专题 3.2.1 离散型随机变量及其分布（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题 3.2.1 离散型随机变量及其分布 教学目标 1理解随机变量、离散型随机变量的概念，能区分离散型与非离散型随机变量，会用随机变量表示随机试验的结果。 2.掌握离散型随机变量分布列的定义，理解分布列的两个核心性质（非负性、归一性）。 3.会求简单离散型随机变量的分布列，能利用分布列的性质解决含参数的相关问题。 教学重难点 1.重点： （1）离散型随机变量的概念理解：明确离散型随机变量的本质特征（取值可一一列举），能正确识别离散型随机变量。 （2）离散型随机变量分布列的定义与性质：掌握分布列的表格形式，理解并能运用非负性、归一性解决问题。 （3）简单离散型随机变量分布列的求解：掌握分布列的求解步骤，能结合古典概型、互斥事件概率公式计算概率并列出分布列。 2.难点： （1）随机变量概念的抽象理解：学生容易混淆 “随机试验结果” 与 “随机变量取值”，难以理解随机变量是 “将随机试验结果数量化” 的桥梁，是本节课的核心难点。 （2）分布列性质的灵活应用：学生容易忽略分布列的 “归一性” 和 “非负性” 的双重检验，尤其在含参数的分布列问题中，易出现只验证和为 1、不验证概率非负的错误。 （3）复杂情境下离散型随机变量的确定与概率计算：在多步骤随机试验中，学生容易漏写或错写随机变量的取值，或在计算对应概率时出现重复、遗漏样本点的问题，导致分布列错误。 知识点01 离散型随机变量 1. 随机变量： （1）定义：如果随机试验的每一个可能结果e，都唯一对应着一个实数X(e)，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量。 （2）表示：常用大写字母X,Y,ξ,η等表示，其取值用小写字母x,y等表示。 2. 离散型随机变量 定义：如果随机变量X的所有可能取值都可以逐个列举出来（有限个或至多可数个），则称X为离散型随机变量。 【即学即练】 （25-26高二下·全国·课堂例题）下列变量中，是离散型随机变量的是（    ） A．到2025年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，投中的次数 【答案】D 【知识点】判断随机试验中的随机变量、离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】由离散型随机变量的特点逐一判断即可. 【详解】因为离散型随机变量的取值是可以一一列举的， 对于A，描述是一个对象的集合，而不是一个数值变量，不满足题意； 对于B，C，由题意可知是连续型随机变量，不满足题意； 对于D，由题意可知投中的次数可能为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.满足题意. 故选：D. 知识点02 离散型随机变量的分布列 1.离散型随机变量的分布列 （1）定义：设离散型随机变量X的可能取值为x1 ,x2 ,…,xn，对应概率为p1 ,p2 ,…,pn，记 P(X=xi )=pi (i=1,2,…,n)，这个解析式称为X的概率分布列（简称分布列）。 表格形式： 2.分布列的基本性质 （1）非负性：pi≥0 (i=1,2,…,n)，所有概率值均为非负数。 （2）归一性：p1+p2+…+pn=1，即所有概率之和为 1，这是检验分布列正确性的关键依据。 3.分布列的求解步骤： （1）定变量：明确随机变量X的所有可能取值，注意不重不漏。 （2）求概率：计算每个取值对应的概率，常用古典概型、互斥事件概率加法公式等方法。 （3）列表格：整理为分布列形式。 （4）验性质：验证所有概率非负且和为 1，检验结果正确性。 【即学即练】 （25-26高二下·全国·课堂例题）从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个.记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列. 【答案】分布列见解析 【知识点】求集合的子集（真子集）、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】的所有可能值为1，2，3，4，5，进而利用古典概型概率公式求得的分布列. 【详解】依据题意，的所有可能值为1，2，3，4，5. 集合的所有非空子集有， 又，，，，. 故的分布列为 1 2 3 4 5 题型01 判断随机试验中的随机变量 【典例1】（25-26高二下·全国·课堂例题）指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号码； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (3)某林场树木最高达30m，则此林场中树木的高度； (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 (3)不是，理由见解析 (4)不是，理由见解析 【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】根据离散型随机变量的定义，即可逐一求解. 【详解】（1）该随机变量的所有可能取值为1, 2, 3, ..., 10，是有限个可数的值，可以一一列出，故为离散型随机变量. （2）从10个球中取3个球，所含白球的个数可能为0,1,2,3，因此白球的个数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义. （3）林场树木的高度是一个随机变量，它可以取内的一切值，无法一一列出，不是离散型随机变量. （4）该差值可以取某一区间内的任意实数，其所有可能取值无法一一列出，故不是离散型随机变量. 【变式1-1】（24-25高二下·河南驻马店·月考）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（   ） A．第4次投篮命中 B．第4次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．投篮命中4次 【答案】C 【知识点】判断随机试验中的随机变量 【分析】根据变量的意义进行判断. 【详解】根据变量的意义可知：表示前3次投篮均未命中，可以进行第四次投篮，则投篮次数为4次. 故选：C 【变式1-2】（24-25高二下·全国·课后作业）判断下列各个量，指出其中哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)北京国际机场候机厅中，2030年4月1日的旅客数量； (2)体积为的球的半径； (3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品所获得的奖次． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)不是，理由见解析； (3)是，理由见解析. 【知识点】判断随机试验中的随机变量 【分析】（1）（2）（3）根据随机变量可以用数值表示，且结果是随机的，理解判断即可. 【详解】（1）旅客数量可能是出现的结果是随机的，因此旅客数量是随机变量； （2）当球的体积是时，球的半径为定值，因此球的半径不是随机变量； （3）你的一件作品所获得的奖次可能是一、二、三等奖，是随机的，因此奖次是随机变量. 【变式1-3】（24-25高二下·全国·课后作业）指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)某座大桥一天内经过的车辆数量； (2)某超市5月份每天的销售额； (3)当江西省九江市长江水位监测站所测水位在这一范围内变化时，该水位监测站所测水位． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)是，理由见解析； (3)不是，理由见解析. 【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】（1）（2）（3）离散型随机变量和连续型随机变量的主要区别在于离散型随机变量可以被一一列举出来，理解判断即可. 【详解】（1）车辆数量可以被一一列举出来，所以是离散型随机变量； （2）5月份每天的销售额可以被一一列举出来，所以是离散型随机变量； （3）水位监测站所测水位在这一范围内变化，不能被一一列举出来，所以不是离散型随机变量. 题型02 离散型随机变量的判断 【典例2】（多选）（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）下列是离散型随机变量的是（    ） A．车载大灯的使用寿命X1 B．从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2 C．某次物理实验测量所得的实验误差X3 D．某培养皿上的细菌个数X4 【答案】BD 【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】根据离散型随机变量的概念，离散型随机变量是可取值为有限个或可以一一列举的随机变量，逐项判断即可． 【详解】对于A，车载大灯的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为能一一列举，是离散型随机变量； 对于C，某次物理实验测量所得的实验误差不能一一列举，不是离散型随机变量； 对于D，某培养皿上的细菌个数能一一列举，是离散型随机变量． 故选：BD． 【变式2-1】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥一天经过的车辆数 B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 【答案】ABD 【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】根据已知条件，结合离散型随机变量的定义，即可求解. 【详解】A，B，D中的可以取的值可以一一列举出来，可以作为离散型随机变量， 而C中的可以取某一区间内的一切值，属于连续型，不能作为离散型随机变量. 故选：ABD. 【变式2-2】（多选）（24-25高二下·山西临汾·月考）下列变量是离散型随机变量的是（    ） A．某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位H B．抛掷一枚硬币直到出现正面为止，需要的抛掷次数 C．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 D．方程的实根个数 【答案】BC 【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】根据离散型随机变量的定义判断. 【详解】对于A，因为水位在内变化，不能一一举出，故不是离散型随机变量，故A错误； 对于B，需要抛掷次数可以一一举出，所以是离散型随机变量，故B正确； 对于C，做对选择题第11题的人数可以一一举出，所以是离散型随机变量，故C正确； 对于D，方程的实根有2个，是确定的值，不是随机变量，故D错误. 故选：BC. 【变式2-3】（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（   ） A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数 B．南京长江大桥一天经过的车辆数 C．某型号彩电的寿命 D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和 【答案】ABD 【知识点】判断随机试验中的随机变量、离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】由随机变量的特点逐一判断即可. 【详解】因为B,D中的取值有限，且可以一一列举出来， 故B,D中的均为离散型随机变量． 因为中的取值依次为1，2，3，…，虽然无限，但可一一列举出来， 故为离散型随机变量． 而C中的取值不能一一列举出来， 所以中的不是离散型随机变量． 故选：ABD 题型03 写出简单离散型随机变量分布列 【典例3】（25-26高二下·宁夏银川·月考）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 【答案】(1) (2)的分布列为： 2 3 4 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）判断随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列. 【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， ，， 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： . （2）随机变量的可能取值为2，3，4. ，，. 所以的分布列为： 2 3 4 【变式3-1】（25-26高二下·全国·课堂例题）一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出2个球，用0表示2个球都是白球，用1表示2个球不全是白球，则满足条件X的分布列为（    ） A． 0 1 B． 0 1 C． 0 1 D． 0 1 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】利用古典概型计算随机变量取值的概率即可判断. 【详解】从7个球中任意摸出2个球，共有（种）取法， 摸出的2个球都是白球，共有（种）取法， 故， . 故选：A. 【变式3-2】（25-26高三下·浙江杭州·月考）某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类．每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测． (1)求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； (2)设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率 【分析】(1)由条件事件的概率进行求解； (2) 依题意，可取，计算出对应的概率，即可列出分布列． 【详解】（1）设事件A为“第一次检测出合格零件”，事件B为“第二次检测出不合格零件”， 则． （2）依题意，可取， 得表示前5次检测出的均为合格零件，表示停止检测时前5次中恰有1个不合格且第6次为合格， 则， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 【变式3-3】（25-26高二下·全国·课后作业）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分的分布列． 【答案】(1)125，135，145，235，245，345． (2)答案见解析 【知识点】数字排列问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”； （2）由题意得随机变量的取值为：，求出相应的概率，即可得到甲得分的分布列. 【详解】（1）个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345． （2）由题意知，全部“三位递增数”的个数为， 随机变量可能的取值为. ，，． 所以的分布列为 0 1 题型04 利用随机变量分布列的性质解题 【典例4】（24-25高二下·全国·课后作业）若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则实数的值为______． 【答案】/ 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列中概率和为1列方程求参数值，注意验证. 【详解】由题设，可得，所以或， 当时，，，显然不符； 当时，，，满足. 所以. 故答案为： 【变式4-1】（24-25高二下·河南·月考）设离散型随机变量的分布列如下表，则（    ） 0 1 2 A．0.2 B． C．0.4 D． 【答案】A 【知识点】由随机变量的分布列求概率 【分析】根据概率之和为1得到方程，求出答案. 【详解】由概率之和为1得，解得. 故选：A 【变式4-2】（24-25高二下·广西玉林·期末）设是一个离散型随机变量，其分布列为： -1 0 1 则等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】由随机变量的分布列求概率 【分析】由概率和为1即可求解. 【详解】由离散型随机变量的分布列知：，解得. 故选：A. 【变式4-3】（2025高二·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列如下表． X 0 1 2 P 则常数______． 【答案】 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】利用概率非负与分布列中概率和为1，构造关于q的方程求解． 【详解】由，得． 因为，所以所以． 故答案为： 题型05 由随机变量的分布列求概率 【典例5】（24-25高二下·贵州黔东南·期中）将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~8.现从中任取3个球，以X表示所取球的最大号码. (1)求的分布列； (2)求的概率. 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】由随机变量的分布列求概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由已知判断随机变量的所有取值，并分别判断其概率，可得分布列； （2）由（1）的分布列可得概率. 【详解】（1）由已知可得随机变量的可能取值有：3，4，5，6，7，8， 所以，，，， 所以分布列为 3 4 5 6 7 8 （2）由（1）得. 【变式5-1】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】A 【知识点】由随机变量的分布列求概率 【分析】由题意得计算求解即可. 【详解】由题可得. 故选：A 【变式5-2】（25-26高二下·全国·课后作业）若离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则________，________． 【答案】 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】由分布列中概率和为，求得的值；结合分布列，根据加法公式求得. 【详解】由，得． ． 故答案为： 【变式5-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 【答案】(1) (2)， 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】（1）由概率之和为1，求解即可； （2）由，求解即可. 【详解】（1）由，得. （2）， . 一、单选题 1．（25-26高三·全国·一轮复习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（   ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【答案】D 【详解】解析  甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选D． 2．（24-25高二下·河南郑州·期末）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（    ） A．第2次投篮命中 B．第3次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．前2次投篮均未命中，第3次投篮命中 【答案】D 【分析】根据随机变量的意义即可判断. 【详解】根据变量的意义可知：表示前2次投篮均未命中，第3次投篮命中. 故选：D. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是（    ） A． 1 0 1 B． 0 1 2 C． 0 1 2 D． 0 1 【答案】D 【分析】利用分布列的概念及性质，即的取值应互不相同且逐项判断即可. 【详解】对于A，的取值出现了重复性，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，的取值互不相同，且，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高二下·重庆·月考）设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（ ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分布列的性质，可得，计算即可. 【详解】依题意可得，解得. 故选：B 5．（24-25高二下·河北邢台·月考）已知随机变量X的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由概率分布列中所有概率和为1可求得，从而根据互斥事件概率公式计算出概率． 【详解】根据分布列概率之和为1，得，解得， 则． 故选：B. 6．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分布列的性质求出，再利用互斥事件的概率公式求解. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：A 7．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出事件的总数以及所对应的事件的个数，再利用古典概率公式求解即可. 【详解】任取三次灯泡所对应的事件总数为，而直到取出2个正品为止，要想取出的次数为次， 只需前面两次取出一正品一次品且第三次取出正品即可，对应的事件个数为， 所以. 故选：C 8．（24-25高二下·山西·月考）已知是5，6，7，8的一个排列，定义随机变量X，Y满足，其中分别表示数据中的最小者和最大者，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知求得所有排列数，再求得符合条件的排列数，进而利用古典概型概率公式即可求解. 【详解】依题意5，6，7，8的所有排列种数为， 当或时，；当或时，； 当或时，， 所以满足的排列有；；；；；；；，共8种， 所以． 故选：A． 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）水果篮中有8个水果，其中有2个是石榴，现从水果篮中随机地抽取3个，那么概率是的事件为（    ） A．恰有1个不是石榴 B．3个全不是石榴 C．恰有2个石榴 D．至少2个不是石榴 【答案】AC 【分析】利用组合公式计算总事件数，进一步进算出恰有0个石榴，恰有1个石榴，恰有2个石榴的方法数，再利用古典概型进行计算概率． 【详解】水果篮中随机地抽取3个的总事件数为， 因为其中有2个石榴，所以可能出现的事件有：恰有0个石榴，恰有1个石榴，恰有2个石榴，取法数分别为； 所以恰有1个不是石榴的概率为，3个全不是石榴的概率为，恰有2个石榴的概率为，至少2个不是石榴的概率为， 故选：AC． 10．（24-25高二下·安徽·月考）已知某企业组装车间的某小组有6名工人，每次独立、随机的从中抽取3名工人参加夜间安全巡查.设该小组在一周内的两次抽取中共有ξ名不同的工人被抽中，则下列结论正确的是（   ） A．该小组中的工人甲一周内恰好两次都被选中的概率为 B． C． D． 【答案】AB 【分析】对于A，根据组合数的计算，结合古典概型以及概率的乘法，可得其正误；对于BCD，根据离散型随机变量，由古典概型以及概率的乘法，可得其正误. 【详解】对于A，每次工人甲被抽到的概率，所以工人甲一周内被选中两个的概率为，故A正确； 对于B，的可能取值为，则，， ，，故B正确、CD错误. 故选：AB. 11．（2025·山东·模拟预测）已知互不相等的正实数，，，，是，，，的任意顺序的一个排列，定义随机变量，满足则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分析的取值，即可求出、，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意，，，的全排列有种， 因为随机变量，满足， 所以当或时，，； 当或时，，； 当或时，，； 又当或时，，， 即满足的排列有，，，，，，，共种； 所以，故A正确，B错误； 同理当或时，，，满足，即； 当或时，，，满足，即； 综上可得，故C正确； 因为当时，当时时，所以满足， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（24-25高二下·上海·期末）某射击运动员射击所得环数的分布为，则的值为______. 【答案】0.4/ 【分析】根据分布列的性质列式计算即可. 【详解】由，得. 故答案为：0.4 13．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则_______ X 0 1 2 3 P a 5a 【答案】 【分析】根据分布列的性质求出，再根据随机变量之间的函数关系即可求解. 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故答案为： 14．（24-25高二下·福建莆田·期中）分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设X为恰好取到自己祝福信的人数，则________． 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得的可能取值，然后分别求得取的概率，即可得到的值. 【详解】由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，5 对应概率依次为：， ， ， ， 则. 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高三上·湖北荆州·月考）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）分别求出事件：“发射器第一次发送“0指向”的光子”和事件：“发射器第一次发送“0指向”的光子且第二次发送“1指向”的光子”的概率，应用条件概率计算即可. （2）应用古典概型求解事件的概率，即可写出X的分布列. 【详解】（1）设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件“第二次发送“1指向”的光子”， 则， 由条件概率公式，； （2）由题意：， ， 所以的分布列为： 0 1 2 16．（25-26高二上·江西宜春·月考）不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用古典概型计算公式计算即可； （2）分析随机变量的取值，并利用古典概型分别计算随机变量取值对应的概率即可. 【详解】（1）从5个小球中随机取出2个，对5个小球进行编号，分别为， 样本空间为，共计10个样本点， 其中数字相同的情况只有一种（取出两个标有数字1的小球）， 因此数字不同的情况有 种，故取出的2个小球上的数字不同的概率为 ； （2）随机变量的取值分别为：， 当时：取出数字 和 2，取法数 1 种， ； 当时：取出数字 和 1，取法数 2 种， ； 当时：取出数字 和 0（1 种）、0 和 1（2 种）、0 和 2（1 种）， 总取法数 4 种， ； 当时：取出两个数字 1，取法数 1 种， ； 当时：取出数字 1 和 2，取法数 2 种，概率 ； 故 的分布列为：                                                             17．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 【答案】(1)甲； (2)分布列见解析. 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式分别求出甲乙丙进入决赛的概率，再比较大小即可； （2）利用相互独立事件的概率公式，列式解方程求出，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列. 【详解】（1）甲进入决赛的概率为， 乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为，而，则， 所以甲进入决赛的可能性最大. （2）甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率， 整理可得，解得或，而，所以. 则， 所以甲、乙、丙进入决赛的概率分别为， 随机变量的可能取值有0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.2.1 离散型随机变量及其分布 教学目标 1理解随机变量、离散型随机变量的概念，能区分离散型与非离散型随机变量，会用随机变量表示随机试验的结果。 2.掌握离散型随机变量分布列的定义，理解分布列的两个核心性质（非负性、归一性）。 3.会求简单离散型随机变量的分布列，能利用分布列的性质解决含参数的相关问题。 教学重难点 1.重点： （1）离散型随机变量的概念理解：明确离散型随机变量的本质特征（取值可一一列举），能正确识别离散型随机变量。 （2）离散型随机变量分布列的定义与性质：掌握分布列的表格形式，理解并能运用非负性、归一性解决问题。 （3）简单离散型随机变量分布列的求解：掌握分布列的求解步骤，能结合古典概型、互斥事件概率公式计算概率并列出分布列。 2.难点： （1）随机变量概念的抽象理解：学生容易混淆 “随机试验结果” 与 “随机变量取值”，难以理解随机变量是 “将随机试验结果数量化” 的桥梁，是本节课的核心难点。 （2）分布列性质的灵活应用：学生容易忽略分布列的 “归一性” 和 “非负性” 的双重检验，尤其在含参数的分布列问题中，易出现只验证和为 1、不验证概率非负的错误。 （3）复杂情境下离散型随机变量的确定与概率计算：在多步骤随机试验中，学生容易漏写或错写随机变量的取值，或在计算对应概率时出现重复、遗漏样本点的问题，导致分布列错误。 知识点01 离散型随机变量 1. 随机变量： （1）定义：如果随机试验的每一个可能结果e，都唯一对应着一个实数X(e)，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量。 （2）表示：常用大写字母X,Y,ξ,η等表示，其取值用小写字母x,y等表示。 2. 离散型随机变量 定义：如果随机变量X的所有可能取值都可以逐个列举出来（有限个或至多可数个），则称X为离散型随机变量。 【即学即练】 （25-26高二下·全国·课堂例题）下列变量中，是离散型随机变量的是（    ） A．到2025年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，投中的次数 知识点02 离散型随机变量的分布列 1.离散型随机变量的分布列 （1）定义：设离散型随机变量X的可能取值为x1 ,x2 ,…,xn，对应概率为p1 ,p2 ,…,pn，记 P(X=xi )=pi (i=1,2,…,n)，这个解析式称为X的概率分布列（简称分布列）。 表格形式： 2.分布列的基本性质 （1）非负性：pi≥0 (i=1,2,…,n)，所有概率值均为非负数。 （2）归一性：p1+p2+…+pn=1，即所有概率之和为 1，这是检验分布列正确性的关键依据。 3.分布列的求解步骤： （1）定变量：明确随机变量X的所有可能取值，注意不重不漏。 （2）求概率：计算每个取值对应的概率，常用古典概型、互斥事件概率加法公式等方法。 （3）列表格：整理为分布列形式。 （4）验性质：验证所有概率非负且和为 1，检验结果正确性。 【即学即练】 （25-26高二下·全国·课堂例题）从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个.记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列. 题型01 判断随机试验中的随机变量 【典例1】（25-26高二下·全国·课堂例题）指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号码； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (3)某林场树木最高达30m，则此林场中树木的高度； (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差. 【变式1-1】（24-25高二下·河南驻马店·月考）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（   ） A．第4次投篮命中 B．第4次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．投篮命中4次 【变式1-2】（24-25高二下·全国·课后作业）判断下列各个量，指出其中哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)北京国际机场候机厅中，2030年4月1日的旅客数量； (2)体积为的球的半径； (3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品所获得的奖次． 【变式1-3】（24-25高二下·全国·课后作业）指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)某座大桥一天内经过的车辆数量； (2)某超市5月份每天的销售额； (3)当江西省九江市长江水位监测站所测水位在这一范围内变化时，该水位监测站所测水位． 题型02 离散型随机变量的判断 【典例2】（多选）（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）下列是离散型随机变量的是（    ） A．车载大灯的使用寿命X1 B．从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2 C．某次物理实验测量所得的实验误差X3 D．某培养皿上的细菌个数X4 【变式2-1】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥一天经过的车辆数 B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 【变式2-2】（多选）（24-25高二下·山西临汾·月考）下列变量是离散型随机变量的是（    ） A．某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位H B．抛掷一枚硬币直到出现正面为止，需要的抛掷次数 C．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 D．方程的实根个数 【变式2-3】（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（   ） A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数 B．南京长江大桥一天经过的车辆数 C．某型号彩电的寿命 D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和 题型03 写出简单离散型随机变量分布列 【典例3】（25-26高二下·宁夏银川·月考）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 【变式3-1】（25-26高二下·全国·课堂例题）一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出2个球，用0表示2个球都是白球，用1表示2个球不全是白球，则满足条件X的分布列为（    ） A． 0 1 B． 0 1 C． 0 1 D． 0 1 【变式3-2】（25-26高三下·浙江杭州·月考）某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类．每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测． (1)求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； (2)设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列． 【变式3-3】（25-26高二下·全国·课后作业）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分的分布列． 题型04 利用随机变量分布列的性质解题 【典例4】（24-25高二下·全国·课后作业）若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则实数的值为______． 【变式4-1】（24-25高二下·河南·月考）设离散型随机变量的分布列如下表，则（    ） 0 1 2 A．0.2 B． C．0.4 D． 【变式4-2】（24-25高二下·广西玉林·期末）设是一个离散型随机变量，其分布列为： -1 0 1 则等于（   ） A． B． C．1 D． 【变式4-3】（2025高二·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列如下表． X 0 1 2 P 则常数______． 题型05 由随机变量的分布列求概率 【典例5】（24-25高二下·贵州黔东南·期中）将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~8.现从中任取3个球，以X表示所取球的最大号码. (1)求的分布列； (2)求的概率. 【变式5-1】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【变式5-2】（25-26高二下·全国·课后作业）若离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则________，________． 【变式5-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 一、单选题 1．（25-26高三·全国·一轮复习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（   ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 2．（24-25高二下·河南郑州·期末）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（    ） A．第2次投篮命中 B．第3次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．前2次投篮均未命中，第3次投篮命中 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是（    ） A． 1 0 1 B． 0 1 2 C． 0 1 2 D． 0 1 4．（24-25高二下·重庆·月考）设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（ ） 0 1 A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河北邢台·月考）已知随机变量X的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·山西·月考）已知是5，6，7，8的一个排列，定义随机变量X，Y满足，其中分别表示数据中的最小者和最大者，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）水果篮中有8个水果，其中有2个是石榴，现从水果篮中随机地抽取3个，那么概率是的事件为（    ） A．恰有1个不是石榴 B．3个全不是石榴 C．恰有2个石榴 D．至少2个不是石榴 10．（24-25高二下·安徽·月考）已知某企业组装车间的某小组有6名工人，每次独立、随机的从中抽取3名工人参加夜间安全巡查.设该小组在一周内的两次抽取中共有ξ名不同的工人被抽中，则下列结论正确的是（   ） A．该小组中的工人甲一周内恰好两次都被选中的概率为 B． C． D． 11．（2025·山东·模拟预测）已知互不相等的正实数，，，，是，，，的任意顺序的一个排列，定义随机变量，满足则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二下·上海·期末）某射击运动员射击所得环数的分布为，则的值为______. 13．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则_______ X 0 1 2 3 P a 5a 14．（24-25高二下·福建莆田·期中）分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设X为恰好取到自己祝福信的人数，则________． 四、解答题 15．（25-26高三上·湖北荆州·月考）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 16．（25-26高二上·江西宜春·月考）不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列． 17．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $