6 整理与复习 2.图形与几何-【新学期笔记对照学】2025-2026学年六年级下册数学（人教版）

○新学期对照学数学六年级下册RJ 图形与几何 第1课时【 图形的认识与测量（1) 对应教材P85~P86 课前·预习例题 T我们学过哪些平面图形和立体图形？你能对学过的图形进行分类吗？ 我这样分类，图形 我还可以再细分，三角 可以分成平面图形 形按角可以分成… 和立体图形，平面 图形可以分成… 三角形 〔平面 长方形（正方形） 锐角三角形 钝角三角形 图形 平行四边形梯形 圆扇形 图形 直角三角形 长方体（正方体） 立 圆柱圆锥 等腰三角形（等边三角形） 图形球 按边分 1不等腰三角形 2 先独立思考下面的问题，再在小组内交流。 (1)直线、射线和线段有什么联系和区别？同一平面内的两条直线有哪几种位置关系？ 线段有2个端点，可以度量长度。射线有1个端点，可以向一端无限延伸，无限长， 不可度量长度。直线没有端点，可以句两端无限延伸，无限长，不可度量长度。 相交（垂直、不垂直）、平行。 (2)我们学过哪些角？在放大镜下看角，它的角度大小会变化吗？ 锐角直角钝角。 大小不变。 (3)关于三角形，你知道些什么？ 三角形具有稳定性，内角和是180°，两边之和大于第三边。 三角形有三个顶点、三个内角、三条边、三条高。 (4)关于平行四边形，你知道些什么？内角和是360°。 (5)圆与三角形、四边形有什么不同？ 圆是曲线封闭图形，有一个圆心，无数条半径且都相等，无数条直径且都相等，是 2,d=2r. 轴对称图形。同圆或等圆中，，- 64|中小学A教辅引领者 3 举例说明什么是周长 和面积。 周长：封闭图形一周的长度。 常见单位：毫米、厘米、分米、米、千米。 面积：物体表面或封闭图形所占平面的大小。 常见单位：平方厘米、平方分米、平方米、公顷、平方千米。 写出下面各图形的周长和面积计算公式（用字母表示）。 数方格法 C=4a S=a2 2 数方格法 割补一平 h 平移、旋转推导 移一转化 0 1 b :h C=2(a+b) S= ah a S= ab h. 平移、旋转推导 转化为长方形 S=- (a+b)h C=2Tr=nd S=r 这些计算公式是怎样推导出来 的？它们之间有什么联系？ 转化，化未知为已知，通过等 积变形思想推导。 2课堂·任务学习 任务 理知识 1.线段、射线、直线 线段有2个端点，可以度量长度。射线有1个端点，可以向一端无限延伸，不可度量 长度。直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量长度。 2.三角形、四边形、圆 三角形：具有稳定性，内角和为180°。 四边形：内角和为360°，长方形、正方形、平行四边形、梯形都是四边形。 圆：有无数条半径，所有的半径都相等。在同圆或等圆中，直径长度是半径的2倍。 3.周长和面积 名称 长方形 正方形 平行四边形 三角形 梯形 圆 周长 C=2(a+b C=4a C=πd 面积 S=ab S=a2 S=ah S=- (a+b)h S=Tr2 任务 2 学方法 O用间接法求不规则图形的面积 如图，大正方形的边长是5cm,小正方形的边长是3cm,求涂色部分的面积。 思路分析 观察图形可知，涂色部分的面积等于两个正方形的面积减去两个空白三角 形的面积，利用正方形和三角形的面积计算公式即可求解。 正确解答两个正方形的面积和：5×5+3×3=34(cm2) 两个空白三角形的面积和：？×(5×5)+号×3×(3+5)=245(m) 涂色部分的面积：34-24.5=9.5（cm2) 3课后·对照练习 1.填一填。 (1) 左图中有()条直线，()条射线和 ( )条线段。 (2)在正方形、等边三角形、等腰梯形和圆中，对称轴最多的是()， 对称轴最少的是()。 (3)一个长方形模型，变形后成了一个平行四边形（如 图)，原来这个长方形的面积是( )cm2,变 5 cm 形后的平行四边形的周长是( )cmo 8cm (4)把周长是18.84cm的圆片剪成同样大小的两个半圆形，每个半圆形的周 长是( ）cm。 2.求涂色部分的面积。（单位：cm)①根据“学方法”练一练 (1) （2) 45 3.小明用大小一样的两张正方形纸设计了以下两个图案（涂色部分)，这两个图案 的面积一样大吗？为什么？（结果可用π表示）①根据“学方法”练一练 图1 图2 4.一块直角梯形麦地，上底长600m,若将上底延长200m就得到一个正方形。如果 每公顷收小麦6000kg,这块地可以收小麦多少吨？ (对照学参考答案：P7~P8) 中小学AI教辅引领者丨65 ○新学期对照学数学六年级下册RJ 第2课时图形的认识与测量(2) 对应教材P87 课前·预习例题 4 先独立思考下面的问题，再在小组内交流。 h.i -E (1)上面这些立体图形各有什么特点？长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个 顶点，长方体相对的面完全相同，正方体6个面完全相同；圆柱有两底面和一 侧面（曲面），无数条高；圆雏有一底面和一侧面（曲面）。 (2)长方体与正方体有什么相同点和不同点？相同点：都有6个面，12条棱，8个顶点。 不同点：长方体相对的面的大小、形状完全相同；正方体6个面都是完全相同 的正方形。长方体平行的4条棱长度相等；正方体12条棱长度都相等。 (3)圆柱与圆锥可以各由什么平面图形旋转而成？ 长方形或正方形→圆柱 直角三角形→圆维 (4)圆柱与圆锥之间有什么关系？等底等高的圆维的体积是圆柱的体积的 3。 ⑤把下表填写完整。 立体图形 表面积计算公式 体积计算公式 方法：拼摆后计数 这些计算公式是怎样 S=2 (ah+bh+ab) V=abh 推导出来的？它们之 a 间有什么联系？ 方法：拼摆后计数 S=6a2 V-a' V=Sh 方法：转化为长方体 h S=2Tr+2Trh V=nr'h 联系：长方体、正 方体、圆柱、圆维 方法：测量法 的体积都可以用底 V-1arh V-号Sh 面积×高表示（圆 3 维要乘3)。 66|中小学AI教辅引领者 2 课堂·任务学习 任务 1 理知识 1.立体图形 特征 表面积 体积 长方体 6个面，12条棱，8个顶点。 S=2 (ab+ah+bh) V=abh 正方体 6个面，12条棱，8个顶点。 S=6a2 V=a 底面是两个相等的圆，有无 圆柱 S=2π2+2πrh V=π2h 数条高。 圆锥 底面是圆，有1条高。 V=号mh 2.观察物体 从不同位置观察一个立体图形，所看到的形状一般是不同的。观察一个长方体或正 方体，一次最多能观察到3个面。 3.求不规则物体的体积（或容积） 排水法：将不规则物体完全浸入水中且水无溢出，测量水面上升的高度。上升部分 的水的体积就是不规则物体的体积。 转化法：把不规则物体转化为规则物体。 任务 2 学方法 。运用平移法求拼组图形的表面积 求如图所示的立体图形的表面积和体积。（单位：cm) ©总结：组合图形的表面积等于组合图形所有面的面积和 6 组合图形的体积等于组合前所有图形的体积和。 6 思路分析观察图形可知，这个立体图形由两部分构成，上面是一个圆柱，下面是 一个正方体。圆柱的上底面可以平移到下底面，则该立体图形的表面积 等于圆柱的侧面积加上正方体的表面积，体积等于圆柱的体积加上正方 体的体积。 正确解答 表面积：6×6×6+3.14×6×5=310.2（cm2) 体积：6×6×6+3.14×(6÷2)2×5=357.3（cm3) 。运用排水法求不规则物体的体积 有一个长方体水箱，长30cm,宽20cm,里面盛有20cm深的水。把一个石块完全 浸入水中后，水面上升了2c,求这个石块的体积。 思路分析 根据题意可知，石块的体积与完全浸入水中后上升部分的水的体积相等。 上升部分的水可以看作一个长方体，长和宽分别为30cm和20cm,高为 2cm,据此即可解答。 正确解答 30×20×2=1200(cm3) 答：这个石块的体积为1200cm3。 ©总结：解决此类问题的关键是理解上升部分的水的体积就是物体的体积。 注意物体应完全浸入水中。 任务 3 做易错 ⊙易错点：观察物体时，不能准确算出小正方体的个数 一个立体图形，从上面看到的图形是 ，从前面看到的图形是 。搭成这样的立 体图形至少需要()个小正方体，最多需要（)个小正方体。 易错解读根据题意可知，这个立体图形有2层，最下面一层有4个小正方体，最上面 一层最少有1个小正方体且靠左边，最多有2个小正方体且靠左边。因此， 最少需要1+4=5（个）小正方体，最多需要2+4=6（个）小正方体。所 以本题的正确答案为5,6。 3课后·对照练习 1.填空。 (1)右图中的长方体是由()个完全相同的小正方体搭成的， 将这个长方体的表面涂上红色，其中三个面被涂成红色的小正 方体有( ）个。①根据“学方法”练一练 (2)如图，过圆柱的底面直径把圆柱切割成两个相同的半圆柱（底面 直径是8cm,高是10cm),截面是一个（)形，截面的面 积是( ）cm2。 (3)一个由若干个同样的正方体拼成的几何体，从上面看到的图形是 从右面看到的图形是 这个几何体至少由（ ）个正方体拼成， 最多由(）个正方体拼成。①根据“做易错”练一练 2.计算下面图形的体积。①根据“学方法”练一练 12 cm 8cm 20 cm 3.一个底面半径是6cm的圆柱形玻璃容器里装有一部分水，水中浸没着一个高 9cm的圆锥形铅锤，把铅锤从水中取出后，水面下降了0.5cm。这个圆锥形铅锤 的底面积是多少平方厘米？①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P8) 中小学A教辅引领者|67 ○新学期对照学数学六年级下册RJ 第3课时图形的运动 对应教材P91 、1 课前·预习例题 之平移、旋转、轴对称、图形的放大与缩小。 我们学过哪些关于图形运动的知识？哪些运动不改变图形的形状和大小？哪些运动 只改变图形的大小，而不改变图形的形状？ 平移、旋转和轴 图形的放大和缩小 对称不改变图形 只改变图形的大小。 的形状和大小。 ②利用图形的运动设计图案。 平移： 这是我剪 ①两要素：方句和距离。 出的图案。 这是利用旋转 ②特征：形状、大小都 不改变，只是位置发 设计的图案。 生变化。 ③平移格数：看关键点 平移的格数。 我们可以按2：1将这 个图形放大，再利用 平移做板报的花边。 旋转： ①三要素：旋转中心、旋转方句和旋转角度。 ②特征：不改变形状和大小，只改变方句和位置。 68|中小学AI教辅引领者 课堂·任务学习 任务 理知识 1.轴对称图形与轴对称 (1)轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，图形两边能完全重合，这个图 形就叫作轴对称图形，折痕所在的这条直线叫作对称轴。 (2)对称轴条数：长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰三角形有1条 对称轴，等边三角形有3条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，圆有无数条对称轴。 2.平移与旋转 (1)平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。 (2)旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点或一条直线沿某个方向转动一个角度。 平移和旋转不改变图形的形状和大小。旋转会改变图形的方向，平移不改变图形的 方向。 3.图形的放大与缩小 把一个图形的各边按一定的比进行放大或缩小，可以得到该图形的放大图或缩小图。 任务 2 学方法 O运用等距离法补全轴对称图形 画出下面轴对称图形的另一半。虚线为对称轴。 ©总结：根据“对称点到对 称轴的距离相等”，画出 轴对称图形的另一半。 思路分析 根据轴对称图形的特点可知，对称，点到对称轴的距离相等，找出图形上每 条线段的端点，确定每一个端点的对称点，依次连接这些对称点，就可得 到轴对称图形的另一半。 正确解答 。运用占格法画放大或缩小后的图形 画出图中的三角形A按2：1放大后的图形。 A 思路分析先数出原三角形的底边和高分别占几格，再根据比例关系算出放大后的三 角形的底边和高占的格数，然后按照原图形的形状画图。 正确解答 A 任务 3 做易错 ⊙易错点：混淆平移的格数与图形之间的格数 画出图中三角形向右平移5格后的图形。 易错解读 本题易错在把新旧图形之间的格数画成平移的格数，也就是新图形和原图 形之间画成了5个格的间距。实际上图形平移的格数指的是图上所有的，点 都按照相同的方式平移的距离。每一个点和平移后的对应点之间的距离都 等于平移的格数。正确的图形如下： 3课后·对照练习 1.按要求在下面方格纸中作图。①根据“学方法”练一练 (1)图形①是一个轴对称图形的一半，请画出另一半。 (2)画出图形②绕点C按顺时针方向旋转90°后的图形。 (3)画出图形③向下平移5格后的图形。 (4)把图形③按2：1放大，画出得到的图形④。放大后的图形的周长是原 来的( )倍，放大后的图形的面积是原来的（)倍。 ① ② 2.观察下图，图形①、②分别是怎么变换成图形③、④的？①根据“做易错”练一练 (1)图形①先向( )平移( )格，再向( )平移()格， 最后绕左下顶点（ )时针旋转（)。得到图形③。 (2)图形②先绕上顶点( )时针旋转( )°，再向( )平移( 格得到图形④。 ③ ① ④ ② (对照学参考答案：P8)】 中小学AI教辅引领者|69 Q新学期对照学数学六年级下册RJ 第4课时图形的位置 对应教材P93 课前·预习例题一到 小明家所在街区的平面图如下。 ①用数对表示位置，竖排叫列，横排叫行， 北 确定第几列一般从左往右数，确定第几 州 行一般从下往上数。 ②用数对表示位置，先写列，再写行，中 公园 间用逗号隔开。（列数，行数） 银行 ③地图上八个方句，如图： 北 小明家 西北 东北 邮局 医院 ,个45° 超市 西 东 学校 比例尺1：20000 西南 东南 南 如果以学校为中心， 你能用什么方法来确定其他地方的位置？ 我用方格纸上的 我用方向和距离来 数对来确定位置。 确定位置。邮局在 小明家的位置是 学校东偏北45°约 点（2,2)。 280m的位置。 6 北 公园 公园 银行 银行 小明家 少明家 邮局 医院 邮局 医院 超市 超市 0授1 2 3 4 5 6 学校 0 200m 确定位置的方法： ①用数对确定位置；②用方句和距离确定位置。 70|中小学AI教辅引领者 2 课堂·任务学习 任务 1 理知识 1.用方向和距离确定物体的位置 (1)确定物体位置的三要素：观测点、方向和距离。 (2)具体方法：①确定观测点，画出以观测点为中心的正北、正南、正西和正东四 个方向的射线；②把观测点和观测目标连起来，与南北（东西）方向形成一个角， 测量出该角的度数；③测量出观测点与观测目标之间的图上距离，根据比例尺 与图上距离求出实际距离。④根据方向和距离描述平面内物体的位置。 2.描述简单的路线图 (1)描述路线图：①确定路线图的方向；②求出实际距离；③弄清图中从哪儿出发， 按什么方向走，走多远，到哪儿。 (2)画路线图：①确定方向；②确定比例尺；③求出图上距离；④以某个地点为起点， 根据方向和图上距离确定下一个地点的位置，再以下一个地点为起点继续画。 任务 2 学方法 ⊙用方向和距离描述简单的路线图 如图是某路公交车的行车路线图。请你说一说从起点体育馆到终点火车站的行车路线。 火车站 公园 少年宫 北 40° 1 km 55°0.7km 0.8km0.9km 1km 0.8km 50a1.1km 邮局 医院超市 广场 体育馆 思路分析 描述路线时，首先确定距离和方向，然后注意行驶过程中观测点的变化。 正确解答】 从体育馆出发向北偏西50°（或西偏北40°）方向行1.1km到达少年宫， 再从少年宫向正西行0.7km到达公园，再向南偏西55°（或西偏南35°） 方向行0.8km到达广场，然后向正西行2.7km到达邮局，最后向北偏西 40°（或西偏北50°）方向行1km到达火车站。 ©总结：描述路线图时首先要找准方句标，并根据方句标辨认其他方句，每走 到一个地点都要以当前地点为观测点来确定下一地点的方句。不仅要认清方 句，还要说清每段路的长度。方句和距离确定，即可准确地描述出路线图。 ©用方向和距离确定物体的位置 如图，书店在学校正东方向100m处，凤凰苑在学校南偏东25°方向100m处，游泳 馆在书店北偏东60°方向300m处。在图中标出它们的位置，并标明比例尺。 北 学校 书店 思路分析 先根据给出的书店与学校的位置测量出图上距离，再求出这幅图的比例尺。 然后根据比例尺算出凤凰苑与学校的图上距离和游泳馆与书店的图上距离， 最后用量角器量出角度，画出射线，用直尺量出距离，标上位置。 正确解答 游泳馆 北 ©总结：用方句和距离能够准确 地表示出场所的位置。在描述 学校 ,60°y 场所的位置时，第一要找准方 书店 句，第二要准确测量出偏离的 25 角度，第三要利用比例尺准确 凤凰苑 比例尺1：10000 地计算出图上距离。 任务 5 做易错 ⊙易错点：用数对描述物体的位置时考虑不全面 在如图所示的方格纸中画出一个等腰直角三角形，其中两个锐角的顶点分别在(5,7) 和(1,3)的位置上。请你画出这个直角三角形，并写出直角顶点的位置。 8 ©总结：此题考查了用 6 数对表示位置的方法。 5 解题时要注意符合要 4 求的三角形的顶点的 3 2 位置有两种可能。 0 1234567891011121314 8 易错解读 本题只给出了直角三角形两个锐角顶 1 点的位置，还不能确定三角形的位 6 5 置，所以直角顶，点的位置可能有多 4 种情况。本题有两个答案，容易出 3 现遗漏其中一个位置的情况，直角 顶点的位置为(5,3)或(1,7)， 0 1234567891011121314 画图如右： 3课后·对照练习 1.填空。①根据“例题”练一练 (1)一架朝北偏东30°方向飞行的飞机，接到塔台发出的指令：“前方有不 明飞行物，请立即返航。”返航时飞机应该朝( )偏( )( 方向飞行。 (2)周末妈妈带着晓东去看电影，晓东的电影票上的座位是6排8座，记作 (8,6),妈妈的座位在晓东的旁边，妈妈的座位用数对表示可能是( ), 也可能是( )。 2.填一填，画一画。 良书店 北 (1)书店在学校( )偏( )( )°方向， 距离学校(）m。 西←30°8 学授一东(2)电影院在学校东偏北45°方向，距离学校 500m。在图中标出电影院的位置。 (3)学校在体育馆北偏东30°方向，则体育馆在 200m 学校()偏()( )。方向。 3.根据下图描述华华上学和放学的路线。①根据“学方法”练一练 北 广播站 450p 学校 45 养鱼塘 200m 华华家 4.星期日，爸爸带小明去动物园玩，下面是他们游玩的路线：从大门进去后，先 向东走200m到猴山，然后向北偏东50°方向走400m到大象馆，接着向东 走200到虎山。先确定合适的比例尺，再画出他们的行走路线图。 ①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P8)】 中小学AI教辅引领者|71对照学参考答案 3.196××=25 12×8=96(m2) 第3课时式与方程 2 5.4÷ 2+3-1+2 =60(名) 1.25a+21 图形与几何 2.买8个篮球的钱数 第1课时 图形的认识与测 买8个篮球和6个足球的总钱数 量(1) 3.x=035t=475=8 1.（1)186 4.解：设她买了x枚2元的邮票，则 (2)圆 等腰梯形 8角的邮票有（32-x)枚。 (3)4026 2x+0.8(32-x)=35.2x=8 (4)15.42 5.解：设飞机最多飞出xkm就需要 2.(1)(3+4)×（3+4)÷2-4×4÷ 返回。 2-子×3.14×32=9.435(cm2) 20+g0=6x=3200 (2)4×4÷2÷2=4(cm2) 第4课时比和比例 3.解：设正方形的边长为4a。 11:2分 第一个涂色部分的面积： ×4a×4a 2.C ×2=8πa2-16a2 3.解：设旗杆高xm。 第二个涂色部分的面积： 3.3-x 2.1=8.4 (7×元x2ax2a- 1 -×4a×2a x=13.2 ×4=8ma2-16a2 所以两个图案的面积一样大。 4.3÷0=120(em)=l2(m） 4.(600+600+200)×（600+200)÷ 2÷400=800(cm）=8(m) 2=560000(m2)=56（公顷) -7 Q新学期对照学数学六年级下册RJ 56×6000=336000(kg)=336(t) (3)南西30（或西南 第2课时 图形的认识与测 60) 量（2) 3.上学路线：华华从家出发，先沿着 1.(1)128(2)长方80 正东方向走400m到达养鱼塘，再沿 (3)57 东偏北45°（或北偏东45°）走600m 到达广播站，最后沿着正东方向走 2.3.14×(20÷2)2×(8+12)-1× 3 3.14×(20÷2)2×12=5024(cm3) 800m到达学校。 3.3.14×62×0.5×3÷9=18.84(cm2) 放学路线：华华从学校出发，先沿 第3课时 图形的运动 着正西方向走800m到达广播站， 再沿西偏南45°（或南偏西45°)走 1.(1)略(2)略（3)略 600m到达养鱼塘，最后沿着正西方 (4)（画图略)24 向走400m到家。 2.(1)右17上3（或上3 右 4.略 17)逆90（或顺270) （2)顺（或逆)180右10 统计与概率 第4课时 图形的位置 1.(1)600 (2)(画图略)240 1.(1)南西30（或西南60） (3)略 (2)(7,6) （9,6) 2.（1)大于（2)偶数 2.(1)西北30（或北西60) 3.A=23×5-24×4=19 600 E=23×5-21×4=31 （2)略 D>C>B>A,所以C最小为22。 当C=22时，B=20,D=23符合题意 -8-