精品解析：河南省洛阳市新安县2022-2023学年上学期期末教学质量检测试卷

新安县2022-2023学年第一学期期末教学质量检测试卷 一、单选题 1. 下列说法： ①任何正数的两个平方根的和等于0； ②任何实数都有一个立方根； ③无限小数都是无理数； ④实数和数轴上的点一一对应． 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 为了了解某市参加中考的名学生的体重情况，抽查了其中1600名学生的体重进行统计分析．下列叙述正确的是（ ） A. 名学生是总体 B. 名学生的体重是总体的一个样本 C. 每名学生是总体一个个体 D. 样本容量是名 4. 若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ） A. 至少有一个角是钝角或直角 B. 没有一个角是锐角 C. 每一个角都是钝角或直角 D. 每一个角是锐角 5. 如图，在和中，点在同一条直线上，有下列四个论断：①；②；③；④，用其中的三个作为条件，不能得到的三个条件的序号是( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 6. 下列条件不能确定△ABC是直角三角形的是（　　） A. ∠A+∠B=∠C； B. ∠A：∠B：∠C=1：2：3； C. ∠A=90°﹣∠B； D. ∠A=∠B+∠C 7. 使的积中不含和的p，q的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是(　　　) A. 条形图 B. 扇形图 C 折线图 D. 频数分布直方图 9. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④若，则 . 其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AB＝2BF，给出下列结论：①△ABC为等腰三角形；②AD⊥BC；③△CED≌△BFD；④AC＝3BF．其中，正确的结论共有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题 11. 的平方根是____． 12. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 13. 若，，则=________． 14. 计算：_______． 15. 如图，在等边中，是边上的高，延长至点E，使，则的长为 ___________． 16. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为________． 17. 如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AH＝6，EF＝2，那么AB等于_____． 18. △ABC中，AB＝BC，△ABC的中线AM将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为__． 19. 若m2＝n+2022，n2＝m+2022（m≠n），那么代数式m3－2mn+n3的值______． 20. 如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③AD＝BE，④AE+BD＝AB，其中正确的说法有 _____．（填序号） 三、解答题 21. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中， 22. 把下列多项式分解因式： （1） （2） （3） 23. 如图，，，点D边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 某城市对市民开展了有关雾霾的调查问卷，调查内容是“你认为哪种措施治理雾霾最有效”，有以下四个选项：A．绿化造林；B．汽车限行；C．拆除燃煤小锅炉；D使用清洁能源．调查过程随机抽取了部分市民进行调查，要求市民只允许选择其中的一项，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的市民共有 　 　人． （2）请你将条形统计图补充完整． （3）求扇形统计图中D选项所对应的扇形的圆心角的度数． （4）请你结合自己的实际情况提出两条有效治理雾霾的建议． 25. 如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． (1)求∠PAQ度数． (2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 26. 【概念学习】若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条公共底边互为顶针点，这条公共底边叫做这两个互为顶针点的顶针线段．如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB＝AC，DB＝DC，则点A与点D关于顶针线段BC互为顶针点． （1）【概念理解】判断下列结论是否正确（在题后括号内正确的打“√”，错误的打“×”） ①互为顶针点的两个点一定位于它的顶针线段的同侧；　 　 ②一条顶针线段的顶针点有无数多对； 　 　 ③互为顶针点的两个点所在直线一定是其顶针线段的垂直平分线；　 　 ④互为顶针点的两个点所在直线平分对应等腰三角形的顶角．　 　 （2）【实践操作】如图2，在长方形ABCD中，AB＜AD．若在边AD上存在点F，边AB上存在点E，使得点E与点C关于顶针线段BF互为顶针点．请用直尺和圆规在图2中作出满足条件的点F、E．（要求不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色墨水签字笔描黑．） （3）【思维探究】在（2）的条件下，若AB＝8，AD＝10．请利用备用图求AE的长度． 27. 如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°． （1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是　 　，位置关系是　 　． （2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新安县2022-2023学年第一学期期末教学质量检测试卷 一、单选题 1. 下列说法： ①任何正数的两个平方根的和等于0； ②任何实数都有一个立方根； ③无限小数都是无理数； ④实数和数轴上的点一一对应． 