单元培优讲义：数学好玩（知识梳理+例题讲解+培优练习）-2025-2026学年五年级下册数学北师大版

单元培优讲义：数学好玩 知识梳理+例题讲解+培优练习 学习寄语 亲爱的同学，欢迎来到“数学好玩”的奇妙世界！在这里，数学不再是枯燥的数字和公式，而是充满挑战与乐趣的实践活动。你将通过“象征性长跑”设计活动方案，用“有趣的折叠”探索平面与立体的奥秘，通过“包装的学问”解决生活中的实际问题。动手操作、合作探究、逻辑思考，你会发现数学原来如此生动有趣！愿你保持好奇心，用智慧与创意解锁数学的乐趣，享受这场思维与动手并存的数学之旅！ 知识梳理 一、象征性长跑 1. 活动内容 设计模拟长跑活动，将实际长跑距离转化为校园内可操作的短距离跑步。 2. 关键步骤 （1）确定总距离：如马拉松全程42.195千米，或自选距离。 （2）测量实际路径：如操场一圈的长度。 （3）计算跑步圈数：总距离 ÷ 一圈长度。 （4）分配任务：按天数或人数分配每天/每人需跑的圈数。 3. 注意事项 （1）单位换算：1千米 = 1000米，确保计算时单位统一。 （2）结果处理：若圈数为小数，可四舍五入或根据实际情况调整。 二、有趣的折叠 1. 立体图形展开图 （1）正方体的展开图：由6个正方形组成，有11种不同形状（如“一四一”“二三一”等）。 （2）长方体的展开图：由6个长方形组成，形状多样。 2. 判断方法 （1）观察图形是否包含所有面。 （2）想象折叠过程，检查是否有重叠或缺口。 3. 表面积与体积计算 （1）折叠后立体图形的表面积可能变化（如剪开部分会增加表面积）。 （2）体积计算需明确长、宽、高。 三、包装的学问 1. 包装原则 减少包装纸的使用，即最小化表面积。 2. 方法 （1）多个相同长方体包装：重叠最大面，减少总表面积。 （2）比较不同包装方式的表面积，选择最节省的方案。 3. 计算步骤 （1）计算单个长方体的表面积。 （2）计算不同包装组合的总表面积。 （3）对比选择最优方案。 例题讲解 【典型例题1】 一个长方体纸盒，长8cm、宽6cm、高4cm。如果把2个这样的长方体纸盒包成一大包，至少需要包装纸( )cm2。 【答案】320 【分析】把这2个这样的长方体纸盒包成一包，要想使表面积最小，那么应该把它们的最大的面相粘合，由此拼成的新长方体的长、宽、高分别是：8cm、6cm、（4＋4）cm，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。 【详解】4＋4＝8（cm） （8×6＋8×8＋8×6）×2 ＝（48＋64＋48）×2 ＝（112＋48）×2 ＝160×2 ＝320（cm2） 【跟踪练习】 把两个长6cm、宽5cm、高4cm的小长方体合成一个大长方体，大长方体的表面积最大是( )cm2。 【答案】256 【分析】要想长方体的表面积最大，就把最小的两个面拼在一起，拼成后的长方体的长是6×2＝12cm，宽和高不变，根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】长方体的长：6×2＝12（cm），宽是5cm，高是4cm。 （12×5＋12×4＋5×4）×2 ＝（60＋48＋20）×2 ＝（108＋20）×2 ＝128×2 ＝256（cm2） 把两个长6cm、宽5cm、高4cm的小长方体合成一个大长方体，大长方体的表面积最大是256cm2。 【典型例题2】 生活中有许多物体的包装都是长方体，如图是我们常见的香皂盒。要把3块这样的香皂盒包装在一起，怎样包装最节省包装纸？计算出至少需要包装纸的面积。 【答案】将3块香皂盒的上下面重叠在一起包装；812平方厘米 【分析】把3块这样的香皂盒包装在一起有3种不同的包装方法，如图所示，3个小长方体分别组成了1个大长方体。 方案1：将左右面重叠在一起包装组成一个大长方体，长方体的长是（13×3）厘米，宽是10厘米，高是4厘米，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出大长方体的表面积； 方案2：将前后面重叠在一起包装组成一个大长方体，长方体的长是13厘米，宽是（10×3）厘米，高是4厘米，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出大长方体的表面积； 方案3：将上下面重叠在一起包装组成一个大长方体，长方体的长是13厘米，宽是10厘米，高是（4×3）厘米，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出大长方体的表面积； 分别求出3个大长方体的表面积，最后比较大小，选择表面积最小的方案需要包装纸的面积最少，据此解答。 【详解】方案1： 13×3＝39（厘米） （39×10＋39×4＋10×4）×2 ＝（390＋156＋40）×2 ＝586×2 ＝1172（平方厘米） 方案2： 10×3＝30（厘米） （13×30＋13×4＋30×4）×2 ＝（390＋52＋120）×2 ＝562×2 ＝1124（平方厘米） 方案3： 4×3＝12（厘米） （13×10＋13×12＋10×12）×2 ＝（130＋156＋120）×2 ＝406×2 ＝812（平方厘米） 因为812平方厘米＜1124平方厘米＜1172平方厘米，所以将3块香皂盒的上下面重叠在一起包装最节省包装纸。 答：将3块香皂盒的上下面重叠在一起包装最节省包装纸，至少需要812平方厘米包装纸。 【跟踪练习】 母亲节到了，芳芳给妈妈准备了礼物，要在长方体的礼物包装盒外面包上一层美丽的彩纸，这个长方体包装盒的长、宽、高分别是15厘米、7厘米、6厘米，芳芳至少需要准备多少平方厘米的彩纸？（连接处忽略不计） 【答案】474平方厘米 【分析】要在长方体礼物包装盒外面包上彩纸，求至少需要准备多少平方厘米的彩纸，就是求这个长方体包装盒的表面积。长方体表面积公式为S＝（ab＋ah＋bh）×2（a为长，b为宽，h为高）。已知长方体包装盒的长为15厘米，宽为7厘米，高为6厘米，把数据代入公式计算即可。 【详解】（15×7＋15×6＋7×6）×2 ＝（105＋90＋42）×2 ＝237×2 ＝474（平方厘米） 答：芳芳至少需要准备474平方厘米的彩纸。 【典型例题3】 同学们，你们会爱惜书本吗？每学期的数学书，思思都会小心地用塑料膜包好。请你算一算，包装数学书的三个面至少需要多少平方厘米的塑料膜？（接头处不计） 【答案】954.2平方厘米 【分析】根据题意可知，用塑料膜包装数学书的三个面分别是数学书的前后面、左面；求需要塑料膜的面积，就是求长方体前后面与左面的面积之和，根据“长×宽×2＋宽×高”求出这三个面的面积之和即可求解。 【详解】18×26×2＋26×0.7 ＝936＋18.2 ＝954.2（平方厘米） 答：包装数学书的三个面至少需要954.2平方厘米的塑料膜。 【跟踪练习】 孔明灯。 除一个底面外，其他面都要糊上安全阻燃绵纸，制作这个孔明灯至少需要多少平方厘米的安全阻燃绵纸？ 【答案】6900平方厘米 【分析】根据题意，求安全阻燃绵纸的面积就是求长方体孔明灯除底面之外的5个面的面积之和，而这个长方体的底面是正方形，则4个侧面是完全相同的长方形，所以安全阻燃绵纸的面积＝长×宽＋长×高×4，据此代入数据计算即可。 【详解】30×30＋30×50×4 ＝900＋1500×4 ＝900＋6000 ＝6900（平方厘米） 答：制作这个孔明灯至少需要6900平方厘米的安全阻燃绵纸。 培优练习 一、选择题 1．两个长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米的长方体包装成一个大长方体，应把（    ）的两个面拼在一起，最节省包装纸。 A．5×4 B．4×3 C．5×3 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据长方体拼组成的大长方体的方法，拼在一起的面越大，那么拼组后的大长方体的表面积就越小，也就最节省包装纸，由此进行解答。 【详解】原长方体中最大的面是：5×4＝20（平方厘米） 故答案为：A 【点睛】此题抓住组合图形表面积的特点：明确把两个完全相同的长方体拼成一个大长方体，最小的面重合时，拼成的表面积最大，最大的面重合时拼成的表面积最小。 2．在学习了《包装的学问》后，把多盒牛奶包成一包，怎样才能最节省包装纸？下面说法正确的是（    ）。 A．重叠的面积越大，越节省包装纸。 B．重叠的面越多，越节省包装纸。 C．重叠大面，越节省包装纸。 D．因为4盒牛奶的体积一定，所以不同的包装方式用的包装纸也一样多。 【答案】A 【分析】牛奶盒是长方体，根据长方体表面积的意义可知，要想省包装纸，就要把长方体最大的面重合起来，使重合的面积最大，其表面积最小，据此逐项分析即可。 【详解】A．省包装纸，就需要把要包装物体最大的面重合，这样可以缩小要包装物体的表面积，所以重叠的面积越大，越节省包装纸，说法是正确的。 B．要包装的东西是固定的，能够重叠的面也是固定的个数，比如2盒牛奶，只能重叠2个面，要想省包装纸，就得把牛奶盒最大的面重合，所以该说法错误； C．重叠大面，说法不准确，应该是重叠的最大的面，越节省包装纸，说法错误。 D．虽然4盒牛奶的体积一定，但是不同的包装方式，重叠的面是不同的，所以剩下的表面积是不同的，需要的包装纸也不一样多，说法错误。 故答案为：A 【点睛】本题考查了立体图形的拼接特点，需要学生熟练掌握包装的学问，即把最大的面重叠。 3．将四个长12cm，宽7cm，高3cm的长方体盒子，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】要使包装纸最省，也就是拼在一起的表面积最小，可以求出四种拼法的表面积比原来四个长方体的表面积之和减少了多少，减少最多的，则最省包装纸。 【详解】A．表面积减少了：12×3×4＋7×3×4 ＝144＋84 ＝228（cm2） B．表面积减少了：12×7×6 ＝84×6 ＝504（cm2） C．表面积减少了：12×7×4＋7×3×4 ＝336＋84 ＝420（cm2） D．表面积减少了：12×7×4＋12×3×4 ＝336＋144 ＝480（cm2） 504＞480＞420＞228，则最省包装纸的方法是  。 故答案为：B 【点睛】此题考查了包装问题。明确每种包装方法比原来减少的面是解题的关键。 4．笑笑要将四盒巧克力包装成一份礼物送给好朋友（如图所示），下面包装方法最省包装纸的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出选项中各选项中长方体的长、宽、高，再根据“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出各长方体的表面积，最后比较大小找出表面积最小的长方体，据此解答。 【详解】A．长：5×2＝10（cm） 宽：8cm 高：3×2＝6（cm） （10×8＋10×6＋8×6）×2 ＝（80＋60＋48）×2 ＝188×2 ＝376（cm2） B．长：8×2＝16（cm） 宽：5×2＝10（cm） 高：3cm （16×10＋16×3＋10×3）×2 ＝（160＋48＋30）×2 ＝238×2 ＝476（cm2） C．长：8cm 宽：5cm 高：3×4＝12（cm） （8×5＋8×12＋5×12）×2 ＝（40＋96＋60）×2 ＝196×2 ＝392（cm2） D．长：5×4＝20（cm） 宽：8cm 高：3cm （20×8＋20×3＋8×3）×2 ＝（160＋60＋24）×2 ＝244×2 ＝488（cm2） 因为376＜392＜476＜488，所以最省包装纸的是。 故答案为：A 5．把4个长10厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体盒子放在一起，用彩纸包装起来。下面四种包装方案表面积从小到大依次为（    ）。 A．①③④② B．③④②① C．③②④① D．①②③④ 【答案】C 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2； ①据图可知，长方体的长是（10×4）厘米，宽是6厘米，高是4厘米，据此代入公式求出表面积； ②据图可知，长方体的长是10厘米，宽是6厘米，高是（4×4）厘米，据此代入公式求出表面积； ③据图可知，长方体的长是（6×2）厘米，宽是10厘米，高是（4×2）厘米，据此代入公式求出表面积； ④据图可知，长方体的长是（10×2）厘米，宽是（6×2）厘米，高是4厘米，据此代入公式求出表面积；再把它们的表面积进行比较即可。 【详解】①10×4＝40（厘米） （40×6＋40×4＋6×4）×2 ＝（240＋160＋24）×2 ＝424×2 ＝848（平方厘米） ②4×4＝16（厘米） （10×6＋10×16＋16×6）×2 ＝（60＋160＋96）×2 ＝316×2 ＝632（平方厘米） ③6×2＝12（厘米） 4×2＝8（厘米） （12×10＋12×8＋10×8）×2 ＝（120＋96＋80）×2 ＝296×2 ＝592（平方厘米） ④10×2＝20（厘米） 6×2＝12（厘米） （20×12＋20×4＋12×4）×2 ＝（240＋80＋48）×2 ＝368×2 ＝736（平方厘米） 848＞736＞632＞592 所以把4个长10厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体盒子放在一起，用彩纸包装起来。下面四种包装方案表面积从小到大依次为③②④①。 故答案为：C 二、填空题 6．白鹅潭大湾区艺术中心坐落在广州市荔湾区白鹅潭畔三江交汇处，占地面积约70000平方米，合( )公顷。李老师家到白鹅潭大湾区艺术中心大约2200米，他骑自行车需要10分钟，李老师每分钟骑行( )米，他骑车的速度可以写作( )。 【答案】 7 220 220米/分钟 【分析】根据1公顷＝10000平方米，据此可以将70000平方米换算成7公顷； 根据路程÷时间＝速度，可以求出李老师骑自行车的速度；速度的写法是把路程和时间用斜线隔开,路程写在斜线的左边,时间写在斜线的右边。 【详解】70000平方米＝7公顷 2200÷10＝220（米/分钟） 70000平方米，合7公顷。李老师家到白鹅潭大湾区艺术中心大约2200米，他骑自行车需要10分钟，李老师每分钟骑行220米，他骑车的速度可以写作220米/分钟。 7．小明和小勇在操场上练习跑步。小明2分钟跑了400米，小勇4分钟跑了790米，( )跑得更快些。 【答案】小明 【分析】分析题意可知：小明2分钟跑了400米，用400÷2计算出小明1分钟跑的路程，再乘4，计算出小明4分钟跑的路程。时间相同，谁跑的路程多谁就跑得快，据此解答。 【详解】400÷2×4 ＝200×4 ＝800（米） 800＞790 所以，小明跑的更快一些。 8．一盒计算器长、宽、高分别为15厘米、7厘米、4厘米。淘气把2盒这种规格的计算器包成一包，至少要( )平方厘米包装纸。 【答案】562 【分析】以长、宽的面为衔接面，所需包装纸最少，这样减少的2个面最大；然后根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”计算出包一个盒子的用纸，然后求出单独包2个盒子的用纸，进而减去2个最大衔接的面即可得出结论。 【详解】（7×15＋7×4＋15×4）×2×2－7×15×2 ＝（105＋28＋60）×2×2－7×15×2 ＝193×2×2－7×15×2 ＝772－210 ＝562（平方厘米） 至少需要562平方厘米的包装纸。 9．将3包相同的纸巾（如图）打包成长方体形状售卖，至少需要( )cm2的包装纸。（单位：cm） 【答案】214 【分析】包装中的学问——长方体表面积的实际应用（3包纸巾打包的最优方案，重叠最大面减少表面积）。将最大的面5×7的面重叠起来，此时所需的包装纸最少。 长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入数据计算。 【详解】将3包纸巾最大面接触，叠放在一起。 长方体的长是7cm、宽是5cm、高是2×3＝6cm； （7×5＋7×6＋5×6）×2 ＝（35＋42＋30）×2 ＝107×2 ＝214（cm2） 至少需要214cm2的包装纸。 10．下面展开图折叠后，哪两个面分别相对？填一填。 “我”与“________”相对； “学”与“________”相对； “海”与“________”相对。 【答案】 爱 乐 园 【分析】根据正方体展开图的特征，相对的面在展开图中不相邻，通过观察展开图来确定相对的面。 【详解】观察展开图，根据正方体展开图相对面不相邻的特征，“我”与“爱”相对，“学”与“乐”相对，“海”与“园”相对。 三、判断题 11．七巧板中没有平行四边形这个图形．( ) 【答案】错误 【详解】略 12．用长7厘米、宽4厘米的长方形纸能折出一个周长是16厘米的正方形。( ) 【答案】√ 【分析】根据正方形的周长求出正方形的边长，再看长方形纸的长和宽是否大于正方形的边长即可。 【详解】正方形的周长是16厘米，则边长是16÷4＝4（厘米）。因为长方形纸的长是7厘米、宽是4厘米，均大于4厘米，所以可以折成。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查的是正方形和长方形特征以及周长公式的应用。 13．、、都不能折成一个无盖的正方体。( ) 【答案】× 【分析】根据正方体展开图的特征，图1、图2都不能折成一个无盖的正方体，只有图3比正方体展开图的“3－3”型少一个正方形，正好折成一个无盖的正方体。 【详解】观察三个展开图，再结合正方体展开图的特征可知： 图1和图2均不能折成一个无盖的正方体，但图3能折成一个无盖的正方体。 故答案为：×。 【点睛】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。无盖的正方体在四种类型上变化即可。 14．用一张圆形纸对折再对折，折出来的一定是直角。( ) 【答案】√ 【分析】一张圆形纸对折，折出来的角是以圆心为顶点，两半径为边的平角，再对折，折出来的角是以圆心为顶点，半径为边的直角，据此解答。 【详解】根据分析可知，用一张圆形纸对折再对折，折出来的一定是直角。 原题干说的正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查简单图形的折叠问题，直角的意义；此题可以动手操作一下，很简单。 15．某运动员在马拉松长跑中每分钟跑210米，他的速度也可以改写成2.1千米/分。( ) 【答案】× 【分析】根据1千米＝1000米，将米转化成以千米为单位的名数，由高级单位向低级单位换算除以进率进行解答。 【详解】210米＝0.21千米 则某运动员在马拉松长跑中每分钟跑210米，他的速度也可以改写成0.21千米/分，所以原题说法错误。 故答案为：× 四、解答题 16．一种巧克力的外包装盒如图，“六一”期间超市准备将这样的三盒巧克力包装成一个礼盒促销。 （1）怎样包最节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） （2）礼盒打八折出售，这个礼盒的促销价是多少元？ 【答案】（1）方法见详解；1650平方厘米 （2）43.2元 【分析】（1）把3盒巧克力包装在一起，拼成一个大长方体时，会减少4个相同的长方形的面积；因为20×15＞20×5＞15×5，所以把3个长方体的20×15的面重合，这样减少的表面积最多，用的包装纸最少，最节约包装纸。 拼成一个长20厘米、宽15厘米、高（5×3）厘米的长方体，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求出至少需要包装纸的面积。 （2）已知三盒巧克力包装成一个礼盒，每盒巧克力18元，根据“总价＝单价×数量”，求出3盒巧克力的原价；现在打八折出售，即售价是原价的，根据求一个数的几分之几是多少，用原价乘，求出售价，即是这个礼盒的促销价。 【详解】（1）高：5×3＝15（厘米） （20×15＋20×15＋15×15）×2 ＝（300＋300＋225）×2 ＝825×2 ＝1650（平方厘米） 答：把三盒巧克力的长、宽重合摞在一起最节约包装纸，至少需要1650平方厘米的包装纸。 （2）八折＝ 18×3× ＝54× ＝43.2（元） 答：这个礼盒的促销价是43.2元。 17．笑笑想将每个长为10厘米，宽为8厘米，高为5厘米的四个礼盒包在一起，想要最节约包装纸，一定是（如图所示）将6个大面叠在一起这个方案吗？如果不一定，请你用喜欢的方式表示出更省包装纸的方案，并说明理由。 【答案】不是；方案和理由见详解 【分析】图中将6个大面叠在一起组成一个长8厘米，宽10厘米，高（5×4）厘米的长方体，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算可以求出它的表面积。如果按下图所示，把4个大面和4个较大面叠在一起，组成长（8×2）厘米，宽10厘米，高（5×2）厘米的长方体，求出它的表面积后进行比较即可解答。 【详解】将6个大面叠在一起这个方案不是最省包装纸的方案。 第一种：5×4＝20（厘米） （8×10＋8×20＋10×20）×2 ＝（80＋160＋200）×2 ＝440×2 ＝880（平方厘米） 第二种： 8×2＝16（厘米） 5×2＝10（厘米） （16×10＋16×10＋10×10）×2 ＝（160＋160＋100）×2 ＝420×2 ＝840（平方厘米） 840＜880，则第二种方案更省包装纸。 18．一个装玩具飞机的盒子长30cm，宽20cm，高5cm，把两个这样的盒子包成一包。有三种方案，分别算出各种方案所需的包装纸的大小。哪种方案最节省包装纸？（接头处不计） 第一种方案： 第二种方案： 第三种方案： 【答案】2200；3200；3100；第一种方案最节省包装纸。 【分析】先明确三种包装方案中组合后长方体的长、宽、高，再根据长方体表面积公式分别计算每种方案的包装纸面积，即S＝（长×宽＋长×高＋宽×高），最后比较大小确定最节省包装纸的方案。 【详解】第一种方案：（） 第二种方案：（） 第三种方案：（） 答：第一种方案最节省包装纸。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元培优讲义：数学好玩 知识梳理+例题讲解+培优练习 学习寄语 亲爱的同学，欢迎来到“数学好玩”的奇妙世界！在这里，数学不再是枯燥的数字和公式，而是充满挑战与乐趣的实践活动。你将通过“象征性长跑”设计活动方案，用“有趣的折叠”探索平面与立体的奥秘，通过“包装的学问”解决生活中的实际问题。动手操作、合作探究、逻辑思考，你会发现数学原来如此生动有趣！愿你保持好奇心，用智慧与创意解锁数学的乐趣，享受这场思维与动手并存的数学之旅！ 知识梳理 一、象征性长跑 1. 活动内容 设计模拟长跑活动，将实际长跑距离转化为校园内可操作的短距离跑步。 2. 关键步骤 （1）确定总距离：如马拉松全程42.195千米，或自选距离。 （2）测量实际路径：如操场一圈的长度。 （3）计算跑步圈数：总距离 ÷ 一圈长度。 （4）分配任务：按天数或人数分配每天/每人需跑的圈数。 3. 注意事项 （1）单位换算：1千米 = 1000米，确保计算时单位统一。 （2）结果处理：若圈数为小数，可四舍五入或根据实际情况调整。 二、有趣的折叠 1. 立体图形展开图 （1）正方体的展开图：由6个正方形组成，有11种不同形状（如“一四一”“二三一”等）。 （2）长方体的展开图：由6个长方形组成，形状多样。 2. 判断方法 （1）观察图形是否包含所有面。 （2）想象折叠过程，检查是否有重叠或缺口。 3. 表面积与体积计算 （1）折叠后立体图形的表面积可能变化（如剪开部分会增加表面积）。 （2）体积计算需明确长、宽、高。 三、包装的学问 1. 包装原则 减少包装纸的使用，即最小化表面积。 2. 方法 （1）多个相同长方体包装：重叠最大面，减少总表面积。 （2）比较不同包装方式的表面积，选择最节省的方案。 3. 计算步骤 （1）计算单个长方体的表面积。 （2）计算不同包装组合的总表面积。 （3）对比选择最优方案。 例题讲解 【典型例题1】 一个长方体纸盒，长8cm、宽6cm、高4cm。如果把2个这样的长方体纸盒包成一大包，至少需要包装纸( )cm2。 【答案】320 【分析】把这2个这样的长方体纸盒包成一包，要想使表面积最小，那么应该把它们的最大的面相粘合，由此拼成的新长方体的长、宽、高分别是：8cm、6cm、（4＋4）cm，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。 【详解】4＋4＝8（cm） （8×6＋8×8＋8×6）×2 ＝（48＋64＋48）×2 ＝（112＋48）×2 ＝160×2 ＝320（cm2） 【跟踪练习】 把两个长6cm、宽5cm、高4cm的小长方体合成一个大长方体，大长方体的表面积最大是( )cm2。 【典型例题2】 生活中有许多物体的包装都是长方体，如图是我们常见的香皂盒。要把3块这样的香皂盒包装在一起，怎样包装最节省包装纸？计算出至少需要包装纸的面积。 【答案】将3块香皂盒的上下面重叠在一起包装；812平方厘米 【分析】把3块这样的香皂盒包装在一起有3种不同的包装方法，如图所示，3个小长方体分别组成了1个大长方体。 方案1：将左右面重叠在一起包装组成一个大长方体，长方体的长是（13×3）厘米，宽是10厘米，高是4厘米，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出大长方体的表面积； 方案2：将前后面重叠在一起包装组成一个大长方体，长方体的长是13厘米，宽是（10×3）厘米，高是4厘米，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出大长方体的表面积； 方案3：将上下面重叠在一起包装组成一个大长方体，长方体的长是13厘米，宽是10厘米，高是（4×3）厘米，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出大长方体的表面积； 分别求出3个大长方体的表面积，最后比较大小，选择表面积最小的方案需要包装纸的面积最少，据此解答。 【详解】方案1： 13×3＝39（厘米） （39×10＋39×4＋10×4）×2 ＝（390＋156＋40）×2 ＝586×2 ＝1172（平方厘米） 方案2： 10×3＝30（厘米） （13×30＋13×4＋30×4）×2 ＝（390＋52＋120）×2 ＝562×2 ＝1124（平方厘米） 方案3： 4×3＝12（厘米） （13×10＋13×12＋10×12）×2 ＝（130＋156＋120）×2 ＝406×2 ＝812（平方厘米） 因为812平方厘米＜1124平方厘米＜1172平方厘米，所以将3块香皂盒的上下面重叠在一起包装最节省包装纸。 答：将3块香皂盒的上下面重叠在一起包装最节省包装纸，至少需要812平方厘米包装纸。 【跟踪练习】 母亲节到了，芳芳给妈妈准备了礼物，要在长方体的礼物包装盒外面包上一层美丽的彩纸，这个长方体包装盒的长、宽、高分别是15厘米、7厘米、6厘米，芳芳至少需要准备多少平方厘米的彩纸？（连接处忽略不计） 【典型例题3】 同学们，你们会爱惜书本吗？每学期的数学书，思思都会小心地用塑料膜包好。请你算一算，包装数学书的三个面至少需要多少平方厘米的塑料膜？（接头处不计） 【答案】954.2平方厘米 【分析】根据题意可知，用塑料膜包装数学书的三个面分别是数学书的前后面、左面；求需要塑料膜的面积，就是求长方体前后面与左面的面积之和，根据“长×宽×2＋宽×高”求出这三个面的面积之和即可求解。 【详解】18×26×2＋26×0.7 ＝936＋18.2 ＝954.2（平方厘米） 答：包装数学书的三个面至少需要954.2平方厘米的塑料膜。 【跟踪练习】 孔明灯。 除一个底面外，其他面都要糊上安全阻燃绵纸，制作这个孔明灯至少需要多少平方厘米的安全阻燃绵纸？ 培优练习 一、选择题 1．两个长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米的长方体包装成一个大长方体，应把（    ）的两个面拼在一起，最节省包装纸。 A．5×4 B．4×3 C．5×3 D．无法确定 2．在学习了《包装的学问》后，把多盒牛奶包成一包，怎样才能最节省包装纸？下面说法正确的是（    ）。 A．重叠的面积越大，越节省包装纸。 B．重叠的面越多，越节省包装纸。 C．重叠大面，越节省包装纸。 D．因为4盒牛奶的体积一定，所以不同的包装方式用的包装纸也一样多。 3．将四个长12cm，宽7cm，高3cm的长方体盒子，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A．   B．   C．   D．   4．笑笑要将四盒巧克力包装成一份礼物送给好朋友（如图所示），下面包装方法最省包装纸的是（    ）。 A． B． C． D． 5．把4个长10厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体盒子放在一起，用彩纸包装起来。下面四种包装方案表面积从小到大依次为（    ）。 A．①③④② B．③④②① C．③②④① D．①②③④ 二、填空题 6．白鹅潭大湾区艺术中心坐落在广州市荔湾区白鹅潭畔三江交汇处，占地面积约70000平方米，合( )公顷。李老师家到白鹅潭大湾区艺术中心大约2200米，他骑自行车需要10分钟，李老师每分钟骑行( )米，他骑车的速度可以写作( )。 7．小明和小勇在操场上练习跑步。小明2分钟跑了400米，小勇4分钟跑了790米，( )跑得更快些。 8．一盒计算器长、宽、高分别为15厘米、7厘米、4厘米。淘气把2盒这种规格的计算器包成一包，至少要( )平方厘米包装纸。 9．将3包相同的纸巾（如图）打包成长方体形状售卖，至少需要( )cm2的包装纸。（单位：cm） 10．下面展开图折叠后，哪两个面分别相对？填一填。 “我”与“________”相对； “学”与“________”相对； “海”与“________”相对。 三、判断题 11．七巧板中没有平行四边形这个图形．( ) 12．用长7厘米、宽4厘米的长方形纸能折出一个周长是16厘米的正方形。( ) 13．、、都不能折成一个无盖的正方体。( ) 14．用一张圆形纸对折再对折，折出来的一定是直角。( ) 15．某运动员在马拉松长跑中每分钟跑210米，他的速度也可以改写成2.1千米/分。( ) 四、解答题 16．一种巧克力的外包装盒如图，“六一”期间超市准备将这样的三盒巧克力包装成一个礼盒促销。 （1）怎样包最节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） （2）礼盒打八折出售，这个礼盒的促销价是多少元？ 17．笑笑想将每个长为10厘米，宽为8厘米，高为5厘米的四个礼盒包在一起，想要最节约包装纸，一定是（如图所示）将6个大面叠在一起这个方案吗？如果不一定，请你用喜欢的方式表示出更省包装纸的方案，并说明理由。 18．一个装玩具飞机的盒子长30cm，宽20cm，高5cm，把两个这样的盒子包成一包。有三种方案，分别算出各种方案所需的包装纸的大小。哪种方案最节省包装纸？（接头处不计） 第一种方案： 第二种方案： 第三种方案： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $