3.2.2 几个常用的分布-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

3．2.2　几个常用的分布 [学习目标]　1.理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念.2.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.3.能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题． 知识点一　 两点分布 [问题导引]　我们在实际生活中经常遇到一种分布，检查产品是否合格，投篮是否命中，一粒种子是否发芽，等等，当只考虑成功与否时，我们可以用怎样的随机变量来描述呢？ 提示：　X＝ 两点分布 如果随机变量X只取值0或1时，且其概率分布是 P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p，p∈(0,1)，则称随机变量X服从两点分布，记作X～B(1，p)． 点拨：　两点分布称作0－1分布，我们在实际生活中经常遇到一种分布，试验要么成功要么失败，P(X＝1)＝p称作试验成功时的概率． 设某项试验的成功率是失败率的2倍，若用随机变量X描述一次试验成功的次数，求P(X＝0)的值． 解析：　由题知此试验服从两点分布，因此可列下表： X 0 1 P 1－p p 因为试验的成功率是失败率的2倍，所以p＝2(1－p)， 解得p＝，1－p＝. 因此P(X＝0)＝. 判断随机变量服从两点分布，直接得到两点分布的分布列，根据概率和为1，求出p的值．　　 即时练1.某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，求X的分布列． 解析：　由题意，结合两点分布可知随机变量X的分布列如下表： X 1 0 P 0.8 0.2 学生用书第99页 知识点二　二项分布 [问题导引]　抛硬币游戏：前一次抛硬币时正面朝上是否影响第二次硬币的正面朝上？每次抛硬币是否独立？每次正面朝上的概率变化了吗？ 提示：　不影响；独立；没有． 1．伯努利试验 一般地，在相同条件下进行n次重复试验，如果每次试验只有两种可能的结果A和，并且P(A)保持不变，各次试验的结果相互独立，那么称这样的试验为伯努利试验． 点拨：　(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行．(2)每次试验相互独立，互不影响．伯努利试验也是n次独立重复试验． 2．二项分布 若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为p，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k(k＝0,1,2，…，n)，于是得到X的分布列 X 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 注意到Cpkqn－k正好是二项式(p＋q)n展开式中的第k＋1项，故称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，其中n，p为参数，p为事件发生的概率． 点拨：　在二项分布中P(X＝k)≥0(k＝0,1,2，…，n)，根据二项式定理，可知pk(1－p)n－k＝(p＋q)n＝1，所以P(X＝0)＋P(X＝1)＋…＋P(X＝n)＝1，其中两点分布是特殊的二项分布．有放回的摸球模型，n次投掷硬币出现k次正面朝上的模型，都是二项分布模型的具体化． 角度一　二项分布 10个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，验后放回，连续抽检3次．求抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率． 解析：　记抽到次品的概率为p，抽到正品的概率为q. 方法一：设B＝“3次抽检，恰好有2个次品”，Ai＝“第i次抽到次品”(i＝1,2,3)，则i＝“第i次抽到正品”(i＝1,2,3)． 因为3次抽检中恰有2个次品的事件共有3个，即A1A23，A12A3，1A2A3.这三个事件是互斥的，并且A1，A2，A3之间都是相互独立的．由概率加法公式有 P(B)＝P(A1A23∪A12A3∪1A2A3) ＝P(A1A23)＋P(A12A3)＋P(1A2A3) ＝P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3) ＝p2q＋p2q＋p2q＝3p2q ＝3×2×＝0.189. 方法二：用X表示抽检次数，则X是一个随机变量．设事件A为“抽检到次品”．事件A在3次试验中发生2次，共有C种情形，由试验的独立性可知，事件A在其中的2次发生时，其余的(3－2)次则不发生，其概率为p2q3－2.故事件A恰好发生2次的概率为 P(X＝2)＝Cp2q3－2＝3p2q＝3×2×＝0.189. 用了两种方法：第一种方法是对事件进行分类，由互斥事件的加法公式和独立事件的公式求解；第二种方法具有独立事件的重复性，利用二项分布求解．　　 即时练2.已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的． (1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数