3.1二次根式的概念及性质 教学设计 -2025-2026学年八年级数学上册（ 湘教版）

2026年祁阳市优质教学资源评选活动 ---八年级上册第三单元第一课《二次根式的概念及性质》教学设计 课程基本信息 主备人 李载蓓 课型 新授课 学科 数学 年级 八年级 学段 初中 版本章节 新湘教版 教学目标 1.数学抽象：从实际问题中抽象出二次根式模型，理解二次根式的定义。 2.逻辑推理：通过观察、归纳得出二次根式的双重非负性与基本性质。 3.数学运算：会判断二次根式，会求有意义的条件，会运用性质化简计算。 4. 模型观念：建立 “实际问题→二次根式→运算应用” 的数学模型。 5. 应用意识：能用二次根式解决简单几何与生活问题，体会数学价值。 教学重难点 重点：二次根式的概念、双重非负性及两条基本性质。 难点：理解被开方数非负的意义；正确区分 与并运用。 学情分析 学生已学习算术平方根、平方根、实数等知识，具备基础符号意识。八年级学生善于观察归纳，但对 “非负性” 理解不深，对根式性质易混淆，需通过实例、辨析、对比强化理解。 教学准备 多媒体课件、学习任务单、课堂练习单、板书用具 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 情境导入 1.已知正方形茶几的面积为3m2，则它的边长是 米. 2.学校要新建一个面积为 7π m2的圆形花坛，那这个圆形花坛的半径是 米. 3.物体自由下落满足关系式h=5t2（h表示下落高度，单位m；t表示下落时间，单位s），果实从18m高的树上掉落，设下落时间为t s，可列方程：18=5t2，则t= 秒 4展示“火箭发射”视频：用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道 .第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v2 =gR，其中g为重力加速度. 若已知地球的半径R，则第一宇宙速度v是多少？ 引导学生观察这些式子的共同特征，引出本节课的主题——二次根式的概念及性质。 学生思考并回答 1. 从生活、科技、几何情境引入，贴近实际，激发学习兴趣。2. 自然抽象出二次根式模型，体会数学来源于生活。3. 培养数学抽象素养，为概念生成做铺垫。 探究新知 1. 二次根式的概念 观察上述式，你能发现它们的共同特征吗？ 教师归纳：①它们都表示一些数的算术平方根 ②都含有“” ③根号下的数都是非负数 思考：结合以上特点，你能总结出二次根式的定义吗？ 【归纳总结】 一般地，形如（）的式子叫作二次根式，“”称为二次根号，根号下的数叫作被开方数。 二次根式的特征： (1)必须含有二次根号“ ”,“”的根指数为2，即“ 2 ”，我们一般省略根指数2，写作“”. (2)中的a可以是一个数，也可以是一个式子. 例1：判断下列各式是否为二次根式？ (1) (2)6 (3) (4)（） (5)（异号） (6) (7) 解：二次根式：(1)(4)(6) 不是二次根式：(2)(3)(5)(7) 强调二次根式的两个条件：形式上满足的形式；被开方数非负。 思考：请你从计算结果和被开方数，说一说对二次根式的认识? 【归纳总结】 二次根式有意义的条件：被开方数a≥0 例2：当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？ 解：由x−1≥0,得x≥1。 当x≥1时，二次根式在实数范围内有意义 变式训练：当x是怎样的实数时， 下列各式在实数范围内有意义？ 解：（1）x>1 (2)x≥1且x≠2 (3)x=2 (4)x≥2且x≠3 【归纳总结】 ①单个二次根式如有意义的条件：A≥0 ②多个二次根式相加：+…+有意义的条件： ③二次根式作为分式的分母：如有意义的条件：A>0 ④二次根式与分式的和：有意义的条件：A≥0且B≠0 例3：若|a−2|++(c−4)2=0,求a−b+c的值. ★多个非负数的和为零，则是每个非负数均为零.目前所学过的非负数有绝对值、偶次幂、二次根式. 2. 二次根式的性质 对于非负实数a，由于是a的一个平方根，因此（）2 = a（a≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式√a有意义的前提条件 例4： 计算：（1）（）2； （2）（）2 解：（1）（）2 = 5. （2） （）2=（）2 = 22 ×（）2 = 4 × 2 = 8 做一做： （1） = ；（2） = ； （3）= ；（4） = . 提问：观察以上式子的计算结果，你认为=a一定成立吗？若一定成立，请说明理由；若不一定成立，那么它的结果应该是什么？ 【归纳总结】 例5： 计算：(1) ，(2) 。 解：（1) =|3−π|=π−3 （2) =||= 思考：如何区别与？ 让学生自主观察，交流讨论,得出二次根式的特征。 学生在教师的引导下总结二次根式有意义的条件。 学生独立完成，展示计算结果。 学生认真计算，观察发现= a（a≥ 0），进一步探究发现 = =-（＜ 0）。 学生利用二次根式的性质计算解答。 充分发挥学生的 自主能动性,准确理解二次根式的概念. 通过引导学生发现二次根式有意义的条件，提高学生观察主动思考的能力。 加强对二次根式的被开方数是非负数的理解。 加强对二次根式的性质（）2 = a（a≥ 0）的理解及运用。 培养学生观察发现问题的能力，总结二次根式的性质。 课堂练习 + 扩展提升 1.下列各式：；一定是二次根式的个数有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.式子 有意义的条件是 3.计算: (1) 4.若|x−4|++(z+3)4=0,求3x−y−4z的算术平方根. 学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。 1. 当堂巩固知识，及时反馈，提升课堂效率。2. 分层练习兼顾不同层次学生，落实因材施教。3. 强化规范解题，提升运算准确性与严谨性。 课堂小结 通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？学到了哪些数学思想？ 数学思想;类比、转化 1. 自主梳理知识框架。2. 全班交流，总结重点、易错点。3. 口述核心知识与思想方法。 1. 构建完整知识体系，强化理解与记忆。2. 由知识上升到思想方法，实现素养落地。3. 培养归纳与反思能力，完善认知结构。 布置作业 1. 必做题： 教材习题3.1-学而时习之 第1、2、3题 2. 拓展题： 《九章算术》“少广章” 的 “开方术” 记载：“若开之不尽者，为不可开，当以面命之”。其中 “不可开” 指被开方数不是完全平方数，“以面命之” 指用正方形的边长来表示这个数。请结合这一史料，具体解释：古代数学家通过 “正方形的边” 这一几何图形定义二次根式时，为何会天然蕴含 “双重非负性”（a≥0 且 a≥0）的特征？ 按要求分层完成作业，巩固所学，预习新知。 1. 分层作业符合新课标要求，兼顾基础与提升。2. 趣味题目激发学习兴趣，联系传统文化。3. 拓展题为下节课铺垫，体现知识连贯性。 板书设计 二次根式的概念及性质 定义:一般地，形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数. 二次根式有意义的条件:被开方数a ≥ 0 　 性质：1.双重非负性：a ≥ 0，≥ 0 2.()2=a(a ≥ 0) 3. 教学反思 本节课从生活与科技情境导入，自然引出二次根式，学生参与积极，能较好理解概念、双重非负性及两条基本性质。课堂通过观察、辨析、归纳、练习层层推进，有效落实新课标核心素养。但教学中发现，部分学生对被开方数非负的条件掌握不牢，容易忽略取值范围；对=的理解与运用仍易出错，运算规范性有待加强。今后教学将加强对比辨析、口头说理与错题订正，增加课堂板演与即时反馈，强化步骤规范，提升学生概念理解与运算能力。 学科网（北京）股份有限公司 $