热点12 圆综合与动点最值问题8大题型（热点专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点12 圆综合与动点最值问题 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 动圆问题（圆心的轨迹问题） 题型02 隐圆问题——根据动点到一定点的距离为定值作辅助圆 题型03 隐圆问题——根据定角定边（定角定高）作辅助圆 题型04 隐圆问题——根据动点所在四边形对角互补作辅助圆（四点共圆） 题型05 最大距离问题 题型06 最大面积问题 题型07 数形结合——利用方程与函数思想解圆中的动点问题 题型08 数形结合——根据圆的与直线的位置关系确定参数的范围 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：多以压轴解答题或填空压轴出现，分值10–12分，是几何区分度核心。考查形式以圆为载体，结合隐圆（定点定长/定边定角/四点共圆）、动圆轨迹、线段/面积最值、圆与直线/函数位置关系设问，融合相似、勾股、三角、方程思想。 命题特点：重模型识别、重动态转化、重数形结合，梯度清晰，基础问考切线/圆周角，综合问考隐圆构造与最值转化，强调“定轨迹、化最值”思维。 能力要求：轨迹识别、辅助圆构造、几何代数转化、分类讨论、规范推理。 预测2026年： 方向：趋势稳定，隐圆与最值结合更紧密，动态与综合度提升。 备考：夯实圆核心定理；专项突破隐圆三大模型与点圆最值；强化动圆轨迹与函数结合训练；掌握“连半径、构直角、造相似”辅助线；避免轨迹误判、最值漏解、参数范围不全等易错点。 题型01 动圆问题（圆心的轨迹问题） 解｜题｜策｜略 ·应用方程函数思想解决动圆问题：设点消参，化动为静 1. 设坐标：设动圆圆心坐标为 (x, y)，明确运动条件（如过定点、定长、与某图形相切）。 2. 找关系：根据几何条件列出圆心坐标满足的等量关系（距离公式、勾股定理等）。 3. 消参数：若有动点参数，通过代入消元，消去参数，得到圆心坐标的方程，即轨迹方程。 4. 定图形：根据方程形式判断轨迹是直线、圆还是抛物线，进而解题。 ·图形分析：特殊位置作图 ·常用模型（瓜豆原理） 图形 问题 轨迹 例1（2026·上海松江·二模）如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.4 【分析】过点分别作，，垂足为点，延长交于点F，则，那么平分，再由等腰三角形的性质得到，而由勾股定理可得，那么，再找到外切和内切时的临界位置，根据勾股定理建立方程求解即可得到的取值范围． 【详解】解：过点分别作，，垂足为点，延长交于点F， ∵在边、上截得的弦长相等， ∴， ∴平分 ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 当与外切时，连接，设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得； 当与内切时，连接， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得； ∴与相交时，， ∴B符合题意． 【变式1】（2026·河南驻马店·二模）如图，在和中，，P为射线，的交点．若，把绕点A旋转，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】 【难度】0.4 【分析】先证明得出，解直角三角形得出，，以点A为圆心，的长为半径画．当在下方与相切于点E时，，则四边形是正方形，从而得出，，此时最小；以点A为圆心，的长为半径画．当在上方与相切于点E时，，同理可得四边形是正方形，进而得出，，此时最大． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ①如图1，以点A为圆心，的长为半径画．当在下方与相切于点E时，， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，，此时最小． 由勾股定理，得， ∴． ②如图2，以点A为圆心，的长为半径画．当在上方与相切于点E时，， 同理可得：四边形是正方形， ∴，，此时最大． 由勾股定理，得， ∴． 综上所述，的最小值为，最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式2】 题型02 隐圆问题——根据动点到一定点的距离为定值作辅助圆 解｜题｜策｜略 ·根据定长，构造外接圆： 1. 识模型：发现动点 P 到定点 O 的距离恒为定值 r。 2. 构辅助圆：以定点 O 为圆心，定值 r 为半径作圆。 3. 用性质：将所有线段、角度问题转化为圆的半径、弦长、圆心角、圆周角问题求解。 例1（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（    ） A．6 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.4 【分析】建立平面直角坐标系，以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，设的中点为G，过点D在上方作，使.过点H作于点K，连接，则，根据正方形性质，得，得，和，，根据 ，得点B、E、A、D在上，得，得，根据，得，得，得点F在以点H为圆心，为半径的圆上运动，根据，得，得，得取得最小值，为． 【详解】解：以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， 设的中点为G，过点D作，使，过点H作于点K，连接，则， ∵正方形边长为6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B、E、A、D在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F是在以点H为圆心，为半径的圆上运动， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点F在上时， 取得最小值， 为． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，圆周角定理，相似三角形判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 【变式1】（2026·山东淄博·一模）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 【答案】 【难度】0.45 【分析】本题主要考查了轨迹圆问题、中位线性质、三角形三边关系，熟练掌握这些性质是解此题的关键．由且绕点旋转，知点的轨迹为以为圆心、为半径的圆；取的中点，连接，利用三角形中位线定理得，再由勾股定理得，根据三角形三边关系，即可求出的最大值． 【详解】解：取的中点，连接， ，线段绕点旋转， 点的运动轨迹是以点为圆心、为半径的圆， 点是的中点， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 即点的运动轨迹是以为圆心、为半径的圆， 在中，，，， 由勾股定理得：， 根据三角形三边关系：， 当且仅当三点共线，且点在的延长线上时，取得最大值， ． 【变式2】（2026·四川广元·一模）如图，点、分别是正方形的边、上的动点，且，连接、相交于点，在线段下方以为斜边作等腰直角，，连接，若正方形边长为4，则的最小值是______． 【答案】 【难度】0.4 【分析】本题考查了最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解决．取中点, 连接, 以为斜边作等腰直角三角形 ，首先证明，从而，再根据，可求​，可知点的运动轨迹为以点为圆心，为半径的圆，从而可求最小值． 【详解】解：如图，取中点, 连接, 以为斜边作等腰直角三角形 ， 则​， 在和中， ​, ， ∴， ∵， ∴， ， 是直角三角形， ∴, ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ​∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 如图，连接，交圆于，过点作于点， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形, ∵, ∴, ∴, 在中，​, ∴， ∴的最小值为． 【变式3】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在矩形中，． (1)如图1，过点D作，垂足为E，求证：； (2)如图2，在（1）条件下，点F为上一点，连接并延长至点G，交于点O，连接、，当时，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，平面内一点M，满足，，，连接并延长至点H，使，连接，当线段取最小值时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【难度】0.4 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据垂直的定义得到，则，通过证明，得到，再利用比例的性质即可证明； （2）先证明，得到，结合（1）中的结论得到，再证明，得到，结合垂直的定义得到，则有，即可得出结论； （3）根据题意可知点在以为圆心，半径为1的圆上运动，作交延长线于点，与交于点，连接，先证明，得到，再证明，得到，得出，则点在过点且与垂直的直线上运动，当时，线段取最小值，此时四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理即可求出线段的长． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，点F为上一点， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵， ∴， ∴点在以为圆心，半径为1的圆上运动， 作交延长线于点，与交于点，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴是定点， ∴点在过点且与垂直的直线上运动， ∴当时，线段取最小值， ∵矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、圆周角定理、勾股定理、动点轨迹问题，添加适当的辅助线构造相似三角形，探究出点的运动轨迹是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 题型03 根据定角定边（定角定高）作辅助圆 解｜题｜策｜略 根据定边对定角（定角配定高），找外接圆圆心 1. 识模型： ·定边定角：线段 AB 长度固定，点 P 在直线 AB 同侧，且∠APB = 定值。 ·定角定高：∠APB = 定值，且点 P 到 AB 的距离为定值。 2. 构辅助圆：作△APB 的外接圆。 3. 用性质：利用圆周角定理、圆心角定理或垂径定理，确定点 P 的运动轨迹（一段弧），再求解最值或位置关系。 例1（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为的正方形的对角线上取一点，使，连结并延长至点，连结，使，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，连结交于点，连结，则的最小值为其中正确的结论有______．（填序号） 【答案】①②④ 【难度】0.4 【分析】证明即可判断①，在上取一点，使得，证明，进而判断②；过点分别作的垂线，垂足分别为，则，根据相似三角形的性质即可判断③，取的中点，连接，根据题意得出在以为直径的圆上运动，进而得出当在上时，取得最小值，最小值为的长，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，点是正方形的对角线上的点， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图，在上取一点，使得， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，故②正确； 如图，连接交于点，则，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∵ ∴ ∴ ∴，故③错误 如图 ∵ ∴ 即 ∵点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处， ∴ ∴ ∴在以为直径的圆上运动 取的中点，连接， ∴当在上时，取得最小值，最小值为的长， ∴ ∴ ∴ ∴，故④正确 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查“等腰三角形的性质”“三角形内心的定义”“定弦定角构造隐圆”，通过角度代换，发现点P的运动轨迹是圆是解题关键． 