精品解析：河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期卓越班期中模拟考试数学学科

2026年春期高二卓越班期中模拟考试数学学科 命题人：杨露 审题人：袁小转 考试范围：选必一第七章+选必二 考试时间：120分钟 一、单选题 1. 已知函数的导函数为，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，. 2. 已知函数在处有极小值，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， 由题可知，解得或． 当时，， 当时，或，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减. 此时在处取得极大值，不符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减.， 此时在处取得极小值，符合题意. 3. 已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（ ） A. 1或2 B. 1或4 C. 2或4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的前n项和公式，分和两种情况计算可得. 【详解】设等比数列的公比为, 当公比时 等比数列前项和，因此，满足. 此时； 当公比时 等比数列前项和公式为​，代入得： ,  整理得，令，则,解得（对应舍去）或， 因此. 综上所述，或. 4. 已知数列的首项，且满足，则数列（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先减后增 D. 先增后减 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，构造等比数列，求出，得出数列的通项公式，结合指数函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，可得， 根据指数函数单调性可知，可得数列是单调递减数列. 5. 设数列满足，则的前2026项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可. 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 6. 记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，结合能成立求出范围. 【详解】令，则，单调递减， 由，可得，， 即， 所以当时，有解，即有解，所以， 故的取值范围为． 7. 若经过点的直线与曲线相切，也与曲线相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，分别求得在切点处的切线方程，结合切线过，得出关系式，即可求解． 【详解】设曲线的切点为， 则由，可得切线方程为， 因为切线过点，所以，解得， 所以切线方程为； 设曲线的切点为， 由，所以切线的斜率， 因为直线的方程为，可得，解得，即切点为， 所以切线方程为，即， 所以，解得． 8. 已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得恒成立，构造函数，可得，结合函数单调性可得恒成立，构造函数，借助导数研究其单调性后计算即可得解. 【详解】由恒成立，则恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 令，则， 由在上单调递增，故，则恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故，则， 即实数a的取值范围为. 二、多选题 9. 记数列的前项和为，且，，，设，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 的最大值为53 【答案】ABD 【解析】 【分析】由递推公式计算可判断A，由递推公式化简可得，根据等比数列定义可判断B；结合B利用累加法及等比数列求和公式计算可判断C，根据数列的性质计算可判断D. 【详解】，．当时，，解得，A正确． 由，得． 即，因为， 则．又， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，B正确． 由B，可得，即， 当时， ， 又符合上式，所以，C错误． 当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减． 所以， 所以的最大值为，D正确． 10. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，记第个图形的边数为，第个图形的周长为，则（ ） A. B. C. 数列是等差数列 D. 若对任意恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】ABC选项，先得到从第二个图形开始，每一个图形的边数是前一个图形的4倍，周长是前一个图形周长的，从而由等比数列求通项公式可得，，又，故是等差数列；D选项， 变形得到，设，得到当时，，当时，，当时，，所以最大值为，，D正确. 【详解】观察图形知，从第二个图形开始，每一个图形的边数是前一个图形的4倍， 边长为前一个图形的，因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是前一个图形周长的， AB选项，是以为首项，公比为4的等比数列， 所以，，，A正确，B错误； C选项，是以为首项，公比为的等比数列， 所以，故， 所以， 所以为等差数列，C正确； D选项，对任意恒成立， 故，设， 当时，， 当时，， 显然，， 当时，，即，，， 当时，，即，，， 当时，，，，， 所以取得最大值，最大值为，则，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 若函数有且仅有1个零点，则 B. 若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C. 不存在，使函数存在唯一的极值点 D. 若对恒成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用参变分离的思想，结合函数图象进行求解 【详解】对于A，显然0不是函数的零点，当时，令，变形为， 令，，则， 令得或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，作出的图象，如下： 直线与其仅有一个公共点，则； 对于B，，令， 函数有且仅有2个极值点，故有2个变号零点， 令得，显然0不是函数的零点， 当时，变形为，令， 则，令得，令得或， 故在上单调递减，在上单调递增， ，作出的图象，如下： 直线与其交于两点，则，故，B正确； 对于C，结合B的分析，显然当时，有且仅有一个变号零点， 函数存在唯一的极值点，C错误； 对于D，，即，当时，满足要求， 当时，，变形为， 令，结合A的分析，当x＞0时，，故，D正确. 三、填空题 12. 已知等差数列与的前n项和分别为，，且，则的值为________；的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列下标和性质，将所求项的比转化为和的比，计算求解. 【详解】； 因为数列是等差数列，所以均是的二次式，且常数项均为0. 由，可设，其中为常数. 所以. 又，所以， 所以. 13. 与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，是以13为首项，14为公差的等差数列，再结合函数的单调性判断最小项. 【详解】是以13为首项，14为公差的等差数列，. 令， 根据在上单调递减，上单调递减， 又时，，时，，最小值为. 14. 已知函数（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为方程有且只有一个根，构造函数，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合图象可求得答案. 【详解】由，得， 因为，所以， 令，则，令，则， 当或时，，当时，， 所以在和上递增，在上递减， 所以当时，函数有极小值， 且当时，， 因为函数有且只有一个零点， 所以结合函数图象可得，所以实数k的取值范围为. 四、解答题 15. 学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的自主学习，包括提前预习，复习巩固等等，现在人们普遍认为花在课后的学习时间越多越好．某教研机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为分钟）和他们的数学平均成绩（设为）做出了以下数据统计，请根据表格回答问题： 60 70 80 90 100 110 120 130 92 109 114 120 119 121 121 122 （1）从三个函数①．②（）．③中选择一个作为学习时间和平均成绩的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由． （2）根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程（系数精确到）． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 参考数据：，，， 【答案】（1）②合适 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数①②③的性质及表中的数据，即可求解； （2）先将非线性回归方程转化成线性回归方程，再根据题设条件，利用最小二乘法，即可求解. 【小问1详解】 由表格可知，增大时，值整体呈上升趋势但存在局部波动，比较函数①②③， 选择②（）作为学习时间x和平均成绩y的回归类型最合适. 【小问2详解】 对（）两边取以为底的对数可得， 设，则， ， ，所以， 故，即，所以. 16. 设为数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和，并证明：. 【答案】（1）1. （2） 法一： ， ③， ④， ③④得： ， ， ， ， 是单调递增数列，， ，，. 综上：. 法二： ， ， ， ， 是单调递增数列，， ，，. 综上：. 【解析】 【分析】（1）利用与的关系求解.利用等差数列的通项公式求解. （2）法一：利用错位相减法求出，法二：利用裂项相消法求出，求出，得到是单调递增数列，从而得到，由和得到的范围，从而得证. 【小问1详解】 因，所以①， 当时，由①得：②， 则①②得：（）， 即，则（）， 则是等差数列，且公差为2，又，则， 即1. 【小问2详解】 略 17. 已知数列中，，. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前项和； （3）设，且，，求的最大值. 【答案】（1） 因为， 所以， 所以是公差为2，首项为1的等差数列 （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）由等差数列的定义即可证明； （2）由（1）可算得，进而得，用裂项相消法即可求得； （3）由（2）可得，，进而可得数列为递增数列，从而可得，可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， 则 则 【小问3详解】 由（2）可知， 令， 则， 所以数列为递增数列 所以，所以 又因为， 所以的最大值为9. 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，判断函数的零点个数. 【答案】（1）当时， 在上单调递减，在上单调递增； 当时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）当时，函数无零点， 当或时，函数的零点个数为1， 当时，函数的零点个数为2． 【解析】 【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可； （2）对参数范围分类讨论并结合之前的结论得到单调性，再利用零点存在性定理或直接求解零点判断零点个数即可. 【小问1详解】 由题意得的定义域为，则 当时，时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，可得或，令，可得， 故在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，令可得或，令可得， 故在和上单调递增，在上单调递减． 综上所述： 当时， 在上单调递减，在上单调递增； 当时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 当时，， ①当时，由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，而x趋近正无穷时，趋近正无穷， 故在上只有一个零点； ②当时，，在上单调递增，且连续不间断， 且，故在上只有一个零点． ③当时，令，解得，即在上只有一个零点， ④当时，令可得，令，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当x趋近正无穷时，趋近正无穷，当x趋近0时，趋近正无穷， 若，即时，在上无零点． 若，即时，在上只有一个零点， 若，即时，在上有两个零点， 综上所述： 当时，函数无零点， 当或时，函数的零点个数为1， 当时，函数的零点个数为2． 19. 已知函数，. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若，，对任意的，恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2） 当时，只需证明，， 当时，，，此时成立， 当时，令，， 令，则， 因为在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增， 因为，所以时，， 所以在区间上单调递增， 所以， 所以在区间上单调递增，， 所以， 综上可得成立. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义计算求解； （2）分，两种情况讨论，当时，利用导数判断函数的单调性即可得证； （3）利用导数求函数的最小值，可得，转化为，构造函数，利用导数求最大值即可. 【小问1详解】 当时，，， 则切线斜率，， 所以切线方程为，即， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 任意的，恒成立，只需要， 又是增函数，，，， 故由零点存在性定理可知，，使得， 此时，由题设及可知，，解得， 当，，故单调递减， 当，，单调递增， 所以，取得极小值也是最小值，所以， 所以，得， 则， 令， 得到，得（舍去）或， 当，0单调递增，当，，单调递减， 所以时，取得极大值也是最大值， 所以，故的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期高二卓越班期中模拟考试数学学科 命题人：杨露 审题人：袁小转 考试范围：选必一第七章+选必二 考试时间：120分钟 一、单选题 1. 已知函数的导函数为，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 已知函数在处有极小值，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（ ） A. 1或2 B. 1或4 C. 2或4 D. 4 4. 已知数列的首项，且满足，则数列（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先减后增 D. 先增后减 5. 设数列满足，则的前2026项和为（ ） A. B. C. D. 6. 记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若经过点的直线与曲线相切，也与曲线相切，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 记数列的前项和为，且，，，设，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 的最大值为53 10. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，记第个图形的边数为，第个图形的周长为，则（ ） A. B. C. 数列是等差数列 D. 若对任意恒成立，则 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 若函数有且仅有1个零点，则 B. 若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C. 不存在，使函数存在唯一的极值点 D. 若对恒成立，则 三、填空题 12. 已知等差数列与的前n项和分别为，，且，则的值为________；的值为________． 13. 与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______. 14. 已知函数（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围为______. 四、解答题 15. 学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的自主学习，包括提前预习，复习巩固等等，现在人们普遍认为花在课后的学习时间越多越好．某教研机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为分钟）和他们的数学平均成绩（设为）做出了以下数据统计，请根据表格回答问题： 60 70 80 90 100 110 120 130 92 109 114 120 119 121 121 122 （1）从三个函数①．②（）．③中选择一个作为学习时间和平均成绩的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由． （2）根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程（系数精确到）． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 参考数据：，，， 16. 设为数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和，并证明：. 17. 已知数列中，，. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前项和； （3）设，且，，求的最大值. 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，判断函数的零点个数. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若，，对任意的，恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $