山东青岛超银高级中学2025-2026学年高三下学期四月月考数学试题

高三四月月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A＝{x|8＜2x＜500}，B＝{1，3，5，8，10}，则A∩B＝（　　） A．{3，5，8} B．{5，8} C．{8，10} D．{1，3，5} 2．已知复数z＝2+i，则（　　） A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i 3．函数的最小正周期为（　　） A．2π B．π C． D． 4．若双曲线的一条渐近线为x﹣4y＝0，则实数m＝（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 5．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度v（单位：m/s）、燃料的质量m（单位：kg）与该飞行器（除燃料外）的质量M（单位：kg）满足关系式v+3600lnM＝3600ln（M+m）．已知飞行马赫数是飞行器的最大速度与所处环境下音速的比值，当燃料的质量为a时，最大速度所对应的飞行马赫数为6，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为10，则该飞行器所处环境的音速为（　　） A．450m/s B．420m/s C．900m/s D．480m/s 6．设x、y都是正数，则（x+y）（）的最小值是（　　） A．12 B．16 C．26 D．36 7．等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等．已知一个长方体的体积为12，则用长方体其中的四个顶点构成的等腰四面体的体积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 8．当一个非空数集G满足：如果a，b∈G，那么a+b，a﹣b，ab∈G且时，我们称G就是一个数域．有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则2024∈G；③集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个数域；④有理数集是一个数域．其中正确的说法是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．对于随机事件A，B，若P（A），P（A|B），P（B|A），则（　　） A． B． C． D． 10．如图，正三棱台ABC﹣A1B1C1的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点Q在线段B1C1上，点P在侧面BCC1B1内运动（包含边界），且AP与平面BCC1B1所成角的正切值为，则（　　） A．当Q为线段B1C1上的中点时，AQ⊥平面BCC1B1 B．点P的轨迹长度为 C．|CP|的最小值为 D．存在点P，Q，使得AP∥A1Q 11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R，有f（2﹣x）＝f（2+x），当x∈[0，2]时，f（x）＝x3﹣3x，则（　　） A．f（x）是以4为周期的周期函数 B．点（4，0）是函数f（x）的一个对称中心 C．f（2025）+f（2026）＝0 D．函数y＝f（x）﹣|log2（x+2）|有3个零点 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则在方向上的投影是 　 　 ． 13．已知抛物线C：y＝2x﹣x2，直线y＝t（t＞0）与C交于A，B两点，则以OA，OB为邻边的平行四边形面积的最大值为　 　 ． 14．给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有　 　 种（结果用数值表示）． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知函数． （1）讨论f（x）的单调区间； （2）若f（x）在（0，1]上的最小值为1，求a的值． 16．（15分）若f（x）的定义域为D，数列{an}，{bn}满足f（an）＝kf（bn）（k≠0），则称（an，bn）为f（x）的“k倍点列”． （1）若为f（x）的“2倍点列”，求{bn}的前n项和Sn； （2）若为f（x）的“1倍点列”且an≠bn，求证：an+bn为定值； （3）若，判断是否存在k，使得（an，bn）为f（x）＝x+1的“lnk倍点列”，并证明你的结论． 17．（15分）已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上一点，∠F1PF2＝60°，且△PF1F2的面积为． （1）求C的方程． （2）过F1的直线l与C交于A，B两点，与直线x＝﹣3交于点D，设，，证明：λ1+λ2为定值． 18．（17分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱长均为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°． （1）证明：AC1⊥BD； （2）求二面角A﹣BD﹣A1的余弦值； （3）求直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值． 19．（17分）杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束．规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物．假设平地记为第0步台阶，记队员到达第n步台阶的概率为Pn（0≤n≤8），记P0＝1． （1）投掷4次后，队员站在的台阶数为第X阶，求X的分布列； （2）（i）求证：数列{Pn﹣Pn﹣1}（1≤n≤7）是等比数列； （ii）求队员赢得吉祥物的概率． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B C A B B A 二．多选题 题号 9 10 11 答案 BCD ABD BCD 三．填空题 12．±4.8． 13．． 14．21． 四．解答题 15．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），． 当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）； 当a＞0时，令f'（x）＝0，解得， 当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0， 所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增． 综上，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间； 当a＞0时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）当a≤0时，f（x）在（0，1]上单调递减，所以，解得a＝﹣1或a＝1（舍去），故a＝﹣1． 当0＜a≤2时，f（x）在（0，1]上单调递减，所以，解得a＝1或a＝﹣1（舍去），故a＝1． 当a＞2时，f（x）在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为a＞2，所以，故，不符合题意． 综上，a＝±1． 16．解：（1）若f（x）的定义域为D，数列{an}，{bn}满足f（an）＝kf（bn）（k≠0），则称（an，bn）为f（x）的“k倍点列”， 若为f（x）的“2倍点列”， 则f（an）＝2f（bn），即4ln|2n﹣5|＝4lnbn， 所以 所以S1＝3，S2＝3+1＝4， 当n≥3时，Sn＝4+b3+b4+⋯+bn， 显然S2＝4满足， 综上，{bn}的前n项和； 证明：（2）若为f（x）的“1倍点列”且an≠bn， 因为， 所以f′（x）＝ex+π﹣e﹣x﹣π+sinx， 设g（x）＝f′（x），则g′（x）＝ex+π+e﹣x﹣π+cosx≥2﹣1＝1＞0，当且仅当ex+π＝e﹣x﹣π，即x＝﹣π时等号成立， 所以f′（x）单调递增，且f′（﹣π）＝0， 所以x∈（﹣∞，﹣π），f′（x）＜0，x∈（﹣π，+∞），f′（x）＞0， 所以f（x）在（﹣∞，﹣π）上单调递减，在（﹣π，+∞）上单调递增， 因为（an，bn）为f（x）的“1倍点列”，则f（an）＝f（bn）， 不妨设an＜bn，f（an）＝f（bn）＝t， f（﹣2π﹣x）＝e﹣x﹣π+ex+π+1﹣cos（﹣2π﹣x）＝ex+π+e﹣x﹣π+1﹣cosx＝f（x）， 所以f（x）的图象关于直线x＝﹣π对称，当t＞f（﹣π）时，f（x）＝t有2个不同实根， 所以an+bn＝﹣2π，则an+bn为定值； 解：（3）不存在k，使得（an，bn）为f（x）＝x+1的“lnk倍点列”， 由题意可得，即（2k﹣1）lnk﹣k+1＝0，k＞0且k≠1， 设g（x）＝（2x﹣1）lnx﹣x+1，则， g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（1）＝0， 所以x∈（0，1）时，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0， 所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 因为g（1）＝0，所以x＞0且x≠1时g（x）＞0， 所以不存在k，使得（2k﹣1）lnk﹣k+1＝0， 即不存在k，使得（an，bn）为f（x）＝x+1的“lnk倍点列”． 17．解：（1）F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点P是C上一点，∠F1PF2＝60°，且△PF1F2的面积为．如图， 设椭圆C的焦距为2c，则， 解得， ∴椭圆C的标准方程为． （2）证明：过F1的直线l与C交于A，B两点，与直线x＝﹣3交于点D，设，， 可得F1（﹣1，0），直线l的斜率存在． 设直线l的方程为y＝k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2≠﹣1）， 联立直线与椭圆方程，消去y可得（4k2+3）x2+8k2x+（4k2﹣12）＝0， 由韦达定理可得：． 由，得D（﹣3，﹣2k）． ，， 可得， ∴，即， ∴ ， 即λ1+λ2为定值，定值为． 18．解：（1）证明：如图连接AC，与BD相交于点E， 则AC⊥BD，且点E为BD的中点， 由题设得A1D＝A1B，连接A1E，则A1E⊥BD， 因为A1E∩AC＝E，所以BD⊥平面A1AC， 因为AC1⊂平面A1AC，所以BD⊥AC1， 即AC1⊥BD． （2）由（1）知∠A1EA为二面角A﹣BD﹣A1的平面角， 因为AA1＝AB＝AD＝2，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°， 得A1D＝A1B＝BD＝2，则， 则， （3）由， ， 得， 则AC1⊥A1E， 由（1）知AC1⊥BD，则AC1⊥平面A1BD， 如图，设AC1与A1E相交于点H，连接BH，则∠C1BH即为所求线面角， 易知H为正ΔA1BD的外心，亦为其重心， 则，又， 则，． 19．（1）解：由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为， 所以随机变量X可能取值为4，5，6，7，8， ，， P（X＝6）， P（X＝7）， ， X 4 5 6 7 8 P （2）（i）证明：n＝1，即爬一步台阶，是第1次掷骰子，向上点数不是3的倍数概率， 则， 到达第n步台阶有两种情况：①前一轮爬到第n﹣2步台阶，又掷骰子是3的倍数得爬两步台阶，其概率为 ； ②前一轮爬到第n﹣1步台阶，又掷骰子不是3的倍数爬一步台阶，其概率为， 所以 ， 所以， 所以数列 {pn﹣pn﹣1}（n＝1，2，⋯，7）是首项为，公比为 的等比数列． （ⅱ）因为数列{pn﹣pn﹣1}是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以 ，…， 各式相加．得：， 所以， 所以活动参与者得到纪念品的概率为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/19 21:34:42；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $