23.4实际问题与一次函数 同步练 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十三章 一次函数 23.4实际问题与一次函数 第1 课时 分段函数 知识要点分类练 夯实基础 知识点 一次函数的简单应用 1.某市出租车的收费标准如下表： 里程数 收费/元 3km以下(含3km) 8 3km以上每增加1km 1.8 设行驶里程数为x km，收费为 y元，则y与x(x≥3)之间的关系式为 ( ) A. y=8x B. y=1.8x C. y=1.8x+2.6 D. y=1.8x+8 2.某书定价8元/本，如果一次性购买10本以上，超过10本的部分打八折，那么付款金额y(元)与购书数量x(本)之间的函数关系如何?同学们对此展开了讨论： (1)小明说：“y与x之间的函数关系式为y=6.4x+16.” (2)小刚说：“y与x 之间的函数关系式为y=8x.” (3)小聪说:“当0≤x≤10时,y 与x 之间的函数关系式为y=8x;当x>10时,y与x之间的函数关系式为y=6.4x+16.” (4)小斌说：“我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系.” 购书数量/本1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元8 16 24 32 … 72 80 86.49 92.8 … (5)小志补充说：“如图23-4-1所示的图象也能 表 示它 们之间的关系.” 其中，表示函数关系正确 的 有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.某风景区集体门票的收费标准是20人以内(含20人)，每人25元；超过20人，超过部分每人10元. (1)写出应收取的门票费用y(元)与游览人数x(人)之间的函数解析式； (2)利用(1)中的函数解析式计算：某班54名学生去该风景区游览时，购买门票共花了多少元? 4.为加强居民节水意识，某市采用如下水费收取标准：每月用水量不超过13 m³时，每立方米4元；超过13m³时，超出的部分每立方米6元.设某用户月用水量为x m³，水费为 y 元. (1)求y关于x的函数解析式； (2)若该用户某月预计水费为58元，实际水费为50元，则该用户在该月实际用水比预计用水少用了多少立方米? 规律方法综合练 训练思维 5.一个有进水管与出水管的空容器，从某时刻开始的4m in内只进水不出水，在随后的8 min 内既进水又出水，每分钟进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y(单位:L)与时间x(单位: min)之间的关系如图23-4-2所示. (Ⅰ)根据题意填空：每分钟进水 L，出 水 L ; (Ⅱ)当0≤x≤12时,直接写出y与x之间的函数关系式； (Ⅲ)若后面既进水又出水状态保持不变，共需多少分钟容器刚好有50 L水? 6.根据以下素材，探索完成任务. 杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅 素材1 某快递公司规定：(1)从当地寄送杨梅到 A 市按质量收费：当杨梅质量不超过10千克时，需要寄送费32元；当质量超过10千克时，超过部分另收m 元/千克. (2)寄送杨梅质量均为整数千克 素材 2 电子存单1 电子存单2 电子存单3 托寄物：杨梅 包装服务：某 快递公司 计量质量： 7千克 件数：1 总费用：32元 托寄物：杨梅 包装服务：某 快递公司 计量质量： 12千克 件数：1 总费用：44元 托寄物：杨梅包装服务：某快递公司 计量质量： 15千克 件数：1 总费用：62元 (1)根据以上信息，请确定m 的值，并求出杨梅质量超过10千克时寄送费用y(元)关于杨梅质量x(千克)的函数关系式； (2)若杨梅质量为25 千克，请求出最省钱的寄送费用. 第2课时 选择方案问题一 知识要点分类练 夯实基础 知识点 最优选择方案 1.某市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升.为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图23-4-3所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同.看图解答下列问题： (1)直接写出当员工生产多少件产品时，两种方案付给员工的报酬一样多； (2)求方案二y 关于x的函数解析式；(不用体现自变量的取值范围) (3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案? 2.( 材练习变式)在2025年春节档，动画电影《哪吒之魔童闹海》取得了显著的好成绩，为观众带来了一场视觉与心灵的盛宴，也为国产乃至世界动画电影的发展树立了新的标杆.上映前期，为了宣传，公司准备印制大量海报，其中有两家印刷厂报价. 甲厂收费标准：每份海报收2.5元印刷费，另收6000元的制版费； 乙厂收费标准：每份海报收5元的印刷费，不收制版费. (1)分别写出两家印刷厂的收费 y甲(元)，yz(元)与印刷数量x(份)之间的函数关系式(不要求写自变量的取值范围)； (2)如果公司要印刷3000 份海报，选择哪家印刷厂可以节省印刷费用? (3)如何选择印刷厂可以节省印刷费用? 规律方法综合练 训练思维 3.某通信公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表： A方案 B方案 C方案 每月基本费用(元) 20 56 266 每月免费使用流量(兆) 1024 m 无限 超出后每兆收费(元) n n A，B，C三种方案每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数关系如图23-4-4 所示. (1)填空:m= ,n= ; (2)在A 方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数解析式； (3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算? 拓广探究创新练 提升素养 4.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽礼盒和用2000 元购进的豆沙粽礼盒盒数相同. (1)求每盒肉粽礼盒和每盒豆沙粽礼盒的进价. (2)商家计划只购进豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有 A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案： A厂家：一律打8折出售； B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25 盒，超过的部分打7折. 该商家计划购进豆沙粽礼盒x 盒(x>0)，设去A厂家购买应付y₁元，去B厂家购买应付y2元,其函数图象如图23-4-5 所示. ①分别求出y₁，y₂与x之间的函数解析式； ②若该商家只在一个厂家购进，则选择哪个厂家比较划算? 第3课时 选择方案问题二 知识要点分类练 夯实基础 知识点 利润最大、成本最小问题 1.某商店计划购进普通练习本和精装练习本一共500个，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍(两种练习本都购进).已知普通练习本的进价为2元/个，售价为3元/个，精装练习本的进价为 7 元/个，售价为10元/个.设购进普通练习本x个，购进的练习本全部售完获得的利润为W 元. (1)求W 关于x的函数解析式； (2)该商店应如何进货才能使全部售完后获得的利润最大?求出最大利润. 2. 2025年6月5日是第54个“世界环境日”.为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比购买4盏乙种路灯的费用少140元. (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的1 请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少. 规律方法综合练 训练思维 3.某市要将260t物资从该市区运往该县甲、乙两地，若用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性运完这批物资。已知这两种货车的载重量分别为16 t/辆和10 t/辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 车型 运往地 甲地(元/辆) 乙地(元/辆) 大货车 720 800 小货车 500 650 (1)求这两种货车各用多少辆； (2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为ω元，求出w与a的函数关系式； (3)在(2)的条件下，若运往甲地的物资不少于132 t，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费。 拓广探究创新练 提升素养 4.某旅客携带行李乘飞机，登机前，旅客可选择托运或快递行李，托运费y₁(元)与行李质量x(千克)的对应关系由如图23-4-6所示的一次函数图象确定。下表列出了快递费 y₂(元)与行李质量x(千克)的对应关系： 行李质量x(千克) 快递费 不超过1千克 10元 超过1千克但不超过5千克的部分 3元/千克 超过5千克但不超过15千克的部分 5元/千克 (1)如果旅客选择托运，那么可携带的免费行李的最大质量为多少千克？ (2)如果旅客选择快递，当1⩽x⩽15时，求快递费y₂(元)与行李质量x(千克)的函数关系式； (3)某旅客携带25千克的行李，设托运m千克行李(10⩽m<24,m为正整数)，剩下的行李选择快递，当m为何值时，总费用y(元)的值最小？最少总费用是多少？ 第1课时 分段函数 1. C 2. C 3. 且x为整数 (2)840元 (2)1.5m³ 5. (Ⅰ)5 3.75 (Ⅲ)28 min 6. (1)m=6y=6x-28(x>10,且x为整数) (2)94元 第2课时 选择方案问题一 1. (1)30件(2)y=20x+600 (3)若生产件数x的取值范围为0≤x<30，则选择方案二： 若生产件数x=30，则两个方案选择哪一个都可以； 若生产件数x的取值范围为x>30，则选择方案一 2. (1) ym=2.5x+6000, yz=5x (2)甲印刷厂 (3)当印刷2400份海报时，两家印刷厂收费相同；当印刷大于2400 份海报时，选择甲印刷厂；当印刷小于2400份海报时，选择乙印刷厂 3. (1)30720.3 (2)y=0.3x-287.2(x≥1024) (3)3772兆 4.解：(1)设每盒肉粽礼盒的进价为 m元，则每盒豆沙棕礼盒的进价为(m-10)元. 根据题意，得 解得m=50. 经检验，m=50是所列方程的解，且符合题意. ∴m-10=40. 答：每盒肉棕礼盒的进价为50元，每盒豆沙粽礼盒的进价为40元. (2)①根据题意，得 y₁=0.8×40x=32x(x>0). 当0<x≤25时,y₂=40x; 当x>25时,y₂=25×40+0.7×40(x-25)=28x+300. ②令32x=28x+300,解得x=75. 根据函数图象可知： 当0<x<75时, 当x=75时, 当x>75时, ∴该商家购进豆沙粽礼盒的数量若少于75盒，则选择A厂家比较划算；若等于75盒，则从 A，B两个厂家任选一家即可；若超过75盒，则选择B厂家比较划算. 第3课时 选择方案问题二 1. (1)W=-2x+1500(375≤x<500,且x为整数) (2)当该商店购进375个普通练习本，125个精装练习本时，才能使全部售完后获得的利润最大，最大利润为750元 2.解：(1)设甲种路灯的单价是x元，乙种路灯的单价是 y元. 根据题意，得 解得 答：甲种路灯的单价是60元，乙种路灯的单价是80元. (2)设购买 m 盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费 w 元，则购买(40-m)盏乙种路灯. 根据题意,得 w=60m+80(40-m)=-20m+3200. ∵-20<0, ∴w随m的增大而减小. ∴m≤10, ∴当m=10时,w取得最小值, 此时40-m=40-10=30. 答：当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少. 3.(1)大货车用10辆,小货车用 10辆 (2)w=70a+13150(0≤a≤9,且a 为整数) (3)使总运费最少的货车调配方案是7辆大货车、2辆小货车前往甲地；3辆大货车、8辆小货车前往乙地，最少总运费为13640元 4.解：(1)设托运费y₂(元)与行李质量x(千克)的函数关系式为 将(30,300),(50,900)代入, 得 解得 ∴托运费y₁(元)与行李质量x(千克)的函数关系式为 令 则30x-600=0,解得x=20. ∴可携带的免费行李的最大质量为20千克. (2)根据题意,得当x=1时, 当1<x≤5时,y₂=10+3(x-1)=3x+7;当5<x≤15时, 5)=5x-3. 综上，当1≤x≤15时，快递费y₂(元)与行李质量 x (千克)的函 数 关 系 式 为 y₂ = (3)当10≤m<20时,5<25-m≤15, -5m+122. ∵10≤m<20,∴22<-5m+122≤72,即22<y≤72; 当20≤m<24时,1<25-m≤5, 7=27m-518. ∵20≤m<24,∴22≤27m-518<130,即22≤y<130. 综上，当m=20时，总费用y(元)的值最小，最少总费用是22元. 学科网（北京）股份有限公司 $