8.3.2圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.3 简单几何体的表面积与体积 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积与其底面积、侧面积有什么关系？ 表面积=底面积+侧面积 复习引入 2.棱柱、棱锥、棱台的体积公式分别是什么？ (1)设棱柱的底面积为S，高为h，则=Sh. (2)设棱锥的底面积为S，高为h，则=Sh. (3)设棱台的上、下底面积分别为、S，高为h，则= ( ++S )h. 3.圆柱、圆锥、圆台的表面积也是侧面积+底面积，由于它们的侧面是一个曲面,有什么办法可以将其转化为平面图形来求面积？ 沿一条母线将侧面展开，圆柱的侧展图是矩形，圆锥的侧展图是扇形，圆台的侧展图是扇环. l O O' r • • 2πr O S l r • 2πr l O' O r' r l • • 2πr' 2πr zhilv he (zh) - 4.圆柱、圆锥、圆台的体积分别与棱柱、棱锥、棱台的体积的算法是一致的，其中底面积S可用圆面积来描述，那么圆柱、圆锥、圆台的体积公式分别是什么？ = h， =h， =h( + r+ ). 5.球的表面积与体积只与球的半径R有关，利用分割与极限思想，球的表面积与体积有什么内在联系？ (1)把球面任意分割成n个“小球面片”，球体被分割成n个以“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”. (2)小锥体的底面积≈小球面片面积，小锥体高≈球半径，球的体积≈各小锥体的体积之和，则 ++ )R≈ ， 当n→+∞时， R= . 教材导学 阅读教材： 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积公式分别是什么？ 2.球的表面积和体积公式分别是什么？ =4 , = ,其中R为球半径. 侧面积 表面积 体积 圆柱 2rl 2r（r+l） h 圆锥 rl r（r+l） h 圆台 （r'+r）l （r'+r）l++ h(+r'r+ 拓展探究 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？ 2.如何推导圆台的侧面积公式？ 3.若一个球的表面积为S,体积为V，则这个球的半径等于什么？ 4.如果一个多面体有一个内切球（多面体的每个面都与球相切），则多面体的体积V与其表面积S，及内切球半径R有什么关系？ = 2r（r+l） = （ +r）l++ =r（r+l） r 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？ 将圆台补形为圆锥，设补形圆锥的母线长为，则= ，得= . 2.如何推导圆台的侧面积公式？ 所以S=r(+l)- = (r- )+ rl= l+ = +r) l. 因为V=‧R= SR，则R= . 3.若一个球的表面积为S,体积为V，则这个球的半径等于什么？ 4.如果一个多面体有一个内切球（多面体的每个面都与球相切），则多面体的体积V与其表面积S，及内切球半径R有什么关系？ 把多面体分割成n个三棱锥，设每个三棱锥的底面积分别为 则多面体的表面积s=++ ，高均为R. 所以，V=++ )R= SR. 例1 已知圆锥的高和底面半径相等，其内接圆柱的高和底面半径相等，求圆锥与圆柱的表面积之比. 巩固应用 B C A 解析：据题意，圆锥的轴截面是等腰直角三角形.设圆锥，圆柱的底面半径分别为R，r，则R-r=r,即R=2r.圆锥的母线长为R，圆柱的母线长为r. 所以= = +1. D E M F G 例2 已知圆台的高为3，在轴截面ABCD中，∠BAD=60°，AD⊥BD，求圆台的体积. D C B A 解析：作⊥AB,垂足为E，在Rt△AED中，AE== E 在Rt△ADB中，BE=DE= 3 设圆台的上、下底面半径分别为r、R，高为h，则h=3. ,即R=2 ，r= . 且 R- r= R+ r= 3 所以V=h（ +Rr+ ）=21. 14 例3 已知正方体的表面积为9，求正方体外接球的表面积与体积. 解析：设正方体的棱长为，球半径为R. 由已知，6 =9，即= ，则= . 因为2R= ，则R= = . 所以球的表面积S=4=，体积V = = . 小结 1.知识要点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是其侧面展开图的面积，棱柱（锥、台）与圆柱（锥、台）的体积公式可合并为柱体（锥体、台体）的体积公式. 2.思想方法：将空间曲面图形的面积转化为平面图形的面积是一种展开思想，其核心思想是将空间问题转化为平面问题，常用于求空间折线段或折线段的最小值. 3.球的大小由其半径唯一确定，球的表面积等于其大圆面积的4倍，球的体积等于其表面积与半径之积的三分之一. 作业 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 $