3.3 等可能事件的概率 (第3课时 将非古典概型问题转化为古典概型求解）（教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

3.3 等可能事件的概率 第3课时： 将非古典概型问题 转化为古典概型求解 第三章 概率初步 北师大版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 （1）能识别非古典概型问题的特征；掌握将非等可能结果转化为等可能结果的基本方法（如编号、列举基本事件）；能用转化的思想解决简单的非古典概型概率问题. （2）经历从非标准问题到标准问题的转化过程，体会转化思想和化归思想在数学学习中的重要作用；通过对比分析不同转化策略，培养灵活思维和优化意识. （3）在小组合作试验中，培养合作交流意识和科学探究精神；通过了解数学家的掷硬币试验，感受数学文化的魅力；通过对实际问题的分析，体会数学的应用价值. 知识回顾 ✨ 还记得吗？古典概型的两大核心特征 有限性 所有可能出现的结果数量是有限的 等可能性 每个结果出现的可能性大小都相等 一个不透明的袋子里装有1个红球和2个绿球，它们除颜色外完全相同。从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ 总结果 红、绿1、绿2 共3种可能 目标数 只有“红球”符合 包含1种结果 算概率 P(红) = 目标/总 P(红) = 只要试验结果满足“等可能性”，用公式 P(A) = 求概率 练一练 导入新课 一个袋中装有2个红球和3个白球，但红球大小相同，白球大小也相同，可是红球比白球大很多。从中任意摸出一个球（用手去摸，感受球的形状），摸到红球的概率还是吗？ 今天我们就来学习——如何将非古典概型问题转化为古典概型来解决. 由于红球和白球的大小不同，因为红球更大，更容易被摸到，因此摸到它们的可能性并不相等。 当每个基本结果不是等可能时，我们就不能直接用m/n来计算概率了。这类问题叫作非古典概型问题。 新知探究 探究点1 可能性相同的转盘问题 议一议 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，像下图那样涂上颜色. 抽 奖 (1)自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在不同扇形的可能的结果共有多少种? （2）这些结果是等可能的吗? 商场规定:顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会. 转盘被等分成 20 个扇形，消费满100元可转一次： 🔴 指针落红色→ 获 100 元购物券 🟡 指针落黄色→ 获 50 元购物券 🟢 指针落绿色→ 获 20 元购物券 共有20种结果。 因转盘被等分，结果是等可能的！ 新知探究 探究点1 可能性相同的转盘问题 议一议 （3）在这20个扇形中，有1个是红色，2个是黄色，4个是绿色，因此转盘停止时，指针落在红色区域的结果有多少种，落在黄色区域的结果有多少种，落在绿色区域的结果有多少种？ 抽 奖 🎨指针所落区域的结果 ● 红色区域：1 种 ● 黄色区域：2 种 ● 绿色区域：4 种 新知探究 探究点1 可能性相同的转盘问题 议一议 抽 奖 (4)某顾客购物消费120元，获得一次转动转盘的机会。 他获得100元、50元、20元购物券的概率分别是多少? P(获得100元购物券)= ； P(获得50元购物券)= ＝； P(获得20元购物券)= =； 新知探究 议一议 (5)某顾客购物消费120元，获得一次转动转盘的机会。 他能获得购物券的概率是多少？ 探究点1 可能性相同的转盘问题 抽 奖 P(获得购物券)= ＝ . 分析： “能获得购物券”意味着指针落在红色、黄色或绿色区域， 我们可以通过计算这三个区域的概率之和来求解 方法一：概率直接相加 P(获奖) = P(红) + P(黄) + P(绿) = + + = 方法二：计算总份数 获奖区域总份数 = 1(红) + 2(黄) + 4(绿) = 7 份 P(获奖) = 获奖份数 ÷ 总区域份数 (20) 尝试•思考 探究点2 可能性不相同的转盘问题 议一议 如图所示的是一个可以自由转动的转盘。转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少? 白 红 120° 抽 奖 （1）某同学认为本问题中指针不是落在红色区域和白色区域，所以P(落在红色区域)=P(落在白色区域)=，这种说法对吗？你能说出理由吗？ 不正确，图中红色区域和白色区域和的面积不相等，指针不是落在红色区域和白色区域可能性不一样，不符合古典概率的两个条件，不能直接按古典概型概率公式求. 尝试•思考 探究点2 可能性不相同的转盘问题 议一议 白 红 120° 抽奖 理由：因为整个圆的圆心角为360°，红色区域扇形的圆心角为120°，则白色区域扇形的圆心角为 240°。把白色区城等分成2份，这样转盘被等分成3个扇形。 如图所示的是一个可以自由转动的转盘。转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少? 先把白色区城等分成2份，如图，这样转盘被等分成3个扇形，其中1个是红色，2个是白色 P（落在红色区域） P（落在白色区域） 小颖同学是这样做的，她的做法由道理吗？ 转化为等可能问题来解决 用古典概型概率公式求 思考•交流 探究点2 可能性不相同的转盘问题 议一议 如图所示的是一个可以自由转动的转盘。转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区城的概率分别是多少?你有什么求解方法?与同伴进行交流. 白 红 110° 抽奖 （1）根据上面的方法，你能怎样将这一非古典概型转化为古典概型题？ 可以用“面积比”或“角度比”来转化为等可能模型 ——每个点落在区域内是等可能的，概率等于目标区域面积（或弧长、角度）与总面积（或总弧长、总角度）之比. 思考•交流 探究点2 可能性不相同的转盘问题 议一议 如图所示的是一个可以自由转动的转盘。转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区城的概率分别是多少?你有什么求解方法?与同伴进行交流. 白 红 110° 抽奖 （2）指针落在红色区域和白色区城的概率分别是多少?你是怎样做的？ 可以把红色区域等分成11份，把白色区域等分成25份，这样转盘被等分成36个扇形，其中11个是红色，25个是白色， ∴P(落在红色区域)＝ ，P(落在白色区域)＝ ; 思考•交流 探究点2 可能性不相同的转盘问题 议一议 如图所示的是一个可以自由转动的转盘。转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区城的概率分别是多少?你有什么求解方法?与同伴进行交流. 白 红 110° 抽奖 （2）指针落在红色区域和白色区城的概率分别是多少?你是怎样做的？ 把红色区域等分成110份，把白色区域等分成250份，这样转盘被等分成360个扇形，其中110个是红色，250个是白色， ∴P(落在红色区域)= P(落在白色区域)= . 思考•交流 探究点2 可能性不相同的转盘问题 议一议 如图所示的是一个可以自由转动的转盘。转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区城的概率分别是多少?你有什么求解方法?与同伴进行交流. 白 红 110° 抽奖 P（落在红色区域）= P（落在白色区域） = 红色区域扇形的圆心角为110°， 白色区域扇形的圆心角为 250°。 思考•交流 探究点2 可能性不相同的转盘问题 议一议 如果转盘被分成的是形状不规则的区域，还能这样计算吗？ 对于连续区域的概率问题，可以用“面积比”或“角度比”来转化为等可能模型——每个点落在区域内是等可能的，概率等于目标区域面积（或弧长、角度）与总面积（或总弧长、总角度）之比. 典例分析 例1．如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2，3，4，5，6，7指针的位置固定，转动转盘任其自由停止． (1)当转盘停止时，指针指向偶数区域的概率是多少？ (2)当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？ （1）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇偶数区域2，4，6有3种结果，所以指针指向偶数区域的概率是：； （2）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果，所以指针指向的数小于或等于5的概率是：． 典例分析 例2．春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典・庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-歌谣传情意，B-创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项．为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）． (1)任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率是______； (2)甲、乙是该校的两位学生，求甲和乙选到不同活动项目的概率． （1）解：∵将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D， ∴任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率为： （2）解：共有种等可能结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有种 故甲和乙选到不同活动项目的概率为：. 新知巩固 1. （1）如图所示，一个转盘被等分成 16 个扇形。请为该转盘设计一个涂色方案，使得自由转动这个转盘，当 它停止时，指针落在红色区域的概率为。 教材P75页 随堂练习 将 16 个扇形中的6个图上红色 指针落在红色区域的概率为： P(红色)= = 新知巩固 1. （2）请再举出两个随机事件，它们发生的概率也是 摸到红球的概率= 抽到数字比 4 小的概率= 1 2 3 4 5 6 7 8 教材P75页 随堂练习 新知巩固 2.请设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止时， 指针落在红色区域的概率是，落在白色区域的概率是 ， 落在黄色区域的概率是 。 教材P75页 随堂练习 拓展提升 1.一个袋中装有2个红球和3个白球，但红球和白球大小不同，手感不同，导致摸到每个球的概率不相等。已知摸到每个红球的概率是摸到每个白球的2倍。从中任意摸出一个球，求摸到红球的概率。 解：（比例分配法）： 设摸到1个白球的概率为p，则摸到1个红球的概率为2p 总概率：2×2p + 3×p = 4p+3p=7p=1 ： p= P(红)=2×2p=4p= （虚拟等分法）： 将1个红球“看作”2个等可能的虚拟小球，1个白球看作1个虚拟小球 总虚拟球数：2×2 + 3×1 = 7个. 红球对应4个虚拟球： P(红)=. 真题感知 1.（2025•福建）在分别写有﹣1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（　　） A． B． C． D． 解：共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种， ∴这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是：P（A）=， B 真题感知 2．（2025·茂名·九年级统考）今年“双十一”互联网促销期间，某网红店开展有奖促销活动，凡进店购物的顾客均有转动8等分圆盘的机会，（如图），如果规定当圆盘停下来时指针指向1就中一等奖，指向3或8就中二等奖，指向2或4或6就中三等奖；指向其余数字不中奖． (1)转动转盘，中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别是多少？ (2)6月18日这天有1600人参与这项活动，估计这天获得一等奖的人数是多少？ （1）解：由题意知， ， ， ， 即中一等奖、二等奖、三等奖的概率是分别是，，； （2）解：由（1）知，获得一等奖的概率是， （人， 估计获得一等奖的人数为200人．   课堂小结 知 识 总 结 （1）古典概型的适用条件：①有限性；②等可能性. （2）非古典概型的常见类型： 结果不等可能（如球大小不同）； 结果无限多（如连续区域问题）； 结果不明显（如组合抽取问题）. （3） 转化策略： 编号法、考虑顺序法 → 使结果等可能； 比例分配法、虚拟等分法 → 处理不等可能； 面积比、角度比 → 处理连续区域问题. 方 法 总 结 （1）转化思想：将非标准问题转化为标准问题. （2）化归思想：将复杂问题化归为已解决的问题. （3）建模思想：将现实情境抽象为等可能概率模型. （4）对称思想：利用对称性简化问题. 易 错 提 醒 （1）转化后不等价： 转化时要确保原问题的概率与转化后模型的概率相等. （2）等可能性破坏： 转化过程中破坏了等可能性（如错误地将不等可能结果直接计数）. （3）遗漏或重复： 列举基本结果时遗漏或重复，导致m或n计算错误. （4）滥用面积比： 只有每个点等可能时才能用面积比，否则不能用. 课后练习 7. 如图所示的是三个可以自由转动的转盘。转动转盘， 分别计算转盘停止时，指针落在红色区域的概率。 （1） （2） （3） 白 红 蓝 白 红 135° 135° 蓝 红 115° 白 167° 78° 习题3.3 教材p78 解：（1）由于红色区域圆心角为90°， ∴P （指针落在红色区域）= 课后练习 7. 如图所示的是三个可以自由转动的转盘。转动转盘， 分别计算转盘停止时，指针落在红色区域的概率。 （1） （2） （3） 白 红 蓝 白 红 135° 135° 蓝 红 115° 白 167° 78° 习题3.3 教材p78 （2）由于红色区域圆心角为135°， ∴P （指针落在红色区域）= 课后练习 7. 如图所示的是三个可以自由转动的转盘。转动转盘， 分别计算转盘停止时，指针落在红色区域的概率。 （1） （2） （3） 白 红 蓝 白 红 135° 135° 蓝 红 115° 白 167° 78° 习题3.3 教材p78 （3）由于红色区域圆心角为115°， ∴P （指针落在红色区域）= 课后练习 8. 如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在 9×9 个小方格的“雷区”中，随机埋藏着 10 颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏 1 颗“地雷”。小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字 3 ，它表示与这个方格相邻的 8 个小方格（图中黑框所围区域，设为 A 区域）中埋藏着 3 颗“地雷”。为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在 A 区域内小方格上还是应踩在 A 区域外的小方格上？ 解：应踩在A区域之外的小方格上。 因为P（ A 区域内不踩中地雷 ）= P（ A 区域外不踩中地雷 ）= 而 ，所以为了尽可能不踩中地雷， 小明的第二步应踩在A区域外的小方格上。 习题3.3 教材p78 课后练习 11. 小明和小颖用一副去掉大王、小王的扑克牌做抽牌游戏：小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁抽到的牌面大谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关）。然后两人把抽到的牌都放回，重新开始游戏。 （1）现小明已经抽到的牌面为 4，然后小颖抽牌，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？ （2）若小明已经抽到的牌面为 2，情况又如何？若小明已经抽到的牌面为 A 呢？ 解：（1）P （小明获胜）= ，P （小颖获胜）= 。 （2）若小明已经抽到的牌面为2，则 P （小明获胜）= 0，P （小颖获胜）= = 。 若小明已经抽到的牌面为A，则 P （小明获胜）= = ，P （小颖获胜）= 。 习题3.3 教材p78 谢谢聆听 $