精品解析：四川西充中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题

四川省西充中学高2024级4月月考试题 数学 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、考号用0.5毫米黑色签字笔填写清. 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 数列的递推公式可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列为等差数列，且，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 12 5. 已知函数，满足当时，，若，则有（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不定 6. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）． A. B. C. D. 7. 已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（    ） A. 2022 B. 4044 C. 2023 D. 4046 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 10. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. 已知函数，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 11. 在等差数列中，首项，公差，前n项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则必有 B. 若，则取最大值时 C. 若，则必有 D. 若，则必有 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 曲线在点在时的切线斜率为______. 13. 已知数列满足：，，则______． 14. 已知是定义在上的奇函数，，当时，，则的解集为__________． 四、解答题：（本大题共5个小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分.） 15. 记等差数列的前项和为，且是，的等差中项，. （1）求数列的通项公式； （2）求. 16. 设数列满足. （1）求的通项公式； （2）求数列 的前项和． 17. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为． （1）求a的值； （2）求的单调区间． 18. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 19. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的图象上存在两个点，在该两点处的切线的斜率都为，求实数a的取值范围； （3）当时， 若对， 有恒成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省西充中学高2024级4月月考试题 数学 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、考号用0.5毫米黑色签字笔填写清. 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 数列的递推公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的，由此可以得到递推公式，得出结果. 【详解】数列第一项是1，AB是通项公式的形式，故AB错误； 观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的， 所以递推公式为，故C正确，D错误. 故选：C. 2. 已知数列为等差数列，且，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质即可得解. 【详解】因为数列为等差数列，又， 所以，则，所以. 故选：B. 3. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据导函数的正负,确定函数的单调递增递减区间即得. 【详解】由求导得，， 则当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 故函数的单调递增区间为. 故选：D. 4. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列性质得到成等比数列，求出，得到答案. 【详解】因为为等比数列的前项和且， 所以成等比数列，即3，6，成等比数列， 所以，所以． 故选：A． 5. 已知函数，满足当时，，若，则有（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不定 【答案】B 【解析】 【分析】由当时，，构造上的单调函数，再利用单调性去比较大小。 【详解】设，则，所以在上单调递增. 又因为，所以，即 故选：B 6. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项与等差数列前项和得出，，即可代入已知得出答案. 【详解】由等差数列的性质可得： ，， 则，即， ， 故选：C. 7. 已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】变形得到，利用累乘法得到，故，利用裂项相消法求和得到答案． 【详解】由题意,易知，由变形为，故， 所以 ， 因为，所以，故， 所以． 故选：C 8. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（    ） A. 2022 B. 4044 C. 2023 D. 4046 【答案】D 【解析】 【分析】先得到，再用倒序相加法即可求解. 【详解】因为正数数列是公比不等于1的等比数列，且， 所以， 又∵函数， ∴， 令，则， ∴， ∴. 故选：D. 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】CD 【解析】 【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得. 【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误； ，故B错误； 当时，，故C正确； 因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确. 故选：CD. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. 已知函数，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】借助导数定义可得A；借助复合函数的导数运算法则计算即可得B；借助导数的除法运算法则计算即可得C；利用导数运算法则计算即可得D. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：，则，解得，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，则， 则，故D正确. 11. 在等差数列中，首项，公差，前n项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则必有 B. 若，则取最大值时 C. 若，则必有 D. 若，则必有 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由已知可得，再结合求和公式和进行判断；对于B，由已知可得，结合已知可判断；对于C，由已知可得，进而可得，可判断；对于D，由已知可得，利用作差法比较大小可判断. 【详解】对于A，根据等差数列的性质，若，则，则， ，故A正确； 对于B，若，则，又，所以， 则是中最大的项，故B不正确． 对于C，若，则，即，又，所以， 所以，故C正确， 对于D，由，则，即，所以，所以， ，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 曲线在点在时的切线斜率为______. 【答案】3 【解析】 【分析】求导，将代入导函数即可求解. 【详解】，当时，，故曲线在点在时的切线斜率为3. 故答案为：3 13. 已知数列满足：，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由递推关系式可知数列是周期为4的周期数列，根据可得结果. 【详解】由题意得：，，，， 所以数列是周期为4的周期数列， 所以. 故答案为：2. 14. 已知是定义在上的奇函数，，当时，，则的解集为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由是定义在上的奇函数，，故，设，则，即时，是增函数，当时，，此时；时，，此时，又是奇函数，所以时，；时．则不等式等价为或，即或，即或，则不等式的解集是，故答案为. 点睛：本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．构造函数函数解决本题的关键；构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化即可. 四、解答题：（本大题共5个小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分.） 15. 记等差数列的前项和为，且是，的等差中项，. （1）求数列的通项公式； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差中项的性质及等差数列通项公式与求和公式列方程，解方程组； （2）根据等差数列的求和公式直接计算. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由是，的等差中项，得， 即，解得， 由，得，解得， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）得，， 所以. 16. 设数列满足. （1）求的通项公式； （2）求数列 的前项和． 【答案】(1) ；(2). 【解析】 【分析】 （1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式. （2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和. 【详解】（1）数列满足 时, ∴ ∴ 当时,,上式也成立 ∴ （2） ∴数列的前n项和 【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题. 17. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为． （1）求a的值； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2）的单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）根据可求的值. （2）求导，根据导函数的符号确定函数的单调区间. 【小问1详解】 由题意. 此时，. 所以， ， 所以在处的切线方程为，即. 故为所求. 【小问2详解】 因为，. 由；由. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 18. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 【答案】（1），； （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和 ， ， ． 设， ⑧ 则． ⑨ 由⑧-⑨得． 所以． 因此． 故． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法 证明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以， 所以. [方法三]：构造裂项法 由（Ⅰ）知，令，且，即， 通过等式左右两边系数比对易得，所以． 则，下同方法二． [方法四]：导函数法 设， 由于， 则． 又， 所以 ，下同方法二． 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可. 【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）略 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. （2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论； 方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解； 方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法， 方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 19. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的图象上存在两个点，在该两点处的切线的斜率都为，求实数a的取值范围； （3）当时， 若对， 有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 ， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导得，对分类讨论可得函数f（x）的单调性； （2）由题意可得在区间上有两个不相等的实数根，进而利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）由（1）知函数单调递增，进而有且对恒成立，利用基本不等式可求得实数m的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由， ①当时，，则函数在上单调递减； ②当时，，则函数在上单调递增； ③当时，，令，得，令，得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增； ④当时，，令，可得，令，得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 ， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由函数的图象上存在两个点在两点处的切线的斜率都为， 可知，在上有两个不相等的实数根， 即关于x的方程在上有两个不相等的实数根， 上述方程可整理为. 则，解得或， 故实数a的取值范围为. 【小问3详解】 当时，由（1）可知函数在上单调递增， 不等式可化为， 因恒成立，则可得且对恒成立. 又由 . 当且仅当，即或时取等号， 故实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $