三 图形的运动-【新学期笔记对照学】2025-2026学年六年级下册数学（北师大版）

图形的旋转 掌握旋转的含义及三要素 图形的运动 (-) 能在方格纸上画出绕线段的一个端点旋转90·后的线段 图形的旋转 能在方格纸上画出一个简单图形绕图形上的某个顶点旋转90°后的图形 (二) 能准确地确定图形旋转的关键线段 会描述图形运动的过程 图形的运动 能在方格纸上画出运动后的图形 灵活运用平移、旋转或轴对称在方格纸上进行图案设计 欣赏与设计· 体会平移、旋转和轴对称在设计图案中的作用 Q斯学期对量学)数学六年级下册S 第1课时 图形的旋转（一） 2课堂·任务学习 课前·预习例题到 遵时针方间 12 顺时针方向 任务(1)理知识 旋转中心 。观察钟面，说说时针、分针、秒针是怎样旋转的。 1.物体绕着某一个固定点（或某一条固定轴）运动的现象叫作旋转，这个固定的点就是 分针和时针都是旋转1时， 旋转中心，旋转中心在旋转的过程中不动。 时针、分针、秒针都 但旋转角度不一样 时针、分针旋转 2.旋转的三要素： 在绕着中心，点旋转。 分针1时旋转一 的方向就是顺时 (1)旋转中心，即围绕哪一个点旋转： 周，时针1时旋 针方向，相反的 旋转款被转中心) (2)旋转方向，即顺时针方向还是逆时针方向； 转1大格。 就是逆时针方向。 (3)旋转角度，即旋转了多少度。 3.利用旋转画图，旋转前后的线段相比较，固定的一点是不动的，整条线段都要旋转相 物体绕着某一个固定点（或某一泰 同的角度，线段的长度不能发生变化。 周定轴)运动的现象叫作旋转。 观察下图中的横杆分别是怎样旋转的，与同伴交流。 任务(2学方法) 旋转希后。图 ⊙运用图形的旋转和圆的面积知识解决问题找到旋转中心、旋转方向和旋转角度是解题的关键 旋转了90 形煮物体的形 公路收费站横杆 旋转了90 状、大小都不 如图所示，线段MN长1cm,请你分别画出这条线段绕点N顺时针旋转90°所扫过 改变，只是自 的图形与这条线段绕点M逆时针旋转180°所扫过的图形，并分别计算出它们的面积。 务的方向和位 M. 旋转中心 置发生改变。 N 这幅图中的横杆 这幅图中的横杆是 思路分析 第一步：确定图形。线段MN绕点N顺时针旋转90°所扫过的图形是半径 是顺时针方向旋 逆时针方向旋转的， 为1cm的國的四分之一；线段MW绕，点M逆时针旋转180°可以看作将线 转的。 旋转了90°。 段MW绕点M逆时针连续两次旋转90°，所扫过的图形是两个半径为1cm 用语吉描比图形或物练的旋转时要说清。D镜帘个点旋 的圆的四分之一，正好是半径为1cm的圆的一半。画图时要注意旋转中 转；边问什么方向旋转：③旋转了多少度 心不动。 画一画。 第二步：计算面积。计算时利用圆的面积计算公式=π先计算出圆的面 ?旋转中 ,旋转中心 积，再分别计算圆的四分之一与一半的面积是多少。 画出线段AB绕点B顺时针旋 画出线段AB绕点A逆时针旋 转90°后的线段。 一旋传方何 转90°后的线段。 ·旋转方向 正确解答 旋转角度 战转角度 B A 07B 3.14×12=3.14(cm2) 线段统一个端点旋转90°所扫过的图形是以孩线段 3.14÷4=0.785(cm2) 的长为幸径的国的四分之一，旋特180°所扫过的 3.14÷2=1.57(cm2) 图形是以擦线段的长为半径的团的一半 步骤 答：这条线段绕点N顺时针旋转90°所扫过的图形的面积是0.785cm2,这 ①确定旋转中心：②明确旋转方向；③确定旋转角度；④描出另 一个端点按要求旋转后的位置：⑤连提两点，得到旋转后的线段 条线段绕点M逆时针旋转180°所扫过的图形的面积是1.57cm。 22|中小学A教辅 ○运用推理法解决图形旋转问题 3课后·对照练习 在三角形ABC中，已知∠A=90°，∠C=60°，∠CBA=30°。三角形ABC绕 点B顺时针旋转一定的角度后得到三角形A'BC,∠CBA=90°（如图所示）。三 角形ABC绕点B顺时针旋转了多少度？ 1.如图的一个转盘。①根指“例题”炼一嫉 (1)指针从“2”绕点0按顺时针方向旋转90°后指向“( )”。 思路分析 图形的旋转角度等于旋转中心所在的 (2)指针从“5”绕点0按逆时针方向旋转90°后指向“（）”。 对应线段之问的夹角的度数， (3)指针从“4”绕点0按()）时针方向旋转()。后指向“8”。 三角形ABC绕，点B顺 1.图形是绕点B 2.按要求画一画。①瓶据“例题”妹一练 时针旋转一定的角度 旋转的。 (1)画出线段AB绕点A顺时针旋转90°后的线段。 后得到三角形ABC'。 ∠CBC的度数就是三角形ABC 2.BC与BC'为一 绕，点B顺时针旋转的角度。 (2)画出线段CD绕点D逆时针旋转90°后的线段。 组对应线段。 点B的位置没变。 正确解答 ∠CBC=CBA-∠CBA=90°-30°=609 答：三角形ABC绕点B顺时针旋转了60°。 3.下列说法正确的是()。①暴播“微易错”练一装 A.图形旋转时，旋转中心的位置会发生变化 任务（3 做易错 B.只要知道旋转的方向和角度，就可以画出旋转后的图形 C.旋转前后的两个图形的形状、大小都不变 ⊙易错点：不理解旋转的特点，误认为旋转能改变图形的大小 4.点C是线段AD上的一点，画出线段AD绕点C顺时针旋转60°后的图形。 判断：将线段AB绕点A顺时针旋转90°后，它的大小改变，方向也改变。() ①提据“例题”炼一捧 易错解读旋转过程中，只改变图形的方向，不改变图形的形状和大小。所以将线 段AB绕点A顺时针旋转90°后，它的大小不变，方向改变。所以本题的 正确答案为X。 (对丽学参考答炭：P2-P3) 中小学A教辅I23 Q斯学期对题宇数学六年级下册S 第2课时图形的旋转（二)） 、 2课堂·任务学习 课前·预习例题 任务(1)理知识 一旋转中心 严旋转角度 画一个图形按一定的角度旋转后的图形的方法： ●画出图中的小旗绕点M顺时针旋转90°后的图形。 第一步：确定关键线段； 旋转方何“ 步球山 与旋转中心相连的线餐 第二步：确定关键线段按一定的角度绕旋转中心顺时针或逆时针旋转后的位置： (1)墙定关候线校 是关键找段 第三步：确定旋转前后图形中的其他点与关键线段的相对位置，描出各点旋转后的对 (2)画关键线疫的时应线段 (3)用数方格的方法找到被 正方形旗面旋转后位于 应点： 转后的对应点 旗杆右侧，分别描出正 第四步：把描出的对应点按对应关系顺次连接。 (4)年点成周 ①旋转中心 方形各点，连接参点画 出旗面 任务 2学方法 可以先找到旗杆 旋转后的位置。 ©运用图形变化规律解决画图问题 画出三角形ABC旋转90°后的图形。 观察下图，按照变化规律在空白处画出合适的图形。 与旋转中心点A相连的有线段AB和 与旋转中心点B相连的有线段BA利 AC,线段AB和AC均为关键钱段 BC,线段BA和BC均为关键线段 解决此类河题时，应先找 出己知图形的支化规律 绕点A顺时针旋转90°。 绕点B逆时针旋转90°。 弄根裾规律倒推出所要 ② ③ 可的图形。 B 思路分析 (1)观察图形，找出图①和图②的变化规律。 顺时针旋转90° 或逆时针旋转270° → 图① 顺时针旋转90° 想一想，也可以剪一个同 或逆时针旋转270° 样大的三角形摆一摆。 。与同伴说说你是怎么画的，需要注意什么？ 图② 关键钱段 (2)倒推画图。把图③中右边的图形逆时针旋转90°（或顺时针旋转 可以先找到其中 画完后，对照旋转的 270°），就可以得到左边的图形。 一条线段旋转后 的位置 要求再想一想… 正确解答 再报据线段旋特后的位置关 旋转前后围形的形状不支。 系连接其他对应线授 24|中小学A教辅 三图形的运动 ©运用辅助线解决稍复杂的旋转问题 3课后·对照练习 画出四边形ABCD绕点D顺时针旋转90°后的图形。 有些阁形中没有水平与竖直的线段 可以通过画辅助线，找到一条水平或 1.看图填一填。①振据“例题”炼一蛛 竖直的钱段，并以此线段为美健线段 将其按要求遗行旋转，再根据对应关 系通出旋转后的图形 思路分析 本题图形中没有水平方向与竖直方向的线段，可以通过画辅助线，找到 一条水平方向或竖直方向的线段，以此线段为关键线段，将其按要求旋转， 找出对应点，顺次连接各点，即可得到旋转后的图形。 连接BD、AC,并 画出线段BD绕，点 根据位置关系画 顺次连接各对 (1)四边形OABC绕点O顺时针旋转90°，在右图中标出点A的对应点A'。 将BD确定为关键 D顺时针旋转90° 出线段AC的对应 应点。 线段。 后的线段B'D。 线段A'C。 (2)四边形OABC绕点O逆时针旋转()。得到图3。 (3)四边形OABC绕点O()时针旋转()。得到图2。 2.画出四边形ABCD绕点B顺时针旋转90°后的图形。①极壢“学方法”"簿一练 正确解答 见思路分析中最后一个图中的四边形AB'CD。 任务(3做易错 ⊙易错点：找错图形旋转后的对应点 画出下面的图形A绕点O逆时针旋转90°后的图形A'。 3.画出三角形AOB绕点O逆时针旋转90°后的图形。①根播“做易错”炼一 ①提示士在画旋转图形时，徐 要考虑校转中心、旋转方向和发 转角度，还要验证旋转后周形的 形状与大小是否与原图一致 易错解读本题易找错图形旋转后的对应点。在画一个图形 旋转一定角度后的图形时，要找准原图形旋转后 的对应点，每一条线段的长度都不能发生变化， (对题学参考答案：P3) 必要时可以动手剪一剪、摆一摆进行验证。所以 本题的正确答案如图所示。 中小学A教辅I25 Q斯学期对题学)数学六年级下册S 请将图形A绕点O顺时针旋转90°，得到图形B,再将图形B向右平移5格，得到图形C。 第3课时图形的运动 画一画，说说要注意什么。 平移时，关键要 旋转时，先确 数清楚格子，找 定相应的线 好对应的点 1课前·预习例题型 或点的位置， 画出图国形 再 后。标出围 如下图，七巧板中有两个图形移动了位置。 画出旋转后 形序号 的周形 描楚或远出简单图形平移和旋转后的困形时，首先判断是平移、旋转，还是 图①移动后，只是位 凭平移又旋转。平移时，要注意平移的方问和平移的距离（东格数）；旋转 置发生了变化，形状 时，要注意旋转中心、淀转方句和旋转角度。 大小和方向没有发生 麦化，只需要通过平 试一试 移就可以移入七巧橱 ① 相应的位置 如下图，图1是一幅由四张卡片组成的图，图2中有两张卡片移动了位置。 你能通过平移将图①移入七巧板相应的位置吗？说说你的做法。 Q..9 平移 通过两次平移完成 中精移动的卡片快 B 手移和旋转 图①先向上平移4格，再 图②帮动后，位置和方何每发 图1 复到原来的位置 图2 生了支化，所以要移入七巧板 向左平移10格就可以了。 相应的位置，不仪需要平移， 你能通过卡片的平移和旋转将图2“还原”为图1吗？与同伴交流你的想法。 氏需要旋转。 也可以把图①先向左平移 ●请尝试用一定的方式将“还原”的过程记录下来，与同伴交流。 10格，再句上平移4格 0 0 方法一。文字就迷法 方法二流程图法， 你能通过平移和旋转将图②移入七巧板相应的位置吗？与同伴交流你的做法。 A卡片：句右移动2格 B卡片：上2一左2-绕右下点逆90° 方法一■先旋转，后平移 方法一先手移，后旋转 A卡片1右2。 B卡片：先向上平移2格，再向左平移2格 可以先绕直角的顶，点逆时针 可以先向左平 最后绕右下点逆时针旋转90° 旋转90°，再向左平移 移9格，再一 。用卡片按你的思考过程摆一摆，看一看“还原”到原来的图片了吗？ 9格。 绕直角的顶点是 图形位置的“还原”过程，就是图形运动的过程。“还原”的方案可能有多种， 时针旋转90。 尽量选择最佳方案和最筒洁的方式记桑将困形位置“还原”的过程。 26I中小学A教辅 2课堂·任务学习 3课后·对照练习 、任务(1理知识 1.如下图，七巧板中有两个图形移动了位置。①根据“例题”练一练 1.图形的运动方式有平移、旋转和轴对称，通过平移与旋转，可以将图形移到指定的位置。 2.在方格纸上画图形旋转与平移组合运动后的图形，一要厘清运动过程，二要关注平移 或旋转时的关键点。 3.旋转时应明确旋转中心、旋转方向与旋转角度，确定旋转前后相对应的线段与点的位置： 平移时应确定好平移的方向与平移的格数，找准对应点再连线。 ⊙ ④T 人任务(2学方法 (1)将图形⑥先向下平移( ）格，再向左平移( )格，就可以移到 七巧板中相应的位置。 ©运用逆推法解决还原图形的问题 (2)将图形②先绕直角顶点顺时针旋转( )·,再向()平移( ) 请画出右图中图形A和图形B变化前的图形。 格，就可以移到七巧板中相应的位置。 (1)图形A是一个图形向右平移3格后，以直角的顶点为旋转中 2.图1中的卡片是如何运动得到图2的？写出运动过程。①概据“试一试”，一博 心顺时针旋转90°得到的。 (2)图形B是一个图形以MW所在的直线为对称轴作的轴对称 图形。 3) 思路分析(1)运用逆向思雏，先将图形A以直角的顶点为旋转中心逆时针旋转 90°，再向左平移3格，就能得到变化前的图形。 图1 图2 (2)以MN所在的直线为对称轴，作图形B的轴对称图形，就能得到变 化前的图形。 3.请你通过平移和旋转将下图还原。（填序号）①概据“学方强”藤一棒 正确解答 解决此类问题时，要根据变化后的图形， 运用逆推法找到变化前的图形。 ④ (对题学参考答案：P3) 中小学A教辅|27 Q新学期对题学)数学六年级下册S 第4课时欣赏与设计 2课堂·任务学习 的 课前·预习例题酒 1 通过平移和旋转结合得到。 任务1 理知识 基本图形 基本困形 基本形 1.利用平移、旋转和轴对称可以设计出许多美丽的图案。 通立旋转 轴树称、 2.综合运用平移、旋转与轴对称设计图案的基本步骤。 或轴对郴 移、旋转却 一选：选好基本图形。 得到 可使用。 二定：确定合适的变换方式，明确平移的方向与距离，旋转中心、旋转方向与旋转 上面的图案可以怎样得到？选择其中一幅与同伴说一说。 角度，对称轴的位置。 三画：画出变换后的图案。 3.(1)用平移的方法设计图案，关键是要数准格子数。 方法一：利用基本 方法二：利用 (2)用旋转的方法设计图案，关键是要确定旋转中心、旋转方向及旋转角度。 图形绕点0顺时针 D 仙对称得到 旋转得到 (3)利用轴对称的方法设计图案，关键是要选好对称轴。 将图形A绕点0顺时针旋 画出图形A关于虚 转90°，得到图形B,再绕 线轴对称的图形， 点0顺时针旋转90° 再画与A,B两个 任务 )学方法 得到甜形C,最后镜点O顺时， 图形轴对称的图形。 针旋转90°，得到图形D 即国形C和D 。用不同的运动方式制作同样的图案 。将某一图形进行平移、旋转，或者画出它关于某条直线的轴对称图形，可以设计出美丽的 图案。在附页的方格纸上试一试，并与同伴交流你是怎样设计的。围形①魏点0顺时针藏 下图是由图形A经过旋转得到的，如果改用轴对称的方法来画，至少要画几次？ 教材第113夏 本形 转90样到图形②1把国 形②镜点O顺时针旋转 画出基本围形关于虚钱【的 90”得到因形：把围形 轴对称图形 ②先何下平移3格，再何 左平移3 D 轴对称、旋转、 用轴对称的方法画图时，可以把多 我的设计很美吧！ ?格，得到 A 平移，都用上了。 个图形的组合图形着作一个整体 图形④。 0 与用旋转的方法相比校，减少了画 图的步缘。 28|中小学A教辅 思路分析用旋转的方法画上面的图，需要将基本图形经过3次绕点0顺（或逆）时 3课后·对照练习 针旋转90°，改用轴对称的方法来画，需要先在图中添加对称轴，b, 如图所示。 1.下面的四个图形，既可以通过图形的旋转得到，又是轴对称图形的是(）。 ①根摇“例题”练一 D A 0 图 B. 黎“® B 2.如图是由 通过运动得到的，下列说法错误的是(）。 ①据“借”练一 画法一先画出图形A关于对称轴a的对称图形B:再画出图形A和图形B A.可以通过平移得到 B.可以通过旋转得到 的组合图形关于对称轴b的对称图形D和图形C。至少要画两次。 C.可以通过轴对称得到 画法二先画出图形A关于对称轴b的对称图形D;再画出图形A和图形D D.可以通过旋转和轴对称得到 的组合图形关于对称轴a的对称图形B和图形C。至少要画两次。 3.将下图通过平移、旋转、轴对称，设计一幅自己喜欢的图案。①概据“学方法”炼一， 正确解答 至少要画两次。 任务(3)做易错 ©易错点：误认为设计图案的方法是唯一的 国提示：设计图案的方法一般是不唯一的 要综合考唐平移，旋转与轴对称 4.借助旋转或平移，将下图涂色部分转化为你会算周长的图形，并求出它的周长。 判断：图形 只能通过轴对称的方法得到。 () ①根据“例愿”练一体 易错解读 本题易因考虑问题不全面而误画“√”。实际上，题中所给图形不仅可以 通过轴对特得到，还可以适过其他的方法得到，如特一个基本因形（回） 绕右下角的黑点经过3次顺（或逆）时针旋转90°得到。所以本题的正确答 -8 cm 案是×。 (对照年参考答案：P3) 中小学AI教辅|29 Q新学想对圆学数学六年级下册S 第三单元 核心知识梳理 易错点1：未掌握旋转的特征 判断：图形在旋转时，方向、位置、大小都发生了变化。 知识点 错解：V 正解：X 此题错在设有掌握图形旋转的特征，无论图形 1.图形的旋转 样旋转，大小都不会发生变化。 (1)物体绕着某一个固定点（或某一条固定轴）运动的现象叫作旋转，这 个固定的点就是旋转中心，旋转中心在旋转的过程中不动。 易错点2：找错旋转后的对应点 (2)旋转的三要素：①旋转中心，即国绕哪一个，点旋转；②旋转方向，即 画出三角形ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形。 顺时针方向还是逆时针方向；③旋转角度，即旋转了多少度。 (3)旋转的特征：位置改变，形状和大小不变。 (4)旋转的应用：线段绕一个端，点旋转90°；简单图形绕某一点旋转 90°。 错解： 正解： 易 2.图形的运动 心 在方格纸上画图形旋转和平移组合运动后的图形，一要厘清运动过程，二要 示 桥在没有找准旋转后点B的对应款 知 关注平移或旋转时的关键点。旋转时应明确旋转中心、旋转方向与旋转角度， 识 确定旋转前后相对应的线段与，点的位置；平移时应确定好平移的方向与平移 易错点3：混淆了轴对称和旋转的意义 的距离（或格数），找准对应点再连线。 将组合图形绕点0顺时针旋转180°，画出旋转后的图形。 3.欣赏与设计 (1)综合运用平移、旋转和轴对称设计图案的基本步骤：①选好基本图形： 错解： 正解 ②确定合适的变换方式，明确平移的方向与距离，旋转的中心、方向 与角度，对称轴的位置；③画出变换后的图案。 (2)用平移的方法设计图案，关键是要数准格子数；用旋转的方法设计图 案关健是要确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；利用轴对称的方法 设计图案，关键是要选好对称轴。 情在混清了袖对称和旋转的意义，错误地认为旋转180就是作原 因形的轴对称图形，略了旋转中心发旋转后参边位置的支化 30I中小学AI教辅○新学期对照学数学六年级下册BS 5.5×9÷15=3 第3课时 比例尺 5×15÷9=25 9×15÷5=27 1.C 27>25>3 2.2 3 3.200m=20000cm120m=12000cm 这个数可能是3,25 27,其中，最 50:20000=1:400 大是27，最小是3。 30:12000=1:400 第2课时 比例的应用 选择的比例尺应小于1：400。 1.（1)630 4.3÷ 1 400000 1600000 (2)8345 1600000(cm) 2.解：设这座模型塔高约xm。 1600000cm=16km 1:10=x:330 第4课时 图形的放大和缩小 x=33 3.解：设线上商城的眼部按摩仪的价格 1.C 是7x元，则香薰机的价格是4x元。 2.181264 (7x+50):(4x+50)=3:2 3.(1)F21 3×(4x+50)=2×(7x+50) (2)D12 x=25 (3)E12 7×25=175(元)4×25=100（元） 4.6×4÷3=8(cm) 4.解：设需要加水xmL。 12×4÷3=16(cm) 1500:x=3:1 9×4÷3=12(cm) x=500 (8+16)×12÷2=144（cm2) 三 图形的运动 第1课时 图形的旋转（一） 2. 1.(1)4 (2)3 B (3)顺（或逆)180 D -2- 对照学参考答案 3.C 2.将卡片①向下平移3格；将卡片②向 4.画图略。 左平移3格；将卡片③向右平移3格； 第2课时 图形的旋转（二） 将卡片④向上平移3格。（答案不唯一) 1.（1)画图略。 3. ② ③ ④ (2)90 ⑥ ① ⑨ (3)顺（或逆)180 ⑤ ⑦ ⑧ 2 第4课时 欣赏与设计 B 1.D 2.A 3.合理即可。 3 4.如图，将弧线①绕点A逆时针旋转 90°得到弧线③，将弧线②绕点B顺 时针旋转90°得到弧线④。 B 3 0 第3课时 图形的运动 1.(1)54 8 cm (2)90下2 3.14×8=25.12(cm) 四 正比例与反比例 第1课时 变化的量 2.(1)3.60.6 1.（1)时间速度 (2)06612 (2)6000 减少诚小 (3)12 (3)15 第2课时 正比例 (4)120 1.(1)下载时间下载量下载量 -3-