当时，有最大值，当时，最小值， ， 若，则， 解得， 只有当时符合题意； 综上，“在的范围内，若，则，”这种说法是错误的， 即甲同学说法错误，乙同学说法错误． 3．（2026·浙江衢州·一模）已知二次函数（常数）． (1)当时，求该二次函数图像的顶点坐标． (2)是否存在实数，使得对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当时，若始终成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3)，且 【分析】（1）利用顶点解析式求顶点坐标即可； （2）利用二次函数的对称轴进行求解； （3）根据题意列出，得出，然后利用二次函数的性质以及不等式进行求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴顶点坐标为； （2）解：存在，，理由如下： 二次函数的对称轴为直线， ∵对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等， ∴对称轴为直线， ∴， 解得； （3）解：根据题意得，， ， 当时，恒成立， 故， 当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∵当时，若始终成立， ∴，且． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项06 二次函数综合压轴 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近两年浙江中考稳定为解答压轴，10分。2024年侧重分段函数+实际应用（无人机航拍）；2025年强化含参、中点、区间最值、函数与几何融合。核心考点为解析式、顶点、对称轴、最值、动点、存在性． 命题趋势：代几深度融合、参数讨论、数形结合、分类讨论；从纯计算转向建模与思维创新；设问梯度清晰（3小问）。 2026年预测：仍为压轴解答题；重点考查含参二次函数、区间最值、动点+特殊图形（平行四边形/矩形）、面积最值、存在性探究；强化几何变换、最短路径、代数推理；注重分类讨论、坐标法、方程思想。. 题型01 根据因变量的取值情况求参数的取值范围 析典例·建模型 1．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数（为常数且）． (1)当点在该二次函数图象上时，求的值． (2)已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 研考点·通技法 此类题型常考察已知函数值范围求解析式中参数范围，结合区间最值、图象交点、不等式恒成立求参数，二次函数含参最值与存在性问题. 1. 先确定函数类型与自变量取值范围，写出函数表达式 2. 利用函数单调性、顶点、区间端点确定最值 3. 结合因变量取值范围列出对应不等式 4. 解不等式并结合图象取舍，注意分类讨论 5. 验证端点与特殊情况，规范写出最终范围. 破类题·提能力 1．（2026·浙江·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)若，时，求的值； (3)若对于，都有，求的取值范围． 2．（2026·浙江舟山·一模）设二次函数． (1)若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标； (2)判断该函数是否存在最大值11，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围． 3．（2026·浙江舟山·一模）已知抛物线，，为坐标原点，，为该抛物线上的两点，且． (1)已知点，求该抛物线与轴的另一交点坐标． (2)记抛物线的对称轴与轴的交点为，若点在轴正半轴上，满足，求的值． (3)若对于，都有，求的取值范围． 题型02 根据自变量的取值情况求参数的取值范围 析典例·建模型 1．（2026·浙江温州·一模）已知抛物线（b为常数）经过点,． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当时,,求k的最大值． (3)过点B与x轴平行的直线交抛物线于点,若,求t的取值范围． 研考点·通技法 此类题型考察二次函数区间内恒成立问题，函数图象与线段/区间有交点，存在自变量使函数满足条件，结合开口、对称轴位置讨论参数. 1. 确定函数解析式与自变量取值区间，判断开口方向 2. 分析对称轴与给定区间的位置关系，分类讨论 3. 结合端点函数值、顶点最值列出不等式 4. 解不等式组，确定参数初步范围 5. 结合图象与题意验证端点，排除不合理解，写出最终范围。 破类题·提能力 6．（2026·浙江·一模）定义：若函数图象上存在点，，且满足，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数，当时，；当时，则函数的“域差值”为2 (1)点在的图象上，“域差值”，求m的值； (2)已知函数，求证该函数的“域差值”； (3)点为函数图象上的一点，将函数的图象记为W1，将函数的图象沿直线翻折后的图象记为当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，求a的取值范围．   解：∵点为函数图象上的一点， ， 题型03 二次函数与几何综合 析典例·建模型 1．（2026·浙江温州·一模）综合与实践 【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有． (1)【猜想验证】请证明上述结论． (2)【实践应用】如图2，若，则的坐标为___________． (3)【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点．经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标． 研考点·通技法 此类题型考察函数与特殊三角形、四边形结合，线段最值与面积最值，动点存在性问题，相似与全等判定，铅垂高求面积，坐标法几何证明. 1.  由已知条件求出二次函数解析式 2.  设出动点坐标，用含参数式子表示相关线段长度 3.  结合几何图形性质列方程或不等式 4.  利用相似、勾股、面积公式建立等量关系 5.  分类讨论特殊图形情况，求解参数并验证合理性 6. 结合图象取舍解，规范写出结论。 破类题·提能力 1．（2026·浙江·二模）如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接． (1)求的值； (2)求的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，求的值． 2．（2026·浙江丽水·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)求抛物线的顶点的坐标；（要有过程） (2)若直线与抛物线的一个交点的横坐标为4，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当时，求的长． ②当点在点的下方，且线段的长随的长的增大而减小时，求的取值范围． 3．（2026·浙江温州·一模）已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），且，图象顶点的横坐标为4． (1)求两点的坐标． (2)求方程的解． (3)若，将此二次函数在轴下方的图象沿轴翻折得到新的函数图象，若直线与新图象有4个交点，从左至右依次为，当时，求的值． 题型04区间最值问题 析典例·建模型 1．（2026·浙江·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线为．（为常数，） (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)将抛物线向下平移个单位后与轴交于，两点，求的长． (3)当（）时，的最大值与最小值之差为，求的取值范围． 2．（2026·浙江·模拟预测）已知二次函数（为常数）图象经过点． (1)求二次函数表达式． (2)过点（其中）与轴平行的直线交抛物线于，两点，若，求的值． (3)设，二次函数图象在这一段夹在直线和直线之间，求的最大值． 研考点·通技法 此类题型考察二次函数在固定自变量区间内的最大、最小值，含参函数对称轴变动引发的最值讨论，结合实际问题的区间最值，根据最值范围反求参数. 1. 确定函数解析式、开口方向与自变量取值区间 2. 求出对称轴，判断对称轴与区间的位置关系 3. 开口向上时，离对称轴越远函数值越大；开口向下则相反 4. 分别计算顶点及区间端点处的函数值，比较得出最值 5. 含参问题分类讨论，结合题意列出不等式求解参数范围 6. 验证端点与特殊情况，规范写出结果。 破类题·提能力 1．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知抛物线（为常数）． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若抛物线与轴交于点． ①求的值． ②设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间．若直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6，求的值． 2．（2026·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线（k为常数）上． (1)当时，求的值； (2)若点也在该抛物线上，且，均为负数，求的取值范围； (3)当时，若该抛物线对应的函数最大值是，求的值． 3．（2026·浙江嘉兴·一模）已知二次函数（为常数）． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)过点且与轴平行的直线交二次函数的图象于点，，． ①求的取值范围； ②若，且当时，二次函数的最小值为2，求的值． 4．（2026·浙江舟山·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值； (3)当自变量x满足时，y的最大值为m，最小值为n，且，求t的值． 题型05 二次函数的实际应用 析典例·建模型 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）某商店出售一批进价为每件20元的日用品，经调查发现，该日用品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足． (1)求日销售利润与销售单价之间的函数关系式． (2)销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 研考点·通技法 此类题型考察抛射物体运动、几何图形面积最值、商品销售利润最大、工程与方案优化类问题. 1. 审题并设出自变量与因变量 2. 根据题意列出等量关系，建立二次函数模型 3. 配方或用公式求顶点坐标，确定最值 4. 结合实际意义确定自变量取值范围 5. 判断最值是否在有效区间内，取舍结果 6. 规范作答，写出最值及对应条件 破类题·提能力 1．（2026·浙江舟山·一模）某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示． 调研主题 装饰舞台—安装电子屏幕 模型抽象 顶棚截面图如图所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点成中心对称，以点为原点，过点的水平直线为轴，过点且垂直于轴的竖直直线为轴建立平面直角坐标系．舞台平面与轴平行，交轴于点． 安装方式 矩形电子屏幕如图所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点处，左端从抛物线上的点处拉一条绳索固定，轴，交轴于点，点、在边上，边与平行于轴． 任务目标 1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于米； 2．与轴之间的距离为，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计） 数据采集 顶点F的坐标为，， (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算说明与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度． 2．（2026·浙江杭州·模拟预测）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线． 【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离（单位：m）和竖直高度（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图． 设抛物线的表达式为． … … … … (1)【建立模型】求出抛物线的函数表达式； (2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离； (3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为，顶点为，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米． 3．（2026·浙江舟山·一模） 《观景拱桥的设计》 项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示： 任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式． 任务2 利用模型 （2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离． 任务3 分析计算 （3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度） 题型06 二次函数中的证明问题 析典例·建模型 1．（2026·浙江·模拟预测）已知抛物线（b、c为常数）经过点． (1)若抛物线经过点． ①求抛物线的函数表达式； ②若抛物线上的点在直线的上方，当时，求m的取值范围． (2)若抛物线与x轴的另一个交点为C，与y轴的交点为D，求证：． 研考点·通技法 此类题型考察证明线段相等、角相等、三点共线、特殊三角形、特殊四边形、垂直平行关系，以及代数式恒成立、定点定值问题. 1. 求出二次函数及相关点坐标，打好基础 2. 用坐标表示线段、距离，转化为代数运算 3. 利用勾股定理、距离公式、斜率关系推导等量或位置关系 4. 结合特殊图形性质进行推理验证 5. 对定点定值问题，消去参数得出与变量无关的结论 6. 严谨书写推导过程，完整呈现证明逻辑 破类题·提能力 1．（2026·浙江杭州·一模）已知关于x的二次函数． (1)当函数图象经过点时． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上，求的值． (2) 设点，是该函数图象上的两点，且．求证：． 2．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数的函数值和自变量的部分对应值如下表所示： … … … … (1)当时， 求该二次函数图象的顶点坐标； 若，求的取值范围； (2)求证：． 题型08 二次函数图象性质特点 析典例·建模型 1．（2026·浙江湖州·一模）已知二次函数（a为常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标； (2)与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长； (3)若，点，在该二次函数图象上，试说明． 研考点·通技法 此类题型考察判断开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性；判断与坐标轴交点个数；根据图象判断系数关系及代数式符号；图象平移变换. 1. 由二次项系数确定开口方向，a＞0向上，a＜0向下 2. 用公式求出对称轴与顶点坐标 3. 结合对称轴判断函数增减区间 4. 由判别式判断与x轴交点个数，由c确定与y轴交点 5. 根据图象位置分析a、b、c符号及相关代数式正负 6. 按“左加右减，上加下减”处理平移问题，结合题意得出结论 破类题·提能力 1．（2026·浙江金华·一模）我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离．已知点为平面直角坐标系内一点． (1)若将点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，求点的平移距离的长度； (2)将直线平移得直线，设直线上任意一点平移后的对应点为．若直线的平移距离，且直线平行于第二、四象限的角平分线，求直线的函数表达式； (3)将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，当时，抛物线上的点到轴的距离都小于，求抛物线的平移距离的取值范围． 2．（2026·浙江湖州·模拟预测）定义：对于y关于x的函数，在范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m． (1)对于一次函数，在的范围内，分别求出M和m的值． (2)对于二次函数，甲、乙两位同学有以下说法： 甲同学说：“在的范围内，，．” 乙同学说：“在的范围内，若，则，．” 甲、乙两位同学的说法正确吗?请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由 3．（2026·浙江衢州·一模）已知二次函数（常数）． (1)当时，求该二次函数图像的顶点坐标． (2)是否存在实数，使得对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当时，若始终成立，求的取值范围． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $