专题08分式与分式方程专项训练(26大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题08分式与分式方程专项训练 ☆ 题型突破复习导航 国■自国画国国国国■国国血■国国国国■细国国 型01.分式的判断 题型02.分式规律探究 题型03按要求构造分式 题型04.分式的求值 题型05.分式有无意义与值为零综合 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 题型07.分式变形的判断与条件 题型08.分式值变化判断 题型09.约分与最简分式 题型10.分式汞除运算 题型11分式汞方及混合运算 题型12.分式加减 题型13.通分与最简公分母 题型14.分式加减混合运算 题型15.分式加减的实际应用 题型16.分式加减汞除混合运算 题型17.分式化简与最值 题型18.分式方程基础 题型19.由分式方程解的情况求值 题型20.分式方程无解问题 题型21.列份式方程 题型22.分式方程行程问题 题型23.分式方程工程问题 题型24.分式方程经济问题 型25.分式方程和差倍分问题 题型26.其他实际问题 解答题8题 重要知识 ■■ 知识点01：分式的概念 1定义：形如，其中A、B为整式，且*B中含有字母*。 2.有意义的条件：B≠0 3.值为0的条件：A=0且B≠0（必考） 4整式与分式统称有理式。 试卷第1页，共3页 概念：如果A,B表示两个整式，并目B中含有字母，那么式子叫做分式 (当B≠0时，分式有意义 ★有无意义 (当B=0时，分式无意义 ★对于分式A ★值为0)(A=0且B￥0（同时满足） B来说 当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为1 (若A/B>0,则AB同号：若A/B<0,则AB异号. 分式的相关摄念 约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去， 叫分式的约分 联系与区别 通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分 式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简 分式 最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式 的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母。 A.C 分式 B.C 基本性质 其中A,B,C是整式且C±0 A+C 分式的性质 B+C 符号法则 ==-=-号 t北=地 分式的加减法 8土片= bd 8周 分式的乘除法 ★分式的运算 8+8=8调 分式的乘方 月- 分式的混合运算 运算顾序：先算乘方，再算乘除，最后算加减有括号的，先算括号里的 灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式， 知识点02：分式的基本性质（本章核心） 鲁-能，会=合龄 (C是不等于0的整式) 1.符号法则 =会=合 2.分式的变号（分子、分母、分式本身，改变两个符号不变） 知识点03：分式的约分与最简分式 1.约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分。 2.公因式找法 (1)系数：最大公约数 (2)字母：相同字母最低次幂 (3)多项式：先因式分解，再找公因式 试卷第1页，共3页 3.最简分式 分子与分母没有公因式（互质）的分式。 计算结果必须化为最简分式。 知识点04：分式的通分 1.通分定义 把几个异分母分式化成同分母分式，叫做通分。 2.最简公分母(LCD)找法 (1)系数：各分母系数的最小公倍数 (2)字母：所有出现字母的最高次幂 (3)多项式：先因式分解，再取所有因式最高次幂 知识点05：分式的乘除与乘方 1.乘法：是·晋=器(b≠0，d≠0) 2除法：骨÷号=帚·是= (b≠0，c≠0，d≠0)（除以一个分式=乘它的 倒数) 3.乘方：（号）n=是(b≠0，n为正整数) 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号。 知识点06：分式的劬加减 同分母分式加减法则：是士名=芒(C≠0) 异分母分式加减法则：号±号=沿士器=密 bd (b≠0，d≠0) 知识点07：分式方程（必考大题） (1)定义：分母中含有未知数的方程。 (2)解法步骤： ①找最简公分母 ②去分母化为整式方程 ③解整式方程 ④检验！！（必须写） 代入最简公分母，0→是原方程解 试卷第1页，共3页 0→增根，无解（若所有解都是增根，则原方程无解） (3)增根：使最简公分母=0的根，不是原方程的解。 知识点08.分式方程实际应用 一.行程问题 基本公式： 路程=速度×时间 s=v.t 变形：v=,是 常见等量关系： ①顺流速度=静水速度+水流速度 ②逆流速度=静水速度·水流速度 ③不同方式行驶同一段路程，时间差相等 二、工程问题 基本公式：工作量=工作效率×工作时间 W=e.t 变形：e=￥，t晋 常见等量关系： ①总工作量通常设为1 ②各部分工作量之和=总工作量 ③合作效率=各单独效率之和 三、经济问题 核心公式： 利润=售价·成本 利洞 利润率=度不×100% 总价=单价×数量 常见等量关系：①价格变化前后，总利润不变②销量与单价成反比变化时，总 销售额不变 四、和差倍分问题 试卷第1页，共3页 常见等量关系： ①A是B的n倍→A=n·B ②A比B多/少m→A=B±m ③A与B的比为a:b→合=舌 题型突破考点突破 国国国轴细通■■国国 题型01.分式的判断 1.下列各式中，是分式的是() A B.5.x C.2 D.2xy+4 π-1 2.有下列代数式：( -:®号：@产： 2:④3 +少；⑤52 ,其中是分式的是 (填序号). 3.下列说法正确的是() A.代数式+4 2元 是分式 B.分式x+1 是最简分式 x2+1 C.分式-9的值为0，则x的值为3 x-3 D分式x”2中，刀都扩大3倍，分式的值不变 题型02.分式规律探究 4姐拨提#的式子：层会会牙者的：0，测疏9个试子是 5.己知4=2，a,=1- ,4321-a 1 1 y…,0m日 1,则a6的值= 1-am-1 6.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名， 它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形 成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都 是它左上方和右上方的数之和.若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织 一系列新的数，依次记作a1,a2,a3,…,an,由图可知a1=1,a2=3,a3=6…若 试卷第1页，共3页 杨辉三角 1 11 12① 13③1 14641 . A.25 B.26 C.27 D.28 题型03.按要求构造分式 7.当x≠-2时，请写出一个在此范围内有意义的最简分式： 8.已知分式满足条件“只含有字母x,且当x=2时无意义.”请写出一个这样的分式 9.《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携 带6斗(1斗=10升)粮食，一个士兵最多可以携带1斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消 耗2升粮食.若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背 负的粮食最多可以支持 天的行军. 题型04.分式的求值 10已合行则。的监为 a 1。观察下列一红最：子专}·号芹根据该组数的排列腿体、可推断出第2个 数是 12.已知2a+b=5,则5a-(a+2 L的值为() 4a2-b2 A号 c.9 D.g 题型05.分式有无意义与值为零综合 13.关于x和y的值如下表： -1 0 2 0 米 无意义 ※ 则y代表的分式是() 试卷第1页，共3页 A. x-1 B.t+2 C.r+2 D. x-2 x+2 x+1 x-1 x-1 14.使得式子2x+有意义的x的取值范围是() x-1 1 A.>-2且x*1 B2月 C.xs-1 ’且x≠-1 D.x之-7，且x≠] 15.当x= 时，分式-4的值等于零。 x-2 16.若代数式化2026有意义，则实数x的取值范围灵 17.已知分式5x+n (m,n为常数)，当x=-2时，分式无意义；当x=0.4时，分式的值 x+m 为零，则m+n= 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 18.当x 时，分式3有意义：当飞 时，分式-9的值为0：当x x-1 x-3 时，分式，号的值为正 19.当整数a=时，分式的值为正整数. 20.若分式-【-2的值为整数，则所有符合条件的正整数：的值为 x-1 21.若分式二的值为负数，则x的取值范围是 x+3 题型07.分式变形的渊判断与条件 22.下列从左到右的变形：①= :@8:e是-ggr 其中正确的 b ab bb(x2+1) 是 (填序号). 23.下列计算正确的是() A.2x+3y=5xy B.x3.x3=x5 C.-22=-2 D.-a+1--a-1 b 24.填空： 0,2a=-四 a-2a2 括号内为： (2)c+bc=( .括号内为： ab+ab2 ab 试卷第1页，共3页 题型08.分式值变化判断 25.若将分式x中的，y都扩大10倍，则分式的值() x+y A.扩大为原来的10倍 B.缩小为原来的 0 C.缩小为原来的 1 D.不改变 00 26,若分式号中y射大为原米的n倍，分式的值变为原水的5信，则n的能是 27.已知三个实数a,b,C满足a+b+c=0,abc=2,且b>0,则b-a-c的最小值为() B.2 C.2 D.4 题型09.约分与最简分式 28.下列式子从左到右变形，正确的是() A. a-2_a B. a+2_2a+2 D. 4a21 b-2 b b-12b-2 c.0=a bb2 16a4a 29.下列是最简分式的是() A.1 B.x+1 C.2+1 4 1-x x2-1 D. 2x 30.关于分式x-2 x2-4’ 下列说法正确的是() A.化为最简分式等于 1 B.分式无意义的条件是x=-2 x-2 C.当x=2时，分式的值为零 D.当x=2时，分式无意义 31.下列约分正确的是() 2(b+c2 A. B.a-b=-1 a+3(b+ca+3 (b-a)2 C.a+b1 x-y a2+b2 a+b D.2w-x2-y2 题型10.分式乘除运算 的结果是() A.a B.-a C.2a D.a' 3.化简24的结果为() x2+xx+1 试卷第1页，共3页 B.2 C.2x D. 2 34.计算-2-4的结果是（) xx2+2x A.-2 B.r+2 C.x-2 D.x+2 35.若a≠0，计算：a-a)= 36.化简： 2a-2.a-1 a2-4a+4a-2 37.定义一种新运算*，规定运算法则为a*b=-。,则计算(x*2[2y*-x]的结果是 atb 题型11.分式乘方及混合运算 38.化简 的结果是() A. B.6 c D. y x2 39.计算a 的结果是() a A.a B.a3 C.a D.a 40.下列运算结果正确的是（) A.√2+5=√5 B.⑧÷V2=√6 D.a2÷a3=a 41.把(m-1 1 化简得() m-1 A.m-1 B.v1-m C.-√m-1 D.-√1-m 题型12.分式加减 42.化简口+，a的结果为() a-11-a A.Q+1 B.a+1 C.a D.1 a-1 8化简”。2的金果是《) 试卷第1页，共3页 A.、1 x+2 B. x-2 C.x+2 D.x-2 4计算大22胸霸果等子( 1 A.1 B. x2-4 C.x D.x2 x+2 x+2 45.计算4，+二的结果是 x-2'2-x 6化商：名 4.若，-C,则2a+26+的值为 b+cc+aa+b a+b-3c 题型13.通分与最简公分母 48.分式2,1的最简公分母是() ac ab A.2abc B.a'bc C.abe D.2a'bc 49.已知 _1=2,则分式 x-5y-2xy x y y+4xy-x 的值为() 4 A.-2 B. 3 c D.-6 50.分式2立与写京的最简公分母是(） 1 A.10x B.7x C.10x" D.7x! 51.计算：y x2-y2 (结果用不含负整数指数幂的形式表示) 题型14.分式加减混合运算 52.计算 -a+1的正确结果是() a-1 2a-1 A. a-1 B. 2a+1 a-1 c. a-1 D.-1 a-1 53.甲是容积为"立方分米无盖的长方体盒子，如图，甲盒子底面是边长为Q分米的正方形， 这个盒子的高是」 分米；这个盒子的表面积是 平方分米.（用含有a,V的式子表 示) 试卷第1页，共3页 甲 54.已知x为整数，且2+，2+2+24为整数，则所有符合条件的x的值的积为 x+44-xx2-16 题型15.分式加减的实际应用 55.一项工程，甲单独干，完成需要a天，乙单独干，完成需要b天，若甲、乙合作，完成 这项工程所需的天数是() A.ab B.a+b C.a+b D.ab(a+b) atb ab 56.一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要 的时间是() A.m+30小时B.30m小时 C.m-30小时 D.30m小时 30m m-30 30m m+30 57.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为α米的大正方形减去一个边长为1米的小正方 形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为a-)米的正方形，若两块试验 田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面 积产量多 丰收1号 丰收2号 a米 (a-1)米 1米 题型16.分式加减乘除混合运算 58.化简： 1+1+x= x 59.计算： ataa-I a-1 a2 6a 60.化简： ÷1+ 2a-3 a2-9 a+3 题型17.分式化简与最值 试卷第1页，共3页 2a-2 61.若a为正整数，下列关于分式 a2-1 的值的结论正确的是() A.有最大值是2 B。有最大位是号 C.有最小值是1 D.有最小值，没有最大值 62.若当x=-2时，分式-2的值是() x+3 A.4 B.-4 C.3 D.-3 63.已知X,y为正实数，则Y+8x+y的最小值为() x y A.6 B.7 C.8 D.9 64.若实数x满足x2+x-1=0,则代数式x2+三的值是() A.3 B.2 C.1 D.以上都不正确 题型18.分式方程基础 65.下列方程不是分式方程的是() A.I+x=1 u. C. 21 =2 D. 5=7 1+x1+x x x-7 4 6,解分式程2时，方程两边都乘-2可得 x-2 A.1-3(x-2)=4 B.1-3(x-2)=-4 C.1-3(2-x=-4 D.1-3(2-x=4 67.下列关于x的方程中，整式方程的个数是() (1)x3+x2=x4(2) -x2+0:3)a2x=;(4)+1+1=x 31 A.1 B.2 C.3 D.4 68.某校学生去20外的科技馆研学，部分学生乘甲车先出发，5分钟后，其余学生乘乙 车出发，两车同时到达.己知乙车速度是甲车速度的1.2倍，设甲车速度为xkm/h,则可 列方程为() 20-20=5B.20-20=5 A.1.2x x x1.2x 2020=2D.2020= C.12xx12 x1.2x12 题型19.由分式方程解的情况求值 试卷第1页，共3页 6的、老关于的分式方程产2-写有指能，则m的能是() x-3 A.3 B.2 C.-3 D.-2 0.己知关于x的分式方程—2有增很，则m的 x-1 7引.若整数a使关于x的分式方程2，++0=1的解为正整数，且使关于y的不等式组 x-2'2-x 少+132y-1 3 有解，则满足条件的整数α的值之积是() 20r-a)>0 A.-4 B.0 C.16 D.64 题型20.分式方程无解问题 72.若方程2=x“2有增根，则增根为(). A.-1 B.1 C.2 D.-2 73.若关于x的分式方程1+3=2m 1x+5x-5x2-25 无解，则m的值为() A.±5 B.±15 C.-5或15 D.5或-15 74.关于x的分式方程3。 无解，则字母a的值是() x x-2 A.a≠5且a≠0B.a=0 C.a=5 D.a=5或a=0 题型21.列分式方程 75.一项工程，甲乙两人合作2天可以完成.己知乙单独完成此项工程比甲单独完成此项工 程多用3天，如果设甲单独完成此项工程需用x天，那么根据题意可列方程 76.小明准备去距离学校10千米的博物馆，己知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/ 小时，乘汽车去比骑自行车去可以早三小时到达.设骑自行车的速度为x千米小时，可列 方程为 77.小张家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电 汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多60元，求纯电汽车 每百公里的耗电费.设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为」 题型22.分式方程行程问题 78.王老师从家里出发，驾车到离家180km的风景区度假.已知王老师在出发1h内按计划 试卷第1页，共3页 的速度匀速行驶，1h后以原计划速度的1.5倍匀速行驶，并提前40min到达风景区.第二天 以原计划速度的1.2倍返回家中，那么来回行驶的时间相差 min 79.春运期间，某列动车平均提速120km/h.该动车在提速前行驶1000km和提速后行驶 1600km的时间相同，求提速前该动车的平均速度是多少？ 80.随着L3级自动驾驶技术的日趋成熟，首批获批的两种车型北汽极狐阿尔法S和长安深 蓝SL03分别在北京、重庆指定区域上路试点运行.经测试，长安深蓝SL03的最高车速是北 汽极狐阿尔法S的。，两车均以最高车速行骏时，长安深蓝SL03行驶100公里所用的时间 P 比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时间多30分钟，求长安深蓝$L03的最高车 速是多少公里/时？ L3自动驾驶模式 题型23.分式方程工程问题 81.横溪西瓜喜获丰收，畅销多地，甲、乙两个农场，甲比乙每天多采摘2吨，甲农场采摘 30吨比乙农场采摘20吨所用的时间少10%，若设甲每天采摘x吨，则根据题意，可列出方 程： 82.为满足新能源汽车快速增长带来的充电需求，某企业计划在某一地区建成1800座充电 站，实际建设中，平均每月建成的充电站数量是原计划的1.5倍，结果提前3个月完成任务， 求原计划平均每月建成多少座充电站？ 83.科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能 化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向 一个绿色生态省份的转变.某科技公司为助力数智时代产业升级，计划批量制作智能服务机 器人，总计完成180台的生产任务，项月启动后，研发团队优化算法与生产流程，实际每个 月制作的机器人数量是原计划的1.5倍.若最终提前2个月完成任务，求该公司每个月实 际制作的机器人数量. 试卷第1页，共3页 题型24.分式方程经济问题 84.在“母亲节”前夕，某花店用3000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销售一空，根据 市场的需求，该花店又用5000元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批 购进的鲜花盒数的2倍，每盒鲜花进价比第一批少了10元，那么第一批鲜花礼盒的进价是 每盒元 85.学校计划购进A,B两种数学教具用于课堂教学.已知A种教具进价比B种教具进价 每件多30元，用1400元购进A种教具的件数与用800元购进B种教具的件数相同， (1)求A,B两种教具每件的进价各多少元： (2)总务处张老师决定购进A,B两种教具共30件，且总费用不超过1600元，那么总务处 张老师最多可购进A种教具多少件？ 86.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降.今年5 月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售 额为100万元，今年销售额只有90万元. (1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，己知A款汽车每辆进价为 7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金 购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？ (3)如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车， 返还顾客现金Q万元，要使(2)中所有的方案获利相同，a值应是多少？ 题型25.分式方程和差倍分问题 87.某工厂生产零件80个，实际参与生产的人数是原计划人数的1.5倍，实际平均每人生产 零件个数比原计划少了4个，若设原计划人数为x人，则列出的方程是 试卷第1页，共3页 88.随着人工智能的发展，智能机器人在人们生产和生活领域深入越来越广泛.某图书馆为 提高工作效率，增强读者读书体验，计划在不同区域引入A、B两种智能机器人执行还书任 务，A型机器人比B型机器人每小时多还书30本，A型机器人还1000本书所用的时间与B型 机器人还800本书所用的时间相等.求B种机器人每小时还多少本书？ 89.为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人.已 知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘 机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天.设一个工人平均每天可 采摘x千克茉莉花。 (1)用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘 千克茉莉花；一台智 能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要 天； (②)求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克. 题型26.其他实际利问题 90.某种植园区计划移栽一批黄花菜幼苗.己知用机器移栽每天可移栽的幼苗数量是用人工 移栽每天移栽幼苗数量的4倍，且人工移栽完这批幼苗比机器移栽完多用3天.若这批黄花 菜幼苗的总数为4000株.设人工移栽每天移栽幼苗的数量是x株，可列方程为 。 91.我国西北农林科技大学自主研发的苹果双臂采摘机器人(“双臂”指一个机器人安装两个 机械手)在瞬间识别、单果速摘、无损采摘中，诠释着科技赋能的力量.经观察和测试，该 机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间比采摘工人采摘一个苹果平均所用的时 间多3秒.已知一个工人用300秒采摘苹果的个数是该机器人的一个机械手用400秒采摘苹 果个数的1.2倍. (1)求“双臂采摘机器人”的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间； (②)经科研人员研发改进，“双臂采摘机器人”的一个机械手采摘一个苹果所用的时间比原来减 少了Q秒(0<a<1).若该机器人双臂（两个机械手）同时工作，它与一个采摘工人同时工 作m秒，则该机器人比工人多采摘多少个苹果？（列式并计算，结果用含a,m的式子表示） 92.为传承中华优秀传统文化，厚植学生家国情怀，学校精心策划并计划租用客车，组织全 试卷第1页，共3页 体师生前往孔子故里相关研学基地，开展主题为“弘扬儒学，传承经典”的研学实践活动. 请阅读下列材料，并完成相关问题。 材料一： 租车公司有A,B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B 型客车多载客15人；用A型客车载客720人与用B型客车载客540人的车辆数相同. 材料二： A型客车租车费用为3800元/辆：B型客车租车费用为3500元/辆. 若租用B型客车，租车费用打八折. 学校参加研学活动师生共有570人，租用A,B两种型号客车共10辆. (1)4,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (②)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 解答题 93.解答下列各题： ()下列各式不是二次根式的是() A.Va2+1B.6C.1D.V-2) (2)当x满足时，二次根式√6x-8在实数范围内有意义. 当足时， 三在实数范围内有意义. 94,【已知】对分式进行通分，可知：当a-1且n≠0时，a日+。n中 111 nn+l 【应用】求，1+11 的值 1×22×33×4 2025×2026 95.已知x2-5x-2014=0,求代数式x-2)°-(x-2+1 x-2 96.已知分式n-x ,其中m、n是常数，且当x=-1时，分式无意义；当x=-2时，分 2x+m 式的值为0.求当x=1时，分式的值. 97.计算及化简 (①)计算：2026°- 匝++2 试卷第1页，共3页 (2)化简： 98.化简分式： a442 、 99.阅读：如果两个分式A与B的和为常数k,且为正整数，则称A与B互为“关联分式”， 常数称为关联位，分式4=吉8=青4：B骨1，则A与及互为关联分式。 关联值”k=1. 0若分式4子8：号，为断4与B是香互方关联分式，若不是，时说明理由：若 是，请求出“关联值”k. (②已知分式C-0-4C与D互为关联分式，且关联值=2，当x为正整 数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值. ③已知分式P=，Q-。P与0互为"关联分式，且关联值=2，若满足以 3-x 上关系的关于x的方程无解，求实数m的值. 100.人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货 作业，某物流园区利用A,B两种自主移动机器人搬运化工原料. (1)若有冰g化工原料，A型机器人Q小时搬运完成，则每小时搬运 kg化工原料，B 型机器人b小时搬运完成，则每小时搬运kg化工原料，两种机器人合作需小 时搬运完成。 (2)若A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg,A型机器人搬运750kg所用时间与B型 机器人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 试卷第1页，共3页 专题08分式与分式方程专项训练 题型01.分式的判断 题型02.分式规律探究 题型03.按要求构造分式 题型04.分式的求值 题型05.分式有无意义与值为零综合 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 题型07.分式变形的判断与条件 题型08.分式值变化判断 题型09.约分与最简分式 题型10.分式乘除运算 题型11.分式乘方及混合运算 题型12.分式加减 题型13.通分与最简公分母 题型14.分式加减混合运算 题型15.分式加减的实际应用 题型16.分式加减乘除混合运算 题型17.分式化简与最值 题型18.分式方程基础 题型19.由分式方程解的情况求值 题型20.分式方程无解问题 题型21.列分式方程 题型22.分式方程行程问题 题型23.分式方程工程问题 题型24.分式方程经济问题 题型25.分式方程和差倍分问题 题型26.其他实际问题 解答题8题 知识点01:分式的概念 1.定义：形如，其中A、B为整式，且 **B中含有字母 **。 2.有意义的条件：B0 3.值为 0 的条件：A=0 且 B0（必考） 4.整式与分式统称有理式。 知识点02:分式的基本性质（本章核心） ，（C是不等于 0 的整式） 1.符号法则 =−。 2. 分式的变号（分子、分母、分式本身，改变两个符号不变） 知识点03:分式的约分与最简分式 1. 约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分。 2. 公因式找法 (1)系数：最大公约数 (2)字母：相同字母最低次幂 (3)多项式：先因式分解，再找公因式 3. 最简分式 分子与分母没有公因式（互质）的分式。⚠️ 计算结果必须化为最简分式。 知识点04:分式的通分 1. 通分定义 把几个异分母分式化成同分母分式，叫做通分。 2. 最简公分母（LCD）找法 (1)系数：各分母系数的最小公倍数 (2)字母：所有出现字母的最高次幂 (3)多项式：先因式分解，再取所有因式最高次幂 知识点05:分式的乘除与乘方 1.乘法：（b0，d0） 2.除法：（b0，c0，d0）（除以一个分式 = 乘它的倒数） 3.乘方:()n（b0，n为正整数） 运算顺序：先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号。 知识点06:分式的加减 同分母分式加减法则：±（c0） 异分母分式加减法则：±（b0，d0） 知识点07:分式方程（必考大题） (1)定义：分母中含有未知数的方程。 (2)解法步骤： ① 找最简公分母 ② 去分母化为整式方程 ③ 解整式方程 ④ 检验！！（必须写） 代入最简公分母，≠0 → 是原方程解 =0 → 增根，无解(若所有解都是增根，则原方程无解) (3)增根：使最简公分母 = 0 的根，不是原方程的解。 知识点08.分式方程实际应用 一.行程问题 基本公式： 路程 = 速度 × 时间 s=vt 变形：v=​，t=. 常见等量关系： 1 顺流速度 = 静水速度 + 水流速度 2 逆流速度 = 静水速度 - 水流速度 3 不同方式行驶同一段路程，时间差相等 二、工程问题 基本公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 W=et 变形：e=​，t=​ 常见等量关系： 1 总工作量通常设为 1 2 各部分工作量之和 = 总工作量 3 合作效率 = 各单独效率之和 三、经济问题 核心公式： 利润 = 售价 - 成本 利润率 = ×100% 总价 = 单价 × 数量 常见等量关系：① 价格变化前后，总利润不变② 销量与单价成反比变化时，总销售额不变 四、和差倍分问题 常见等量关系： 1 A 是 B 的 n 倍 → A=nB 2 A 比 B 多 / 少 m → A=B±m 3 A 与 B 的比为 a:b → = 题型01.分式的判断 1．下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式的定义为：若A，都是整式，且分母B中含有字母，则式子是分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．的分母为3，是常数，不含字母，是整式，不是分式，故A不符合题意； B．的分母中，是常数，因此分母为常数，不含字母，是整式，不是分式，故B不符合题意； C．的分母为，含字母，满足分式定义，是分式，故C符合题意； D．是多项式，属于整式，不是分式，故D不符合题意． 2．有下列代数式：①；②；③；④；⑤．其中是分式的是____________（填序号）． 【答案】④⑤ 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 分式的定义是分母中含有字母的代数式，因此需要检查每个代数式的分母是否含有字母． 【详解】解：①分母为常数，不含字母，不是分式； ②分母为常数，不含字母，不是分式； ③分母为常数，不含字母，不是分式； ④分母为，含有字母，是分式； ⑤分母为，含有字母，是分式． 故答案为：④⑤． 3．下列说法正确的是（） A．代数式是分式 B．分式是最简分式 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式中都扩大3倍，分式的值不变 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义、最简分式的定义、分式值为0的条件、分式的基本性质，熟练掌握分式相关概念及性质的应用条件是解题的关键．根据分式的定义、最简分式的定义、分式值为0的条件、分式的基本性质，对每个选项逐一分析判断即可． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母的整式，π是常数， ∴的分母不含字母，是整式不是分式，故A错误． ∵的分子与分母没有公因式， ∴该分式是最简分式，故B正确． ∵分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，由得，又时，分母，分式无意义， ∴，故C错误． 将都扩大3倍后，新分式为，是原分式的3倍，分式的值改变，故D错误． 故选：B． 题型02.分式规律探究 4．一组按规律排列的式子：，，，，…．若，则第9个式子是__________． 【答案】 【分析】观察可知，奇数项的符号为负，偶数项的符号为正，其中分子中字母a的指数等于序号，分母中字母b的指数等于序号的3倍减去1，据此可得答案． 【详解】解：第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， 第4个式子为， ……， 以此类推可知，第n个式子为， ∴第9个式子为． 5．已知，则的值________； 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律探究、数列的周期性及有理数的运算，熟练掌握通过计算前几项寻找数列周期，再利用周期解决问题的方法是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，即每项重复一次：，，．计算除以的余数，余数为，对应周期中的第一项，因此． 【详解】解：计算序列的前几项： ， ， ， ， ， ， 由此可知序列周期为，即． ， 因此， 故答案为：． 6．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（   ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律，找出正确的规律是解决本题的关键． 根据，推出，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选B． 题型03.按要求构造分式 7．当时，请写出一个在此范围内有意义的最简分式：______． 【答案】 【分析】本题主要考查最简分式和分母有意义的条件，根据题意，分式在 时有意义，因此分母应包含因式 ；同时要求分式为最简形式，即分子与分母无公因式，即可求得答案． 【详解】解：∵当 时，分母不为零，分式有意义， ∴构造分母为 的分式 ， ∵分子 与分母 互质，无公因式， ∴因此分式为最简分式． 故答案为： ． 8．已知分式满足条件“只含有字母x，且当时无意义．”请写出一个这样的分式____________ 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据分式无意义的条件，确定分母需含使时为0的因式，再构造只含字母x的分式． 【详解】解：当时，分母的值为0，分式无意义． 据此可写出满足条件的分式，如（答案不唯一）． 9．《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 【答案】 【分析】将斗换算为升，计算出个民夫和个士兵携带的总粮食为升，再结合总人数得出每天消耗升，最后用总粮食除以日消耗量，约分后可得到行军天数． 【详解】解：据题可知， 每个士兵与个民夫共可携带粮食升， 每天消耗的粮食为升， 则背负的粮食最多可以支持天． 题型04.分式的求值 10．已知，则的值为______． 【答案】 【分析】根据分式的加减法则将化为求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 11．观察下列一组数：，，，，……根据该组数的排列规律，可推断出第12个数是_____． 【答案】 【分析】由分子1、2、3、4、5、…，即可得出第n个数的分子为n；分母为3、5、7、9、11、…，即可得出第n个数的分母为，据此即可解答． 【详解】解：∵分子1、2、3、4、5、…， ∴第n个数的分子为n， ∵3、5、7、9、11、…， ∴第n个数的分母为， ∴第n个数是． ∴第12个数是． 12．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分式化简求值题，先化简分子，再用平方差公式分解分母，约分后整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 题型05.分式有无意义与值为零综合 13．关于x和y的值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 ※ ※ 无意义 ※ … 则y代表的分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件和分式值为0的条件，根据表格信息，利用分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，即可排除错误选项得到答案． 【详解】解：由表格可知，当时，无意义，即分母为， 将代入各选项分母，A选项分母，B选项分母，因此A、 B不符合题意， 又当时，， 将代入剩余C、D选项的分子， C选项分子，分母，符合要求； D选项分子，不符合要求， 故选：C． 14．使得式子有意义的的取值范围是（   ） A．，且 B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】要使含二次根式的分式有意义，需同时满足两个条件：二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列出不等式组求解即可得到的取值范围. 【详解】解：∵要使有意义， ∴需满足， 解不等式，移项得，系数化为得， 解不等式，得， ∴的取值范围是，且． 15．当______时，分式的值等于零． 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件，可得分子为零且分母不为零，据此解答即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得， ∴当时，分式的值为零． 16．若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据式子有意义的条件，构建不等式求解． 【详解】解：， 则且． 17．已知分式（，为常数），当时，分式无意义；当时，分式的值为零，则____________． 【答案】0 【分析】本题考查的是分式值为零的条件、分式有意义的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零、分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 分式无意义时分母为零，分式值为零时分子为零且分母不为零，由此可求出、，代入即可求出的值． 【详解】解：当 时，分式无意义，则分母 ，即 ，解得 ； 当 时，分式值为零，则分子 ，即 ，解得 ； 因此 ． 故答案为：． 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 18．当________时，分式有意义；当________时，分式的值为0；当________时，分式的值为正数． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义、值为0及值为正数的条件，解题关键是掌握分式相关条件的判定规则：分式有意义要求分母不为0；分式值为0要求分子为0且分母不为0；分式值为正数要求分子分母同号（同时不为0）． 【详解】解：①分式有意义时，分母不能为0， ， 解得：； ②分式值为0时，分子为0且分母不为0， ， 由，解得或； 又，即， ； ③分式值为正数时，分子分母同号且均不为0， 分子为， ，解得． 故答案为：，，． 19．当整数_____时，分式的值为正整数． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，分式有意义的条件，掌握分式的性质是解题关键． 由分式值为正可得，再由分式值为整数推出是的正约数，最后结合分母不为零的条件，得到唯一解． 【详解】解：∵的值为正整数，且是整数， ∴要使，则，要使为整数，必是的约数， ∵的正约数只有， ∴当，分母，且，满足条件． 故答案为：． 20．若分式的值为整数，则所有符合条件的正整数x的值为_______． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题考查了分式的值，掌握相关知识是解题的关键． 分式化简为，值为整数时，是的约数，结合为正整数且分母不为零，求解即可． 【详解】解：分式， 要使分式的值为整数，则为整数，即是的约数， 的约数为和， 所以或或或， 解得或或或， 由于为正整数，且（分母）， 所以符合条件的为2或3． 故答案为：2或3． 21．若分式的值为负数，则x的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】根据题意可得，要使分式的值为负数，即分母且，然后解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴分式的值为负数，即分母且，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 题型07.分式变形的判断与条件 22．下列从左到右的变形：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了分式的基本性质的知识点，掌握“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变”最关键． 本题根据分式的基本性质，对每个变形进行分析，判断其是否符合该性质，进而得到哪些变形是正确的结论，即可解决判断分式变形是否正确的问题． 【详解】解：①当时，此时分母，分式不成立，无意义，不符合题意； ②由知，分子分母同时乘以，分式的值不变，即，符合题意； ③由知，分子分母同时除以，分式的值不变，即，符合题意； ④∵∴，分子分母同时乘以，分式的值不变，即，符合题意． 故答案为：②③④． 23．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相关知识，计算判定即可． 【详解】解：A. 不是同类项，无法计算，本选项错误；     B. ，本选项错误； C. ，本选项错误； D. ，本选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，二次根式的性质，分式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 24．填空： （1）．括号内为：______． （2）．括号内为：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题时，首先要观察已知的分子或分母的变化，再根据分式的基本性质进行求解． （1）观察分式中分母的变化，显然只需分式的分子和分母同乘以a； （2）观察分式中分母的变化，显然只需分式的分子和分母同除． 【详解】解：（1）根据分式的基本性质，分式的分子和分母同乘以a，则分式的分子变为，负号提前， 故答案为：； （2）根据分式的基本性质，分式的分子和分母同除，则分式的分子变为c， 故答案为：c． 题型08.分式值变化判断 25．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质计算后即可判断． 【详解】解：∵ ，都扩大10倍后，新分式的分子为，分母为， ∴ 新分式为， ∴ 分式的值不改变． 26．若分式中x、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是 _____． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质解决此题． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 27．已知三个实数，，满足，，且，则的最小值为（  ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】先利用已知条件对所求式子变形，再结合完全平方的非负性推导得到的取值范围，进而求出所求式子的最小值． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵对任意实数，，都有 展开得 把，代入得 ，即 ∵，不等式两边同乘得，即 ∴ ∴，即的最小值为． 题型09.约分与最简分式 28．下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式的分子分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，根据性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，∵分子分母不是同时乘或除以同一个整式，∴与不一定相等，本选项不符合题意； B选项，∵，∴本选项不符合题意； C选项，∵变形为时，分子乘分母乘，乘的不是同一个数，∴与不一定相等，本选项不符合题意； D选项，，变形正确，本选项符合题意； 29．下列是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式定义，若分式的分子与分母没有除1以外的公因式，则该分式是最简分式，对各选项因式分解后判断是否可约分即可得到结果． 【详解】解：∵最简分式的定义为分子与分母没有除1以外公因式的分式． 故可对各选项逐一判断： A：，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式； B：，，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式； C：无法分解因式，分子与分母没有除1以外的公因式，不能约分，因此是最简分式； D：，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 30．关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简、分式有意义的条件与分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关知识点逐一判断选项即可． 【详解】解： A选项：，最简分式为，A错误； B选项：分式无意义时，分母为，即，解得或，B错误； C选项：当时，，分母为，分式无意义，不存在分式值，C错误； D选项：当时，，分母为，分式没有意义，D正确． 故选：D． 31．下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的约分，掌握分式约分的前提是分子分母有公因式，需先因式分解，注意符号变化和恒等变形是解题的关键． 逐个分析选项，判断分子分母是否有公因式，能否正确约分，注意符号变化和因式分解的正确性． 【详解】解：A、分母中与不是同类项，不能约去，A错误，不符合题意； B、， 原式，不等于，B错误，不符合题意； C、，不能约分，C错误，不符合题意； D、分母，，D正确，符合题意． 故选：D． 题型10.分式乘除运算 32．计算的结果是（   ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘法运算，以及积的乘方运算，先计算平方部分，再与分式相乘，约分后即可得到结果． 【详解】解：， 故选：A． 33．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的除法运算，先对原式分母因式分解，再根据分式除法法则将除法转化为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解： ， ∴化简结果为， 故答案为：A． 34．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对分式乘方进行展开，再将除式的分子分母分别因式分解，接着把除法转化为乘法并取除式的倒数，最后通过约去分子分母的公因式，得到最简分式． 【详解】解： ． 35．若，计算：_______． 【答案】 【详解】解：． 36．化简：______． 【答案】 【分析】先对分子分母进行因式分解，再根据分式乘除法的运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 37．定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是_______． 【答案】 【分析】先根据已知条件中的新定义，求出，，再代入，进行约分即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 题型11.分式乘方及混合运算 38．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式乘方与幂的乘方的运算，需运用“分式乘方时分子分母分别乘方”及“幂的乘方底数不变、指数相乘”的法则化简． 【详解】解：∵分式的乘方法则为，幂的乘方法则为， ∴， 故选：B． 39．计算的结果是（    ） A．a B．a3 C．a6 D．a9 【答案】A 【分析】先计算乘方，再进行约分即可得到结果． 【详解】解： ∴ 化简得结果为． 40．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算、分式的乘方及同底数幂的除法法则，需根据各运算法则逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：∵与不是同类二次根式，不能合并， ∴A选项错误； ∵===2≠， ∴B选项错误； ∵=≠， ∴C选项错误； ∵==， ∴D选项正确； 故选：D． 41．把化简得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断的符号，将还原成，再化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式 ＝ ＝ ＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，正确确定符号是解决本题的关键． 题型12.分式加减 42．化简的结果为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：原式． 43．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化为同分母作差，再约分化简即可． 【详解】解： ． 44．计算的结果等于（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式加减法，原式先通分，再根据同分母分式加减法法则进行计算即可 【详解】解： ． 故选：D． 45．计算的结果是______． 【答案】/ 【分析】先化为同分母，利用同分母分式的加减法法则计算即可． 【详解】 ． 46．化简：________________ 【答案】 【分析】先对第一个分式的分母因式分解，再确定最简公分母通分，合并分子后约分即可得到化简结果． 【详解】解： ． 47．若，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查分式的性质及化简求值，由可得，进而得到，然后分情况讨论即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 即， 当时，，即，此时； 当时，； 故答案为：或． 题型13.通分与最简公分母 48．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照规则分别确定系数的最小公倍数和各字母的最高次幂，相乘后即可得到结果． 【详解】解：① 取各分母系数的最小公倍数，两个分母系数均为，最小公倍数为； ② 取各分母中所有出现字母的最高次幂，出现的字母为 ，，，每个字母的最高次数都是， 将所得结果相乘，最简公分母为 ． 49．已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件整理出，再将所求分式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，可得， ∴ ． 50．分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简公分母，根据最简公分母的定义即可解答，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：分式与的最简公分母是为， 故选：． 51．计算：_____．（结果用不含负整数指数幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了通分，约分，分解因式，负整数指数幂，将负指数转化为分式形式，然后把分母利用平方差公式分解因式，再约分后把分母通分即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型14.分式加减混合运算 52．计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减，即可得到答案． 【详解】解：原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 53．甲是容积为立方分米无盖的长方体盒子．如图，甲盒子底面是边长为分米的正方形，这个盒子的高是______分米；这个盒子的表面积是______平方分米．（用含有的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查列代数式，熟记长方体体积公式、表面积求法是解决问题的关键． 由长方体体积公式得到盒子的高，再由表面积结构求解即可得到答案． 【详解】解：甲盒子底面是边长为分米的正方形， 盒子的底面积为平方分米， 则这个盒子的高是分米，这个盒子的表面积是平方分米， 故答案为：，． 54．已知为整数，且为整数，则所有符合条件的的值的积为________． 【答案】180 【分析】本题考查了分式的加减，先通分，再根据分式的加减法法则计算，根据题意求出符合条件的的值，计算即可，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键． 【详解】解： ∵为整数，且为整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴符合条件的的值的积为： 故答案为：． 题型15.分式加减的实际应用 55．一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式以及分式的基本运算，能够读懂题意列出分式是解题关键； 设工作总量为1，根据甲、乙单独完成的天数表示各自的工作效率，合作效率为两者之和，再求合作所需天数． 【详解】解：设工作总量为1， ∵ 甲单独完成需天， ∴ 甲的工作效率为， ∵ 乙单独完成需天， ∴ 乙的工作效率为， ∴ 甲、乙合作的工作效率为， ∴ 合作所需天数为． 故选：A． 56．一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【分析】设工作总量为1，根据甲乙合作完成时间得到合作工作效率，结合甲单独完成时间得到甲的工作效率，进而求出乙的工作效率，再根据时间工作总量工作效率，计算乙单独完成需要的时间． 【详解】解：设工作总量为1， ∵甲单独做需小时完成，甲乙合作小时完成， ∴甲的工作效率为，甲乙合作的工作效率为， ∴乙的工作效率为， ∴乙单独完成需要的时间为（小时）． 57．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【答案】 【详解】解： 题型16.分式加减乘除混合运算 58．化简：___________． 【答案】 【详解】解：原式． 59．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内的分式进行通分相加，再与后面的分式相乘约分． 【详解】解： ， 故答案为：1． 60．化简：_____． 【答案】 【详解】解： ． 题型17.分式化简与最值 61．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 62．若当时，分式的值是（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】直接将代入求值即可． 【详解】解：当时，分式，即选项B符合题意． 63．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查基本不等式的运用，掌握基本不等式公式是解题的关键． 先将原式拆分并化简，再利用正实数的基本不等式（当且仅当时取等号）求解最小值． 【详解】解：∵，为正实数， ∴原式可拆分化简为：， ∵正实数，满足， 令，， 则， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即原式的最小值为9， 故选D． 64．若实数x满足，则代数式的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．以上都不正确 【答案】A 【分析】根据，将等式两边同时除以，易得，再两边同时平方，整理即可求解． 【详解】解：， 当时，等式不成立，即， 将等式两边同时除以，得，即， 将等式两边同时平方，得， ， ． 题型18.分式方程基础 65．下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，掌握分式方程的定义是关键；分式方程是指含有分式的方程，一般指分母中含有未知数的方程．选项B的分母均为常数，因此不是分式方程． 【详解】∵ 分式方程需满足分母中含有未知数， A、分母为x，含未知数，是分式方程； B、分母为3、4、5，均为常数，不含未知数，不是分式方程； C、分母为，含未知数，是分式方程； D、分母为x和，含未知数，是分式方程． ∴ 不是分式方程的是B． 故选B 66．解分式方程时，方程两边都乘可得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程每一项同乘最简公分母，化简即可得到结果． 【详解】解：方程两边同乘，得， ∴． 67．下列关于x的方程中，整式方程的个数是（　　） （1）（2）；（3）+x＝；（4）+1＝x． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据整式方程与分式方程的定义解答.分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断. 【详解】解：（1）； （2）； （3）+x＝都符合整式方程的定义； （4）+1＝x属于分式方程. 故选：C. 【点睛】本题考查了整式方程，分式方程，熟练掌握各自的定义，并灵活准确判断是解题的关键． 68．某校学生去20km外的科技馆研学，部分学生乘甲车先出发，5分钟后，其余学生乘乙车出发，两车同时到达．已知乙车速度是甲车速度的1.2倍，设甲车速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题为行程问题列方程题，根据时间=路程÷速度，结合两车时间差列方程，注意统一单位即可求解． 【详解】解：∵设甲车速度为，则乙车速度为，5分钟即为小时， 依题意得：． 题型19.由分式方程解的情况求值 69．若关于x的分式方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【详解】解：， 方程两边都乘，得，， 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 将代入，得， 故的值是3． 70．已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 【答案】 【分析】将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，去分母得：， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴ 解得． 71．若整数a使关于x的分式方程的解为正整数，且使关于y的不等式组有解，则满足条件的整数a的值之积是（　　） A．﹣4 B．0 C．16 D．64 【答案】A 【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正整数且不为增根确定a的初步范围，再解不等式组，根据不等式组有解确定a的取值范围，最后找出所有符合条件的整数a计算乘积即可． 【详解】解：先解分式方程， 方程两边同乘得：， 整理得：， ∴， ∵分式方程的解为正整数，且（分母不为0）， ∴，且， ∴，且，且为不等于4的正偶数，即为偶数， 再解不等式组， 解不等式， 两边同乘3得：， 解得：， 解不等式， 两边同乘得：， 解得：， ∵不等式组有解， ∴解集的公共部分存在，即， 综上，整数满足，为偶数，， 可得符合条件的为，， ∴满足条件的整数的值之积为． 题型20.分式方程无解问题 72．若方程有增根，则增根为（   ）． A． B．1 C．2 D．﹣2 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的增根，解答本题的关键在于掌握分式方程增根的概念，使得分式方程的最简公分母为0的根即为方程的增根． 【详解】解：∵分式方程有增根，则 ∴， ∴分式方程的增根为：2． 故选：C． 73．若关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A． B． C．或15 D．5或 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程无解求参数，分式方程无解的情况包括解为增根（使分母为零）或化简后的整式方程无解．本题中化简后的整式方程始终有解，因此只需考虑增根情况． 【详解】解：原方程为 ， ∵， ∴两边同乘得：， 化简得：， 解得：． 当或时，原方程分母为零，无解． 令：，解得； 令：，解得． ∴或时，原方程无解． 故选：C． 74．关于x的分式方程无解，则字母a的值是（    ） A．且 B． C． D．或 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分类讨论，分别得出答案即可． 【详解】解：， 两边同时乘以得，， ． 当时，即，整式方程无解，故原分式方程也无解； 当时，， 故方程的解为增根时，原分式方程无解， 即或， 或， 若，此方程无解； 若，解得，， 综上，或． 题型21.列分式方程 75．一项工程，甲乙两人合作天可以完成．已知乙单独完成此项工程比甲单独完成此项工程多用天，如果设甲单独完成此项工程需用天，那么根据题意可列方程________________． 【答案】 【分析】设甲单独完成此项工程需用天，则乙单独完成此项工程需用天，再根据两人合作两天可以完成任务列出方程即可． 【详解】解：设甲单独完成此项工程需用天，则乙单独完成此项工程需用天， 由题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 76．小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为千米/小时，可列方程为_______． 【答案】 【分析】设骑自行车的速度为千米/小时，则汽车的速度为千米/小时，根据时间路程速度，分别表示出骑自行车和乘汽车所需的时间，再根据乘汽车比骑自行车早到小时列出方程即可． 【详解】解：设骑自行车的速度为千米/小时． ∵汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时， ∴汽车的速度为千米/小时． ∵路程为10千米， ∴骑自行车所需时间为小时，乘汽车所需时间为小时． 根据题意，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达， 即骑自行车的时间减去乘汽车的时间等于小时， 可列方程为． 77．小张家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为_____ 【答案】 【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可得燃油汽车每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可. 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，则燃油汽车每百公里的耗油费为元，根据题意得， ． 题型22.分式方程行程问题 78．王老师从家里出发，驾车到离家的风景区度假．已知王老师在出发内按计划的速度匀速行驶，后以原计划速度的倍匀速行驶，并提前到达风景区．第二天以原计划速度的倍返回家中，那么来回行驶的时间相差______________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划速度为，根据去程行驶情况建立方程，求解得，再计算去程实际时间和返回时间，求时间差即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设原计划速度为 ，则原计划时间为 ， 所以前行驶距离为 ，剩余距离为，以速度行驶，时间为， 则实际总时间为 ， 又因为提前到达，即 ，所以， 化简得， 两边同乘得， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原计划速度 ， ∴实际总时间：， 又返回速度 ，则返回时间， 所以时间差， 故答案为：． 79．春运期间，某列动车平均提速．该动车在提速前行驶和提速后行驶的时间相同，求提速前该动车的平均速度是多少？ 【答案】 【分析】设提速前该动车的平均速度为，根据“该动车在提速前行驶和提速后行驶的时间相同”列分式方程求解． 【详解】解：设提速前该动车的平均速度为， 依题意，得：， 解得： 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：提速前该动车的平均速度为． 80．随着L3级自动驾驶技术的日趋成熟，首批获批的两种车型北汽极狐阿尔法S和长安深蓝分别在北京、重庆指定区域上路试点运行．经测试，长安深蓝的最高车速是北汽极狐阿尔法S的，两车均以最高车速行驶时，长安深蓝行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时间多30分钟，求长安深蓝SL03的最高车速是多少公里/时？ 【答案】长安深蓝的最高车速为公里/时． 【分析】设北汽极狐阿尔法S的最高车速为x公里/时，则长安深蓝的最高车速为公里/时，根据“长安深蓝行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时间多30分钟”列出分式方程，据此求解即可． 【详解】解：设北汽极狐阿尔法S的最高车速为x公里/时，则长安深蓝的最高车速为公里/时， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：长安深蓝的最高车速为公里/时． 题型23.分式方程工程问题 81．横溪西瓜喜获丰收，畅销多地，甲、乙两个农场，甲比乙每天多采摘2吨，甲农场采摘30吨比乙农场采摘20吨所用的时间少，若设甲每天采摘x吨，则根据题意，可列出方程：____________________． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 根据“甲农场采摘30吨比乙农场采摘20吨所用的时间少”建立方程，即可得出结论． 【详解】解：设甲每天采摘吨，则乙每天采摘吨， 根据题意得，． 故答案为：． 82．为满足新能源汽车快速增长带来的充电需求，某企业计划在某一地区建成1800座充电站，实际建设中，平均每月建成的充电站数量是原计划的1.5倍，结果提前3个月完成任务，求原计划平均每月建成多少座充电站？ 【答案】原计划平均每月建成200座充电站 【分析】设原计划平均每月建成座充电站，分别表示出原计划和实际的时间，再根据“提前3个月完成任务”建立分式方程求解． 【详解】解：设原计划平均每月建成座充电站，根据题意可列方程为 ， 解得， 经检验是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划平均每月建成200座充电站． 83．科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变．某科技公司为助力数智时代产业升级，计划批量制作智能服务机器人，总计完成180台的生产任务，项目启动后，研发团队优化算法与生产流程，实际每个月制作的机器人数量是原计划的1．5倍．若最终提前2个月完成任务，求该公司每个月实际制作的机器人数量． 【答案】实际每个月制作机器人45台 【分析】设原计划每个月制作台机器人，则实际每个月制作台机器人，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每个月制作台机器人，则实际每个月制作台机器人， 根据题意得，解得， 经检验：是原方程的解， 实际每个月制作机器人（台）． 答：实际每个月制作机器人45台． 题型24.分式方程经济问题 84．在“母亲节”前夕，某花店用3000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销售一空，根据市场的需求，该花店又用5000元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批购进的鲜花盒数的2倍，每盒鲜花进价比第一批少了10元，那么第一批鲜花礼盒的进价是每盒_____元． 【答案】60 【分析】设第一批鲜花礼盒每盒的进价为元，则第二批每盒进价为元，根据第二批购进盒数是第一批的倍，列分式方程求解检验即可. 【详解】解：设第一批鲜花礼盒的进价是每盒元，则第二批每盒进价为元. 第一批购进的盒数为盒，第二批购进的盒数为盒. ∵第二批购进的鲜花盒数是第一批购进鲜花盒数的倍， ∴， 交叉相乘化简得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故第一批鲜花礼盒的进价是每盒元. 85．学校计划购进A，B两种数学教具用于课堂教学．已知A种教具进价比B种教具进价每件多30元，用1400元购进种教具的件数与用800元购进种教具的件数相同． (1)求，两种教具每件的进价各多少元； (2)总务处张老师决定购进，两种教具共30件，且总费用不超过1600元，那么总务处张老师最多可购进种教具多少件？ 【答案】(1)A种教具每件进价70元，B种教具每件进价40元 (2)最多可购进A种教具13件 【分析】（1）设A种教具每件进元，则B种教具每件进价元，根据题意列出分式方程进行计算即可； （2）设购进A种教具件，则购进B种教具件，由题意得：，即可得到答案． 【详解】（1）解：设A种教具每件进价元，则B种教具每件进价元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 则B种教具每件进价元， 答：A种教具每件进价70元，B种教具每件进价40元； （2）解：设购进A种教具件，则购进B种教具件， 由题意得：， 解得， 由于为非负整数，故的最大值为件， 答：最多可购进A种教具13件． 86．某汽车销售公司经销某品牌款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年月份款汽车的售价比去年同期每辆降价万元，如果卖出相同数量的款汽车，去年销售额为万元，今年销售额只有万元． (1)今年月份款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知款汽车每辆进价为万元，款汽车每辆进价为万元，公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两款汽车共辆，有几种进货方案？ (3)如果款汽车每辆售价为万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是多少？ 【答案】(1)9万元 (2)共有5种进货方案 (3) 【分析】（1）设今年5月份款汽车每辆售价万元，根据今年的销售数量=去年的销售数量，列出分式方程，解方程，并检验即可求解． （2）根据公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，列出不等式组，求不等式组的整数解，即可求解． （3）根据题意列出代数式表示出利润，根据利润与无关，得出的系数为，即可求解． 【详解】（1）解：设今年5月份款汽车每辆售价万元．则： ， 解得：． 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：今年5月份款汽车每辆售价9万元； （2）设购进款汽车辆，则购进款汽车辆，根据题意得： ． 解得：． 的正整数解为，，，，， 共有种进货方案； （3）解：依题意，利润为： ∵要使（2）中所有的方案获利相同，即利润与无关， ∴ 题型25.分式方程和差倍分问题 87．某工厂生产零件个，实际参与生产的人数是原计划人数的倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了个，若设原计划人数为人，则列出的方程是______． 【答案】 【分析】设原计划人数为人，根据总零件数分别表示出原计划和实际的平均每人生产零件个数，再结合实际平均每人生产零件个数比原计划少个的等量关系列出方程即可． 【详解】解：设原计划人数为人，则实际参与生产的人数为人， 原计划平均每人生产零件个数为， 实际平均每人生产零件个数为， 根据题意得． 88．随着人工智能的发展，智能机器人在人们生产和生活领域深入越来越广泛．某图书馆为提高工作效率，增强读者读书体验，计划在不同区域引入A、B两种智能机器人执行还书任务，A型机器人比B型机器人每小时多还书本，A型机器人还本书所用的时间与B 型机器人还本书所用的时间相等．求B种机器人每小时还多少本书？ 【答案】B种机器人每小时还书本 【分析】本题考查了分式方程和差倍分问题，解题关键是掌握正确列出分式方程求解． 设B型机器人每小时还书x本，则A型机器人每小时还书本，列出分式方程求解即可． 【详解】解： 设B型机器人每小时还书x本，则A型机器人每小时还书本． 根据题意，得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：B种机器人每小时还书本． 89．为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． (1)用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； (2)求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 【答案】(1)； (2)50千克 【分析】（1）根据一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍可得一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花；采摘200千克茉莉花需要的时间=总重量÷每天采摘量，即天； （2）根据“一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天”列分式方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花； 采摘200千克茉莉花需要的时间为（天）； （2）解：依题意，得， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 智能采摘机器人平均每天采摘量：． 答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克． 题型26.其他实际问题 90．某种植园区计划移栽一批黄花菜幼苗．已知用机器移栽每天可移栽的幼苗数量是用人工移栽每天移栽幼苗数量的4倍，且人工移栽完这批幼苗比机器移栽完多用3天．若这批黄花菜幼苗的总数为4000株．设人工移栽每天移栽幼苗的数量是x株，可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找到等量关系是解决本题的关键． 先根据题意可得机器每天移栽幼苗株，再根据总幼苗为4000株，分别表示人工和机器所需天数，最后根据人工移栽比机器移栽多用3天列方程即可． 【详解】解：∵人工每天移栽幼苗株， ∴机器每天移栽幼苗株， ∵总幼苗数为4000株， ∴人工移栽所需天数为天，机器移栽所需天数为天， 根据题意，人工移栽比机器移栽多用3天， ∴， 故答案为：． 91．我国西北农林科技大学自主研发的苹果双臂采摘机器人（“双臂”指一个机器人安装两个机械手）在瞬间识别、单果速摘、无损采摘中，诠释着科技赋能的力量．经观察和测试，该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间比采摘工人采摘一个苹果平均所用的时间多秒．已知一个工人用秒采摘苹果的个数是该机器人的一个机械手用秒采摘苹果个数的倍． (1)求“双臂采摘机器人”的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间； (2)经科研人员研发改进，“双臂采摘机器人”的一个机械手采摘一个苹果所用的时间比原来减少了秒（）．若该机器人双臂（两个机械手）同时工作，它与一个采摘工人同时工作秒，则该机器人比工人多采摘多少个苹果？（列式并计算，结果用含，的式子表示） 【答案】(1)机器人的一个机械手采摘一个苹果需8秒． (2)该机器人比工人多采摘个苹果． 【分析】本题主要考查分式方程和分式的运算： （1）题目中存在的等量关系为：一个工人用秒采摘苹果的个数该机器人的一个机械手用秒采摘苹果个数； （2）将进行运算即可求得答案． 【详解】（1）设机器人的一个机械手采摘一个苹果需秒，则工人采摘一个苹果需秒. 根据题意，可列方程 解得 经检验：是原分式方程的解. 答：机器人的一个机械手采摘一个苹果需8秒. （2）（个） 答：该机器人比工人多采摘个苹果. 92．为传承中华优秀传统文化，厚植学生家国情怀，学校精心策划并计划租用客车，组织全体师生前往孔子故里相关研学基地，开展主题为“弘扬儒学，传承经典”的研学实践活动． 请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一： 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客720人与用B型客车载客540人的车辆数相同． 材料二： A型客车租车费用为3800元/辆；B型客车租车费用为3500元/辆． 若租用B型客车，租车费用打八折． 学校参加研学活动师生共有570人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 (2)36000元 【分析】（1）设A型客车每辆载客量为x人，根据题意列出分式方程即可求解； （2）设租A型客车m辆，B型客车辆，租车总费用w，根据载客量和总人数列出不等式确定m的取值范围，再计算出w，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：（1）设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为人， 由题意得，， 解得，， 经检验：是方程的根， ∴． 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车m辆，B型客车辆，租车总费用w， 由题意得，， 解得， 由题意得，， ， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，， ∴本次研学活动学校最少租车费用为36000元． 解答题 93．解答下列各题： (1)下列各式不是二次根式的是（    ） A．    B．    C．     D． (2)当满足 时，二次根式在实数范围内有意义． (3)当满足 时，在实数范围内有意义． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式“被开方数非负”的定义，逐一判断选项； （2）根据二次根式有意义的条件，列不等式求解； （3）根据分式有意义（分母不为0）和二次根式有意义（被开方数非负）的条件，列不等式求解． 【详解】（1）解：，则是二次根式； 是二次根式； ，则不是二次根式； ，则是二次根式． 故选． （2）解：在实数范围内有意义， ，即． （3）解：在实数范围内有意义， 则，， 即， 解得． 94．【已知】对分式进行通分，可知：当且时，． 【应用】求的值． 【答案】 【分析】将每一项拆分成两项的差，再计算加减法即可得． 【详解】解： ． 95．已知，求代数式． 【答案】 2018 【分析】本题考查分式的化简求值，先利用整式运算和因式分解化简所求代数式，再结合已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ； ∴原式． 96．已知分式，其中、是常数，且当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求当时，分式的值． 【答案】当时，分式的值为． 【分析】本题主要考查了分式的求值，分式无意义的条件，分式的值为零的条件，分式无意义的条件是分母为0，分式的值为零的条件是分子为0且分母不为0，据此求出m、n的值，再代入求值即可得到答案． 【详解】解：由题意，得，且， 解得． 当时，， 即当时，分式的值为． 97．计算及化简 (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）分别计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，化简二次根式，再进行实数的混合运算； （2）先计算括号内加法，再将除法化为乘法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 98．化简分式：． 【答案】 【详解】解： ． 99．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值 (2)1 (3)或 【分析】（1）根据“关联分式”定义，计算出，进而即可判断； （2）由与互为“关联分式”、，得，求出，将代入，进而即可求解； （3）由与互为“关联分式”、，列方程化简得．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值； （2）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； 当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为； （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或． 100．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业，某物流园区利用A，B两种自主移动机器人搬运化工原料． (1)若有化工原料，A型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，B型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，两种机器人合作需______小时搬运完成． (2)若A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】(1)，，． (2)A型机器人每小时搬运化工原料，B型机器人每小时搬运化工原料． 【分析】本题考查分式方程的应用，准确的表示A，B两种自主移动机器人搬运化工原料的工作时间是解本题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料，根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意可得A型机器人每小时搬运化工原料， B型机器人每小时搬运化工原料， 两种机器人合作搬运完成需要的时间为：， 故答案为：，，； （2）解：设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料， 根据题意可得，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：A型机器人每小时搬运化工原料，B型机器人每小时搬运化工原料． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $