9.2.1 总体取值规律的估计 第1课时 频率分布表和频率分布直方图 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.2.1 总体取值规律的估计 第1课时 频率分布表和频率分布直方图 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.已知样本数据：10，8，6，10，13，8，10，12，11，7，8，9，11，9，12，9，10，11，12，11，则它们的极差是（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 2.为了解某年级女生的身高情况，从中随机抽出20人进行测量，结果如下（单位：cm）： 149　159　142　160　156　163　145　150　148　151　156 144　148　149　153　143　168　168　152　155 在根据样本数据画频率分布直方图的过程中，如果组距设为4，那么组数为（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 3.关于频率分布表，下列叙述中正确的是（　　） A.从频率分布表可以看出样本数据相对于平均数的波动大小 B.频数是指落在各个小组内的数据 C.每小组的频数与样本量之比是这个小组的频率 D.组数是样本平均数除以组距 4.如图所示为某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则图中x的值为（　　） A.0.120 B.0.180 C.0.012 D.0.018 5.（2025·黑龙江学业考试）王老师对本班50名学生报名参与课外兴趣小组（每名学生限报一个项目）的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加数学小组的人数是（　　） 组别 数学小组 写作小组 体育小组 音乐小组 科技小组 频率 0.2 0.1 0.3 0.1 0.3 A.11人 B.10人 C.9人 D.5人 6.如图所示为某中学高一学生体重（单位：kg）的频率分布直方图，已知图中从左到右的前三组的频率之比为1∶2∶3，则第三小组的频率为（　　） A.0.125 B.0.250 C.0.375 D.0.500 7.学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示.将阅读时间不低于30分钟的学生称为“阅读之星”，则下列结论中，正确的是（　　） A.估计该校有一半学生为“阅读之星” B.该校只有50名学生不喜欢阅读 C.该校只有50名学生喜欢阅读 D.估计该校有50名学生为“阅读之星” 8.（多选）为弘扬中华优秀传统文化，某学校学生会要了解本校高一年级1 000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下所示： 参加场数 参加人数占调查人数的百分比 0 8％ 1 10％ 2 20％ 3 26％ 4 18％ 5 12％ 6 4％ 7 2％ 下列说法中，错误的有（　　） A.在高一年级学生中，估计参加活动次数是3的学生人数为360 B.在高一年级学生中，估计参加活动次数是2或4的学生人数为480 C.在高一年级学生中，估计参加活动次数不高于2的学生人数为280 D.在高一年级学生中，估计参加活动次数不低于4的学生人数为360 9.（多选）统计某校n名学生某次数学同步练习的成绩（满分150分），根据成绩（单位：分）依次分成六组：[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，得到频率分布直方图如图所示.若成绩不低于140分的人数为110，则下列说法中，正确的有（　　） A.m＝0.031 B.n＝800 C.成绩在100分以下的人数为60 D.成绩在区间[120，140）内的人数占一大半 10.为了了解某学校学生的成绩，现随机抽取该校200名学生的成绩作为样本进行分析，并绘制频率分布直方图.若该频率分布直方图的组距为10，且样本中成绩在区间[92.5，102.5）这一组内的学生有40人，则在频率分布直方图中，该组数据对应的矩形高度为（　　） A.0.02 B.0.2 C.0.04 D.0.4 二、填空题 11.某校高三（1）班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟和330分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计，得到如下的频率分布表： 组序 分组 频数 频率 第一组 [180，210） 4 0.10 第二组 [210，240） 8 s 第三组 [240，270） 12 0.30 第四组 [270，300） 10 0.25 第五组 [300，330] 6 t 分布表中s，t的值分别为 ， . 12.在某一时期内，一条河流某处的年最高水位（单位：米）在各个范围内的频率如下表所示： 年最高水位范围 [0，10） [10，12） [12，14） [14，16） [16，＋∞） 频率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08 若年最高水位低于14米为“安全水位”，则出现“安全水位”的频率是 . 13.某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图所示为根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克且小于104克的产品的个数是 . 三、解答题 14.一个频数分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60）内的频率为0.6，试估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数之和. 分组 [10，20） [20，30） [30，40） 频数 3 4 5 15.从某校高三 学生中抽取50名学生参加数学竞赛，成绩分组（单位：分）及各组的频数如下： [40，50），2；[50，60），3；[60，70），10；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，8. （1）列出样本的频率分布表； （2）画出频率分布直方图； （3）估计成绩在[60，90）分的学生比例. 16.某市2024年4月1日至4月30日对空气质量指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）：61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45.按[41，51），[51，61），…，[101，111]进行分组. （1）作出频率分布表； （2）作出频率分布直方图； （3）根据国家标准，空气质量指数在0～50时，空气质量为优；空气质量指数在51～100时，空气质量为良；空气质量指数在101～150时，空气质量为轻度污染；空气质量指数在151～200时，空气质量为中度污染.请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量作出一个简短评价. 参 考 答 案 一、选择题 1.已知样本数据：10，8，6，10，13，8，10，12，11，7，8，9，11，9，12，9，10，11，12，11，则它们的极差是（　C　） A.5 B.6 C.7 D.8 解析： 由题知样本数据的最大值是13，最小值是6，极差为13－6＝7. 2.为了解某年级女生的身高情况，从中随机抽出20人进行测量，结果如下（单位：cm）： 149　159　142　160　156　163　145　150　148　151　156 144　148　149　153　143　168　168　152　155 在根据样本数据画频率分布直方图的过程中，如果组距设为4，那么组数为（　D　） A.4 B.5 C.6 D.7 解析： 由极差为168－142＝26，组距为4，可得＝6.5，则组数为7. 3.关于频率分布表，下列叙述中正确的是（　C　） A.从频率分布表可以看出样本数据相对于平均数的波动大小 B.频数是指落在各个小组内的数据 C.每小组的频数与样本量之比是这个小组的频率 D.组数是样本平均数除以组距 解析： 对于A，频率分布表使样本数据被妥善整理，从而以更简洁的数据形态呈现，无法通过频率分布表看出数据相对于平均数的波动情况；对于B，频数是指落在各个小组内的数据的个数；对于C，每小组的频数与样本量之比等于这个小组的频率，C正确；对于D，组数一般由样本数据的极差除以组距得到. 4.如图所示为某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则图中x的值为（　D　） A.0.120 B.0.180 C.0.012 D.0.018 解析： 由图可知纵坐标表示频率/组距，x＝0.1－0.054－0.010－0.006×3＝0.018. 5.（2025·黑龙江学业考试）王老师对本班50名学生报名参与课外兴趣小组（每名学生限报一个项目）的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加数学小组的人数是（　B　） 组别 数学小组 写作小组 体育小组 音乐小组 科技小组 频率 0.2 0.1 0.3 0.1 0.3 A.11人 B.10人 C.9人 D.5人 解析： 参加数学小组的频率为0.2，∴本班报名参加数学小组的人数是50×0.2＝10. 6.如图所示为某中学高一学生体重（单位：kg）的频率分布直方图，已知图中从左到右的前三组的频率之比为1∶2∶3，则第三小组的频率为（　C　） A.0.125 B.0.250 C.0.375 D.0.500 解析： 由频率分布直方图，知前三组的频率之和为1－（0.012 5＋0.037 5）×5＝0.750，∴第三小组的频率为0.750×＝0.375. 7.学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示.将阅读时间不低于30分钟的学生称为“阅读之星”，则下列结论中，正确的是（　A　） A.估计该校有一半学生为“阅读之星” B.该校只有50名学生不喜欢阅读 C.该校只有50名学生喜欢阅读 D.估计该校有50名学生为“阅读之星” 解析： 根据频率分布直方图可列下表： 阅读时间（分） [0，10） [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60] 抽样人数 10 18 22 25 20 5 抽取的100名学生中有50名为“阅读之星”，据此可估计该校有一半学生为“阅读之星”. 8.（多选）为弘扬中华优秀传统文化，某学校学生会要了解本校高一年级1 000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下所示： 参加场数 参加人数占调查人数的百分比 0 8％ 1 10％ 2 20％ 3 26％ 4 18％ 5 12％ 6 4％ 7 2％ 下列说法中，错误的有（　ABC　） A.在高一年级学生中，估计参加活动次数是3的学生人数为360 B.在高一年级学生中，估计参加活动次数是2或4的学生人数为480 C.在高一年级学生中，估计参加活动次数不高于2的学生人数为280 D.在高一年级学生中，估计参加活动次数不低于4的学生人数为360 解析： 对于A，在高一年级学生中，估计参加活动次数是3的学生人数为1 000×0.26＝260，A错误；对于B，在高一年级学生中估计参加活动次数是2或4的学生人数为1 000×（0.2＋0.18）＝380，B错误；对于C，在高一年级学生中，估计参加活动次数不高于2的学生人数为1 000×（0.08＋0.1＋0.2）＝380，C错误；对于D，在高一年级学生中，估计参加活动次数不低于4的学生人数为1 000×（0.18＋0.12＋0.04＋0.02）＝360，D正确.　 9.（多选）统计某校n名学生某次数学同步练习的成绩（满分150分），根据成绩（单位：分）依次分成六组：[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，得到频率分布直方图如图所示.若成绩不低于140分的人数为110，则下列说法中，正确的有（　AC　） A.m＝0.031 B.n＝800 C.成绩在100分以下的人数为60 D.成绩在区间[120，140）内的人数占一大半 解析： 对于A，由题图可知10×（m＋0.020＋0.016＋0.016＋0.011＋0.006）＝1，解得m＝0.031，A正确；对于B，∵成绩不低于140分的频率为0.011×10＝0.11，∴n＝＝1 000，B错误；对于C，∵成绩在100分以下的频率为0.006×10＝0.06，∴成绩在100分以下的人数为1 000×0.06＝60，C正确；对于D，成绩在区间[120，140）内的频率为0.031×10＋0.016×10＝0.47＜0.5，人数占一小半，D错误. 10.为了了解某学校学生的成绩，现随机抽取该校200名学生的成绩作为样本进行分析，并绘制频率分布直方图.若该频率分布直方图的组距为10，且样本中成绩在区间[92.5，102.5）这一组内的学生有40人，则在频率分布直方图中，该组数据对应的矩形高度为（　A　） A.0.02 B.0.2 C.0.04 D.0.4 解析： 由题意成绩在区间[92.5，102.5）内学生的频率为＝0.2，∴＝0.02. 二、填空题 11.某校高三（1）班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟和330分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计，得到如下的频率分布表： 组序 分组 频数 频率 第一组 [180，210） 4 0.10 第二组 [210，240） 8 s 第三组 [240，270） 12 0.30 第四组 [270，300） 10 0.25 第五组 [300，330] 6 t 分布表中s，t的值分别为　0.20　，　0.15　. 解析： s＝＝0.2，t＝1－0.1－s－0.3－0.25＝0.15. 12.在某一时期内，一条河流某处的年最高水位（单位：米）在各个范围内的频率如下表所示： 年最高水位范围 [0，10） [10，12） [12，14） [14，16） [16，＋∞） 频率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08 若年最高水位低于14米为“安全水位”，则出现“安全水位”的频率是　0.76　. 解析： 由表可得，出现“安全水位”的频率是0.1＋0.28＋0.38＝0.76. 13.某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图所示为根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克且小于104克的产品的个数是　90　. 解析： ∵样本中产品净重小于100克的频率为（0.050＋0.100）×2＝0.3，频数为36，∴样本容量为＝120.∵样本中净重大于或等于98克且小于104克的产品的频率为（0.100＋0.150＋0.125）×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于98克且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90. 三、解答题 14.一个频数分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60）内的频率为0.6，试估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数之和. 分组 [10，20） [20，30） [30，40） 频数 3 4 5 解：根据题意，设分布在[40，50），[50，60）内的数据个数分别为x，y.∵样本中数据在[20，60）内的频率为0.6，样本容量为50， ∴＝0.6，解得x＋y＝21. 即样本在[40，50），[50，60）内的数据个数之和为21. 15.从某校高三 学生中抽取50名学生参加数学竞赛，成绩分组（单位：分）及各组的频数如下： [40，50），2；[50，60），3；[60，70），10；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，8. （1）列出样本的频率分布表； 解：（1）频率分布表如下所示： 成绩分组 频数 频率 频率/组距 [40，50） 2 0.04 0.004 [50，60） 3 0.06 0.006 [60，70） 10 0.2 0.02 [70，80） 15 0.3 0.03 [80，90） 12 0.24 0.024 [90，100] 8 0.16 0.016 合计 50 1.00 0.1 （2）画出频率分布直方图； 解：（2）频率分布直方图如图所示. （3）估计成绩在[60，90）分的学生比例. 解：（3）学生成绩在[60，90）的频率为0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝74％，∴估计成绩在[60，90）的学生比例为74％. 16.某市2024年4月1日至4月30日对空气质量指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）：61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45.按[41，51），[51，61），…，[101，111]进行分组. （1）作出频率分布表； 解：（1）作出频率分布表如下表所示： 分组 频数 频率 [41，51） 2 [51，61） 1 [61，71） 4 [71，81） 6 [81，91） 10 [91，101） 5 [101，111] 2 合计 30 1 （2）作出频率分布直方图； 解：（2）作出频率分布直方图如图所示. （3）根据国家标准，空气质量指数在0～50时，空气质量为优；空气质量指数在51～100时，空气质量为良；空气质量指数在101～150时，空气质量为轻度污染；空气质量指数在151～200时，空气质量为中度污染.请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量作出一个简短评价. 解：（3）该市一个月中的空气质量有2天处于优，占当月天数的，有26天处于良，占当月天数的，∴处于优或良的天数为28，占当月天数的，说明该市空气质量基本良好. 学科网（北京）股份有限公司 $