立体几何：空间点、直线、平面之间的位置关系；空间直线、平面的平行-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

立体几何：空间点、直线、平面之间的位置关系；空间直线、平面的平行 一、单选题 1．设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 3．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若 平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知平面平面，B，D是l上两点，直线且，直线且．下列结论中，错误的有（    ） A．若，，且，则ABCD是平行四边形 B．若M是AB中点，N是CD中点，则 C．若，，，则CD在上的射影是BD D．直线AB，CD所成角的大小与二面角的大小相等 7．已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在上，满足，则下列表述正确的是（    ） A．时，平面 B．时，平面平面 C．任意，三棱锥的体积为定值 D．过点的平面分别交于，则的范围是 三、填空题 8．如图，在四面体中，与所成的角为，分别为的中点，则线段的长为 . 9．长方体中，，平面与直线的交点为，现将绕旋转一周，在旋转过程中，动直线与底面内任一直线所成最小角记为，则的最大值是 . 四、解答题 10．如图，四棱锥的底面是菱形，平面底面，，分别是，的中点，，，．求证：平面； 11．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.    12．如图，在圆台中，为轴截面，为下底面圆周上一点，为下底面圆内一点，垂直下底面圆于点.求证：平面平面； 答案第10页，共11页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 立体几何：空间点、直线、平面之间的位置关系；空间直线、平面的平行 参考解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A D B C B ABD ACD 1．A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、线面关系有关命题的判断 【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性. 【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足， 如图：满足，，但不成立，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A.    2．D 【难度】0.65 【知识点】平行公理、空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题 【分析】对于AB，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以 四点共面，故AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，故D错误. 故选：D. 3．B 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角 【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接,，作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可. 【详解】连接，取的中点，连接,， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 4．C 【难度】0.94 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、线面垂直证明线线平行 【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可. 【详解】对选项A，若，，则与的位置关系是平行，相交和异面，故A错误. 对选项B，若，，则与的位置关系是平行和相交，故B错误. 对选项C，若，，则根据线面垂直的性质得与的位置关系是平行，故C正确. 对选项D，若，，则与的位置关系是平行和相交，故D错误. 故选：C 5．B 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】根据线面平行的条件构造面面平行从而得到点的轨迹，在根据平面几何知识求出的范围. 【详解】如图，取的中点，的中点，连接，显然，且， 所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面,所以平面，因为，平面， 平面,所以平面，又因为，所以平面平面， 因为平面，所以平面，点在侧面上，所以点位于线段上， 因为， ，所以当点位于点时，最大， 当点位于的中点时，最小， 此时， 所以，所以线段长度的取值范围是. 故选：B 6．ABD 【难度】0.65 【知识点】异面直线的概念及辨析、线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、二面角的概念及辨析 【分析】由空间中线线、线面及面面关系逐项判断即可得解. 【详解】对于A，由题意，AB，CD为异面直线，所以四边形ABCD为空间四边形，不能为平行四边形，故A错误； 对于B，取BC的中点H,连接HM,则HM是的中位线，所以， 因为HM与MN相交，所以MN与AC不平行，B错误； 对于C，若，所以由线面垂直的判定可得平面ABC，所以， 由结合面面垂直的性质可得，所以点C在平面内的投影为点D, 所以CD在平面内的投影为BD，故C正确； 对于D,由二面角的定义可得当且仅当时，直线AB，CD所成的角或其补角才为二面角的大小，故D错误. 故选：ABD. 7．ACD 【难度】0.4 【知识点】判断线面平行、面面平行证明线面平行、线面平行的性质 【分析】对于A，利用并使用线面平行的判定定理即可；对于B，使用反证法，并利用面面平行的性质即可；对于C，证明到直线的距离和到平面的距离均为定值即可；对于D，直接计算得到即可. 【详解】 如图，设的中点为，的中点为，直线与直线和分别交于点. 对于A，当时，是的中点，而是的中点， 所以，而在平面内，不在平面内， 所以平行于平面，A正确； 对于B，假设平面平行于平面， 由于在平面内，故平行于平面. 由于是的中点，是的中点，所以，. 这就得到四边形是平行四边形， 所以，且该平行四边形确定一个平面. 由于在平面内，平行于平面，平面和平面有公共点， 所以平面和平面有一条过的交线，且该直线平行于. 又因为，所以该交线就是，这意味着在平面内， 再由在直线上，知四点共面，这与正方体的性质矛盾. 故平面与平面不平行，B错误； 对于C，由于，在直线上，所以到直线的距离恒为定值. 同样因为，可知一对平行线和确定一个平面， 设到平面的距离为，则由在直线上，可知到平面的距离为. 从而，恒为定值，C正确； 对于D，由于均在平面上，故是和的交点，是和的交点. 同时，我们有，. 当时，由相似三角形知识可得，. 所以，. 从而，. 注意到的中点为，则当时，分别与重合； 当时，分别与重合，容易验证知，亦成立. 所以，而，所以的取值范围是，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对线面平行与面面平行的性质，以及平面的性质的灵活运用。 8．或 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、由异面直线所成的角求其他量 【分析】取的中点，连接、，即可得到为异面直线与所成的角或其补角，即或，再利用余弦定理计算可得. 【详解】取的中点，连接、， 、分别为、的中点，且， 同理可得且， 为异面直线与所成的角或其补角，则或. 在中，，， 若，由余弦定理可得 ； 若，由余弦定理可得 ； 综上所述，或. 故答案为：或. 9．/ 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、求线面角 【分析】根据题设，将问题转化为求直线与面夹角最大值，利用平面的基本性质找到点位置，并确定其轨迹为圆锥底面圆周，进而确定圆锥轴线与面的夹角、与圆锥轴线的夹角，利用和差角正余弦公式求它们的差、和正余弦值，即可确定的最值. 【详解】由题意，为动直线与底面所成角，只需求旋转过程中直线与面所成角的最大角即可， 又面面，只需求直线与面最大夹角正弦值， 过作，交延长线于，连接，显然△△， 所以，故为平行四边形，则，，， 所以△为等腰三角形，过作于，则必在线段上， 综上，绕旋转过程中，点轨迹是以为圆心，为半径的圆上， 设，则，故， 所以，解得，则，， 绕旋转过程中，是为轴，圆为底面的圆锥的母线， 所以为圆锥轴截面顶角的一半，且恒定不变，又，， 而直线与面夹角为，且，， 令，则，而， 令，则，而 综上，，故的最大值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：将问题化为求直线与面最大夹角正弦值，注意利用定角（圆锥轴线与面的夹角、与圆锥轴线的夹角）求动角的大小. 10．证明见解析 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行 【分析】利用直线与平面平行的判定定理直接证明． 【详解】证明：取中点，连接，，因为，分别是，的中点， 所以， 又因为底面是菱形，是的中点， 所以， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又不在平面内，平面， 所以平面． 11．证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】取的中点，连接、、，易证四边形为平行四边形，得到，从而得到平面，同理得到平面，然后利用面面平行的判定定理得到平面平面，再利用面面平行的性质定理证明. 【详解】证明：如图所示：    取的中点，连接、、， 因为且，故四边形为平行四边形， 所以且， 因为为的中点，所以且， 因为、分别为、的中点， 所以且， 所以且，故四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为、分别为、的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，、平面， 所以平面平面， 因为平面，故平面． 12．证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、线面垂直证明线线平行 【分析】根据面面平行的判定定理证明即可得出结论. 【详解】 由于垂直下底面圆， 故， 平面，平面， 所以平面， 又，所以， 平面，平面， 所以平面 平面， 所以平面平面 答案第10页，共11页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $