1.3.4完全平方公式的应用　课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版(新教材）7年级下册培优精做课件 1.3.4完全平方公式的应用 第一章 整式的乘除 授课教师： . 班 级： 七年级（ ）班 . 时 间： . 2026年4月19日 北师大版数学七年级下册1.3.4完全平方公式的应用练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 一、基础应用题（每题5分，共30分） 1. 运用完全平方公式解决基础计算应用（重点巩固：灵活运用$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$，$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$，熟练进行公式正用、逆用，简化计算） （1）$$101^2$$（提示：转化为$$(100+1)^2$$） （2）$$99^2$$ （3）$$(x+3)^2 - 2(x+3)(x-2)$$ （4）$$(2x-1)^2 + (2x+1)^2$$ （5）$$(-x-4)^2$$ （6）$$(a+b)^2 - 4ab$$ 二、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 利用完全平方公式计算：$$102^2 = (100+2)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 2 + 2^2 =$$ ________； 2. 若$$(x-2)^2 = x^2 - 4x + k$$，则当x=5时，k的值为________； 3. 填空：$$a^2 + 6a + 9 = (\_\_\_)^2$$（逆用完全平方公式）； 4. 已知$$a - b = 3$$，$$ab = 2$$，则$$a^2 + b^2 =$$ ________（逆用公式求值）； 5. 化简：$$(x+2y)^2 - (x-2y)^2 =$$ ________（利用公式简化运算）。 三、判断改错题（每题5分，共15分） 判断下列应用完全平方公式的计算是否正确，错误的请改正（重点规避漏乘中间项、符号错误、公式误用，掌握应用技巧）。 1. $$98^2 = (100-2)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 2 = 9600$$ （ ） 改正：________ 2. $$(x+1)^2 - (x-1)^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 - 2x + 1 = 2$$ （ ） 改正：________ 3. $$(a-2b)^2 = a^2 - 4ab - 4b^2$$ （ ） 改正：________ 四、提升应用题（每题7分，共21分） 1. 化简并求值（完全平方公式与代数式求值结合，强化公式应用灵活性） （1）$$(x-3)^2 - (x+2)(x-2)$$，其中$$x = \frac{1}{2}$$ （2）$$(2a+b)^2 - (2a-b)^2$$，其中$$a = 2$$，$$b = -1$$ 2. 综合应用（重点突破公式逆用、混合运算，解决复杂应用问题） （1）$$(a+b+c)^2$$（提示：将$$a+b$$看作一个整体应用完全平方公式） （2）$$(x-2y)^2 - 2(x-2y)(x+y) + (x+y)^2$$ 五、拓展应用题（14分） 1. 一个正方形的边长为$$(2x-1)$$cm，另一个正方形的边长为$$(2x+1)$$cm，求这两个正方形的面积和（用完全平方公式计算），并求当x=3时，面积和是多少？ 2. 已知$$(a+b)^2 = 18$$，$$(a-b)^2 = 6$$，求$$a^2 + b^2$$和$$ab$$的值（灵活逆用完全平方公式求解）。 六、易错点专项练习（附加10分） 运用完全平方公式解决下列问题，注意公式转化、符号调整和结果化简，避免应用错误： 1. $$103^2$$ 2. $$(-2x+3y)^2 - (2x+3y)^2$$ 3. $$(a-1)^2 + 2(a-1)(a+1) + (a+1)^2$$ 参考答案 一、基础应用题 （1）$$100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10201$$ （2）$$(100-1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$$ （3）$$x^2 + 6x + 9 - 2(x^2 + x - 6) = -x^2 + 4x + 21$$ （4）$$4x^2 - 4x + 1 + 4x^2 + 4x + 1 = 8x^2 + 2$$ （5）$$x^2 + 8x + 16$$ （6）$$a^2 - 2ab + b^2$$ 二、基础填空题 1. 10404 2. 4 3. $$a + 3$$ 4. 13 5. $$8xy$$ 三、判断改错题 1. 错误，改正：$$98^2 = (100-2)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 2 + 2^2 = 9604$$ 2. 错误，改正：$$(x+1)^2 - (x-1)^2 = x^2 + 2x + 1 - (x^2 - 2x + 1) = 4x$$ 3. 错误，改正：$$(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2$$ 四、提升应用题 1. （1）化简：$$x^2 - 6x + 9 - (x^2 - 4) = -6x + 13$$，代入$$x = \frac{1}{2}$$，得$$-6 \times \frac{1}{2} + 13 = 10$$ （2）化简：$$4a^2 + 4ab + b^2 - (4a^2 - 4ab + b^2) = 8ab$$，代入$$a = 2$$，$$b = -1$$，得$$8 \times 2 \times (-1) = -16$$ 2. （1）$$(a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$$ （2）$$[(x-2y) - (x+y)]^2 = (-3y)^2 = 9y^2$$ 五、拓展应用题 1. 面积和$$S = (2x-1)^2 + (2x+1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 + 4x^2 + 4x + 1 = 8x^2 + 2$$（$$cm^2$$）；当x=3时，$$S = 8 \times 3^2 + 2 = 72 + 2 = 74$$（$$cm^2$$），答：两个正方形的面积和是$$8x^2 + 2$$$$cm^2$$，x=3时面积和是74 $$cm^2$$。 2. 由$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 18$$，$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 6$$，两式相加得$$2(a^2 + b^2) = 24$$，解得$$a^2 + b^2 = 12$$；两式相减得$$4ab = 12$$，解得$$ab = 3$$，答：$$a^2 + b^2 = 12$$，$$ab = 3$$。 六、易错点专项练习 1. $$(100+3)^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609$$ 2. $$4x^2 - 12xy + 9y^2 - (4x^2 + 12xy + 9y^2) = -24xy$$ 3. $$[(a-1) + (a+1)]^2 = (2a)^2 = 4a^2$$ 说明：本套练习题围绕北师大版七年级下册1.3.4完全平方公式的应用核心知识点设计，重点突出完全平方公式在简化计算、代数式求值、实际问题、公式逆用和混合运算中的应用，涵盖基础应用、综合应用和拓展应用，贴合教材例题难度，兼顾基础巩固与能力提升，帮助学生熟练掌握完全平方公式的应用技巧，规避漏乘中间项、符号错误、公式误用、逆用不灵活等常见易错点，深化对公式的理解与运用。 2026年4月19日星期日6时36分5秒 学习目标 1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导完全平方公式. 2.掌握完全平方公式，能正确运用公式进行简单计算和推理. 3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 前面我们学习了完全平方公式： 复习导入 口诀:首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中间。 (1) 1022=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404 新课探究 怎样计算1022，1972更简单呢? (2)1972=(200-3)2 =2002-2×200×3+32 =40000-1200+9 =38809 你是怎样做的?与同伴进行交流。 1.3.4 完全平方公式的应用 教学课件 第1页：复习回顾 1. 完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；(a-b)²=a²-2ab+b² 2. 结构口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中间，符号随括号内符号定 3. 提问：公式中a、b可以表示哪些数或式子？（引导学生明确a、b可表示单项式、多项式） 第2页：基础应用·直接套用 例1：计算下列各式 （1）(2x+3y)² （2）(m-5)² （3）(-a+2b)² 教学步骤： 1. 学生独立尝试，指名板演；2. 师生共评，强调找准“首、尾”，规范步骤；3. 小结：含负号时可转化为(a+b)²形式计算，如(-a+2b)²=(2b-a)² 第3页：进阶应用·简便计算 例2：用完全平方公式简便计算 （1）102² （2）99² 教学步骤： 1. 引导转化：102=100+2，99=100-1；2. 学生分组计算，分享思路；3. 小结：将接近整十、整百的数拆成“整十/百数±小数”，简化运算 第4页：易错辨析·避坑指南 常见错误展示与纠正： 1. 错误：(x+2)²=x²+4 纠正：遗漏中间项2·x·2=4x，正确结果x²+4x+4 2. 错误：(3a-2b)²=9a²-6ab+4b² 纠正：中间项系数应为2·3a·2b=12ab，正确结果9a²-12ab+4b² 3. 小组讨论：如何避免上述错误？（强化“积的2倍”不可漏，系数要乘满） 第5页：拓展应用·整体代入 例3：已知a+b=5，ab=3，求a²+b²的值 教学步骤： 1. 引导变形：a²+b²=(a+b)²-2ab；2. 代入数值计算：5²-2×3=25-6=19；3. 小结：利用公式变形，将未知转化为已知条件，渗透整体思想 第6页：课堂小结 1. 完全平方公式应用的三种常见类型：直接套用、简便计算、整体代入 2. 核心要点：找准首末项，牢记中间项，符号细分辨，变形巧应用 3. 思想方法：转化思想、整体思想、数形结合思想（回顾公式几何意义） 例6 计算： （1）(x+3)2-x2； （2）(a+b+3) (a+b-3)； （3）(x+5)2-(x-2)(x-3)； （4）[(a+b)(a-b)]2。 解： （1）(x+3)2-x2 =x2+6x+9-x2 =6x+9； （2）(a+b+3) (a+b-3) = [(a+b)+3][(a+b)-3] = (a+b)2-32 = a2+2ab+b2-9 例6 计算： （1）(x+3)2-x2； （2）(a+b+3) (a+b-3)； （3）(x+5)2-(x-2)(x-3)； （4）[(a+b)(a-b)]2。 （4） [(a+b)(a-b)]2 = (a2- b2)2 = a4-2a2b2+b4。 （3）(x+5)2-(x-2)(x-3) = x2+10x+25-(x2-5x+6) = x2+10x+25-x2+5x-6 = 15x+19 利用整式乘法公式计算： (1) 962 (2) (a-b-3) (a-b+3) 解：962 =(100-4)2 =1002-2×100×4+42 =10000-800+16 =9216 解：(a-b-3) (a-b+3) =(a-b)2-32 =a2-2ab+b2-9 随堂练习 观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论。 观察·思考 … 1×1 2×2 3×3 解:m×m 点阵中的点数:m2； n×n 点阵中的点数:n2； m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和:m2+n2； (m+n)×(m+n)点阵中的点数:(m+n)2。 (m+n)2-(m2+n2)＝m2+2mn+n2-m2-n2＝2mn。 所以(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和不一样多。 … 1×1 2×2 3×3 返回 1．用简便方法计算9.52，下列变形正确的是(　　) A．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52 B．9.52＝(10＋0.5)(10－0.5) C．9.52＝92＋0.52 D．9.52＝92＋9×0.5＋0.52 A 中考考法 10 2．如图①是由4个相同的白色长方形和1个灰色的正方形拼接而成的正方形瓷砖，图②是由5个白色的长方形(每个长方形大小和图①相同)和1个灰色的不规则图形构成的长方形瓷砖．已知图①和图②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色 长方形的面积为________． 8 中考考法 11 3．利用简便方法计算： (1)499.92； 【解】499.92＝(500－0.1)2＝5002－2×500×0.1＋0.12＝250 000－100＋0.01＝249 900.01. 中考考法 12 (3)2 0262－4 050×2 026＋2 0252； 返回 【解】2 0262－4 050×2 026＋2 0252＝2 0262－2× 2 025×2 026＋2 0252＝(2 026－2 025)2＝12＝1. 中考考法 13 返回 中考考法 14 5．计算： (1)(3x－1)2－(2x＋5)2； (2)(m＋n)2(m－n)2； 【解】(3x－1)2－(2x＋5)2＝9x2－6x＋1－(4x2＋20x＋ 25)＝9x2－6x＋1－4x2－20x－25＝5x2－26x－24. (m＋n)2(m－n)2＝[(m＋n)(m－n)]2＝(m2－n2)2＝ m4－2m2n2＋n4. 中考考法 15 (3)2(a＋3)2－4(a＋3)(a－3)＋3(a－2)2. 返回 【解】2(a＋3)2－4(a＋3)(a－3)＋3(a－2)2＝2(a2＋6a＋ 9)－4(a2－9)＋3(a2－4a＋4)＝2a2＋12a＋18－4a2＋36＋3a2－12a＋12＝a2＋66. 中考考法 16 课堂小结 简便运算 混合运算 平方差公式的应用 实际应用:运用完全平方公式进行推理 课堂小结 ＝＝3 600＋60＋＝3 660. (2). 【解】原式＝4x2－12xy＋9y2－4x2＋y2＝－12xy＋10y2，当x＝－，y＝1时，原式＝－12××1＋10×12＝2＋10＝12. 4．先化简，再求值：(2x－3y)2－(2x＋y)(2x－y)，其中x＝－，y＝1. $