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】①一个正数有两个平方根，它们互为相反数，和为0，故①正确；②立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，故②正确；③无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故③错误；④实数和数轴上的点一一对应，故④正确，所以正确的有3个， 故选C． 2. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方和同底数幂的除法分别计算得到结果，化简然后做出判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握法则是解本题的关键． 3. 为了了解某市参加中考的名学生的体重情况，抽查了其中1600名学生的体重进行统计分析．下列叙述正确的是（ ） A. 名学生是总体 B. 名学生的体重是总体的一个样本 C. 每名学生是总体的一个个体 D. 样本容量是名 【答案】B 【解析】 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念进行逐项判断即可． 【详解】解：A、名学生的体重是总体，原叙述错误，不符合题意； B、名学生的体重是总体的一个样本，原叙述正确，符合题意； C、每名学生的体重是总体的一个个体，原叙述错误，不符合题意； D、样本容量是，原叙述错误，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查总体、个体、样本、样本容量的概念，理解总体是指考查对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．解决此类问题的关键是明确考查的对象，总体、个体、样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 4. 若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ） A. 至少有一个角是钝角或直角 B. 没有一个角是锐角 C. 每一个角都是钝角或直角 D. 每一个角是锐角 【答案】D 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时， 首先应该假设这个四边形中每一个角是锐角， 故选：D． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 5. 如图，在和中，点在同一条直线上，有下列四个论断：①；②；③；④，用其中的三个作为条件，不能得到的三个条件的序号是( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】把四个论断取个进行组合，看是否能够得到，根据已知条件，结合全等的判定方法分析即可． 【详解】解：①，②由可得，③由可得．故，可选①②③，不符合题意； ①，②由可得，④．故，可选①②④，不符合题意；  ②由可得，③由可得，④，故，可选②③④，不符合题意；  ①，③由可得，④，没有三角形全等判定定理，故不能得到，不可选①③④，符合题意；  6. 下列条件不能确定△ABC是直角三角形的是（　　） A. ∠A+∠B=∠C； B. ∠A：∠B：∠C=1：2：3； C. ∠A=90°﹣∠B； D. ∠A=∠B+∠C 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和等于，即可得到或的度数，进而得出结论． 【详解】若，则， ，能确定是直角三角形，故A不符合题意； 若，则， 能确定是直角三角形，故B不符合题意； 若，则， 能确定是直角三角形，故C不符合题意； 若，不能确定是直角三角形，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理和直角三角形的两锐角互余，解题的关键是掌握三角形内角和为． 7. 使的积中不含和的p，q的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式中不含某项的条件；先按多项式乘以多项式法则运算得，再由多项式中不含某项的条件即可求解，理解多项式中不含某一项的条件就是使得这一项的系数为零是解题的关键． 【详解】解： 不含和， ， 解得：， 故选：C． 8. 我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是(　　　) A. 条形图 B. 扇形图 C. 折线图 D. 频数分布直方图 【答案】B 【解析】 【分析】根据统计图的特点判定即可． 【详解】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图． 故选：B． 【点睛】本题考查了统计图的特点，条件统计图能反映各部分的具体数值，扇形统计图能反映各个部分占总体的百分比，折线统计图能反映样本或总体的趋势，频数分布直方图能反映样本或总体的分布情况，熟练掌握各统计图的特点是解题的关键． 9. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④若，则 . 其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①连接，，根据定理可得，故可得出结论；②根据三角形的外角的性质即可得出结论；③先根据三角形内角和定理求出的度数，再由是的平分线得出，根据可知，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出，，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：①证明：连接，， 在与中， ， ， 则， 故是的平分线，故①正确； ②在中，，， ． 是的平分线， ， ∴，故②正确； ③， ， ， 点在的垂直平分线上，故③正确； ④在中，， ， ，， ， ， ∴若，则 . 故此④正确； 综上，正确的是①②③④， 故选：D 【点睛】本题考查的是角平分线的作图，线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定和性质、含角的直角三角形的性质等，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 10. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AB＝2BF，给出下列结论：①△ABC为等腰三角形；②AD⊥BC；③△CED≌△BFD；④AC＝3BF．其中，正确的结论共有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线的性质和平行线的性质可证∠ACB=∠ABC，可得AC=AB，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD=BD，由“ASA”可证△CED≌△BFD， 【详解】∵BC恰好平分∠ABF， ∴∠ABC＝∠CBF， ∵BF∥AC， ∴∠ACB＝∠CBF， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴AC＝AB，且AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC，CD＝BD，故①，②正确， ∵CD＝BD，且∠ACB＝∠CBF，∠CDE＝∠BDF， ∴△CED≌△BFD（ASA）， 故③正确， ∵AB＝2BF，AB＝AC， ∴AC＝2BF． 故④错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，证明△CED≌△BFD是本题的关键． 二、填空题 11. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 12. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 13. 若，，则=________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘的运算法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，正确的计算不出错是解决此题的关键． 14. 计算：_______． 【答案】1 【解析】 【分析】将分解成，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】 ． 故答案为：1. 【点睛】本题考查了利用因式分解简化运算，掌握完全平方公式是解题的关键． 15. 如图，在等边中，是边上的高，延长至点E，使，则的长为 ___________． 【答案】3 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可得，根据是边上的高线，可得，再由题中条件，即可求得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是边上的高线， ∴D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到是正确解答本题的关键． 16. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为________． 【答案】10 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ，，， ， ； 如图2， ，，，， ， ， ， 蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为． 故答案为：10． 17. 如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AH＝6，EF＝2，那么AB等于_____． 【答案】10 【解析】 【分析】在直角三角形AHB中，利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：∵四边形EFGH是正方形，EF＝2， ∴HG＝EF＝2，∠AHB=∠GHE=90° ∵AH＝6，△ABH、△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形， ∴BG＝AH＝6， ∴BH＝8， ∴在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：AB＝＝10． 故答案是：10． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理和全等三角形的性质，解题的关键是得到直角三角形ABH的两直角边的长度． 18. △ABC中，AB＝BC，△ABC的中线AM将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为__． 【答案】7或11． 【解析】 【分析】根据题意设AB=BC=2x，AC=y，则BM=CM=x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系进行分析解答即可． 【详解】解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BM＝CM＝x， ∵BC上的中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分， ∴有两种情况： ①当3x＝15，且x+y＝12，解得x＝5，y＝7， 此时AB＝BC＝10，AC＝7，能构成三角形， ∴AC＝7； ②当x+y＝15且3x＝12时，解得x＝4，y＝11， 此时AB＝BC＝8，AC＝11，能构成三角形， ∴AC＝11； 综上，AC的长为7或11． 故答案为：7或11． 【点睛】本题考查等腰三角形和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键． 19. 若m2＝n+2022，n2＝m+2022（m≠n），那么代数式m3－2mn+n3的值______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件求得，，，再将原式化成，连接两次代值计算便可得出答案． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ，， ，， 原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值计算，因式分解的应用，关键是正确转化已知与未知式子，使其紧密联系起来，从而找到解决问题的途径． 20. 如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③AD＝BE，④AE+BD＝AB，其中正确的说法有 _____．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等．然后得到∠1=∠2，结合角的关系，得到∠APE＝∠C；由△ABE和△CAD全等对应边相等得到AD＝BE；再结合边的关系，得到AC=AB；即可得到答案． 【详解】证明：如图所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°， 在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（SAS）， ∴∠1=∠2， ∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°， ∴∠APE=∠C=60°， 故①正确； 无法判断BQ=AQ， 故②错误， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°， 又 ∴△ABE≌△CAD（SAS）， ∴AD＝BE 故③正确； ∵AC=BC．AE=DC， ∴BD=CE， ∴AE+BD=AE+EC=AC=AB， 故④正确， ∴正确的有①③④ 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，牢固掌握并灵活运用以上知识点是做出本题的关键． 三、解答题 21. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中， 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（1）根据有理数的运算法则进行计算即可， （2）利用完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则先计算括号内的乘方和乘法，然后去括号，合并同类项进行化简，最后算括号外面的除法，再代入求值． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，掌握算术平方根、立方根、取绝对值符号、完全平方公式是解题关键． 22. 把下列多项式分解因式： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用完全平方公式法分解因式即可； （3）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握平方差公式，完全平方公式． 23. 如图，，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴, ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由得出，再利用“”证明即可； （2）由得出，，再由等腰三角形等边对等角得出，进而证得，最后利用三角形内角和定理得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 24. 某城市对市民开展了有关雾霾的调查问卷，调查内容是“你认为哪种措施治理雾霾最有效”，有以下四个选项：A．绿化造林；B．汽车限行；C．拆除燃煤小锅炉；D使用清洁能源．调查过程随机抽取了部分市民进行调查，要求市民只允许选择其中的一项，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的市民共有 　 　人． （2）请你将条形统计图补充完整． （3）求扇形统计图中D选项所对应的扇形的圆心角的度数． （4）请你结合自己的实际情况提出两条有效治理雾霾的建议． 【答案】（1）200 （2）见解析 （3）72° （4）①绿色出行，提倡少开车，多坐公交车和骑自行车出行．②宣传环保知识，让大家知道雾霾的危害 【解析】 【分析】（1）由统计图中的数量和占比可直接得到答案． （2）求得选C的人数，进而可补充完整条形统计图． （3）由D选项的占比×360°可直接计算得到答案． （4）提高环保意识，个人绿色出行，低碳环保，建议合理即可． 【小问1详解】 解：由图可知选A的20人占了总数的10%，所以被调查的市民共有：20÷10%=200人． 【小问2详解】 解：被调查总人数为200人，所以选C的有200-20-80-40=60人，条形统计图补充如下： 【小问3详解】 解：扇形统计图中D选项所对应的扇形的圆心角的度数为： 【小问4详解】 解：①低碳出行，提倡少开车，多坐公交车和骑自行车出行； ②宣传环保知识，让大家知道雾霾的危害． 【点睛】本题考查数据与统计图表，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25. 如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． (1)求∠PAQ的度数． (2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 【答案】(1)∠PAQ＝20°；(2)PQ＝2． 【解析】 【分析】（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，根据线段垂直平分线的性质得：AP＝PB，AQ＝CQ，由等腰三角形的性质得：∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，再由三角形内角和定理相加可得结论； （2）根据△APQ周长为12，列等式为AQ+PQ+AP＝12，由等量代换得BC+2PQ＝12，可得PQ的长． 【详解】(1)设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z， ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP＝PB，AQ＝CQ， ∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y， ∵∠BAC＝80°， ∴∠B+∠C＝100°， 即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°， ∴x＝20°， ∴∠PAQ＝20°； (2)∵△APQ周长为12， ∴AQ+PQ+AP＝12， ∵AQ＝CQ，AP＝PB， ∴CQ+PQ+PB＝12， 即CQ+BQ+2PQ＝12， BC+2PQ＝12， ∵BC＝8， ∴PQ＝2． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和. 26. 【概念学习】若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条公共底边互为顶针点，这条公共底边叫做这两个互为顶针点的顶针线段．如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB＝AC，DB＝DC，则点A与点D关于顶针线段BC互为顶针点． （1）【概念理解】判断下列结论是否正确（在题后括号内正确的打“√”，错误的打“×”） ①互为顶针点的两个点一定位于它的顶针线段的同侧；　 　 ②一条顶针线段的顶针点有无数多对； 　 　 ③互为顶针点的两个点所在直线一定是其顶针线段的垂直平分线；　 　 ④互为顶针点的两个点所在直线平分对应等腰三角形的顶角．　 　 （2）【实践操作】如图2，在长方形ABCD中，AB＜AD．若在边AD上存在点F，边AB上存在点E，使得点E与点C关于顶针线段BF互为顶针点．请用直尺和圆规在图2中作出满足条件的点F、E．（要求不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色墨水签字笔描黑．） （3）【思维探究】在（2）的条件下，若AB＝8，AD＝10．请利用备用图求AE的长度． 【答案】（1）①×②√③√④√ （2）见解析 （3）AE=3 【解析】 【分析】（1）根据新定义，逐项判断即可求解； （2）在AD上取点F，使CF=BC，再作出∠BCF的平分线交AB于点E，则点F、E即为所求；理由：连接EF，BF，可得△BCE≌△FCE，从而得到△BEF和△BCF是等腰三角形，且BF为公共底边，即可求解； （3）根据题意可得EB=EF，CB=CF=10，再由勾股定理可得DF=6，从而得到AF=AD-DF=4，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：①互为顶针点的两个点可能位于它的顶针线段的同侧，也可能位于它的顶针线段的异侧，故①错误； ②一条顶针线段的顶针点有无数多对，故②正确； ③根据题意得：顶针点为等腰三角形的顶角的顶点，而等腰三角形的顶角的顶点位于其底边的垂直平分线上，即互为顶针点的两个点所在直线一定是其顶针线段的垂直平分线，故③正确； ④根据等腰三角形的顶角平分线，底边中线，底边高线三条线互相重合，可得互为顶针点的两个点所在直线平分对应等腰三角形的顶角，故④正确； 故答案为：①×②√③√④√ 【小问2详解】 解：如图所示． 在AD上取点F，使CF=BC，再作出∠BCF的平分线交AB于点E，则点F、E即为所求；理由如下： 连接EF，BF， 根据题意得：BC=CF，∠BCE=∠FCE， ∵CE=CE， ∴△BCE≌△FCE， ∴BE=FE， ∴△BEF和△BCF是等腰三角形，且BF为公共底边， ∴点E与点C关于顶针线段BF互为顶针点； 【小问3详解】 解：∵点E与点C关于顶针线段BF互为顶针点， ∴EB=EF，CB=CF=10， 在Rt△CFD中，DF=， ∴AF=AD-DF=4， 在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2， ∴AE2+42=（8-AE）2， 解得AE=3． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图，勾股定理，理解新定义，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图，勾股定理是解题的关键． 27. 如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°． （1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是　 　，位置关系是　 　． （2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长． 【答案】（1）AE＝BD，AE⊥BD （2）结论成立，AE＝BD，AE⊥BD．理由见解析 （3）满足条件的AD的值为17或7 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△BCD，得出AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，进一步证明出AE⊥BD． （2）利用SAS证明△ACE≌△BCD，得出AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，进一步证明出AE⊥BD． （3）作CH⊥AD于H，利用等腰直角三角形的性质求出CH＝DE＝5，利用勾股定理求出AH＝12，然后分射线AD在直线AC的下方和上方两种情况求解． 【小问1详解】 如图1中，延长AE交BD于H． ∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD， ∴△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD， ∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH， ∴∠BEH+∠EBH＝90°， ∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD， 故答案为AE＝BD，AE⊥BD． 【小问2详解】 结论：AE＝BD，AE⊥BD． 理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O． ∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD， ∴△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD， ∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH， ∴∠BOH+∠OBH＝90°， ∴∠OHB＝90°， 即AE⊥BD． 【小问3详解】 当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD于H． ∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE， ∴EH＝DH，CH＝DE＝5， 在Rt△ACH中， ∵AC＝13，CH＝5， ∴AH＝＝12， ∴AD＝AH+DH＝12+5＝17． ②当射线AD在直线AC的下方时，作CH⊥AD于H． 同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7， 综上所述，满足条件的AD的值为17或7． 【点睛】本题考查几何变换，解决问题的思路是从特殊到一般，注意解决后面问题参照前面的思路方法是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $