3 长方体和正方体-【新学期笔记对照学】2025-2026学年五年级下册数学（人教版）

3 长方 长方体和正 掌握长方体和正方体的特征。 方体的认识 长方体和正方 掌握长方体和正方体的表面积的计算方法。 体的表面积 会解决与长方体和正方体表面积有关的实际问题。 体积和体。一认识常用的体积单位，会用合适的体积单位描述物体的大小。 积单位 长方体和正方 掌握长方体和正方体体积的计算方法。 体的体积 会解决与长方体和正方体体积有关的实际问题。 体积单位 能进行体积单位间的换算。 间的换算 会解决与体积单位间的进率有关的实际问题。 容积和容 理解容积的意义，能进行容积单位间的换算。 积单位 会解决与容积有关的实际问题。 求不规则物 掌握求不规则物体体积的方法。 体的体积 会利用排水法求不规则物体的体积。 体和正方体 Q新学期对照学数学五年级下册RJ ①长方体和正方体的认识 第1课时长方体 对应教材P18~P19 1 课前·预习例题到 生活中许多物体的形状都是长方体或正方体（正方体也叫立方体）。 国家游泳中心 联合国总部大楼 立体图形和平面图形的区别：平面图形只在平面上占有一定的面积，立体图形不仅在平面上占 有一定的面积，还占有一定的空间。 顶点：棱和棱的交点 面 围成长方体的长 棱：面和面相交的线段（不叫边） 方形或正方形。无论从哪个角度观察长方体，最多只能看到三个面。 拿几个长方体的物品来观察，并将小组同学的发现填在下页的表中。 长方体有6个面。 有些面是完全相同的。 长方体有6个面， ”相对的面完全相同。 数一数，比一比，量一量等，是认识图形经常用到的方法。 16|中小学A教辅引领者 (1)长方体有6个面。 (4)长方体有12条棱。 (2)每个面是什么形状的？ (5)哪些棱长度相等？ 有2个相对的 长方形（有时相对的2个面是正方形） 相对的棱长度相等。 面是正方形 (3)哪些面是完全相同的？ (6)长方体有8个顶点。 的长方体中有 8条棱长度相 相对的面是完全相同的 等，另外4条 棱长度相等。 通过以上的观察和讨论可以知道：长方体一般是由6个长方形（特殊情况有两个 相对的面是正方形)围成的立体图形。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的 棱长度相等。 2用细木条和橡皮泥做一个长方体框架。 需要不同长度的 细木条。 根据制作过程，回答下面的问题。 (1)长方体的12条棱可以分成几组？ 3组。4条长、4条宽、4条高。 所有的长、宽 (2)相交于同一顶点的3条棱的长度相等吗？ 和高分别相等。 不相等。 相交于同一顶点的3条棱的长度分别叫作长方体的 长、宽、高。 高 长方体的长、宽、高决定了长方体的大小，长方体的棱长总和=（长 长 宽 +宽+高)×4。 长：底面较长的棱。 宽：底面较短的棱。 高：垂直于底面的棱。 2课堂·任务学习 任务 理知识 1.长方体有6个面，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。有2个相对的面是正方形的 长方体中，有8条棱长度相等，另外4条棱长度相等。 面 面面相交校三枝相交 顶点 2.相交于同一顶点的3条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。长方体的12条棱中有 4条长、4条宽、4条高。长方体的长、宽、高决定了长方体的大小。长方体棱长总和= (长+宽+高)×4。 3.观察一个长方体，从一个面看，只能看到一个面；从一条棱看，只能看到两个面；从一 个顶点看，只能看到三个面。 任务 学方法 ▣画示意图解决物体捆扎问题 如图，一个长7dm,宽4dm,高2dm的木箱，用三根 铁丝捆起来，每个打结处要用1dm长的铁丝，一共至少 需要多长的铁丝？ 思路分析画出铁丝捆扎的示意图，观察可知： 红线部分分别如下。 几部分的和，就是 打结处 2条长：7×2=14(dm) 4条宽：4×4=16（dm) 一共至少需要的铁 6条高：2×6=12(dm) 丝长度。 3个打结处：1×3=3（dm) 正确解答7×2+4×4+2×6+1×3=45（dm) ⑦提示：解此类题时，要弄清物体是 如何被捆扎的，确定要求的是哪 答：一共至少需要45dm长的铁丝。 几条棱的长度和。注意不要忘记 打结部分的长度。 3长方体和正方体 3课后·对照练习 1.仔细观察下面的置物盒，回答问题。①根据“例1”练一练 (1)置物盒的上面是()形，长是( dm, 宽是( )dm,和它相同的面是( )面。 (2)置物盒的前面是长(）dm,宽( )dm的 8 dm 长方形，和它相同的面是（)面。 6 dm 4 dm (3)有()个面是长8dm、宽4dm的长方形。 2.小明的爸爸想用一个长度为76cm的木条来制作一个长方体的灯笼框架。他计划 让这个灯笼的长是8cm,宽是5cm。这个灯笼框架的高应该是多少厘米？ ①根据“例2”练一练 3.周末，小文和妈妈去姥姥家，妈妈用丝带把准备的礼物按照下图的方法捆绑，打 结处需要30cm丝带。捆绑这个礼物一共需要多少厘米丝带？ ①根据“学方法”练一练 30 cm 25 cm 50cm (对照学参考答案：P3) 中小学A教辅引领者|17 Q新学期对照学数学五年级下册RJ 第2课时正方体 对应教材P20 课前·预习例题滋 了拿一个正方体的物品来观察，并将小组同学的发现填在下面。 (1)正方体的6个面完全相同，都是正方形。 棱 (2)正方体的12条棱长度相等 棱 棱 (3)正方体有8个顶点。 正方体的棱长总和=棱长×12 通过观察可以知道：正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，所 有的棱长度相等。 剪下教材第123页中图2的图样做一个正方体，再量出它的棱长是多少厘米。 讨论一下：长方体和正方体有哪些相同点？有哪些不同点？ 不同点：①长方体相对的面相同，一般6个面都是 长方形，特殊情况下有2个相对的面是正方形。 正方体的6个面都是正方形，所有的面大小相等。 相同点： 长方体和正方体都有 6个面、8个顶点… 和12条棱。 ② 正方体的棱长度都 正方形是特殊的 相等，长方体相对 长方形，所以… 的棱…长度相等。 正方体是特殊的长 方体。 正方体是长、宽、高都相等的长方体。我们可以 长方体 用右图表示长方体和正方体的关系。 正方体 相交于一个顶点的三条棱的长度都相等的长方体一定是正方体。 18|中小学AI教辅引领者 2课堂·任务学习 任务 理知识 1.正方体有6个面、12条棱、8个顶点。正方体的6个面完全相同，都是正方形，12 条棱长度相等。 2.正方体的棱长总和=棱长×12 3.长方体和正方体的相同点与不同点。 不同点 相同点 面的形状 面的大小 棱长 6个面都是长方形（特殊 相对的面 相对的4条棱 长方体 都有6个面、 情况下有两个相对的面是 完全相同 长度相等 12条棱和8个 正方形) 顶点 6个面完全 12条棱的长度 正方体 6个面都是正方形 相同 都相等 4.正方体是特殊的长方体，它是长、宽、高都相等的长方体。 任务 学方法 ⊙运用画示意图法解决用正方体拼组长方体的问题 明明在手工课上用两个相同的正方体拼成一个长方体，棱长总和减少了48c,其 中一个正方体的棱长总和是多少？ 思路分析拼成的长方体的棱长总和比两个正方体的棱长总和减少了，是因为把两个 正方体拼成一个长方体时，减少了两个面，也就是减少了8条棱，如图： 因为正方体每条棱的长度都相等，所以根据8条棱的长度和是48cm,可求 出正方体的棱长，从而可求出其中一个正方体的棱长总和。 正确解答48÷8=6（cm)6×12=72（cm) 答：其中一个正方体的棱长总和是72cm。 ①总结：将几（几为大于1的自然数）个相同的正方体排成一排拼成一个长方体， 减少了2(n-1)个面，每个面上有4条棱，则共减少了8(n-1)条棱。 ○运用推理法和排除法解决找正方体相对面的问题 一个正方体的6个面上分别写着A、B、C、D、E、F,根据下面的三种摆放情况， 判断每个字母对面的字母是什么。 D B E B D C 思路分析 可以根据“相对的两个面肯定不相邻”的特点，看某个字母相邻面上的 字母是什么，排除与这个字母相邻的字母，从而推断出这个字母对面的 字母。 D BWD的对面不是E、B F 》D的对面是C AMD的对面不是F、A 》B的对面是F F D AWA的对面不是D、F A的对面是E B A》A的对面不是B、C 正确解答 A的对面是E,D的对面是C,B的对面是F。 ©总结：在判断正方体相对的面上的字母是什么时，有时直接判断比较困难，可以先找出 与这个面相邻的面上的字母分别是什么，再根据“相对面不相邻”这一规律进行解题。 任务 3 做易错 易错点：没有掌握长方体和正方体的特征 判断。 (1)长方体的6个面一定都是长方形。 (2)长方体是特殊的正方体。 易错解读 (1)一般情况下，长方体的6个面都是长方形，特长方体和正方体的关 殊情况下有2个相对的面是正方形。此题错在没有 系，用集合图表示为： 正确理解长方体的特征，误认为长方体的面不可能 长方体 有正方形，所以本题的正确答案为X。 (2)正方体具有长方体的所有特征，所以正方体可 正方体 以看成长、宽、高都相等的长方体，因此正方体是特 殊的长方体。所以本题的正确答案为X。 3长方体和正方体 3课后·对照练习 1.判断。（对的画“V”,错的画“X”)O根据“例3”练一练 (1)有6个面、12条棱、8个顶点的立体图形一定是长方体。 (2)正方体的六个面都是正方形，所以每个面都完全相同。 (3)6个正方形能围成一个正方体。 (4)有两个面是完全一样的正方形的长方体，一定是正方体。 ) 2.填一填。①根据“例3”练一练 (1)要添加 把 拼成一个正方体，至少还需要( )个 (2)一个正方体的棱长总和是192dm,这个正方体的棱长是（ ）dmo 3.四个完全相同的正方体木块拼在一起，木块的每个面上涂有不同的颜色（四个木 块的涂法相同)，那么每个正方体木块上与蓝色的面相对的那一面上是什么颜 色的？①根据“学方法”练一练 4.一个长方体木块被截成两个完全相同的正方体，如果这两个正方体的棱长总和此 原来长方体的棱长总和增加40cm,那么原来长方体的棱长总和是多少厘米？ ①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P3) 中小学A教辅引领者|19 Q新学期对照学数学五年级下册RJ 长方体和正方体的表面积 对应教材P23~P24 1 课前·预习例题丝 一个长方体或正方体的纸盒展开后是什么形状的？ 我展开了一个长方 体的纸盒。 要沿着棱剪开！ 沿棱剪开时不能剪断，要 正方体的纸盒可以 使相邻面有一条边能连在 这样展开。 一起，不能剪成一个一个 的长方形或正方形。 把长方体和正方体的6个面分别展开，如下图所示。 同一个长方体或正方体，沿着不同的棱展开，得到的展开图是不相同的。 上 右边的两幅图都只 展开图中相对的 是展开图中的一种。 左 后 右 后 面不相邻。 下 右 前 请在上面的展开图中，分别用“上、下、前、后、左、右”标明6个面。观察 长方体展开图，回答下面的问题。 (1)哪些面的面积相等？ 上、下面的面积相等，前、后面的面积相等，左、右面的面积相等。 (2)每个面的长和宽与长方体的长、宽、高有什么关系？两个相对的面的面积相等。 上、下面的长和宽是长方体的长和宽；前、后面的长和宽是长方体的长和高； 左、右面的长和宽是长方体的宽和高。 20|中小学AI教辅引领者 长方体或正方体6个面的面积之和，叫作它的表面积。 在日常生活和生产中，经常需要计算一些长方体或正方体的表面积。 长方体的侧面积=底面周长×高 1制作尺寸如下图所示的长方体和正方体保温箱，各需要多少平方分米的泡沫板？ (单位：dm) 6 想：求需要多少平方分米的泡沫板就是要求什么？ 求需要多少平方分米的泡沫板 先观察长方体保温箱： 上、下每个面，长6dm, 宽5dm, 面积是3odm2; 就是求保温箱的表面积 前、后每个面，长6dm, 宽4dm,面积是24dm2; 6个面的面积之和 左、右每个面，长5dm, 宽4dm, 面积是20dm2。 6个面的面积相 长方体相对的面面积 加… 相等，我先算… 6×5×2+6×4×2+5×4×2 (6×5+6×4+5×4)×2 =148(dm2) =148(dm2) 想一想：正方体6个面都相同，表面积可以怎样计算？ 先求一个面的面积，再求6个面的面积和。 5×5×6=150(dm2) 正方体的表面积=棱长×棱长×6 1/ 2课堂·任务学习 任务 理知识 1.同一个长方体或正方体，沿着不同的棱展开，得到的展开图是不相同的。 2.正方体展开图共有11种。 3-3型 2-3-1型 2-2-2型 3.长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 正方体的表面积=棱长×棱长×6 任务（ 2 学方法 。运用比较法和图示法解决切割长方体的问题 把一个长6cm、宽5cm、高4cm的长方体切成两个完全相同的小长方体，表面积 最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？ 4 cm 4 cm 4 cm 5 cm 5 cm 5cm 6cm 6cm 6 cm ① ② 思路分析把长方体切成两个完全相同的小长方体，切口处新增两个相同的截面， 所以增加的面积为每个截面面积的2倍。在原长方体中，因为长乘宽对 应的面的面积最大，宽乘高对应的面的面积最小，所以要增加最多的表 面积，其截面应与长乘宽对应的面平行（如图①）；要增加最少的表面 积，其截面应与宽乘高对应的面平行（如图②)。 正确解答最多增加：6×5×2=60（cm2)最少增加：4×5×2=40（cm2) 答：表面积最多增加60cm2,最少增加40cm2。 ①总结：把长方体切成两个完全相同的小长方体，若要增加的表面积最多，则应平行于最 大面切割；若要增加的表面积最少，则应平行于最小面切割。 3长方体和正方体 3课后·对照练习 1.选一选。（将正确答案的序号填在括号里)①根据“例题”练一练 (1)下列图形沿虚线折叠后，不能围成正方体的是（) A B C D (2)图中给出了一个正方体展开图中的5个面，请在图中添加一个面，组成 一个正方体的展开图应该选( ① ② ④ ③ ⑤ 2.董董家有一个正方体玻璃鱼缸，它的棱长为3.2dm。制作这个鱼缸至少需要多少 平方分米的玻璃？（上面没有盖)①根据“例1”练一练 3.一个长方体木块，长10cm,宽8cm,高5cm。将它切成两个完全相同的小长方体后， 表面积增加了160cm。工人师傅可能是平行于长方体的哪个面切割的？为什么？ ①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P3) 中小学A教辅引领者|21 Q新学期对照学数学五年级下册RJ 长方体和正方体的体积 第1课时体积和体积单位 对应教材P27~P28 1 课前·预习例题 说一说：乌鸦是怎样喝到水的？ 石子占有一定的空间，水面升高。 实验观察： 1.准备两个同样大小的空杯子，将其中一杯装满水； 2.取一块小石头放进空杯子里，将第一杯中的水倒进这个杯子里； 小石头占有一定的空间。 3.换一块大一点的石头再试一试。 原本正好能装下的 水有了剩余。 你发现了什么？ 石头占了一部分空 石头越大，剩下 间，水就剩下了。 的水就越多。 22|中小学AI教辅引领者 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 大小不同的物体所占 空间有大有小。 最大 最小 上面的洗衣机、电饭锅和手机，哪个体积最大？哪个体积最小？ 大的物体所占的空间大，小的物体所占的空间小。 怎样比较下面两个长方体体积的大小呢？ ①注意：比较体积的大小，要用统一的体积单位。 把它们分成大小相同的小正方体，谁舍有的小正方体的个数多，谁的体积大。 想一想：计量长度有统一的长度单位，计量面积有统一的面积单位，计量体积 是不是也应该有统一的体积单位呢？ 计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可 以分别写成cm3、dm和m3。 棱长1cm的正方体， 棱长1dm的正方体， 棱长1m的正方体， 体积是1cm3。 体积是1dm3。 体积是1m3。 粉笔 手指尖的体积 粉笔盒的体积 用3根1m长的木条 大约是1cm3。 接近于1dm3。 可围出1m3的空间。 一粒花生米、 一个魔方 一台洗衣机、 一枚股子。 一个转动铅笔刀。 一张方桌。 ①体积为1cm3、1dm3或1m3的物体，不一定是棱长1cm、1dm、1m的正方体。 ②体积相同的物体形状不一定相同。 2课堂·任务学习 任务 理知识 1.物体所占空间的大小叫作物体的体积，大小不同的物体所占空间有大有小。 2.计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分 别写成cm3、dm3和m3。注意：比较体积的大小，要用统一的体积单位。 3.体积相同的物体形状不一定相同。下面物体的体积均接近1dm3: 粉笔 粉笔盒的体积 魔方的体积 转动铅笔刀的体积 任务 2 学方法 ⊙运用分类计数法解决求用小正方体搭成的几何体的体积问题 下图的几何体是用棱长为1cm的正方体搭成的，它的体积是（ ）cm3。 思路分析 --》有1个小正方体 ---→有4个小正方体（其中1个被挡住了） -》有9个小正方体（其中4个被挡住了） 这个几何体一共由1+4+9=14（个)小正方体搭成。棱长为1cm的正方 体的体积是1cm,几何体的体积=一个小正方体的体积×小正方体的个 数=1×14=14(cm3)。 正确解答14 3长方体和正方体 3课后·对照练习 1.在下面的( )里填入适当的单位。①根据“例题”练一练 (1)一个苹果的体积大约是0.6( ）。 (2)一个西红柿的大小约是250( )。 (3)一个字典的体积大约是1( ）。 (4)一支牙膏的体积约是120( 2.选一选。（将正确答案的序号填在括号里)①根据“例题”练一练 (1)水杯中的石块取出后，杯中的水面会（)。 A.上升 B.下降 C.不变 (2)明明将一块正方体橡皮泥捏成长方体，橡皮泥的体积（ ）。 A.变大 B.变小 C.不变 3.下面是用棱长1cm的小正方体拼成的几何体，它们的体积各是多少？ ①根据“学方法”练一练 ）cm3 ）cm3 (）cm3 4.在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长为1cm的小正方体（如图)，这 个玻璃鱼缸的体积是多少立方厘米？①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P3)》 中小学A教辅引领者丨23 Q新学期对照学数学五年级下册RJ 第2课时 长方体和正方体的体积 对应教材P29~P31 7 课前·预习例题到 讨论一下：怎样计算长方体的体积？ 把长方体分成若干单 求长方体的体积就是看长 位体积的小正方体， 方体有多少个体积单位。 就可以… 切割法： 求出体积。 切割成多少个棱长是 1cm的小正方体，体 测量法： 先分别测量出长方体的长、宽、高各是 积就是多少立方厘米。 多少厘米，再推算出长方体包含多少个 棱长是1cm的小正方体，最后求出体积。 实验：用体积为1cm的小正方体摆成不同的长方体。说一说你是怎么摆的。 (1)把小组内摆法不同的长方体的相关数据填入下表。 用12个小正方体摆一摆： 长 宽 高 小正方体的个数 长方体的体积 12 cm 1 cm 1 cm 12个 12cm' 6cm 2 cm 1cm 12个 12 cm' 4 cm 3 cm 1cm 12个 12 cm' 3 cm 2 cm 2 cm 12个 12 cm3 数体积单位的个数。 12=1×1×12=1×2×6=1×3×4=2×2×3 (2)观察上表：摆出的长方体的体积与长、宽、高有什么关系？ 小正方体的个数下 长方体所含体积单位的个数 长方体的体积正好等于 就是长方体的体积。 长×宽×高的积。 0 归 纳 思 想 长方体的体积=长×宽×高 24|中小学AI教辅引领者 如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那 么长方体的体积计算公式可以写成： V=abh 长方体的体积=长×宽×高 ①变式：a= V V 、上 业业 b▣ bh ah ab 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 想一想：根据正方体和长方体的关系，正方体的体积应该怎样计算？ 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体 积计算公式可以写成： a"a·a也可以写作a3,读作“a =a·a·a 的立方”，表示3个a相乘。 正方体的体积计算公式一般写成： V=a 保温箱的尺寸如下图所示，计算它们的体积。（单位：dm)】 己知长方体的长、宽、 高和正方体的棱长，求 体积时，可以根据体积 公式直接代入计算。 6 5 V=abh V=a =6×5×4 53 =120（dm3) =5×5×5 =125（dm3) 长方体或正方体底面的面积叫作底面积。 长方体放置的方式不同， 底面也就不同，所以求底 面积时，一定要找准底面 底面 的长与宽。 底面 长方体的体积=长×宽×高 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 底面积 底面积 所以，长方体和正方体的体积计算公式也可以这样表示： 长方体（或正方体)的体积=底面积×高 如果用字母S表示底面积，上面的公式可以写成： V=Sh 长方体（或正方体）的体积=某一个 面的面积×与这个面垂直的棱的长 2 课堂·任务学习 任务 理知识 1.长方体的体积=长×宽×高。用字母表示为：V=abh(a、b、h分别表示长方体的长、 宽、高)。 2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长。用字母表示为：V=a3(a表示正方体的棱长)。 长方体（或正方体）的体积=底面积×高，用字母表示为：V=Sh(S、h分别表示 底面积、高)。 3.如果长方体的长、宽、高都扩大到原来的n倍，那么其表面积扩大到原来的n2倍， 体积扩大到原来的n倍。如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么其表面积扩大 到原来的n2倍，体积扩大到原来的n3倍。 任务 学方法 ⊙运用画图法解决求原长方体体积的问题 如图，一个长方体，若从下部和上部分别截去一个高为4dm的 3dm 长方体和一个高为3dm的长方体后，就变成了一个正方体， 此时，它的表面积减少了336d。原来长方体的体积是多少 立方分米？ 4 dm 思路分析把从下部截去的长方体移到上部，如下图： 3 dm 4dm ©总结：解决此题的关 7 dm 键是确定截去后图形 减少了哪些面。 移动后的长方体 截去部分 从图中可以看出，实际减少的表面积是截去部分的前、后、左、右4个面 的面积和，也就是高为4+3=7(dm)的长方体侧面的面积和。根据截去 后剩下的部分就变成了一个正方体可知，原来长方体的底面是正方形，所 以减少部分的长方体的前、后、左、右4个面的面积相等。先根据“表面 积减少了336dm2”求出底面的边长，即原长方体的长和宽，进而求出原来 长方体的体积。 正确解答 336÷4÷（4+3)=12(dm) 12×12×（12+4+3)=2736（dm3) 答：原来长方体的体积是2736dm3。 3长方体和正方体 3课后·对照练习 1判断。（对的画“√”，错的画“X”)O根据“例题”练一练 (1)棱长是6cm的正方体，它的表面积和体积相等。 (2)计算一个长方体木箱的体积，必须先确定哪一面是底面，然后才能用“底 面积×高”来计算。 ( (3)体积相等的两个长方体，它们的表面积也一定相等。 () 2.一个长方体木箱，它的长是8dm,宽是3dm,高是5dm。那么这个木箱的体积是 多少立方分米？①根据“例1”练一练 3.有一块棱长是80cm的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个横截面的面积是200cm 的长方体，这个长方体的长是多少厘米？①根据“例1”练一练 4.一个长方体模型，如果高截去3cm就成了一个正方体，表面积比原来减少了60cm, 那么原长方体模型的体积是多少？①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P3) 中小学AN教辅引领者丨25 Q新学期对照学数学五年级下册RJ 第3课时体积单位间的进率 对应教材P34~P35 课前·预习例题 我们知道了长度单位间、面积单位间的进率，体积单位间的进率是多少呢？ 2下图是一个棱长为1dm的正方体，体积是1dm3。它的体积是多少立方厘米呢？ 共有10层， 每层10行， 每行10个。 10×10×10=1000 1 dm 10cm (1dm×1dm×1dm=1dm3 ↓ 10cm×10cm×10cm=1000cm 如果把它的棱长看作 10cm,可以把它分 它的底面积是100cm2, 成1000个1cm3的小 高是10cm,100×10,体 正方体。 积是1000cm3。 10×10×10=1000(cm3) 1dm3=1000cm3 仿照上面的方法，你能推算出1m3等于多少立方分米吗？ 1 m3=1000 dm3 10dm×10dm×10dm=10o0dm ×1000000 ×1000 ×1000 1m×1m×1m=1m 3 m dm' cm 26|中小学AI教辅引领者 下面是我们学过的计量单位，请把下表补充完整。 计量类型 单位名称 相邻两个单位间的进率 长度 米、分米、厘米 10 面积 平方米、平方分米、平方厘米 100 体积 立方米、立方分米、立方厘米 1000 1m=10 dm 1m2-100dm2 1m3=1000dm3 1 dm=10 cm 1dm2=100cm2 1dm3=1000cm 高级单位与低级单位是相对的。 3(1)3.8m3是多少立方分米？ (2)2400cm3是多少立方分米？ 想：1m3=1000dm3 想：1o00cm3=1dm3 3.8m3=38oodm3 2400cm3=2.4dm3 3.8×1000 2400÷1000 高级单位换算成低级单位，要 低级单位换算成高级单位，要 乘进率，小数点句右移。 除以进率，小数点句左移。 4右面这个牛奶包装箱的体积是多少？ 箱上的尺寸表示的是这个 长方体的长、宽、高。 牛奶 3 导 尺寸(cm):50×30×40 V=abh cm 50cm =50×30×40 =60000(cm3) 60000cm3=60dm3=0.06m3 ①提示：计算结果的数据较大时， 一般改成较高级单位。 解决实际问题时，要根据具体情况灵活运用不同的计量单位进行计算。 2课堂·任务学习 任务 理知识 1.相邻两个常用体积单位间的进率是1000，即1m3=1000dm3;1dm3=1000cm3。 ×1000000 1000 dm3 ×1000 cm 2.体积单位间的换算方法： 乘进率或小数点向右移动 高级单位 低级单位 除以进率或小数点向左移动 3.解决实际问题：（1)要注意单位的统一，并正确运用体积单位间的进率进行换算； (2)根据具体情况灵活运用不同的计量单位进行计算。 任务 学方法 ◎运用正方体的特点解决实际问题 一个长是8dm,宽是6dm,高是11dm的长方体木块，最多能切成多少个棱长是 20cm的正方体木块？ 思路分析题中单位不统一，可以把20cm换算成2dm。把长方体木块切成正方体木块， 不能直接用长方体的体积除以正方体的体积来求，要整体考虑。 长方体木 长方体木 长方体木 块的长÷ 块的宽÷ 块的高÷ 正方体木 正方体木 正方体木 块的棱长 块的棱长 块的棱长 9 每行正方体 正方体木 木块的个数 行数 层数 块的个数 如果长方体的长、宽或高不是正方体棱长的整数倍，结果要用“去尾法” 保留整数。 正确解答 20cm=2dm8÷2=4(个)6÷2=3（行) 11÷2≈5（层)4×3×5=60（个） 答：最多能切成60个棱长是20cm的正方体木块。 ©总结：解决此类问题时，要先把正方体的棱长分别与长方体的长、宽、高一一对应比较分析， 如果长方体的长、宽、高中的一个或几个不是正方体棱长的整数倍，就不能直接用长方体的 体积除以正方体的体积求解。 3长方体和正方体 、1 3课后·对照练习 1.在(）里填上合适的数。①根据“例2”和“例3”练一练 (1)900dm3=()cm3=( ）m3 (2)2.04dm3=（）dm3(）cm3 (3)90.3m3=( ）m3( ）dm3 2.一根长方体木料，它的横截面的面积是25dm2,长是6m,8根这样的木料的体 积是多少立方米？下面列式正确的是（ ）。①根据“例4”练一练 A.25×6×8 B.(25÷10)×6×8 C.（25÷100)×6×8 D.25×(6×10)×8 3.一个长方体形状的蛋糕，长45cm,宽30cm,高2dm。现在要把它切成棱长是 5cm的小正方体蛋糕块。最多能切成多少块？①根据“学方法”练一练 4.实验小学的“艺术节”快到了，五年级同学用棱长5cm的正方体木块拼搭积木， 在操场的南面搭起了一面长6m、宽2m、厚15cm的宣传墙。这面墙一共用了多 少块积木？①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P3~P4)》 中小学A1教辅引领者|27 Q新学期对照学数学五年级下册RJ 第4课时容积和容积单位 对应教材P38~P39 1课前·预习例题 金小 体积是从外部测量的。容积是从内部测量的。 像太空舱、粮仓、油桶、盒子等所能容纳物体的体积，通常叫作它们的容积。 计量容积一般用体积单位，有时也用容积单位升(L)和毫升(L)。计量液体（如 水、油等)的体积常用容积单位。 ml. -500 mL. 00 F30 油 液体的体积可以用量 5 C200 牛奶 筒或烧杯度量。 上100 读量筒和烧杯的刻度 5L 250mL 时，视线要与液面最 低处平齐。 1升液体的体积就是1立方分米，1L=1dm3 1毫升液体的体积就是1立方厘米，1mL=1cm3 ①注意：计量较大容器的容积 容积「固体：立方米、立方分米、立方厘米 1L=1000mL 用升，如水池、大水桶；计量较 单位液体：升、毫升 小容器的容积用毫升，如针管。 在计算容器的容积时，要从里面测量长、宽、高。 5一个长方体油箱，从里面量长5dm,宽4dm,高2dm。这个油箱可以装多少升油？ 5×4×2=40(dm3) 40 dm3=40 L 28|中小学AI教辅引领者 生活中还有很多像橡皮泥、土豆、石块等形状不规则的物体，怎样求它们的体 积呢？求不规则物体的体积时，要先根据物体的特点找到合适的测量方法。 6设法求出下面两种物体的体积。 橡皮泥 土豆 阅读与理解 要解决什么问题？这些物体分别有什么特点？ 求两种物体的体积 形状不规则 分析与解答 等积变形法。 橡皮泥可以改变形状。 可以把橡皮泥捏压成规 则的长方体或正方体形 状，再… 求体积。 土豆不能改变形状，怎么办呢？ 可以像乌鸦喝水那样用 “排水法”。上升的那部 分水的体积就是… 排水法。 土豆的体积。 500 mL 500mL 400 400 -300 200 200 ①拓展：用“排水法” 100 .100 求不规则物体的体积。 水的体积是 水和土豆的体积是 土豆的体积： 250mL0 400 cmo 400-250=150(cm3) ①排水法注意：物体要漫没水中。 答：土豆的体积是150cm2。 放入物体后的体积一放入物体前的体积=水面上升的那部分水的体积 =不规则物体的体积 回顾与反思 用“排水法”求不规则物体的体积需要记录哪些数据？ 放入物体前水的体积，放入物体（浸没）后水的总体积。 可以利用上面的方法测量乒乓球、冰块的体积吗？为什么？ 不可以。乒乓球、冰块等不能浸没在水中，另外，冰块放入水中后，水的体 积会变化。（冰块会融化） 2 课堂·任务学习 任 理知识 1.像太空舱、粮仓、油桶、盒子等所能容纳物体的体积，通常叫作它们的容积。 2.计量容积一般用体积单位。计量液体（如水、油等）的体积常用容积单位升(L)和 毫升(mL)。 3.容积单位间的进率：1L=1000mL。 容积单位和体积单位间的换算关系：1L=1dm3,1mL=1cm3。 4.长方体或正方体容器容积的计算方法与体积的计算方法相同，但要从容器里面测量 长、宽、高。 5.用“排水法”求不规则物体的体积：放入不规则物体（物体完全浸入水中且水未溢出） 后水面上升部分的水的体积就是不规则物体的体积。 任 学方法 ⊙运用抓不变量法和转化法解决容积问题 有甲、乙两个水箱，从里面量，甲水箱长12dm,宽8dm,高5dm;乙水箱长8dm, 宽8dm,高6dm。甲水箱装满水，乙水箱空着。现将甲水箱中的一部分水抽到乙水箱中， 使甲、乙两个水箱的水面高度一样。现在甲、乙两个水箱的水面高度是多少分米？ 思路分析 现在甲、乙两个水箱中水 把甲、乙两个水箱转化 的体积和=原来甲水箱中 成一个大水箱，大水箱 用“原来甲水箱中 水的体积。 的底面积=甲、乙两个 水的体积÷甲、 将甲水箱中的一部分水抽 水箱的底面积之和；现》 乙两个水箱的底面 到乙水箱中，使甲、乙两 在甲、乙两个水箱的水 积之和”解决问题。 个水箱的水面高度一样。 面高度=转化后的大水 箱的水面高度。 正确解答 12×8×5÷(12×8+8×8)=3(dm) 答：现在甲、乙两个水箱的水面高度是3dm。 ©总结：解决此类问题的关键是明确水的体积不变，一定体积的水装在两个不同的容器中， 且水面高度相同时，水面的高度等于水的体积除以两个容器的底面积之和。 3长方体和正方体 3课后·对照练习 1.在( ）里填上合适的数。①根据“例题”练一练 3.5L=（ ）mL 600mL=()L 3800mL=( L 5L=(）mL 2.4m3=（ ）dm3=( ）cm3 2.一个棱长是4dm的正方体铁皮水桶，里面盛水48L,水的高度是多少？（铁皮的 厚度忽略不计)①根据“例5”练一练 3.将一个棱长是1.6dm的正方体石块完全浸入一个长方体水槽中，水面上升了0.8dm。 接着放入个铁块并完全浸入，水面又上升了2.5dm(水没有溢出)。求铁块的体积。 ①根据“例6”练一练 4.一个长方体容器长20cm,宽15cm,里面盛有一些水。将一个棱长为10cm的正 方体铁块完全浸入水中后，水面上升到16cm。现将容器中的水全部倒入另一个底 面是正方形（边长为15cm)的长方体空容器中。此时第二个容器中的水面高度是 多少厘米？①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P4) 中小学AI教辅引领者|29 Q新学期对照学数学五年级下册RJ 第3单元 核心知识梳理 知识点 1.长方体和正方体的特征 (1)长方体有6个面，相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱长度相等； 有8个顶，点。正方体的6个面完全相同，12条棱长度都相等，有8个顶点。 （2)相交于一个顶，点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。 2.长方体和正方体的表面积 长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高)×2 正方体的表面积=棱长×棱长×6 3.体积和体积单位 核 （1)体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 心 (2)体积单位：立方米、立方分米、立方厘米，用字母表示分别为m3、 知识 dm3、cm3。 (3)1m3=1000dm31dm3=1000cm3 4.长方体和正方体的体积 长方体的体积=长×宽×高 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 长方体（正方体)的体积=底面积×高 5.容积和容积单位 (1)容积：像太空仓、粮仓、油桶、盒子等所能容纳物体的体积，通常叫 作它们的容积。 (2)容积单位间的进率：1L=1000mL。 (3)容积单位和体积单位之间的换算：1L=1dm3,1mL=1cm3。 30|中小学AI教辅引领者 易错点1：未掌握单位之间的进率 单位换算：0.26m3=（）cm3 错解：0.26m3=(260)cm 正解：0.26m3=(260000)cm3 个 错认为m3和cm3之间的进率为1oo0 0.26×1000000 易错点2：计算物体表面积时忽视实际情况中物体的面数 一种火柴盒，长5cm、宽3cm、高1.5cm,要做一个这种火柴盒的外盒， 错 需要用多少平方厘米的纸板？（粘贴处不计) 错解：（5×1.5+5×3+3×15)×2正解：(5×1.5+5×3)×2 示 =54（cm2) =45（cm2) 火柴盒的外盒只有4个面，本题多算了两个侧面 易错点3：未掌握求不规则物体体积的方法 张叔叔先将长7m、宽4m、高1m的水池注满水，然后把两条长2m、宽 1.5m、高2m的石柱竖着放入池中，水池溢出的水的体积是多少？ 错解：2×1.5×2×2=12(m3) 正解：2×1.5×1×2=6(m3) 一误把两个后柱的体积当作溢出水的体积 转化思想 类比思想 通过长方体和正方体的展开图学 根据长方体与正方体的关系，推导出 习表面积的意义，渗透了转化 正方体的体积计算公式，体现了类比 识 思想。 思想。 拓 长方体的体积=长× 宽×高 上 后 长方体6个面的面积和 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 左 入 右 即为长方体的表面积。 前对照学参考答案 3长方体和正方体 ①长方体和正方体的认识 ③长方体和正方体的体积 第1课时长方体 第1课时体积和体积单位 1.(1)长方64下 1.(1)dm3(2)cm3(3)dm (2)86后 (4)cm3 (3)2 2.(1)B(2)C 2.76÷4-8-5=6(cm) 3.30158 3.（50+25+30)×4+30=450(cm) 4.6×5×3=90(cm3) 第2课时 正方体 第2课时 长方体和正方体的 1.(1)×(2)V(3)× 体积 (4)× 1.(1)×(2)V(3)× 2.(1)4(2)16 2.8×3×5=120(dm3) 3.黄色 3.80×80×80=512000（cm3) 4.40÷8=5(cm)5×2=10(cm) 512000÷200=2560(cm) (10+5+5)×4=80(cm) 4.原来长方体的长、宽： ②长方体和正方体的表面积 60÷4÷3=5(cm) 1.(1)D(2)⑤ 原来长方体的高：5+3=8（cm) 2.3.2×3.2×5=51.2（dm2) 原来长方体的体积： 3.切面的面积：160÷2=80(cm2) 5×5×8=200(cm3) 工人师傅可能是平行于长方体的上（或 第3课时体积单位间的进率 下)面（即长和宽所在的面）切割的。 1.(1)9000000.9(2)240 -3- Q新学期对照学数学五年级下册RJ (3)90300 120×40×3=14400(块)》 2.C 第4课时 容积和容积单位 3.2dm=20cm 1.35000.63.850002400 45÷5=9（块) 2400000 30÷5=6(行) 2.48L=48dm48÷(4×4)=3(dm) 20÷5=4(层) 3.1.6×1.6×1.6=4.096(dm3) 9×6×4=216（块) 4.096÷0.8=5.12(dm2) 最多能切成216块。 5.12×2.5=12.8（dm3) 4.6m=600cm 4.20×15×16=4800(cm3) 2m=200cm 10×10×10=1000(cm3) 600÷5=120（块) 4800-1000=3800(cm3) 200÷5=40(行) 3800÷(15×15)=-152(cm) 15÷5=3(层) 4分数的意义和性质 ①分数的意义 小华第二天喝的水多。 4. 第1课时分数的产生和意义 第一次第二次 1.（1)五年级总人数五年级总人数 第二次用去的长度占全长的二。 95 第2课时 分数与除法 （2)全书的页数103 (3) 1(1)8 (2) (3)1010 25 2.（1)A (2)D (3)B 2名日 5 32:15=号 3. 4.85÷（1+2+3+1)=12(组)… 1(个) 第一天 第二天 按排列顺序，剩余气球为紫色。 -4-