数学好玩-【新学期笔记对照学】2025-2026学年五年级下册数学（北师大版）

通过设计“跑向北京”的象征性长跑的活动方案，积累数学活动经验，感受数学在日 常生活中的应用。 “象征性” 经历设计活动方案的过程，提高收集数据与处理数据的能力。 长跑 数学好玩 在收集数据、设计方案、交流等活动中，学会合理地评价活动过程和设计方案等，发 展自我反思能力。 体会立体图形和它的平面展开图之间的关系，发展空间观念。 有趣的折叠 能正确判断平面展开图所对应的简单立体图形。 探索多个相同长方体叠放后使其表面积最小的最优策路。 包装的学问 通过解决包装问题，体验策略的多样化，发展优化思想。 来 5 5eM 杂学 黎华杂 杂米 杂禁 总来 杂染 禁快 种 杂杂快 杂来 种 杂水 杂来 来条 杂杂始 华 杂杀 华华 共 杂你 数学好玩 设计方案 第1课时“象征性”长跑 1.要设计长跑活动方案，需要解决哪些问题？ (1)调查学校所在城市到北京的距离大约有多少千米。（象征性长跑的总路程） 以郑州为州，郑州到北京的范商大约是688m 活动目标 1课前·预习例题 (2)调查学校所在城市到北京途径的主要城市和城市之间的路程。 经历设计话动方素的过程，提高收集数据与处理 如图，途轻后家庄、保定 数据的能力。 (3)确定每人每天跑的路程，如果全班用接力方式跑完全程，怎样设计活动方案？ 为增强体质、培养锻炼身体的良好习惯，月亮湾小学准备组织五年级学生开展“跑向 金班用接力方式跑完金程，可以设置3个接力点。郑州到北京的距南大约是688m,五(1) 北京”的象征性长跑活动，学校向同学们征集活动方案，请你一起来参与。 班有43人，每人需跑16m,如果每人年天跑1m,1后天就可以究成 (4)向大家征集活动主题，确定一个最受欢迎的。 北家 健康跑。 接力点3 2.设计记录表，将需要收集的数据记录下来。 145 131em 将需要收集的数据列入表中，包格路线、起点、休点、每天跑的落 保定 程、人员安排、时间安排等。 后家庄接力点2 3.小组内如何分工？说说每个人的分工是什么。 ☆ 全班学生分小组，每组选出一位组长，负青整体规划和协调，小粗 412 接力点1 ☆ 成员在组长的组织下共同讨论如何设计方案、如何设计表格。如何 记承数据等 ☆ 动手实验 1.分组收集数据，根据数据设计象征性长跑的方案，并填写下表。 总路程： (见教材第75页地图) 路线 起点与终点 全班每天跑的 路程/km 人员安排 时间安排 征集方案 为增强同学们的体质，学校拟举行 第1站 郑州-接力点1 43 五(1)班学生 5月1日-5月5日 五年级学生“跑向北京”的象征性 第2站 接力点1-接力点2 3 五(1)班学生 5月6日-5月10日 长跑活动。现向大家征集活动方案。 第3站 接力点2-接力点3 为 五(1)班学生 5月11日-5月13日 按照学校所在城市到北京的路 长跑活动还 需要确定一 第4站 接力点3一北京 五(1)班学生 5月14日-5月16日 程及途经的主要城市，在学校 或者学校周围举行长跑活动， 个主题。 2.全班交流各组的活动方案。想一想，一个好的方案需要符合哪些条件？ 活动可以持续一段时间。 (1)其有合理性。在身体系件允许的情况下，合理安输 每日跑步路程。 符合实际… (2)具有纪律性。严格按照规定路线完成妮定个人任养 活动任务 不样植自离队，如遇突发情况及时上报。 (3》具有趣保性，要授计多种主题，分享趣味知识，无 设计一个从学校“跑向北京”的象征性长跑活动方案。 分调动参与者的积极性。 中小学AI教辅|61 Q新学想对题学数学五年级下册S 3.制订全班的“象征性长跑活动方案”，并写在下面。 2课堂·任务学习 五(1)班“跑向北京”象征性长跑活动方案 主题：使康览 任务1理知识 时间：2025年5月1日-5月16日 1.收集数据与处理 方案：1.2025年5月1日8：00，五(1)班举行长跑动页和起跑仪式 需要收集路程数据，如所在地到北京的距离、团队成员的跑步速度。通过调查或查阅 2.长跑总路程为688me 3.长览路找：郑州一石家庄一保定一北京。 资料等获取数据，并对收集到的数据进行整理、分析。 4.全班43人接力，每人每天跑1m,16天跑完全程 2.行程问题中的数学问题 注意事项：1.关注泰加长跑的学生的健康情况。 运用路程、速度、时间的关系（路程=速度×时间，时间=路程÷速度，速度=路 2因人而异，安排不同的长跑任养。 程÷时间)来规划长跑活动的时间安排、每日运动量，将数学公式与实际活动方案设 计结合起来。 交流反思 3.设计、优化方案 1.在设计方案中，一般需要考虑哪些问题？ 活动主题、地点、时河、参与者、活动方式等 综合数据和数学关系，设计“跑向北京”的活动方案，包括人员分工、时间规划、路 2.我们收集和记录了哪些数据？是用什么方法得到这些数据的？ 线分解等。在设计过程中，需要对方案进行评估与优化，比如根据团队实际情况调整 收集和记录了总路程、每一站的路程、每人每天胞步的路程等数据。总路程和每一站的 每日跑步路程，体现数学在解决实际问题中的决策作用。 路程是通过上网查询得到的，每人每天跑步的路程是通过调查计算得到的 3.在活动中用到了哪些数学知识和方法？我们对这些知识和方法有了哪些新的认识？ 任务②学方法 1,在计算每人每天跑了多少千米，还利多少千米时，用到了四则运算： ⊙运用分析法解决行程问题 2收集有关数据并整理，用到了统计的知识。遥过对知识的应用，体会数学与生活的联系。 4.整个活动中，我们得到了什么有益的启示？遇到了哪些困难？是如何解决的？ 从A地到E地的路线如图，汽车拉力赛主办方准备在A地到E地之间设立5个补给点。 启示：要举办一场活动，设计方聚时要全面考虑可能出现的情况，想好解决方法，或根 各补给点位置安排如下： 据尖际情况灵活调整方案。国难：活动期间，碰上下雨天，活动不能在室外进行 解决方法：可以在室内场馆遗行，并计算好需要跑的圆数 补给点 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 补给点 补给点 补给点 补给点 补给点 自我评价 距起点的位置占全 3 在这次活动中，我的表现是（请把每项后面的☆涂上颜色，涂满5个为最好）： 长的几分之几 4 2 2-3 D。E 138km 451km 能设计合理的解决问题方案。 ☆☆☆☆☆ A 150 kmc 在讨论中出了不少好主意。 ☆☆☆☆☆ B 认真完成了小组交给我的各项任务（如数据计算）。 ☆☆☆☆☆ 179km 在交流反思中表达了不少独特的想法。 ☆☆☆☆☆ (1)请你在图中用“▲”标出这5个补给点。 (2)这样安排补给点合理吗？请说明理由。 62|中小学AI教辅 思路分析(1)先求出A地到B地的总路程，再分别用总路程乘每个补给，点占全程的分 3课后·对照练习 率，求出每个补给，点的位置即可解答。 (2)用第二个补给，点的分率减去第一个补给点的分率、第三个补给点的分 率减去第二个补给点的分率、第四个补给点的分率减去第三个补给点 1.小明和小勇在操场上练习跑步。小明2分跑了400m,小勇4分跑了790m, 的分率、第五个补给点的分率减去第四个补给点的分率分别求出相邻 ）跑得更快一些。①根据“埋知识”一练 两个补给点相隔的路程占总路程的分率，再进行判断即可。 2.李阿姨和陈阿姨一起去体验洛阳王城大道二层的快速路。洛阳王城大道快速 路通车前小汽车从龙门高铁站到洛阳北郊机场走王城大道需要0.5时，每时行 正确解答 (1)51+138+150+179=518(km)518×4=129.5(km) 40km。通车后（公路全长不变），她们乘小汽车从龙门高铁站到洛阳北郊机场 518x号-173(km）518x7259(km）518×号=345(km) 走王城大道快速路，每时行80km,需要多长时间？①根据“嫩易错筛一练 518x子-38.5(km） 作图如下（合理即可）： DE 138kmk·51km A。 150 kmC. 179km B 3.安溪绿道北线景观绿化工程于2018年启动，被列入市、县重点项目，项日总投资2.8 (2)号-号-最-3=名号-3=名子-号=b 亿元，从凤山公园至城东万达广场，全长8.1km,涵盖驿站、小游园、观景阁台、 答：不合理，因为相邻两个补给点相隔的路程不相等。 服务点、休憩点等配套设施工程和四季花廊绿化工程。①根据“学方法”练练 (1)如图，黄叔叔家住凤山书院，每天下午坚 绿道北线部分路线图 (任务3做易错 铁观音山庄 持爬山到铁观音山庄再回来。已知凤山书 ⊙易错点：整理数据时出现错误 院到铁观音山庄有3200m,黄叔叔一周共 万达广场 明明一家准备去三亚旅游，下面是明明收集的几种交通工具的平均速度情况，其中不 走多少千米？ 几 合理的是( 凤山书院 游乐园) ）。 交通工具 小汽车 普快列车 高铁 飞机 平均速度 约100千米/时 约120米/时 约320千米/时约800千米/时 (2)某天，黄叔叔上山用了64分，下山时，速度加快了30米/分。黄叔叔下 山用了几分？ 易错解读 小汽车、高铁和飞机的速度单位都是千米/时，普快列车的速度单位是 米/时，根据实际情况可知，普快列车的速度要比小汽车的快，所以普快列 车的速度应该是120千米/时。所以本题的正确答案应是普快列车。 (对照学参考答案：P7) 中小学AI教辅I63 Q新学胆对显学数学五年级下册S ○想一想，做一做。 第2课时有趣的折叠 1.下面是两个包装盒的平面展开图，这两个包装盒的形状分别是哪个图形？连一连。 判断方法 先看面的形状，再着面的大小 1课前·预习例题 从图中可以看出，①是 两个相对的 个面都是正方 长方体的展开图，②是 仓库模型。 像小房子 是正方形， 包装金是正 方体 正方体的展开图… 将下图按虚线折叠成一个封闭的立体图形。想一想，它的形状像什么？（单位：cm) ①方法：观案平面展开图 ©总结：平面展开困中的 的特点，折叠成相应的立体 点、线、面与折叠成的 图形，可以先在平面图形上 立体图形中的点、线、 标上序号，再判断立体图形 面相互对应，体现了 2.下面两个展开图折叠后所围成的图形分别是下面哪个立体图形？连一连。 的形状。 一一对应的数学思想 ①提示：3个 ①提示：1个面是 面是长方形 正方形，四周是 上下两个面 4个相同的三角 敦材第105页 是直角三角 形 把展开图和立体图 形 形结合起来分析就 1.做一做，把附页3中的图1剪下来，并沿虚线折叠成一个封闭的立体图形。 2 容易判断了… 第一步 第二步 第三步 沿着外侧的 要折成封闭的 是一座小房子。 边线剪… 立体图形… 长方 三校相 四棱锥 教材第105页 .o 2.刚才折叠出来的房子是一座仓库的模型，它各边的实际长度是图中相应长度的100倍， 3.下列图形中，哪个能够折叠成正方体？先说一说你是怎么想的，再将附页3中的图2剪 你知道这座仓库的占地面积是多少吗？底面的面积 下来折一折。 8x100-800(cm）800cm=8m 关键是要确定小仓库地面的长 把能折叠成的正方体 3x100-300(cm）300cm-3m 祝 8×3=24(m2） 和宽是多少… 前你 相对的面标出来。 23 答：这座仑库的占地面积是24m2 的为底面，集8cm,宽3m 44 似程 D:EF 3.请在平面展开图上将窗户、烟囱和小鸟的大致位置标出来。 ①提示：出现“凹“和 6 锦 小乌 “国”字的不是正方 ①提示：先想想展开 第一个和第二个围形能折叠成正方体。第一个图形折叠后的正方体 体展开图。 困对应立体图形的哪 相对的面是1和4,2和5、3和6，第二个图形折查后的正方体相 对的面是祝和程、你和似，前和锦， 个面，再标出来 ●总结：正方体展开图中，正方体的6个面是相连的，相对的面完全福开，展开图中正方形 的边表就是正方体的棱长 64I中小学A教辅 2课堂·任务学习 3课后·对照练习 任务1理知识 1.想一想，把平面展开图和对应的立体图形连起来。①概据“侧则”，-棒 1.立体图形与平面展开图的关系 平面展开图与封闭的立体图形中的点、线、面都存在对应关系。 2.平面展开图与立体图形的对应判断 观察平面展开图的特点，折叠成相应的立体图形，可以先在平面图形上标上序号，再 判断立体图形的形状。 任务2学方法 2.大头儿子喜欢吃糖，小头爸爸怕他糖吃多了对牙齿不好，所以想办法限制他。 这天大头儿子又向小头爸爸要糖吃，小头爸爸说：“我用下面左边的纸板做成 ⊙运用推理法解决正方体对应面上的数字或汉字的问题 正方体，给你一次机会，如果你能猜出下面右边两幅图盖住的是几，就能得到 一个正方体的骰子，六个面上分别写着1~6的数字，下面是从三个不同的角度观察到 几块糖。”大头儿子最多能吃到几块糖？①根据“学方法”练一练 的三种不同的情况，你能推出数字1、2、3分别对着数字几吗？ 思路分析从图①、②可以看出，与数字2相邻的四个数字分别是1、3、5、6；由图 ②、③可以看出，与数字6相邻的四个数字分别是1、2、4、5，进而得出1 3.下面是小熊房子的示意图和对应的展开图，各边实际长度是图中相应长度的 的对面是几。据此解答。 1000倍，请你测量并计算小熊的房子的占地面积为多少平方米。 ①根据“例”练一裤 正确解答1对着5；2对着4；3对着6。 ⊙灵活运用图形的展开与折叠解决问题 如图，将此平面图沿虚线折叠出来是一座房屋的模型。制作这座房屋模型的屋顶，至 少要用去多大面积的纸板？（单位：cm) 4.如图，这是一个正方体的展开图，如果将它组成原来的正方体，哪些点与点P重合？ 思路分析先将平面图折叠成立体图，判斯出房屋模型中的屋顶 ①根据“学方法”装一热 面是哪个面，然后根据屋顶面的形状，求出它的面积 H 大小。在此模型中，屋顶面是由两个长方形面组成 的，所以运用长方形面积计算公式计算即可。 正确解答8×2×2=32(cm2) (对照学参考答案：P7) 答：至少要用去32cm的纸板。 中小学AI教辅|65 Q新学期对鼠学)数学五年级下册S 包磁带。 第3课时包装的学问 将四盒磁带包成一包。 1课前·预习例题 1.你能想出几种包装方法？可以先画出草图来表示你的想法，再在小组内进行交流。 6种 、包糖果。 可以这样包装… 也可以这样包装… 儿童节快到了，淘气要给台湾的小朋友寄糖果，两盒糖果包成一包，怎样包才能节约 包装纸？（接口处不计，单位：cm) 最大的面重叠 20 20 一相是 雨两相 1.说一说，你是怎么想的？ 2.算一算，填一填。 要节约包装纸就要使包 我要想办法把所有 一盒磁带长、宽和高如右图所示，分别算出各种方法所需包装纸的 110 装后的表面积最小 的包装方法都找到， 计算一下。 大小。（接口处不计，单位：mm) 甜料 草图 长/mm宽/mm高/mm表面积/mm 2.将两盒糖果包成一包，可以怎样包？有几种不同的方案？ 方案一：将长20cm 方案二：将长20cm 方聚三：将长15cm 第1种方法 110 70 64 38440 有三种不同 室15cm的面重叠。 宽5cm的面重企 宽5m的面重叠 140 110 46800 的方案。 第2种方法 國 名 第3种方法 220 70 32 49360 第4种方法 220 140 16 73120 第5种方法 440 70 16 77920 D 2 ③ 子子子 表面积： 表面积： 表面积t 第6种方法 280 110 16 74080 20×152+15×54+ 120#15×4+15×5￥4+ 20%15×4+15×52+ 可根据重叠面的大小判断 20×5×4=1300(cm)20x5×2-1700(am2) 20×5x4-1750（cm) 38440<46800<49360<73120<74080<77920. 3.你能计算出哪一种方案最节约包装纸吗？ 选用第1种方法最节省包装纸 选用哪种方法更 我一看就知道哪种方 节省包装纸？ 算一算每种方法的 法最节约包装纸。你 通过上面的活动，你有什么体会？互相交流一下。 表面积就可以了。 知道为什么吗？ ©总结：将多个同样的长方体物品包装在一起，判断哪种方法最节省包 装纸，可以逐一计算出每种包装方案中长方体的表面积，也可以根据 1300<1700<1750, 素一最节约包装纸 ©慈结：重叠面的面积越大，得到的大长 重叠面的大小来判断，重叠面越大，表面积越小，越节省包装纸。 66I中小学AI教辅 方体的表面积越小，越节约包装纸。 2课堂·任务学习 的 3课后·对照练习 任务 )理知识 1,在学习了“包装的学问”后，要把多盒牛奶包装成一包，怎样包装才能最节省 在比较几种不同拼接方法得到的大长方体的表面积大小时，可以先算出每种方法得到的 包装纸？下面说法正确的是()。①根据“例题”筛一， 大长方体的表面积，再比较；也可以通过看重叠面的面积大小来比较，重叠面的面积越大， A.重叠的面积越大，越节省包装纸 得到的大长方体的表面积越小，就越节省包装纸。 B.重叠的面越多，越节省包装纸 、任务2学方法 C.因为几盒牛奶的体积一定，所以不同的包装方式用的包装纸一样多 D.以上说法都不正确 ⊙通过分析法解决包装问题 2.生活中有许多物体的包装都是长方体，如图所示的是我们常见的香皂盒。要把3 某包装公司要生产一种固定电话的包装盒，这种固定电话为长方体外形，长25cm、 个这样的香皂盒包装在一起，怎样包装最节省包装纸？计算出至少需要包装纸 宽15cm、高5cm。公司要设计一个能装10部这种固定电话的长方体包装盒，请你为 的面积。①根漏“哗方法”练一炼 该公司设计一种包装盒，要尽可能节省包装纸。你设计的包装盒至少需要多少平方厘 4 cm 米包装纸？（包装纸的厚度、接口处忽略不计） 香皂盒 /10cm 13 cm 思路分析要尽可能节省包装纸，那么摆放0部固定电话时，要尽可能多地覆盖它的 较大的面。这10部长方体固定电话摆放时，可以竖着放成一列，这时的长 3.榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了4 方体包装盒的长是25cm,宽是15cm,高是5×10=50(cm)；也可以竖 幅挂屏，每幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是20cm、 着放两列，每列5部电话，使长方体包装盒的长是15×2=30(cm),宽是 15cm、6cm,请你算一算怎样包装才能最节省包装纸，至少需要多少平方厘米 25cm,高是5×5=25(cm),或使长方体包装盒的长是25×2=50(cm), 的包装纸？①根据“学方法”练一练 宽是15cm,高是5×5=25(cm),与第一种包装情况相同，则表面积也相同。 因为长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，据此分别求出 表面积，从而找出最节省包装纸的面积。 正确解答方案一：竖着放一列。长25cm,宽15cm,高5×10=50(cm)。 4.笑笑想将每个长为10cm、宽为8cm、高为5cm的4个礼盒包在一起，想要最节 (25×15+15×50+25×50)×2=4750(cm2) 省包装纸，一定是将6个大面重叠在一起这个方案吗（如图所示）？如果不一定， 方案二：竖着放两列。长15×2=30(cm),宽25cm,高5×5=25(cm)。 请你用喜欢的方式表示出更节省包装纸的方案，并说明理由。①据“学方法”嘛一簿 (25×30+25×25+25×30)×2=4250(cm2)4250<4750 答：我设计的包装盒至少需要4250cm2包装纸。 (对照学参考答案：P7) 中小学AI教辅167 Q新学期对赢学数学五年级下册S 数学好玩 核心知识梳理 易错点1：未掌握路程、速度、时间之间的关系，导致错误 知识点 示例 填空：一辆电动车每时行歌15km,行驶60km,需要()时。 错解：900 正解：4 1.“象征性”长跑 误用建度￥路程。时问 明明家与学校相距2.5km,如果他走路去 路程=速度×时间 学校，每分走250m,他从家走到学校需要 速度=路程÷时间 (10)分。 易错点2：未掌握长方体展开图的特点 时间=路程÷速度 下面是一个无盖的长方体纸盒的展开图。与④号面相对的面是( )号面， 纸盒的底面是( )号面。 2dm ① ② 下面的图形是(B)的展开图。 2dm 2.有趣的折叠 4 dm 平面展开图与封闭的立体图形 ③④：⑤4dm 中的点、线、面都存在着对应 3 dm 关系，这种对应关系体现了对 易 错解：⑤ ② 正解：①② 核 应的数学思想。 生设有拿握长方体展开围的特点，长方体展升围相对的面不相邻 示 相对的面形状，大小完全相同 识 易错点3：忽略了要让两个长方体的最大面重合，需要的包装纸最少 把4个长10cm、宽6cm、高4cm的长方 淘气用零花钱给奶奶买了两盒糖果（如下图），怎样包装才能最节约包装 体盒子放在一起，用彩纸包装起来。下面 纸？并计算最少需要多少包装纸。 3.包装的学问 4种包装方案表面积从小到大依次为(C)。 把多个同样的长方体物品包装 ①子了 16cm 16cm 在一起时，方案有多种，要尽 8 cm 8cm 量“减少”面积最大的面，把 ② c●1 /5cm c●' 5cm 面积最大的面重叠起来，这样 最节省包装纸，同时也便于携 ④ 错解：16×2=32(cm) 正解：5+5=10(cm) 带。 (32×5+32×8+8×5)×2= (16×8+16×10+8×10)×2= A.①③④2 B.③④②① 912(cm2) 736(cm2） c.③②④① D.①23④ 误认为任意两个面重叠都可以使需要的但装纸最少 68I中小学AI教辅对照学参考答案 数学好玩 第1课时“象征性”长跑 装最节省包装纸，至少需要812cm2的 包装纸。 1.小明 3.(20×15+20×6×4+15×6×4)× 2.40×0.5÷80=0.25（时) 2=2280(cm2) 3.(1）3200×2=6400(m) 将这4个长方体盒子宽是15cm,长是 6400×7=44800(m) 20cm的面重叠在一起，才能最节省包 44800m=44.8km 装纸，至少需要2280cm。 (2)3200÷64=50(米/分) 4.将6个大面重叠在一起这个方案不是 50+30=80(米/分) 3200÷80=40（分) 最省包装纸的方案。 第一种方案： 第2课时有趣的折叠 5×4=20(cm) (8×10+8×20+10×20)×2= 880(cm2) 2.5+4=9（块) 第二种方案 3.略 4.点T、V与点P重合。 8×2=16（cm) 5×2=10(cm) 第3课时包装的学问 (16×10+16×10+10×10)×2= 840(cm2) 1.A 840<880,则第二种方案更节省包 2.4×3=12(cm)(12×13+12×10+ 装纸。 13×10)×2=812（cm2) 将3个香皂盒的上下面重叠在一起包 -7-