根据点P是的内心，即三条角平分线交点，通过角度计算可以推出的度数，利用等腰三角形的性质，得到的度数，即可通过定弦定角确定点P的运动轨迹，根据点圆最值的求解方法即可得到答案． 【详解】解：， ． ． 点P是的内心，即，分别平分和， ，． ． ，，， ≌． ． 如图，作出的外接圆，设圆心为Q，圆的半径为r，则的最小值即为． ， 设所对的圆心角优角为，则， ． ， ． ， ． ∵四边形是正方形， ． 过点Q作，则， ． ∴是等腰直角三角形． ． ． ． ． 的最小值为． 故答案为：． 【变式2】在直角中，，，点D是外一点，连接，以为边作等边． (1)如图1，当点F在线段上，交于点M，且平分，若，求的面积； (2)如图2，连接并延长至点E，使得，连接、、，证明：； (3)如图3，旋转使得落在的角平分线上，M、N分别是射线、上的动点，且始终满足，连接，若，请直接写出的面积最小值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【分析】（1）过点M作交于点N，设，则，，解得，从而求得； （2）延长至M，使得，连接，，证，，则，，从而证得； （3）过点D作于点H，过点D作于点G，过点D作交延长线于点K，证，运用定角定高模型进行分析． 【详解】（1）解：如图1，过点M作交于点N， ∴是等边三角形，， ∴． ∵在直角中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故． （2）证明：如图2，延长至M，使得，连接，， 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图3，过点D作于点H，过点D作于点G，过点D作交延长线于点K， ∵，平分，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴． 在中， ∵，，， ∴， ∵，，， 过点A作于点Q， ∴，， ∴，． 对于，， ∵， ∵， ∴当有最小值时，即最小， ∵， ∴最小，也即最小． ∵，， ∴当过外接圆圆心时，有最小值，即有最小值，也即有最小值，此时， ∵，， ∴， 即当是等边三角形时，的面积最小，为． 此时，由图形对称性可得，， 故的面积最小值为． 【点睛】本题是图形综合题，考查了锐角的三角函数值，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，定角定高模型，综合运用以上几何性质是解题关键． 题型04 根据动点所在四边形对角互补作辅助圆（四点共圆） 解｜题｜策｜略 ·策略：找对角互补，锁定共圆四点 1. 识模型：四边形 ABCD 中，若： ①∠A + ∠C = 180°或∠B + ∠D = 180°； ②一个外角等于其内对角。 2. 构辅助圆：判定四点 A, B, C, D 共圆。 3. 用性质：利用圆内接四边形的性质（对角互补、外角等于内对角）、圆周角定理进行角度转化和计算。 ·模型： 图形 条件与结论 例1（2025·山东烟台·中考真题）如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为_________． 【答案】 【难度】0.4 【分析】如图，连接交于．求解，，，，设运动时间为，则，，证明，可得，作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，，证明在上，且在弧上，再利用弧长公式计算即可. 【详解】解：如图，∵在菱形中，，对角线，连接交于． ∴，，，， ∵设运动时间为，则，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，， ∴，，， ∴， ∴在上，且在弧上， ∴在此过程中，点P的运动路径长为； 故答案为： 【点睛】本题考查的是菱形的性质，圆周角定理的应用，圆的确定，三角函数的应用，弧长的计算，证明在上，且在弧上是解本题的关键. 【变式1】（24-25九年级下·广东深圳·月考）如图，在Rt中，，在斜边上取一点，使得，连接并延长至点，连接．若，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、四点共圆，由可知、、、四点共圆，进而可得，过作于点，易得再利用 ，可设，则，易证，最后解即可得解． 【详解】解：， ∴点、、、四点共圆， ， ∴为直径， ， 过作 于点， 则 ， 在 中，， ， ， ，即 ， 设，则 ， ， ， ， ， 在 中， ， 即 ， 解得或(舍去)， ； 故答案为：． 题型05 最大距离问题 解｜题｜策｜略 ·转化为点到圆上一点的最值问题（化曲为直）： 1. 定模型：求圆外一点 P 到圆上一点 Q 的距离 PQ 的最大值。 2. 用结论：连接该点 P 与圆心 O 并延长，与圆交于两点，延长线与圆的交点即为使距离最大的点 Q。 3. 算最值：PQ最大值 = PO + r（r 为圆半径）。 注意：最小值为 |PO - r|，当且仅当 P 在圆内时取到。 例1（2026年浙江省温州市九年级学生学科素养检测（一模）数学）如图，在四边形中, ,过点A,B,C作交边于点E,连接,且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若,,． ①求四边形的面积． ②延长至点G,连结,使,在线段上取点F,过点F作交于点H,求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)①72；②． 【难度】0.41 【分析】（1）通过证明，结合即可证明； （2）①连结并延长交于点I，利用垂径定理结合勾股定理得到，再根据平行四边形的面积公式求解； ②方法1：分别过点A,D,H作的垂线于点I,M,N, 则四边形为矩形，解三角形得到，再证，得到，令，进而得到，再利用根的判别式得到即可求解；方法2：同方法1得，再利用配方法得，再解不等式即可；方法3：同方法1得，再换元令，结合配方法求最值即可． 【详解】（1）解：如图, ∵, ∴． ∵, ∴, ∴． ∵,, ∴, ∴, ∴, ∴四边形是平行四边形． （2）①如图,连结并延长交于点I． ∵四边形是平行四边形, , ∴． ∵, ∴． ∵, ∴, ∴四边形的面积． ②方法1： 如图,分别过点A,D,H作的垂线于点I,M,N,则四边形为矩形, ∴． ∴, ∴, ∴． 设,则,． ∵, ∴, ∴, 令,则, ∴, ∴, ∴． ∵,即, ∴由二次函数的图象得（舍去）, ∴当时,GH的最大值为,此时符合题意． 方法2： 同上可得, 要使最大,只需最大,只需最小． ∵, ∴当取最大值时,,即, 解得, ∴的最大值为． 方法3： 由比例式可得, ∴, 令,则． ∵, ∴, ∴当时, 的最大值为． 【变式1】（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【难度】0.4 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长，在的延长线上截取，连接，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）①根据得出，，根据已知可得； ②根据，，得出在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形， （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ②∵，， ∴在的外接圆上运动，设的外接圆为 如图，设与交于点，连接， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又，则， ∴ ∴ ∴当为的直径时，取得最大值为 ∴的最大值为 【变式2】（2026·云南红河·一模）自然界是几何的宝库，几何之美是生活中最无声却又最动人的旋律，让我们的世界充满了惊喜与奇迹，圆是几何中最美的图形之一．如图，是四边形的外接圆，半径为，过点作交的延长线于点平分． (1)在图1中，若是的直径．求证：是的切线； (2)在（1）的条件下，若，求线段的长； (3)在图2中，若、，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)6 【难度】0.31 【分析】（1）连接，证明，根据可得，故可得是的切线； （2）设，由得，由勾股定理得．证明，得，代入相关数据进行计算即可得出结论； （3）延长至点，使得，连接．证明．．根据证明，得，再证明是等边三角形，得，根据可得结论． 【详解】（1）证明：连接． ， ， 平分， ， ． ， ， ． ，即． ， 又是的半径． 是的切线． （2）解：， ∴设，则， 由勾股定理得． 是的直径， ， ． 又， ， ． ，解得． ． （3）解：如图所示，延长至点，使得，连接． ， ． ，平分， ． ． ． 在和中， ． ． ， 又是等边三角形． ． ． 的最大值为6． 题型06 最大面积问题 解｜题｜策｜略 ·方法： 1.几何分析（底定高最大）：转化为最大距离求高的最大值即可； 2.代数解题（配方+函数求最值） ①定底：选择一条长度固定或易于表示的线段作为三角形的底。 ②找高：分析动点位置，确定高的表达式。对于定边对定角模型，高的最大值为外接圆半径减去圆心到定边的距离。 ③建函数：将面积表示为关于动点参数的函数。 ④求最值：利用二次函数配方、基本不等式或几何性质求出最大值。 例1（2026·陕西西安·一模）问题提出 (1)如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 (2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 (3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大，如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，得出为等边三角形，则，，求出，则由三角形面积公式可得出答案； （2）如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解． （3）如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】（1）解：作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大， 如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 即面积的最大值. （2）解：如图所示，以为边作等边，连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，且，， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上且在点的上方时，的面积取得最大值， ∴在中，，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， （3）解：∵，， ∴，， 如图，连接，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， 过点作，交于点，则当点D在点的上方时，的面积取得最大值， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（2026·湖南娄底·一模）如图1，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【难度】0.4 【分析】（1）连接， 可得，由圆周角定理得，可得，再等量代换证明即可； （2）先证明，则，求出，，那么，再由求解即可； （3）过点E作于点G，当四边形面积最大时，面积最大，点F到的距离最大，点F是的中点，可得是等腰直角三角形，再由圆周角定理得到，得到为等腰直角三角形，则，而，则由勾股定理得，即再由求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即， 又∵为半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，过点E作于点G，则， 当四边形面积最大时，面积最大，此时点F到的距离最大，即点F是的中点， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型07 数形结合——利用方程与函数思想解圆中的动点问题 解｜题｜策｜略 坐标化，代数化，建方程 1. 设坐标：设动点坐标为 (x, y)，建立平面直角坐标系。 2. 列关系式：将几何条件转化为代数方程或函数关系式。 例1（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【难度】0.4 【分析】（1）如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． 根据与均为该半圆的切线，得出，则，可得．证明，得出．根据，得出．则，可得，即平分．又，得出，即可证明与该半圆相切． （2）如图4，过点作，交于点，在中，由勾股定理可得，根据，列等式得出，代入可得． （3）如图5，根据均为该半圆的切线，则，证明，得出，从而得出，证明，得出，得出．得出，则，即可得．同理可得，得出，由（2）可知，得出，又在中，，得出，即可得，从而得出． 【详解】（1）解：如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． ∵与均为该半圆的切线， ． ． ． ∵为的中点， ． 在与中， ， ． ． ， ． ． ，即平分． 又， ． ∴与该半圆相切． （2）解：．理由如下： 如图4，过点作，交于点， 在中，由勾股定理可得， ， ． ， 代入可得． （3）解：如图5，均为该半圆的切线， ， ， ． ， ， ． ， ． ． ． ， ， ． 同理可得， ， 由（2）可知， ． 又在中， ， ． ， ． 【点睛】该题考查了圆综合题，涉及圆切线的性质和判定，切线长定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，勾股定理，函数解析式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1】（2026·江苏宿迁·二模）如图，菱形的边长为，，点、分别在边、上，且，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)，的外接圆交边于点，连接、．设点运动时间为． (1)当点在边．上运动时，证明：； (2)当点在边上运动时，试判断的形状，并说明理由； (3)在运动过程中，若点在内部，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 (3)或 【难度】0.4 【分析】（1）易知和都是等边三角形，利用同弧所对的圆周角相等，得到，从而得到，继而得到； （2）利用证明得到，继而得到，故是等边三角形； （3）画出当点E和点N重合时的图形，设的外接圆与、分别交于点，则当点P在线段上(含端点M，不含端点)或线段上(不含端点)时，点N在内部，分别利用（1）（2）的结论求出点的位置，即和的长度，结合图形即可得解． 【详解】（1）解：证明：在菱形中，，，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵的外接圆交边于点， ∴， ∴， ∴； （2）是等边三角形，理由如下： ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 又由（1）得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）当点E和点N重合时，设的外接圆与、分别交于点， 则当点P在线段上(含端点M，不含端点)或线段上(不含端点)时，点N在内部， ①由（1）的， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)， ∴当时，点P与点重合， ∴当时，点在内部，此时点P在线段上(含端点M，不含端点)； ②由（2）得， ∴， ∴当时，点P与点重合， 又∵当时，点P与点重合， ∴当时，点在内部，此时点P在线段上(不含端点)； 综上所述：当或时，点在内部． 题型08 数形结合——根据圆的与直线的位置关系确定参数的范围 解｜题｜策｜略 ·根据圆心距与半径比，用临界值定范围： 1. 算距离：计算圆心 (x0, y0) 到直线的距离 d 2. 判关系：①相离：d > r、②相切：d = r、③相交：d < r 3. 定范围：根据题目要求（如直线与圆有公共点、无公共点、相切等），结合参数，列出关于参数的不等式或方程，求解参数的取值范围。 例1（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或或 【难度】0.4 【分析】本题考查了新定义，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键； （1）①根据新定义可得的是的关联点且其与的关联角度小于，进而根据切线的性质，解,即可求得，即可求解． ②根据定义可得为外一点，由，的半径为，得出，进而当时，勾股定理求得的值，即可求解； （3）由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近，根据，得出，根据已知可得，上距离最近的点在的圆环内，根据是固定线段，让移动，分四种情况讨论，求得的临界值，即可求解． 【详解】（1）解：①根据定义可得：当在上时，不存在都有，当在内部时，过的直径使得的关联角度为，当在的外部时，且为的切线时，最大； 如图，是的关联点且其与的关联角度小于，与的关联角度为，与的关联角度大于， ∵，的半径为， ∴，且是的切线， ∴， ∴ ∴，即与的关联角度为 故答案为：，． ②根据定义可得为外一点， ∵，的半径为， ∴，当时， 如图，取点，则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． （2）解：由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近， ∵， ∴当时，由，如图， ∴四边形是矩形， 由∵ ∴四边形是正方形， ∴ 当时， ∵点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，则， ∴上距离最近的点在的圆环内， ①和的圆相切，如图， ∴ 解得： ②和半径为的圆相切时，如图， ∴（不包含临界值） ∴ ③当在半径为的圆，如图 解得：（不包含临界值） ∴时，都在内部，此时 ④当在半径为的圆，如图 设的半径为，则， ∵， 解得：， ∴时，此时， 综上所述，或或． 【变式1】（2026·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为r，点P是上一点．对平面内的一点Q，先将点Q关于点O作中心对称变换得到点，再将点沿射线的方向平移半径r的长度得到点，称为一次关于半径的反射平移，点称为点Q关于半径的反射平移点． 如图，已知点． (1)点P是上的动点，当时，在中，可能是点A关于半径的反射平移点的是 ． (2)设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，直线l经过A． ①在上述条件下， ； ②当P的坐标为时，如果线段上一点B关于半径的反射平移点在上或内部．直接写出点B的横坐标的取值范围； ③当P在y轴的正半轴上时，如果线段上存在点C，使点C关于半径的反射平移点在上，直接写出的半径r的取值范围． 【答案】(1)， (2)①2；②；③ 【难度】0.39 【分析】（1）根据新定义可得在为圆心，1为半径的圆上，进而根据点的坐标到的距离为1，即可求解； （2）①根据经过点A，列方程即可得到结论； ②线段上一点B关于半径的反射平移点在上或内部，即在的内部时，先中心对称再平移，得出，则进而得出，结合图形即可求解； ③当与相切时，同①得出，根据，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：点关于O的对称点， ∵，则在为圆心，1为半径的圆上，如图1所示， ∵， ∴，则在上， 故答案为：，； （2）解：①∵经过点， ∴， 故答案为：2； ②由①得， 如图2所示，线段上一点B关于半径的反射平移点在上或内部，即在的内部时，先中心对称再平移， 当时，，则，当时，，则，即点A，N重合， ∴，， ∴，则， ∵线段经过反射平移后与y轴的夹角不变， ∴， ∴当在上且不与点重合时，连接，则即为等边三角形， ∴， ∴，， 结合图形，可得线段上一点B关于半径的反射平移点在上或内部时，； ③如图3所示，当与相切时，为临界值； 延长交于点T，作轴，则， ∴， ∴， ∵轴，则， 又∵， ∴， 解得， ∴线段上存在点C，使点C关于半径的反射平移点在上，的半径r的取值范围为：． 【点睛】本题是圆、代数几何综合题，运算能力，推理能力，考查了几何新定义，中心对称与平移变换，一次函数与坐标轴的交点问题，解直角三角形，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，勾股定理，理解题意，熟练掌握以上知识掌握是解题的关键． 【变式2】（2026·广西南宁·一模）【研究内容】二次积点函数 将一次函数图象上的任意点的坐标作以下变换：横坐标x不变，纵坐标变为x与y的乘积，得到新的点．点所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作y的二次积点函数，例如：若一次函数，则其二次积点函数为． 【特殊感知】 (1)一次函数的图象经过点，，完成下列问题： ①求y的解析式； ②求y的二次积点函数的解析式及其顶点坐标； 【探索求证】 (2)猜想：一次函数的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)一次函数的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为A，B，点C为，设外接圆的直径为d，若，求b的取值范围． 【答案】(1)①，②，顶点坐标为 (2)成立，理由见解析 (3)或 【难度】0.33 【分析】（1）①运用待定系数法求解即可； ②根据二次积点函数定义得，配方后可得顶点坐标； （2）求出二次积点函数为，与一次函数联立方程，整理后求得可得结论； （3）求出的二次积点函数为，联立方程，求出交点A，B坐标分别为，，结合得为直角三角形，且，求得，根据题意可得b的取值范围． 【详解】（1）解：①一次函数的图象经过点，， 根据题意得， 解得 ∴y的解析式为． ②二次积点函数为， ． ∴顶点坐标为． （2）解：∵二次积点函数为， 由，整理得， ， ． ∴该方程总有实数根． ∴y与其二次积点函数的图象必有交点． （3）解：的二次积点函数为， 由，解得，， ∴交点A，B坐标分别为，； 又C为， 为直角三角形． ； ∴的长为外接圆的直径d， ， 当时，或， 当时，或， ， ∴抛物线开口向上， 又抛物线的对称轴为， ①当时，随b的增大而增大， ∴当，即时，， ②当时，随b的增大而减小， ∴当，即时，， 综上，或． （60分钟限时练） 1．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】①②④ 【难度】0.4 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 2.（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【难度】0.4 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长，在的延长线上截取，连接，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）①根据得出，，根据已知可得； ②根据，，得出在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形， （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ②∵，， ∴在的外接圆上运动，设的外接圆为 如图，设与交于点，连接， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又，则， ∴ ∴ ∴当为的直径时，取得最大值为 ∴的最大值为 3.（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为． (1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标； (2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：； (3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【难度】0.32 【分析】（1）由可得点的坐标为，代入反比例函数的表达式可得，再将代入，可求得点的坐标； （2）根据题意可得，点的坐标为，点的坐标为，则，，进而可得，利用夹角相等两边对应成比例可证明，则，从而证明； （3）设的中点为，由（2）可得，点的坐标为，圆的半径为．分情况研究，当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，由解出，此时圆与矩形的边仅有个公共点，因此；当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，同理可得，此时圆与矩形的边有个公共点，因此，公共部分即为的取值范围． 【详解】（1）解：在矩形中，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为； （2）证明：由（1）可知，，， ∵点，分别在边，上， 又∵反比例函数的图象经过点、， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的中点为， ∵， ∴点在圆上， ∵圆与矩形的边有个公共点， ∴圆与边、共有个公共点， 由（2）可知，点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为， ①当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 由（2）可知，，， 在中，， ∴， ∵圆与相切， ∴， ∴， ∴，解得， 此时圆与矩形的边仅有个公共点， ∴需向下平移，即， ②当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 同理①可得，， ∴，解得， 此时圆与矩形的边有个公共点，若继续向下平移，则公共点数量会超过个， ∴， 综上所述，的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点12 圆综合与动点最值问题 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 动圆问题（圆心的轨迹问题） 题型02 隐圆问题——根据动点到一定点的距离为定值作辅助圆 题型03 隐圆问题——根据定角定边（定角定高）作辅助圆 题型04 隐圆问题——根据动点所在四边形对角互补作辅助圆（四点共圆） 题型05 最大距离问题 题型06 最大面积问题 题型07 数形结合——利用方程与函数思想解圆中的动点问题 题型08 数形结合——根据圆的与直线的位置关系确定参数的范围 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：多以压轴解答题或填空压轴出现，分值10–12分，是几何区分度核心。考查形式以圆为载体，结合隐圆（定点定长/定边定角/四点共圆）、动圆轨迹、线段/面积最值、圆与直线/函数位置关系设问，融合相似、勾股、三角、方程思想。 命题特点：重模型识别、重动态转化、重数形结合，梯度清晰，基础问考切线/圆周角，综合问考隐圆构造与最值转化，强调“定轨迹、化最值”思维。 能力要求：轨迹识别、辅助圆构造、几何代数转化、分类讨论、规范推理。 预测2026年： 方向：趋势稳定，隐圆与最值结合更紧密，动态与综合度提升。 备考：夯实圆核心定理；专项突破隐圆三大模型与点圆最值；强化动圆轨迹与函数结合训练；掌握“连半径、构直角、造相似”辅助线；避免轨迹误判、最值漏解、参数范围不全等易错点。 题型01 动圆问题（圆心的轨迹问题） 解｜题｜策｜略 ·应用方程函数思想解决动圆问题：设点消参，化动为静 1. 设坐标：设动圆圆心坐标为 (x, y)，明确运动条件（如过定点、定长、与某图形相切）。 2. 找关系：根据几何条件列出圆心坐标满足的等量关系（距离公式、勾股定理等）。 3. 消参数：若有动点参数，通过代入消元，消去参数，得到圆心坐标的方程，即轨迹方程。 4. 定图形：根据方程形式判断轨迹是直线、圆还是抛物线，进而解题。 ·图形分析：特殊位置作图 ·常用模型（瓜豆原理） 图形 问题 轨迹 例1（2026·上海松江·二模）如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2026·河南驻马店·二模）如图，在和中，，P为射线，的交点．若，把绕点A旋转，则的最小值为______，最大值为______． 题型02 隐圆问题——根据动点到一定点的距离为定值作辅助圆 解｜题｜策｜略 ·根据定长，构造外接圆： 1. 识模型：发现动点 P 到定点 O 的距离恒为定值 r。 2. 构辅助圆：以定点 O 为圆心，定值 r 为半径作圆。 3. 用性质：将所有线段、角度问题转化为圆的半径、弦长、圆心角、圆周角问题求解。 例1（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（    ） A．6 B．6 C．3 D．4 【变式1】（2026·山东淄博·一模）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 【变式2】（2026·四川广元·一模）如图，点、分别是正方形的边、上的动点，且，连接、相交于点，在线段下方以为斜边作等腰直角，，连接，若正方形边长为4，则的最小值是______． 【变式3】如图，在矩形中，． (1)如图1，过点D作，垂足为E，求证：； (2)如图2，在（1）条件下，点F为上一点，连接并延长至点G，交于点O，连接、，当时，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，平面内一点M，满足，，，连接并延长至点H，使，连接，当线段取最小值时，求线段的长． 题型03 根据定角定边（定角定高）作辅助圆 解｜题｜策｜略 根据定边对定角（定角配定高），找外接圆圆心 1. 识模型： ·定边定角：线段 AB 长度固定，点 P 在直线 AB 同侧，且∠APB = 定值。 ·定角定高：∠APB = 定值，且点 P 到 AB 的距离为定值。 2. 构辅助圆：作△APB 的外接圆。 3. 用性质：利用圆周角定理、圆心角定理或垂径定理，确定点 P 的运动轨迹（一段弧），再求解最值或位置关系。 例1（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为的正方形的对角线上取一点，使，连结并延长至点，连结，使，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，连结交于点，连结，则的最小值为其中正确的结论有______．（填序号） 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为______． 【变式2】在直角中，，，点D是外一点，连接，以为边作等边． (1)如图1，当点F在线段上，交于点M，且平分，若，求的面积； (2)如图2，连接并延长至点E，使得，连接、、，证明：； (3)如图3，旋转使得落在的角平分线上，M、N分别是射线、上的动点，且始终满足，连接，若，请直接写出的面积最小值． 题型04 根据动点所在四边形对角互补作辅助圆（四点共圆） 解｜题｜策｜略 ·策略：找对角互补，锁定共圆四点 1. 识模型：四边形 ABCD 中，若： ①∠A + ∠C = 180°或∠B + ∠D = 180°； ②一个外角等于其内对角。 2. 构辅助圆：判定四点 A, B, C, D 共圆。 3. 用性质：利用圆内接四边形的性质（对角互补、外角等于内对角）、圆周角定理进行角度转化和计算。 ·模型： 图形 条件与结论 例1（2025·山东烟台·中考真题）如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为_________． 【变式1】如图，在Rt中，，在斜边上取一点，使得，连接并延长至点，连接．若，则线段的长为_________． 题型05 最大距离问题 解｜题｜策｜略 ·转化为点到圆上一点的最值问题（化曲为直）： 1. 定模型：求圆外一点 P 到圆上一点 Q 的距离 PQ 的最大值。 2. 用结论：连接该点 P 与圆心 O 并延长，与圆交于两点，延长线与圆的交点即为使距离最大的点 Q。 3. 算最值：PQ最大值 = PO + r（r 为圆半径）。 注意：最小值为 |PO - r|，当且仅当 P 在圆内时取到。 例1（2026年浙江省温州市九年级学生学科素养检测（一模）数学）如图，在四边形中, ,过点A,B,C作交边于点E,连接,且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若,,． ①求四边形的面积． ②延长至点G,连结,使,在线段上取点F,过点F作交于点H,求的最大值． 【变式1】（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2026·云南红河·一模）自然界是几何的宝库，几何之美是生活中最无声却又最动人的旋律，让我们的世界充满了惊喜与奇迹，圆是几何中最美的图形之一．如图，是四边形的外接圆，半径为，过点作交的延长线于点平分． (1)在图1中，若是的直径．求证：是的切线； (2)在（1）的条件下，若，求线段的长； (3)在图2中，若、，求的最大值． 题型06 最大面积问题 解｜题｜策｜略 ·方法： 1.几何分析（底定高最大）：转化为最大距离求高的最大值即可； 2.代数解题（配方+函数求最值） ①定底：选择一条长度固定或易于表示的线段作为三角形的底。 ②找高：分析动点位置，确定高的表达式。对于定边对定角模型，高的最大值为外接圆半径减去圆心到定边的距离。 ③建函数：将面积表示为关于动点参数的函数。 ④求最值：利用二次函数配方、基本不等式或几何性质求出最大值。 例1（2026·陕西西安·一模）问题提出 (1)如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 (2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 (3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 【变式1】（2026·湖南娄底·一模）如图1，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 题型07 数形结合——利用方程与函数思想解圆中的动点问题 解｜题｜策｜略 坐标化，代数化，建方程 1. 设坐标：设动点坐标为 (x, y)，建立平面直角坐标系。 2. 列关系式：将几何条件转化为代数方程或函数关系式。 例1（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【变式1】（2026·江苏宿迁·二模）如图，菱形的边长为，，点、分别在边、上，且，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)，的外接圆交边于点，连接、．设点运动时间为． (1)当点在边．上运动时，证明：； (2)当点在边上运动时，试判断的形状，并说明理由； (3)在运动过程中，若点在内部，求的取值范围． 题型08 数形结合——根据圆的与直线的位置关系确定参数的范围 解｜题｜策｜略 ·根据圆心距与半径比，用临界值定范围： 1. 算距离：计算圆心 (x0, y0) 到直线的距离 d 2. 判关系：①相离：d > r、②相切：d = r、③相交：d < r 3. 定范围：根据题目要求（如直线与圆有公共点、无公共点、相切等），结合参数，列出关于参数的不等式或方程，求解参数的取值范围。 例1（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 【变式1】（2026·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为r，点P是上一点．对平面内的一点Q，先将点Q关于点O作中心对称变换得到点，再将点沿射线的方向平移半径r的长度得到点，称为一次关于半径的反射平移，点称为点Q关于半径的反射平移点． 如图，已知点． (1)点P是上的动点，当时，在中，可能是点A关于半径的反射平移点的是 ． (2)设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，直线l经过A． ①在上述条件下， ； ②当P的坐标为时，如果线段上一点B关于半径的反射平移点在上或内部．直接写出点B的横坐标的取值范围； ③当P在y轴的正半轴上时，如果线段上存在点C，使点C关于半径的反射平移点在上，直接写出的半径r的取值范围． 【变式2】（2026·广西南宁·一模）【研究内容】二次积点函数 将一次函数图象上的任意点的坐标作以下变换：横坐标x不变，纵坐标变为x与y的乘积，得到新的点．点所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作y的二次积点函数，例如：若一次函数，则其二次积点函数为． 【特殊感知】 (1)一次函数的图象经过点，，完成下列问题： ①求y的解析式； ②求y的二次积点函数的解析式及其顶点坐标； 【探索求证】 (2)猜想：一次函数的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)一次函数的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为A，B，点C为，设外接圆的直径为d，若，求b的取值范围． （60分钟限时练） 1．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_______． 2.（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 3.（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为． (1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标； (2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：； (3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $