三 分数乘法-【新学期笔记对照学】2025-2026学年五年级下册数学（北师大版）

○新学期对照学数学五年级下册BS 长方体（一）】 第1课时长方体的认识 3.略 1.(1)432624 第3课时长方体的表面积 (2)40 1.(1)208(2)224 2.（1)长方形长是0.7m,宽是0.5m。 2.12×12×6=864(cm2) 后面的面和它形状、大小相同。 (10×5+10×4+5×4)×2=220(cm2) (2)左面和右面的长都是0.5m,宽 3.3×5+5×3.5×2+3×3.5×2=71(dm2) 都是0.4m。 4.12÷4=3(cm)） 3.6×4+15×2+10×2=74(cm) 3×3×2+12×12=162（cm2) 74+20=94(cm) 94×10=940（cm) 第4课时露在外面的面 940cm=9.4m 1.9324 9.4<10,10m彩带够用。 2.(1)B 第2课时展开与折叠 (2)D 3.1÷5=0.2(m) 1.(V)(V)(V)(V) 4×2×（0.2×0.2)=0.32(m2) () 增加了8个侧面，增加了0.32m。 2.(1)C 4.它的表面积不会发生变化。 (2)A 三 分数乘法 第1课时分数乘法（一) 2.(补图略)（1) 号 号 号8 37 号子 号 号 89 1.892855 -2- 对照学参考答案 249 8 9 品名 3 36 (2) 333 442 4(画图略)1-写=号 2 4 2 11 3. ×6=22(kg) 11 4 ×2×2=20 5=5, 他们吃得同样多。 63 3 第2课时分数乘法（二） 4 4 3 小丽正确。 1.(涂一涂略)20× =16 2.3号600×号=200（棵） 第4课时 倒数 3.30×3=15(分) 1.(1)9 12 40×2=20(分) (2)号品 4.假设这个加湿器的原价是80元。 (3)1 80×日=10（元） 2.B 80+10=90(元) 90×品=72（元） 3子 x=8 4.这两个自然数分别是10和11。 80>72,便宜了。 5.由a×b<a可知，b<1,b<9; 9 第3课时分数乘法（三) 由a×b>a可知，b>1,b>7。 7 1.略 因为b是不为零的自然数，所以b的 2.<=<>> 值是8。 品片日司 -3-理解分数乘整数的意义。 分数乘法 掌握分数乘整数的计算方法。 (-) 能根据积与乘数的变化规律进行计算 理解整数乘分数的意义。 分数乘法 (二) 掌握整数乘分数的计算方法。 会解决与分数乘法有关的实际问题。 理解分数乘分数的意义。 分数乘法 (三) 掌握分数乘分数的计算方法。 会根据乘数与积的关系进行算式大小的比较。 理解倒数的意义。 倒数 掌握求一个数的倒数的方法。 子 三分数乘法 3 2 2 Q新学期对照学数学五年级下册BS 第1课时分数乘法（一) 1 课前·预习例题动 产3个 ○1个困占整张纸条的5,3个图占整张纸条的几分之几？ 方法一：画图法。 方法二：转化为加法计算。方法三： 用乘法计算 搴 我用加法 我用乘法计算。 计算。 ×3 5 个号是 1 +1+1 1 1 555 5+14141 5 5 5 =1+1+1 5 =3x1 5 5 3 5 答：3个困占整张纸条的 5 也可以列成3× Oo 2个号的和是多少？下面的算法你看懂了吗？与同伴说一说。 3 2个号，一共 分数乘整数的意义 求几个相同分数的和的简便运算。 1 有6个7 2个 是2 % Oo 方法一：画图法。 方法二：用乘法计算。 整数 3 3 3,33×26 ×2=7 分子3与2相乘 7 7 的积做分子。 把单位“1”平 均分成7份。 分母不变 3个号3个 20|中小学AI教辅 ○算一算，说一说分数与整数相乘如何计算。 分子和整数 5 相乘。 163 2×号 分母不变。 6*3=5x3.15 2x5 =2×5=10 1616 9 9 9 分数乘整数的计算方法 用分数的分子与整数相乘的积做分子，分母不变。 试一试 你能看懂下面两位同学的计算过程吗？与同伴说一说。 方法一：先计算，再约分。 方法二：先约分，再计算。 0 计算结果可以 写成最简分数。 6*2 5 6*12 能约分的，可 以先约分。 6×5 16x5 12 122 = 3Q5 5 22 2 方法二比较简便。 分数乘整数的简算方法 分数乘整数，能约分的，可以先约分，再计算，结果为最简分数。 约分时，用整数与分数分母的最大公因数去约较简便。 ×4 ×2 计算右面各题，观察每个题目及结果，你发现了什么？ ①发现：(1)两个数相乘，一个乘数不变，另一个乘数 ×12 扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之几），积 也扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之几）。 48 24 12 6 3 (2)一个整数(0除外)乘真分数，积比这个整数小。 ×2 ×4 ÷4 2课堂·任务学习 任务 理知识 1.分数乘整数的意义及计算方法 (1)分数乘整数的意义：与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便 运算。 (2)分数乘整数的计算方法：用分数的分子和整数相乘的积做分子，分母不变。 2.分数乘整数的简便算法 分数乘整数，当整数与分母有共同的因数时，可以先约分，再计算比较简便。 3.分数乘法中积与乘数的变化规律 (1)整数乘法中积与乘数的变化规律对于分数乘法同样适用。 (2)一个整数(0除外)乘真分数，积比这个整数小。 任务 2 学方法 ⊙运用分数乘法中积与乘数的变化规律解决与图形面积有关的实际问题 一个长方形的面积是各m㎡，如果这个长方形的长不变，宽扩大到原来的3倍，变化后的 长方形的面积是多少？ 思路分析长方形的面积=长×宽，长不变，宽扩大到原来的3倍，也就是一个乘数不 变，另一个乘数扩大到原来的3倍，那么积也扩大到原来的3倍，所以长方形 的面积扩大到原来的3倍。 原来长方形的面积= 长 宽 扩大到原来的3倍 不变 扩大到原来的3倍 变化后的长方形的面积=长 宽 正确解答 是×3=是(m) 答：变化后的长方形的面积是是m2。 I/ 3课后·对照练习 1.算一算，填一填。 ①根据“例题”练一练 乘数 12 15 32 60 7 乘数 子 景 11 3 8 2 49 积 2.把下面各图补充完整，并写出算式。①根据“例题”练一练 (1) ()+()+()+()=() ()×()=( ) (2) ()+( )=( ()×( )=() 3.一棵甘蔗重号kg,6棵这样的甘蔗重多少千克？0器”练黛 4.一个池塘里，一株睡莲面积每天增加1倍，现在池塘里的睡莲面积占池塘面积的 品， 两天后睡莲面积占池塘面积的几分之几？①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P2~P3) 中小学A教辅21 Q新学期对照学数学五年级下册BS 第2课时分数乘法（二) 1 课前·预习例题 整数乘分数的意义 整数乘分数既可以表示求几个相同分数的和的简便运算， 还可以表示求这个整数的几分之几是多少。 我早上吃了 6块饼千。 我吃的饼干数 我吃的饼干数 是奇思的2 是香忍的方： 6块 6块 笑笑吃了多少块饼干？ 方法一：把6块饼干看成一个整体。 方法二：把每块饼干看成一个整体」 ○○○○○○ ①①①①①① 把6块饼干平均分成2份，取其中1份。 把每块饼千平均分成2份，取其中1份。 6块饼干的 3是3块 6 6× (块) 相当于6个号 求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，计 算过程中能约分的要约分，计算结果一般要约 答：美笑吃了3块饼干。 成最简分数。 淘气吃了多少块饼干？ 方法一：把6块饼干看成一个整体。 方法二：把每块饼千看成一个整体。 ○○○○○0 SS®S®S 把6块饼千平均分成3份，取其中2份。 把每块饼千平均分成3份，取其中2份。 6块饼千的 子是4块 相当于6个2 6× 2 3 (块) 答：淘气吃了4块饼千。 22|中小学AI教辅 严求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 ○8的子是多少7画一画，算一算。 方法一：把每个小正方形看成一个整体方法二：把8个小正方形看成一个整体（单位“1”）。 (单位“1”)。 8个整体 把8个小正方形平均分成4份，取其中3份。 图因阳图因四图画 把每个小正方形平均分成4份，取其中3份。 列式计算：8×是=6 试一试 我们女生植 男生植树的棵数 了20棵树。 比女生的多 40 把女生植树的棵数看成单位“1” ●男生比女生多植树多少棵？画一画，说一说你是怎样理解的。 把女生植的树 这是多出的部分，相 平均分成4份。 20棵 当于女生的4。 女生： 等量关系 男生： 女生植树的棵数x} 男生比女生多植树的棵数 请列式计算： 答：男生比女生多植树5棵。 5。x1=5(棵) 20×4-20* 41 ©总结：解答“求比一个数多（少）几分之几是多（少） 多少”的实际问题时，先要找出单位“1”的量，再根 据等量关系式“单位‘1·的量×多（少）的几分之几 =一个数比另一个数多（少）的量”来列式解答。 ○你能再说出一个类似的例子吗？ 例：淘气有占本拔事书，笑笑的故事书本教比淘气的少子，笑笑比淘气少几本故 事书？15×号-5（本）答：笑笑比淘气少5本故事书。 、 2 课堂·任务学习 任务 理知识 1.整数乘分数的意义及计算方法 (1)整数乘分数的意义：既可以表示求几个相同分数的和的简便运算，还可以表示求 这个整数的几分之几是多少。 (2)求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 (3)整数乘分数的计算方法与分数乘整数的计算方法相同。 2.求比一个数多（少）几分之几是多（少）多少 解答“求比一个数多（少）几分之几是多（少）多少”的实际问题时，先要找准单位“1” 的量，再根据“单位‘1’的量×多（少）的几分之几=一个数比另一个数多（少）的量” 这个等量关系来解答。 任务 学方法 。运用假设法解决打折问题 一架玩具飞机，先增加原价的0， 再按加价后的九折出售，现价和原价相比，便宜了还 是贵了？ 思路分析题中没有给出玩具飞机的具体价格，为了便于比较，可以用假设法。先假 设玩具飞机的原价为一个具体的钱数（假设是100元)，计算出增加原价 的后玩具飞机的价格，再计算出打九折后的价格，最后进行比较。 原价 增加后的价格 打折后的价格 9 100元 100+100×0=10(元) 110×0=99(元) 正确解答假设这架玩具飞机的原价为100元。 、1 增加后的价格：100+100×0=110（元） -不要忘了比较。 打九折后的价格：10×号=9（元）100>99，便宜了。 答：现价和原价相比，便宜了。 3课后·对照练习 1.涂一涂，算一算。0根据“例题”练一练 20的号是多少？ ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆ 2.果园里有桃树600棵，苹果树比桃树多多少棵？先填一填，再列式解答。 ①根据“试一试”练一练 把桃树的棵数平均分成（)份。 桃树： 苹果树： 苹果树比桃树多的棵数相当于桃树棵数的（）。 3. 奶奶每天用30~40分的时间进行晨练，其中有？的时间练太极拳，奶奶每天练 太极拳最短用多长时间？最长呢？0根据“例题”练一练 太极拳，国家级非物质文化遗产，发展】 至今已经成为全民健身项目之二。 4.一个加湿器，先提价日，再按提价后的八折出售，现价和原价相比，便宜了还是 贵了？①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P3) 中小学AI教辅|23 Q新学期对照学数学五年级下册BS 第3课时分数乘法（三） 课前·预习例题到 读一读，想一想，剩下的部分占这张纸条的几分之几？ 1 我国古代哲学名篇 制下全长的司 《庄子·天下》中有这 1的2 ☐1× 样一段话：“一尺之棰， 日取其半，万世不竭。” 剩下 的 2 意思是说：一尺长的木 2的号 4 棍，每天截一半，永远 也截不完。 下冬的 4的7 ▣II 4 18 是×子=？用一张长方形的纸折一折，想一想，再算一算。分数果分数的意叉 求一个分数的几分之几是多少 竖着对折2次 涂出它的子 横着对折2次 涂出斜线部分的子 分子相乘的积做分子 借助折纸的过 程，说一说为什 3 3×1 3 么这样算。 4 X 4 4×4 16 分母相乘的积做分母 24丨中小学AI教辅 折一折，算一算，说一说。 ×2 12 1 3×5- 3×5 1 7×1=7×1= 7 4 = 4×3 6 56 5×6 2 84 8×432 2 12 的号是 的各是2 5 名的日是品 两个分数相乘，只要 能约分的可 分子乘分子、分母乘 以先约分。 分母就可以了。 分数乘分数的计算方法 分子相乘的积做分子，分母相乘的积做 试一试 分母。能约分的，可以先约分，再计算。 乐乐认为：一个数与分数相乘，积一定小于这个数。你同意吗？举例说明你的想法。 假设这个数是2。 2× 2 3=3 <2 ©结论：一个数 不一定吧。 与分数相乘， =8>2 积不一定小于 2× 3 3 这个数。 算一算，并观察这些算式，你发现了什么？ 噢，我知道了，一个 57 10 3 积小于第一 数如果乘一个小于1 可以借助分数的 小于1 的分数，积… 意义来解释… 6 4 个乘数 7 4 7 14 积等于第一 3 就小于这个数。 等 个乘数 87 3 积大于第一 大于1 个乘数 7 6 用字母表示乘数与积的关系 ①发现：一个数(0除外)乘大于1的分数 「①若b>1,则c>a: 积就大于这个数；乘等于1的分数，积就 等于这个数；乘大于0且小于1的分数， a×b=c(a≠0){②若b=1,则c=a: 积就小于这个数。 ③若0<b<1,则c<a。 、1/ 2课堂·任务学习 任务 理知识 1.分数乘分数的意义 求一个分数的几分之几是多少。 2.分数乘分数的计算方法 分数乘分数的计算方法：两个分数的分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母，用 字母表示为合×是-X(口≠0，c≠0)，能约分的，可以先约分，再计算。 axc 3.分数乘法中积的变化规律 一个数（0除外)乘大于1的分数，积就大于这个数；乘等于1的分数，积就等于这个 数；乘大于0小于1的分数，积就小于这个数。 任务 2 学方法 ⊙运用画线段图法解决分数乘法问题 若甲数是乙数的号，丙数是甲数的子，则丙数是乙数的几分之几？ 思路分析根据题意画线段图分析，具体如下： 乙数：L “甲数是乙数的2”，是把乙数看作单位“1” 2 乙数的 把乙数平均分成5份，甲数是这样的2份。 甲数：0 1 “丙数是甲数的子”，是把甲数看作单位“1” 甲数的4 把甲数平均分成4份，丙数是这样的1份。 丙数：当 借助线段因可知，丙数是乙鼓的号的好，即丙数是乙数的子×子=0 正确解答 号×=0 ①提示：三个或三个以上的数，每两个数相比 较会出现多个单位“1”，找准所求数的“1” 答：丙数是乙数的0。 是解题的关键。 3课后·对照练习 1.根据算式涂一涂。①根据“例题”练一练 ×号 2.不计算，直接在 里填上“>”“<”或“=”。O根据“试试”练一练 24× )24 ○3× 8x9 8 9○ ×9 3.计算。①根据“例题”练一练 号× 113 12×22 名×总 5.7 品×号 53 6×6= 9×2= 4奶奶过生日时，妈妈买了一个生日蛋糕，恒恒吃了这个生日蛋糕的5，荣荣吃了 剩下生日蛋糕的子，他们谁吃得多？（先画图，再计算）0根据学方法”练练 5.学校举行“制作环保贺卡”比赛。周一收到的作品数量占总作品数量的子，周二 收到剩下作品数量的行。小明认为周二收到的作品多，小丽认为一样多。请你通 过计算判断谁正确。①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P3) 中小学AI教辅|25 ○新学期对照学数学五年级下册BS 第4课时 倒数 课前·预习例题 整教可以写成分母是1的分数，如2=子，3=是。 算一算，说一说你有什么发现。 倒数的描述 2 :7 ①和号 互为倒数。 2×21 :9×7=1 @是号 7 的倒数。 10×10=1 号x ©号是子的倒数。 结果都是1。 乘积为1的两 个数互为倒数。 两个乘数的分 子、分母… ①点拨：“互为倒数”说明两个数是互相依存 的，不能单独存在，只能说谁是谁的倒数或 交换了位置。 谁和谁互为倒数，不能单独说哪个数是倒数。 可以借助长方形的面积来进一步认识倒数，看一看，说一说。 9 长 5 4 3 互为倒数的两个数 7 宽 3 1 分别作为长方形的 4 9 长和宽，长方形的 面积 1 1 面积是1。 求小数的倒数时，先 把这个小数化成分数， 下面四个长方形的面积都是1，请你填一填。 再交换分子和分母的 2 1位置。 所以2的倒数是五。 ( 1的倒数是 () 它本身。 先化成分数为 5 0有倒数吗？说一说你的想法。 子，再求倒数是三。 0不能作除数。 依据 验证过程 倒数的乘积为1的两个数互为倒数，0与任何数 0没有倒数。 意义 相乘都等于0，不等于1，所以0没有倒数。 求倒数。-9，文换分子、分母的位置为。，分 ©拓展：求带分数的倒数，先把 带分数化成假分数，再交换分 的方法数的分母不能是0，所以0没有倒数。 子、分母的位置。 26|中小学AI教辅 2课堂·任务学习 任务 理知识 1.倒数的意义 乘积为1的两个数互为倒数。 2.求一个数（0除外)的倒数的方法 (1)求一个数(0除外)的倒数的方法： ①求真分数、假分数的倒数，交换分子和分母的位置；②求带分数的倒数，先把它化 成假分数，再交换分子和分母的位置；③求整数的倒数，先把整数化成分母是1的假 分数，再交换分子和分母的位置；④求小数的倒数，先把小数化成分数，再交换分子 和分母的位置。 (2)1的倒数是它本身，0没有倒数。 任务 学方法 ©运用分类讨论思想探讨一个数的倒数与这个数的大小比较问题 把正确答案的序号填在括号里。（a≠0) (1)当()时，a的倒数等于a。 (2)当( )时，a的倒数小于a。 ©总结：真分数的倒数大于1，假分数 的倒数小于或等于1。 (3)当( )时，a的倒数大于a。 A.a大于1 B.a等于1 C.a大于零且小于1 思路分析一个数与它的倒数的大小关系： 当一个数大于1时，它的倒数小于它本身； 当一个数等于1时，它的倒数等于它本身； 当一个数大于零且小于1时，它的倒数大于它本身。 正确解答 (1)B(2)A(3)C ©运用多种方法解决比大小问题 已知名×a=b×停=c,并且a、么、c都不为零。请把a、6、c这三个数按从大到小的 141 顺序排列。 思路分析 思路一： 思路二： 可以运用假设法，先假设c= 可以根据积和乘数的关系 1,再运用求一个数的倒数的 解答，在积不变的情况下， 方法分别求出a和b的值，最 一个乘数越大，另一个乘 后比较这三个数的大小。 数就越小。 正确解答 方法一：假设c=1, 方法二：令×a=6×芹=ex1 那么a=号，6=若， 因为7<1<， 因为号>1>普 所以a>c>b。 所以a>c>b。 任务(3 做易错 。易错点：未准确理解倒数的意义 判断。 (1)假分数的倒数一定是真分数。 (2)号是倒数。 易错解读 本题易错在未理解倒数的意义。（1)当假分数大于1时，它的倒数是真分 数；当假分数等于1时，它的倒数是1。（2)倒数表示两个数之间的关系， 这两个数是相互依存的，不能单独说某一个数是倒数，必须说谁是谁的倒数 或谁和谁互为倒数。所以本题的正确答案为(1)×；(2)×。 I/ 3课后·对照练习 1.填空。0根据“做易错”练一练 (1)的倒数是()，( )与立互为倒数。 (2)0.75的倒数是（ ）,1号的倒数是（）。 (3)号的倒数是5，m是（ )。 2.如图所示，数线上a、b、c、d四个数互为倒数的是( )。(填序号) ①根据“例题”练一练 a b d 111 0 1 2 3 A.a和b B.a和c C.b和d D.b和c 3.直接写出方程的解。①根据“例题”练一练 号=1 5x=1 8x-1 4两个相邻自然数的倒数之和是品，这两个自然数分别是多少？0器学去岁练， 5.a、b是不为零的自然数，a×b<a,aXb>a,求b的值。0根据“学方法”练-练 7 (对照学参考答案：P3) 中小学A教辅|27 Q新学期对照学数学五年级下册BS 第三单元 核心 知识点 1.分数乘整数 （1)意义：求几个相同分数的和的 简便运算。 （2)计算方法：用分数的分子与整 数相乘的积做分子，分母不变。 能约分的可以先约分，再计算。 2.整数乘分数 (1)计算方法：分数的分子与整数 相乘的积做分子，分母不变。 能约分的可以先约分，再计算。 (2)用整数乘分数解决的问题：求 “一个数的几分之几是多少” 的问题；求“比一个数多（少） 几分之几是多（少）多少”的 问题。 心 3.分数乘分数 知 (1)意义：求一个数的几分之几是 多少。 (2)计算方法：分子相乘的积做分 子，分母相乘的积做分母。能 分的可以先约分，再计算。 (3)乘数与积的关系：一个数（不 为0)乘小于1的分数，积就 小于这个数；乘等于1的分数， 积就等于这个数；乘大于1的 分数，积就大于这个数。 4.倒数 (1)意义：乘积是1的两个数互为 倒数。 (2)求倒数的方法：求整数的倒数， 1是分子，整数是分母；求小数 的倒数，先把小数化成分数，再 交换分子与分母的位置；求分数 的倒数，交换分子与分母的位置。 1的倒数是1,0没有倒数。 28|中小学AI教辅 知识梳理 示例 2 ×3=2×3-6 7 1 1 5 12 ×6= 5x6= 2 2 2 8 2 6× =6x 816 汉3 苹果有15个，梨的个数是苹果个数 的分，梨有(5)个。 钢笔有26支，铅笔的支数比钢笔少 习，铅笔比钢笔少(13)支。 × 子× 3 5 24×2⊙24 4的倒数是()，0.25的倒数是(4)， 号的倒数是（名），1的倒数是(1)。 易错点1：计算分数乘法时，误认为分子与分子约分，分母与分母约分 下面的计算对吗？对的画“V√”，错的画“X”并改正。 8×哥8x 1 ·错误地认为分子与分子约分 错解：V 正解：X 易错点2：混淆分数表示的是两个量之间的关系还是具体的量 有一根五色丝线， 乐乐编五彩绳用了这根五色丝线的乃，文文编 五彩绳用了这根五色丝线的7m,结果文文用去的五色丝线长。横线上需 要补充的条件是( )。 4长度是号m B长度是号m C.长度是1m 错解：C 正解：A 混淆分数表示的是具体量还是整体的几分之几 易 易错点3：解决问题时，未找准单位“1” 一个西瓜，妈妈吃了这个西瓜的写，爸爸吃了剩下西瓜的了，谁吃得多？ 示 错解：国为}=了，所以爸爸和正解：因为1-号子，号×令弓， 妈妈吃得一样多， 号> 所以妈妈吃得多。 误认为2个写的单位“1”相同 易错点4：对倒数的意义理解不透彻导致判断错误 下面说法正确的有( ①如果a>6>0,那么日<名 a ②一个非零自然数的倒数一定小于这个数。 ③如果a和b互为倒数，那么a+b小于a×b。 ④真分数与假分数互为倒数。 错解： 5产误认为非零自然数的 ①②③ 倒数都小于这个数，当 正解：① 这个数是1时，此说法 错误 误认为互为倒数的两个数的和小于这两个数的积