3.3 第1课时体积和体积单位-【随堂笔记】2025-2026学年五年级下册数学（人教版）

本书练习题参考答案 本书练习题参考答案 1观察物体（三) 观察物体（三】 举一反三 ②提素养 摆这个几何体最少需要5个小正方体，最多需要 6个小正方体。 从前面看 从左面看 第1单元要点总结 要点（①）练习 12.(1)我同意他的看法。 1.()()(V)(V) (2)还有其他的形状。（答案不唯一） 2.(1)③④⑤⑦ (2)①②810 (3)⑨ 要点2)练习 1.113 2因数和倍数 1.因数和倍数的认识 做一做 (2)是 4是24的因数，24是4的倍数 (3)如果两个数是同一个数的倍数，那么它们的 13是26的因数，26是13的倍数。 和或差也是这个数的倍数。 25是75的因数，75是25的倍数。 2.56÷7=8(个) 9是81的因数，81是9的倍数。 56÷8=7(个) 举一反三 答：一共有2种装法。第一种装法每盒装7块， C 1需要8个盒子；第二种装法每盒装8块，需要 ②提素养 7个盒子。 1.(1)是 167 荣恒随堂笔记·数学·五年级·下册·RJ 2.2、5、3的倍数 第1课时2、5的倍数 做一做 1(4)54,28,126 37,325 2的倍数：106,60,130,280,6018。 ②提素养 5的倍数：35,60,75,130,280 11.五(2)班的午餐费肯定统计错了。因为午餐费 既是2的倍数，又是5的倍数：60,130,280。 每人5元，所以每个班的午餐费的总钱数一定是5 发现：既是2的倍数，又是5的倍数的数的个位上 的倍数，个位上一定是0或5，所以218是错的。 是0。 2.当小狗跑的次数是奇数时，小狗停在乙树；当小 举一反三 (1)a-2a+2 狗跑的次数是偶数时，小狗停在甲树。2022是偶数， (2)105 所以小狗跑了2022次时，小狗停在甲树：2023是 (3)90 奇数，所以小狗跑了2023次时，小狗停在乙树。 第2课时3的倍数 做一做 「数，所以这个多位数不是3的倍数。 2④，⑨6是3的倍数。 1答：这个多位数不是3的倍数。 在24后面可放数字卡片：可，3，⑥，⑨： Q提素养 在⑤8后面可放数字卡片：2，⑤，⑧。 11.自动铅笔和橡皮的总价是50-2×15=20（元）。 在④⑦后面可放数字卡片：①，④，⑦。 因为买3支自动铅笔和3块橡皮的总价是3的倍 在⑨⑥后面可放数字卡片：可，3，⑥，⑨。 数，而20不是3的倍数，所以售货员阿姨把账算 举一反三 错了。 2023÷3=674…1这个多位数第2023位上是4， 2.2023×5=10115,1+0+1+1+5=8,8+☐是3 4+5+6=15,15是3的倍数，674个15也是3的倍数， 但这个多位数的最后一个数位上是4,4不是3的倍 的倍数，所以口里最大可以填7，最小可以填1。 3.质数和合数 第1课时质数和合数 举一反三 7×17=119(m2) 2783149 11×13=143(m2) ②提素养 答：这个长方形停车场的面积可能是95m2 1.421,22,24 1317 119m2或143m2。 2.48÷2=24(m) 24=5+19=7+17=11+13 5×19=95(m2) 168· 本书练习题参考答案 第2课时探究和的奇偶性 举一反三 具体翻动方法如下：（方法不唯一） 不能完成这个分配任务。因为大学生志愿者的人数 翻动次数 杯口朝向 37是奇数，每个赛场派奇数名，有4个赛场，4个 未翻动 下 下 下 下 下 奇数相加，和一定是偶数，不可能是奇数，所以不 第一次翻动后 上 上 上 下 能完成这个分配任务。 第二次翻动后 上下 下 上 下 Q提素养 第三次翻动后上上 上 上 上 1.如果每次翻动2个杯子，经过多次翻动不能使2.奇数在1~297的自然数中，共有148个偶数。 5个杯子的杯口全部朝上。 149个奇数。148个偶数的和是偶数，149个奇数 如果每次翻动3个杯子，经过多次翻动能使5个！ 的和是奇数，偶数+奇数=奇数，所以正文部分 杯子的杯口全部朝上。 标的所有页码加起来的和是奇数。 第2单元要点总结 要点①)练习 要点（③）练习 (1)40÷2=20(人)答：参加跑步的有20人。1 两个质数的和是奇数，则其中必有一个质数为2。 (2)余下的同学报的数都是奇数，其中3的倍数有：1假设小明抽中了2，小刚抽中的可能是7-2=5， 3,9,15,21,27,33,39。 21-2=19或49-2=47,2×5=10,2×19=38， 答：跳绳的有7人。 12×47=94。 (3)两批同学离开后，余下同学的报数是5的倍数「答：这两个质数的积可能是10,38或94。 的有：5,25,35 要点(4)练习 答：有3人去拿足球。 (1)不公平奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数， 要点(2)练习 所以指针指向几，按顺时针方向数相应的格数， (1)7 18,453,120,30,21,15,42,24,4 得到的都是偶数，所以无论怎样转转盘都是小 (2)4 亮赢。 (3)答案不唯一，从文中选取一个奇数一个偶数即 (2)(答案不唯一)小明转转盘，指针指向奇数小 可，如：21和4。 明赢，指向偶数小亮赢。 3 长方体和正方体 1.长方体和正方体的认识 0做-做（例2】 、1 举一反三 略 (1)× (2)×(3)× 2做-做（例3】 ②提素养 (1)至少需要8个小正方体。 1.(答案不唯一）选择8根7cm的小棒和4根4cm (2)可以有4种不同的搭法。（记录长、宽、高略）↓ 的小棒8×7+4×4=72(cm)72÷12=6(cm) (3)发现：搭成的长方体实际是一个正方体。 答：要准备6cm的小棒，准备12根。 169 荣恒随堂笔记·数学·五年级·下册·RJ 2.黄色。因为从第一个和第二个正方体可以看出黑「是黑色，从第三个正方体可以知道蓝色也与绿色相 色与黄色和绿色相邻，那么再观察第四个正方体可 邻，那么它只可能是在黄色的对面，也就是第四个 以知道白色对面，也就是第四个正方体的正下方就「 正方体面向里面的那一面。所以蓝色的对面是黄色。 2.长方体和正方体的表面积 做一做 1(2)4×3+3×3×2+4×3×2-4.8=49.2(m2) (V)(V)() 答：这个房间至少需要面积为49.2m的墙纸。 1做一做（例1） 1②提素养 (0.75×1.6+0.5×1.6)×2+0.75×0.5=4.375(m2)1 1.2.8×(12×8+12×3×2+8×3×2-12)= 答：至少需要用4.375m2布料。 571.2（元) 举一反三 答：一共需要付涂料费571.2元。 (1)4×3=12(m2) 12.(8×1+8×3+1×3)×2-1×1×4=66(cm2) 答：地板砖的面积是12m2。 答：切掉正方体后的表面积是66cm2。 3.长方体和正方体的体积 第1课时体积和体积单位 做一做 12.0.06×5=0.3(m3) 1.长度面积体积 答：这根木料的体积是0.3m3。 联系：平方厘米和立方厘米都是基于厘米衍生出 举一反三 (1)×(2)× (3)× 来的计量单位。 1cm2=1cm×1cm1cm3=1cm×1cm×1cm ①提素养 2.1×1×1×9=9(cm3)1×1×1×8=8(cm3) 11.80÷4÷(4-2)=10(dm) 1×1×1×6=6(cm3)1×1×1×4=4(cm3)1 10×10×10=1000(dm3) 答：它们的体积各是9cm3、8cm3、6cm3、4cm3。 答：原正方体的体积是1000dm3。 12.(1）10cm=0.1m100×70×0.1=700(m3) 1做一做（例1) 700m3=700方答：需要三合土700方。 1.15×7×5=525(cm3) (2)6cm=0.06m100×70×0.06=420(m3) 答：它的体积是525cm3。 420m3=420方答：需要煤渣420方。 第2课时体积单位间的进率 做一做 @提素养 1.35000.7250000 11.2m=20dm8.64÷4×20=43.2(dm3) 2.24cm=0.24m15×3×0.24=10.8(m3) 1答：这根木料的体积是43.2dm3。 525×10.8=5670(块) 12.40cm=0.4m 答：至少要用砖5670块。 占地面积：2×0.4=0.8(m2) 举一反三 表面积：2×0.4+2×1.5×2+0.4×1.5×2=8(m2) 9dm=0.9m 3.5dm=0.35m 体积：2×0.4×1.5=1.2(m3) 0.9×0.35×1=0.315(m3) 答：这个水箱占地面积0.8m2,需要用8m的玻璃， 答：这个书柜的体积是0.315m3。 1它的体积是1.2m3。 170· 本书练习题参考答案 第3课时容积和容积单位 0做-做 50×40×20-10×10×10=39000(cm3) 略 39000÷(50×40)=19.5(cm) 举一反三 答：玻璃缸中的水面高19.5cm。 (10-2×1)×(8-2×1)×(5-1)=192(dm3) 12.96L=96dm 192dm3=192L 答：这个水槽的容积是192L。 96÷(6×4)=4(dm) @提素养 6-4=2(dm) 1.1dm=10cm 答：水面的高度是4dm,水面距鱼缸口2dm。 第3单元要点总结 要点（①）练习 1(2)60×40+40×2×2+60×2×2=2800(m2) 1.(1)正方形(2)6 答：贴瓷砖的面积是2800m2。 2.4×4+11×2+22×2+26=108(cm) 1(3)60×40×2=4800(m3) 答：要捆扎这个礼品盒至少需要准备108cm的丝带。 4800×1=4800(t) 要点(2)练习 答：这个游泳池最多可以装4800t水。 1.mL cm'L m' 2.54500004803.089.079070 4.5 4500 要点(4)练习 要点③)练习 3 dm=30 cm (1)60×40=2400(m2) 30×30×(18-15)=2700(cm3) 答：游泳池的占地面积是2400m2。 答：石块的体积是2700cm3。 4 分数的意义和性质 1.分数的意义 第1课时分数的产生和意义 4做一做 的品不一定一样多。 44 @提素养 2 2 11.(答案不唯一，合理即可，画图略)(1)在框中 「画一块月饼，把这块月饼平均分成5份，把其 好名 10 中的3份圈起来。(2)在框中画10个苹果， 100 把10个苹果平均分成5份，把其中的3份圈起来。 4.(1) 3 (2)日 12 2.（1)二十分之一把世界森林覆盖面积看作单位 6 “1”，平均分成20份，我国森林覆盖面积 举一反三 约占其中的1份。 这两个学校选出的学生人数不一定一样多。因为阳 (2)五分之三把全国青少年总人数看作单位 光小学和新星小学的学生总数都是未知的，也就是 “1”,平均分成5份，其中我国青少年近 两个单位“1”代表的具体人数无法确定，所以各自 视的人数约占其中的3份。 171 荣恒随堂笔记·数学·五年级·下册·RJ 第2课时分数与除法 做一做 (2)19÷25=19 5 1.g584 答：女生人数是男生人数的号 2.4÷9=4 9 1(3)25÷44=25 4 答：金丝猴的数量是大象的 答：男生人数占全班人数的 44 举一反三 Q提素养 (1)19÷44=19 44 40x4÷5=32(棵)3+4)÷32=7（时D】 答：女生人数占全班人数的9 4 答：平均栽1棵柳树需要了小时。 32 2.真分数和假分数 做一做 1令合是直分数，子多名总是假分数 7777777 1’2’3’4’5’6’7 提素养 2 113=号-3号（道） 3 13÷4=13=32(道) 4 表示真分数的点在0与1之间的那一段上（不包 括0和1)，表示假分数的点在1或1的右边。 16÷5=9=3（道 5 答：丽丽平均每分钟做32道题，红红平均每分钟 2 做3】道题，芳芳平均每分钟做3道题。 努号沿2 2.23÷5=4…3或23÷4=5…3 1 举一反三 a)g8日 答：这个假分数是孕或号，化成带分数是5或 4 (2)13 4 1 3.分数的基本性质 举一反三 (3)扩大到原来的16倍 20327169644104805 12.48÷(7+5)=4 ②提素养 5-5×4-20 77×428 1.(1)第小到原来的好 答：原来这个分数是20 (2)扩大到原来的4倍 8 172· 本书练习题参考答案 4.约分 第1课时最大公因数 0做一做 1 举一反三 1.16的因数 24的因数 6和12的最大公因数是6；8和24的最大公因数 1,2,3,4, 1是8；9和11的最大公因数是1；13和28的最大 1,2,4, 8,16 6,8,12,24 公因数是1。 !发现：当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数 16的因数24的因数 是较小的那个数；当两个数只有公因数1时，它们 16 1,23,6, ,的最大公因数是1。 4,⑧12,24 ②提素养 16和24的公因数 11.56和40的最大公因数是8，即每排最多有8人。 2.是12的因数而不是18的因数：4,12： 男生：56÷8=7（排）女生：40÷8=5（排） 是18的因数而不是12的因数：9,18： 答：每排最多有8名学生，这时男生有7排，女 12和18的公因数：1,2,3,6。 生有5排。 3.4和8的最大公因数是4；12和36的最大公因数 2.7 dm=70 cm 5 dm =50 cm 4.5 dm=45 cm 是12；1和7的最大公因数是1；8和9的最大公 70、50和45的最大公因数是5，所以最大可以锯 因数是1；5和11的最大公因数是1；12和35的1 成棱长是5cm的正方体木块，而又不浪费材料。 最大公因数是1。 (70÷5)×(50÷5)×(45÷5)=1260(个) 发现：当两个数成倍数关系时，较小的数是它们 答：最大可以锯成棱长是5cm的正方体木块，而 的最大公因数；当两个数只有公因数1时，它们 又不浪费材料，这时可以锯成1260个。 的最大公因数是1。 第2课时约分 做一做 2.(1)30-6 21=330>21 6513 91136591 1.最简分数： 151017316 1621309111 (2)14-7 49_714-49 1896391863 化简分数： 3)号号号品9 30-5 3024 12-19-3 48415 5 ②提素养 11.18÷(7-4)×4=24 1 24+18=42 举一反三 答：这个分数原来是24 2 716,46(圈圈略) 1.最简分数有：2'9’25 2.4×5×2×2×3×3-720 9×5×2×2×3×31620 格名品片袋品 46-2321-3 答：原来的分数是720 1620 7839284 173 荣恒随堂笔记·数学·五年级·下册·RJ 5.通分 第1课时最小公倍数 做一做（例1) 做一做（例3】 3的倍数 4的倍数 40以内6的倍数有：6,12,18,24,30,36， 1 40以内9的倍数有：9,18,27,36， 3,6,9,15 4,8,16, 40以内6和9的公倍数有：18,36， 18,21,27,2,24,20,28, 所以可能是18或36人。 30,… 举一反三 165247821249930126 3和4的公倍数 @提素养 做-做.（例2】 11.(1)a 3和6的最小公倍数是6；2和8的最小公倍数是8；↓ (2)2310 5和6的最小公倍数是30；4和9的最小公倍数是 (3)64144 36;3和9的最小公倍数是9；5和10的最小公倍 12.300÷3=100(秒) 数是10。 300÷4=75(秒) 发现：当两个数成倍数关系时，它们的最小公倍数「 300÷2=150(秒) 是其中的较大数；当两个数只有公因数1时，它们 100,75和150的最小公倍数是300。 的最小公倍数是这两个数的积。 1 答：至少经过300秒三人又同时从原出发点出发。 第2课时通分 1做一做（例4） 5_5×4_207_7×3-21 66×424 8=8×3=24 ><<><<<> 3_3×9-27 2-2×7-14 做一做（例5） 7=7×963 99×763 4-4×2-8 77 1.<>>= 99×2181818 说一说：同分母分数比较大小，只需比较分子的 3_3×9_27 5-5×8-40 大小，分子大的分数大；同分子分数比较大小， 88×972 99×872 只需比较分母的大小，分母小的分数大。分母、【举一反三 分子都不相同的分数比较大小，可以化成同分子(1)551520441220 分数后，再比较大小；也可以先通分化成同分母1(2)881624332124 分数，再比较大小。 (3)101040110111177110 2.2=2×5-101=1x3-3 @提素养 33×515 55×3-15 1.(竖排)166648323251575 3-3×2-65-5 754249696等于 44×2888 5=5×5-258=8×2=16 2解身号毅←解即 66×5301515×230 4=4×1L=46=6×7=42 4<2<3,所以大象跑得最快。 7341 77×11771111×7-77 答：大象获得了冠军。 174· 本书练习题参考答案 6.分数和小数的互化 做一做 ②提素养 品=09 =0.43 11. 100 名-028号-0277 47 0.250.375 0.50.6 0.875 因为0.25<0.277<0.28<0.43<0.7<0.9， 0 所以025<3<07< 109 举一反三 2.2≈0.67 1 3 3=0.6 12号3758号 23号>35>275>> 04<06<06,即04<号号 84 答：小明剩下的果汁最多，小军剩下的果汁最少。 第4单元要点总结 要点①)练习 要点③)练习 1) △△△△△△A 144+40+1=85(票) △△△△个公 44÷85=4 5 (2) 答：北京的票数占国际奥委会委员投票总数的4 5 要点④)练习 (3)3 11.72和84的最大公因数是12。 要点(2)练习 1(72+84)÷12=13(队) (1)43634 1 答：每队最多有12名学生，这时一共能排成13队。 199595 19 9595 (2)5÷20=号 12.4,6,15的最小公倍数是60。 60×3-1=179(颗) 答：AB型血的人数是O型血的人数的 4 答：这盒棋子有179颗。 5 图形的运动（三） 图形的运动（三） 2做-一做（例1） 举一反三 02逆时针90° (1)逆时针90°（或顺时针270°） 1做一做（例2） 1（2)逆时针（或顺时针)180° 略 (3)顺时针90°（或逆时针270°） 做一做（例3） ②提素养 A 1.(1)C(2)B(3)B 175 荣恒随堂笔记·数学·五年级·下册·RJ 第5单元要点总结 要点（①）练习 要点③练习 (1)3(2)10 (3)60 (4)12 (5)309 要点②)练习 （1)逆时针 (2)逆时针 要点(4)练习 (3)180°(4)90° 略 6分数的加法和减法 1.同分母分数加、减法 做一做 ①提素养 11.（答案不唯一)（1)1714 5 -577-7 21号品 (2)11113 举一反三 12.1+3=41-4=1 5+5=5 55 419 5610 答：全天喝了这桶水的等还剩下号 2.异分母分数加、减法 2做-做[例1(1)1 1举一反三 23525 13 4925114 24 82840 36 361515 1做-一做[例1(2)1 Q提素养 1名4吕6品品（验算略) 11.(1)2-1=5 7642 2.4-3=(kg) 5-4=20 答：第一天读得多，多读了全书的品。 4+3=3(kg) 5+420 (2)2+1-19 7+6=42 答：用的玉米面比黄豆面多kg,玉米面和黄豆1 20 答：两天一共读了全书的 42 面一共用了引kg 20 176·荣恒随堂笔记·数学·五年级·下册·RJ 3.长方体和正方体的体积 第1课时 体积和体积单位 课前·预习笔记 任务 笔记 重点心 知识点① 体积的意义（教材第27页） 物体所占空间的大小叫作物体的（体积)。物体所占的空间越大，物体的 体积就越（大）；物体所占的空间越小，物体的体积就越（小）。 重点心 知识点2 体积单位（教材第28页） 计量体积要用体积单位，常用的体积单位有（立方厘米）、（立方分米）和（立 方米)，用字母表示分别为(cm3)、(dm3)和(m3)。 （1)棱长是（1cm)的正方体，体积是1cm。 (2)棱长是（1dm)的正方体，体积是1dm3。 学 (3)棱长是（1m)的正方体，体积是1m3。 新 重点⑤ 知识点3长方体、正方体的体积计算公式（教材第29、30页） 知 长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示为V=a3。 难点心 知识点④长方体、正方体体积计算公式的应用（教材第30页例1）： 已知长方体的长、宽、高，可以直接运用长方体的体积计算公式求出长方 体的体积；已知正方体的棱长，可以直接运用正方体的体积计算公式求出正方 体的体积。 难点⑤ 知识点⑤长方体、正方体统一的体积计算公式（教材第31页） 长方体（或正方体）的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh。 体积的意义 常见的体积单位：立方厘米、立方分米和立方米 思路 体积和 长方体的体积=长×宽×高 体积单位 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 长方体（或正方体）的体积=底面积×高 44 3长方体和正方体 课堂·听课笔记 精批注 对应教材P27P31] 体积和体积单位 说一说：乌鸦是怎样喝到水的？ 石子占有一定的空间，水面升高。 实验观察： 1.准备两个同样大小的空杯子，将其中一杯装满水： 2.取一块小石头放进空杯子里，将第一杯中的水倒进这个杯子里； 小石头占有一定的空间。 物体占有一定 的空间。 3.换一块大一点的石头再试一试。 原本正好能装下 的水有了剩余。 你发现了什么？ 石头占了一部分空 石头越大，剩下的 间，水就剩下了。 水就越多。 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 大小不同的物体所 占空间有大有小。 0 最大 最小 上面的洗衣机、电饭锅和手机，哪个体积最大？哪个体积最小？ 大的物体所占的空间大，小的物体所占的空间小。 45 荣恒随堂笔记·数学·五年级·下册·RJ 怎样比较下面两个长方体体积的大小呢？提示·比较体积的大小，要用统一的体积单位。 把它们分成大小相同的小正方体，谁含有的小正方体的个裁多，谁的体积大。 想一想：计量长度有统一的长度单位，计量面积有统一的面积单位，计量体积是不是也 应该有统一的体积单位呢？ 计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写 成cm3、dm3和m3。 棱长1cm的正方体， 棱长1dm的正方体， 棱长1m的正方体， 体积是1cm3。 体积是1dm。 体积是1m3。 粉笔 手指尖的体积 粉笔盒的体积 用3根1m长的木条 大约是1cm3。 接近于1dm3。 可围出1m3的空间。 一粒花生米 一个魔方、 一台洗衣机、一张方桌。 一枚散子。 一个转动铅笔刀。 ①体积为1cm3、1dm或1m3的物体，不一定是棱长1cm、1dm、1m的正方体。 ②体积相同的物体形状不一定相同。 做=做 1.厘米、平方厘米、立方厘米分别是什么单位？它们有什么联系？ 1 cm 1 cm2 1cm3 2.下面是用棱长1c的小正方体拼成的几何体，它们的体积各是多少？ 体积为1Cm。 方法·含几个 1cm的正方 体，体积就是 多少立方厘米。 46 3长方体和正方体 用切成小正方体的方法来求长方体的体积有局限性，因为生活中多数物 体不能被切成小正方体，即使可以被切成，也不一定能正好切成整数个。 讨论一下：怎样计算长方体的体积？ 求长方体的体积就 把长方体分成若干 是看长方体有多少 单位体积的小正方 个体积单位。 体，就可以… 切割法 求出体积。 切割成多少个棱长 测量法： 是1cm的小正方 先分别测量出长方体的长 体，体积就是多少 宽、高各是多少厘米，再 立方厘米。 推算出长方体包含多少个 棱长是10m的小正方体 最后求出体积。 实验：用体积为1Cm3的小正方体摆成不同的长方体。说一说你是怎么摆的。 (1)把小组内摆法不同的长方体的相关数据填入下表。 用12个小正方体摆一摆 长 宽 高 小正方体的个数 长方体的体积 12 cm 1 cm 1cm 12个 12cm3 6cm 2cm 1 cm 12个 12 cm3 4 cm 3cm 1 cm 12个 12 cm 3cm 2 cm 2cm 12个 12cm3 数体积单位的个数。 12=1x1×12=1×2x6=1x3x4=2x2×3 (2)观察上表：摆出的长方体的体积与长、宽、高有什么关系？ 小正方体的个数。下 长方体所含体积单位的个数 长方体的体积正好等于 就是长方体的体积。 长×宽×高的积。 归 想 长方体所含小正方体的裁量=每行个数x行裁x层数 长方体的体积 长x宽x高 长方体的体积=长×宽×高 47 荣恒随堂笔记·数学·五年级·下册·RJ 如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方 体的体积计算公式可以写成： 长方体的长、宽、高都扩大 到原来的n倍，表面积扩大 V=abh 到原来的口倍，体积扩大到 原来的n倍。 变式：a= e bh ah ab 想一想：根据正方体和长方体的关系，正方体的体积应该怎样计算？ 正方体是长、宽、高都相等的特殊长方体。 长方体的体积=长x宽x高 正方体的体积=棱长×棱长x棱长 如果用字母V表示正方体的体积，用α表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式 可以写成： V=a·a·a a a·a·a也可以写作a3,读作 “a的立方”，表示3个a相乘 正方体的体积计算公式一般写成： V=a 1 保温箱的尺寸如下图所示，计算它们的体积。（单位：dm) 已知长方体的长、宽、高和正方体的棱长，求体积时，可以根据体积公式直接代入计算。 5 6 5 V=abh V=a =6×5×4 =53 =120(dm3) =5×5×5 =125(dm3) 48 3长方体和正方体 体积与表面积属于不同的量，无法比较大小。 长方体或正方体底面的面积叫作底面积。 长方体放置的方式不 同，底面也就不同，所 以求底面积时，一定要 底面 我准底面的长与宽。 底面 长方体的体积=长×宽×高 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 底面积 底面积 厅以，长方体和正方体的体积计算公式也可以这样表示： 长方体（或正方体）的体积=底面积×高 如果用字母表示底面积，上面的公式可以写成： 长方体（或正方体）的体积=某一个面的 V=Sh 面积×与这个面垂直的棱的长 计算长方体形状的物体的占地面积，就是求它的底面积 即下面的面积，也就是把物体的横截面面积看作底面积。 做一做 高 ,底面积 1,一块长方体豆腐的尺寸如下图所示， 2.一根长方体木料，长5m,横截面的面积 它的体积是多少？ 是0.06m。这根木料的体积是多少？ 15 cm cm 0.06m 乘飞机时免费行李的尺寸限制如下图。 ○生活中的数学◎ 40 cm 20.cm 55 100cm 随身行李 ≤40cm ←-60cm 托运行李 你知道其他交通工具关于行李尺寸的规定吗？ 49 荣恒随堂笔记·数学·五年级·下册·RJ 学方法 ○运用画图法解决求原长方体体积的问题 如图，一个长方体，若从下部和上部分别截去一个高为4dm的长方 3 dm 体和一个高为3dm的长方体后，就变成了一个正方体，此时，它的 表面积减少了336dm2。原来长方体的体积是多少立方分米？ 思路分析：把从下部截去的长方体移到上部，如下图： 3 dm 4 dm 解决此题的关健是 确定截去后图形减 7 dm 少了哪些面。 移动后的长方体 截去部分 从图中可以看出，实际减少的表面积是截去部分的前、后、左、右4个面的面积和， 也就是高为4+3=7(dm)的长方体侧面的面积和。根据截去后剩下的部分就 变成了一个正方体可知，原来长方体的底面是正方形，所以减少部分的长方体 的前、后、左、右4个面的面积相等。先根据“表面积减少了336dm2”求出底 面的边长，即原长方体的长和宽，进而可求出原来长方体的体积。 正确解答：336÷4÷(4+3)=12（dm) 12×12×(12+4+3)=2736(dm3) 答：原来长方体的体积是2736dm3。 ○运用倍数关系解决切割正方体（或长方体）的问题 有一个棱长是10dm的大正方体，如果把这个大正方体切割成棱长是2dm的小正方体，可 以切成多少个？将这些小正方体排成一行，有多长？ 思路分析：把一个大正方体切割成若干个小正方体，求可以切成多少个，有多种方法。 思路一：先分别算出大正方体的体积与小正方体的体积，再用大正方体的体积 除以小正方体的体积得出切成的个数。 思路二：先根据大正方体和小正方体的棱长计算出大正方体的棱长包含多少个 小正方体的棱长，再求出切成的个数。 最后用切成的小正方体的个数乘小正方体的棱长求出排成一行的长度。 正确解答：方法一：（10×10×10)÷(2×2×2)=125（个）2×125=250（dm) 方法二：(10÷2)×（10÷2)×(10÷2)=125（个）2×125=250(dm) 答：可以切成125个，将这些小正方体排成一行，长250dm。 -·50· 3长方体和正方体 课后·提升笔记 巧总结 总结：比较大小，不仅仅是比较“裁” ○易错点：混淆表面积和体积所表示的意义 还要比较裁后面的单位。单位类型不同 它们的意义也就不同，因此不能比较。 判断。 棱长是6cm的正方体，表面积和体积相等。 易错解读：棱长是6cm的正方体，虽然计算表面积和体积都是6×6×6，结果都是216， 但是表面积是216cm2,而体积是216cm3。单位不同，表示的意义也不同，所用的计算公 式也不同，因此表面积和体积不能比较大小，所以本题的正确答案为×。 举一反三 判断。 (1)1dm3比1dm2大。 ( (2)体积相等的两个长方体，它们的表面积也一定相等。 ( (3)两个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积和体积都不变 () 提示：一个正方体有6个面，两个有12 提素养 个面，拼成长方体后减少2个面。 1.一个正方体的高增加4dm后，再从下部截去一个高为2dm的长方体，得到一个长方体，它 的表面积比原正方体的表面积增加了80dm2,原正方体的体积是多少立方分米？ 提示增加的面是前、后、左、右4个面。 2.阳光小学要修建一个长100m、宽70m的长方形操场，准备先铺10cm厚的三合土，再 铺6cm厚的煤渣。 在工程上，1m3的土、沙 (1)需要三合土多少方？ 石等均简称“1方”。 提示：就是求两 个长方体的体积。 (2)需要煤渣多少方？ 51