内蒙古赤峰二中2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

赤峰二中2025级高一下学期第一次月考 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 韵 一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x-1<x<1),B={x0<x≤1)，则AUB=() A.(0,1) B.(-o,1) C.(-1,1) D.(-1,1] 如 2.若实数a,b满足a2>b2,则下列不等式恒成立的是() 中 A.a>b0 B.a>0>b 谢 C.ab D.lal lbl 3.已知A(m3),B(2m,m+4),C(m+1,4),D(1,0),且向量AB与向量C币垂直，则m的值为（) A.0 B.1 C.-2 D.2 长 4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若4+c2-a2=-2c,b=2;则A=() 0 A君 B. C. D.3 ☒ 5.已知a=5.6,b=log30.6,c= 目，则ab,c的大小关系为() A.b<a<c B.b<c<a C.c<b<a D.a<c<b 6.将函数f()=sin(x-p)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则口 的一个可能取值为() 和 A.0 B.- C. D. 7.已知向量d,满足团=1，阿=2，同-=V7,则+在上的投影向量是() 翩 A.B B.6 C.-3 D.-6 8. 已知v3sina-cos(c+)=0,则tan(a-)=（） A. B.-9 c. D. 高一数学第1页，共4页 ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效可盘 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 个选项是符合题求的，全部选对的得6分，有选错的得0分) 9.下列说法正确的是（) A.若ab,I飞，则aI B.若非零向量AB,AC满足AB=-3AC,则A,B,C三点共线 C.若a.<0,则向量d与的夹角为钝角 D.若向量，不共线，对于平面内任一向量d,都存在唯一实数对1，u,使=+记 10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC有两解 C.若A=60°，a=2,则△ABC面积的最大值为V3 D.若AABC为钝角三角形，则a2+b2>c2 11.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，以AC的中点0为圆心，1为半径作一个半圆，点P 为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是 A.BO=BA+-BC B.BA.BO=3 C.F-BC的最大值为4D.若丽=xB+y8屁，则x+y的最大值为+ 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分：把答案填在题中横线上） 12.已知向量元=(2，-1)，=(-1,2)，c=(m,3),若(d+)/6+),则m= 13.在AABC中，已知AB=12,AC=9,LBAC=120°，点E在线段BC上，且满足2BE=EC, 则AE的长度为 14.若ω>0，函数f(闭= Inx+x,0<x<e (Qos(ox+),-π≤x≤0恰有4个零点，则实数u的取值范围是 (结果用区间表示) 高一数学第2页，共4页 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效百 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15(满分13分).已知向量d,满足同=2，同=1，且与的夹角为 (1)若(2石+1（位-），求实数的值： (2)求五与a+2的夹角的余弦值. 16(满分15分).在AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a2+c2-V2ac=b2. (1)求角B; (2)若A=75°，b=2,求边c和△ABC的面积. 17(满分15分).己知向量a=(3sinx,cosx),石=(sin(x+》,cosx).设f()=a.方. (1)求函数y=f(x)的单调递增区间； (2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若f(A)=1,b=2,三角形ABC的面 积为2v3,求边a的长. (3)若f(段-)=名求cos(2a+的值. 高一数学第3页，共4页 ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效百 18(满分17分).已知函数f()=1-2产(a>0且a≠1)为奇函数. (I)求实数a的值及函数f(x)的值域： (2)解不等式f,)> (3)求函数g(x)=2x-mf(x)在区间(-∞，2)上有两个不同的零点，求实数m的取值范围. 19(满分17分).《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的 麦田.假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将 BD连接，经测量AB=BC=CD=2,AD=2V2. 的 (1)霍尔顿发现无论BD多长，√2cosA-cosC为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个 定值； (2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关 系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大：反之，当一个变量减小时，另一个变量也 倾向于减小)，记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2,为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿 求S?+S的最大值； (3)霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线BD的长度平方成正比，比例系数为k,而总收益与S子+ S成正比，比例系数为m(其中k>0,m>0,12-8√2<10m“<16)若净收益为总收益减 去维护成本，请求出使净收益最大的BD长度，并写出此时的最大净收益表达式 高一数学第4页，共4页 ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效写链 高一年级下学期第一次月考数学试题答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D 0 C D B A BD ABC 题号 11 答案 ABD 1.D 【分析】根据并集的定义即可求得 【详解】A=(-1,1),B=(0,1],所以AUB=(-1,1]. 2.D 【详解】对于ABC,当a=-2,b=-1时，满足a2>b2,此时a<b<0,a<bl,故A错误，B错误，C错误； 对于D,因为a2>b2台la2>1b2台la>bl,故D正确， 3.C 【分析】利用向量垂直数量积为零建立方程解出即可. 【详解】因为A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,4),D(1,0), 所以AB=(m,m+1),CD=(-m,-4), 又AB1cD→AB.cD=0→m(-m)+(-4)(m+1)=0, 即m2+4m+4=0,解得：m=-2. 4.C 【分析】使用余弦定理结合条件与三角函数值即可求解 【详解】由余弦定理得c0sA==“=老=-号 2bc 4c 因为AE(0,,所以A=受 5.B 【详解】a=56>50=1,b=1og,0.6<1og1=0,c=(月03=目6=206， 因为函数y=x.6在(0，+oo)上单调递增， 则5.6>20.6，则a>c,则b<c<a,则B正确， 6.D 【分析】先求出平移后的函数解析式，进而根据函数性质求得p=-婴-kmk∈Z,再依次讨论k值即可. 【详解】函数f)=sin(位x-p)的图象向右平移个单位长度后， 对应的函数解析式为g(,=sin(-)-p=sin(x--p), 数学答案第1页，共8页 ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效可 因为g(x)的图象关于y轴对称， 则--p=+kmk E,即p=-孤-km,k E.. 当k=0时，0=-买 当k=-1时，9= 当k=-2时，9=经 综上，p的一个可能取值为 7.B 【详解】由题可知，向量d,满足向=1，=2，(-=V7, 所以a-=7→-2a.i+=7→d.i=-1, 服+随让的投影纳量为骨万=景6=学6=五 2 8.A 【详解】V3sina-cos(a+)=V3sina-(cosa--9sina）=29sina-方cosa=0, 六cosa=33sina,故ana=二=3将。=9 tana-ta暖5525 93 ctan(a-三+tanctan吃1+5x9—三3 5 9.BD 【详解】对于A,当=0时，满足/乃，/心，但不一定得到f尼，A错误： 对于B,由AB=-3AC,得AB与AC为平行向量，又向量AB与AC有公共点A,因此A,B,C三点共线，B正确； 对于C,当两个非零向量d与b反向时，满足db<0,C错误； 对于D,向量b,c不共线，对于平面内任一向量石，都存在唯一实数对2,4，使=乃+心，D正确. 10.ABC 【详解】对于A,若A>B,则a>b, 根据正弦定理品=品。=2R(R是△ABC外接圆半径)， b 可得a=2R·sinA,b=2R·sinB, 所以2R·sinA>2R·sinB,即sinA>sinB,A正确； 里品=品g 对于B,由正弦定理。 代入得snB==a心=号 a 数学答案第2页，共8页 ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效写登 因为sinB=子<1，且b>a,(即B>A=30), 所以B可以是锐角或钝角，两种情况均符合三角形内角和为180°， 所以△ABC有两解，B正确； 对于C,由余弦定理得，a2=b2+c2-2bc·cosA, 所以4=b2+c2-bc, 由基本不等式得，b2+c2≥2bc, 则4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤4， 当且仅当b=c=2时，等号成立， 所以△ABC面积S=bc·sinA=bc≤装×4=V3,C正确： 对于D,若C为钝角，则由余弦定理得，c0sC=+2-C<0, 2ab 所以a2+b2-c2<0,即a2+b2<c2,D错误. 11.ABD 【详解】对A:因为0为AC的中点，所以B0=BA+BC,故A正确： 对B:因为△ABC是边长为2的等边三角形，所以BA=2,B可|=V3,∠AB0= 所以BA·B0=2×V3×cos”=3,故B对 对C:因为B驴-BC=|1C≤CA=2,所以B驴-BC的最大值为2，故C错误： 对D:因为BA=BC=2,BA·BC=2×2×cos=2, 由B丽=xBA+yBC→B=(BA+yBC)2=4x2+4y2+4xy, 所以B=4x+y)2-4xy≥4x+y)2-(x+y)2=3x+y)2. lp叫-lo+o叫sbo+b-a+ 由3x+≤(N3+1)2→x+y≤5，故D正确， 12.-4 【详解】因为a=(2,-1),7=（-1,2),c=(m,3), 所以a+c=(2+m,2),b+t=(m-1,5), 又因为G+肉/B+), 所以有=号→52+m=2(m-1)→m=-4. 13.7 数学答案第3页，共8页 ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效百 【分析】在△ABC中，由余弦定理可得BC=3V37,QosB=高从而可得BB=V37,在△ABE中，由余弦定理 求解即可. 【详解】如图所示： B 由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·COS∠BAC =122+92-2129(-2)=333, 所以BC=V333=3V37,又因为2BE=EC, 所以BB=号C=37,在△ABC中，cosB=0CAC=品 2AB-BC 在△ABE中，由余弦定理可得：AE2=AB2+BE2-2AB·BE·C0S∠B=49, 所以AE=7. 4.层) 【分析】由初等函数单调性得函数f(x)=lnx+x在(0，e)上单调性，由零点存在性原理可知函数f(x)在(O,e)上零 点个数，从而可知函数f(x)=cos(ωx+)在[-元，0]上零点个数，由x取值范围得wx+的范围，由余弦函数的 性质得到一ωπ+的取值范围，从而求得答案 【详解】函数f()=lnx+x在(0，e)上单调递增，且f(周=-1+是<0，f()=1>0, 所以3x∈(（仁，1，使得fx)=0,函数f(x)在(0，e)上只有1个零点， 要使函数f)恰有4个零点，则函数f)=cos(wx+)在[-北，0]上只有3个零点， 由-π≤x≤0，w>0,得-wm+≤wx+号≤ 则-π<-wm+5s-m,解得g≤w<名 故答案为：[侣》 15.(1)n=3. 鹏 【分析】(1)根据两个向量垂直，则它们的数量积为0，并利用向量数量积公式计算 (2)先计算·石+2而，再计算瓜+2，最后根据向量夹角的余弦公式求解 【详解】(1)由题意可得a.方=lcos号=2×1×2=1，-2分 数学答案第4页，共8页 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效百 因为(2a+可)1(a-,所以(2a+可(d-=0, 4分 即2-2a.b+d.6-12=2×4-2λ×1+1-1×1=9-31=0， 解得1=3.- -6分 (2)设与d+2的夹角为0，由(1)可知，6=1， 由题意可得i.(d+2D=a.6+2=1+2×1=3, 9分 由位+2=+4a.币+4=4+4+4=12，得+2=2V3,-11分 所以as9=能调==9 2 -13分 16.(1)45° (2C=V6,面积SAAc=3+ 2 【分析】(1)根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解： (2)根据题意，由条件可得C=60°，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解. 【详解】(1)已知a2+c2-V2ac=b2,由余弦定理得：b2=a2+c2-2 accosB,-3分 所以a2+c2-2 accosB=a2+c2-V2ac, 5分 化简可得：cosB= 6分 2 又0°<B<180°，故B=45°- 7分 (2)C=180°-A-B=180°-75°-45°=60°，-8分 由正弦定理品=品c代入b=2,B=45,C=60: ---9分 所以c==2g=婆-6 sin45。 -10分 因为sin75°=sin(45°+30)=sin45cos30°+cos45°sin30°=6+2， -12分 4 所以S=2 besinA=2V6.sin75°=3+5， -15分 17.()[-骨+kmg+kn kEZ. (2)a=2V3 )号 【分析】(1)先根据向量数量积的坐标公式与和差倍角的三角函数公式计算并化简f(x),然后根据正弦函数的单 调性求出函数的单调增区间. (2)先根据已知条件求出A,然后根据三角形面积公式求出c,最后根据余弦定理求出a. (3)先化简出sin(仔-a侧=子再根据余弦的二倍角公式即可求出.。 数学答案第5页，共8页 ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效可 【详解】(I)因为a=(3 Bsinx,cosx),b=(sin(x+》,cosx)=(cosx,cos, 则f)=立：万=V3 Bsinxcosx+cos2x=9sin2x++s24=sn(2x+)+7-3分 令-+2km≤2x+8≤+2km,k∈Z,得-5+kπ≤x≤g+km,k∈z,4分 故函数y=f(x)的单调递增区间为-+kπ，石+km,k∈Z. -5分 (2)因为f(A)=sin(2A+)+号=1， 所以sin(（2A+)= -6分 又0<A<,则2A+8e(倍，) 所以2A+若=g,则A=子 、 -7分 又b=2, 'SAABC=bcsinA=x2cx=2, -8分 所以c=4,- --9分 由余弦定理可得：a2=b2+c2-2 bccosA=22+42-2×2×4×号=12， 故a=2v3 -10分 (3)因为f(侣-)=sim(传-a)+片=名所以sin(后-a）=景12分 所以cos(（2a+)=2cos2(a+)-1=2sin2(G-a)-1=号-1=-分-15分 18.(1)a=2,(-1,1) (2)0og25,+∞) 33+2w2,劉 【分析】(I)根据条件，利用奇函数的性质，即可求出的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求 解： (2)根据条件得2x>5,利用指数不等式的解法，即可求解： (3)根据条件，将问题转化成t2-(m-1)t+m=0在t∈(0,4]上有两个不等根，令h()=t2-(m-1)t+m, 利用二次函数根的分布建立方程组，即可求解. 【详解】(1)因为a>0且a≠1，a*>0,则f(x)的定义域为R,又f(x)为奇函数， 则/0)=1-产。=0，解得a=2, 1分 所以f闭=1-4=品 则f-)=品=器=-f),所以Q=2满足题意， -2分 数学答案第6页，共8页 ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效可盘 又2*+1>1，所以-2<-24<0,3分 则-1<1-21<1，所以函数f)的值域为(-1,1). 5分 (2)由(1)知时)=1一舜由f因>号得到1-2异>景…6分 整理得到2x>5,---- -8分 解得x>log25,-- ..9分 所以不等式f(x)>的解集为Qog25,+∞).- -10分 (3)因为g()=2*-m(1-)令g()=0,即2*-m(1-2异)=0，整理得到22x-(m-1)2*+m=0, -12分 又函数g(x)=2x-mf(x)在区间(-o,2]上有两个不同的零点，所以x∈（-∞，2]时，方程22x-(m一1)2*+m=0 有两个不等根， --13分 令t=2*,得到t2-(m-1)t+m=0,又t=2*在区间(-o,2]上单调递增，所以t=2*∈(0,4]， 则t2-(m一1)t+m=0在t∈(0,4]上有两个不等根，---14分 △=(m-1)2-4m>0 令h(t)=t2-(m-1)t+m,则 0<<4 ，-15分 h(0)=m>0 h(4)=16-4(m-1)+m≥0 解得3+2V厄<m≤9 ---16分 所以实数m的取值范围为(3+2W2,劉] -17分 19.()验证见解析，V2cosA-cosC= a哈 (3)BD= 7m,ymax=23m2-20tm+42 10m-4k 2m 【分析】(1)根据余弦定理表示出BD,再化简即可. (2)根据三角形的面积公式以及(1)结论，利用二次函数的最值求解， (3)根据题意列出解析式，再根据(1)(2)问的结论化简，利用二次函数的最值求解。 羊解】(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cOSA, EBD2 =4+8-8v2cosA=12-8/2cosA.--- --2分 在△BCD中，由余弦定理得BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cosC, 即PD2=4+4-8cosC=8-8cosC,所以12-8W2cosA=8-8cosC,-4分 即V2cosA-c0sC=所以无论BD多长，V2cosA-cosC= ，---5分 数学答案第7页，共8页 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效简 (2)S1=2AB·AD.sinA-=×2×2W2sinA=2W2sinA,-6分 S2=2CB.CD.sinC=2×2×2sinC=2sinC, 7分 则S+S经=8sin2A+4sin2C=12-8cos2A-4cos2C,--8分 由(1)知，V2cosA-cosC=3即cosC=V2c0sA-2代入上式， 得S经+5经=12-8c0s2A-4V2cosA-)=-16c0s2A+4W2cosA+11, 配方得s好+5经=-16(cosA-9°+号 -9分 当cosA=时，S+S号取到最大值为2 -11分 (3)设BD=x,净收益为y,则y=m(S子+S)-kx2,-12分 由(1)知x2=12-8V2cosA,x2=8-8cosC, 则cosA=若 --13分 由(2)知s+5经=-16(cosA-9+2=-若+x2-1,-14分 所以y=mS经+s)-k2=m(←若+2-1)-k2=-g4+(受-k)x-m, 令2=t,则y=-g2+(-k)t-m, --15分 所北=一有 婴k=10m-4ke(12-8V2,16), 即当x=m om-帐时，净收益最大， nx=-君(（+(2)(）-m=2 2m -17分 数学答案第8页，共8页 ▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效简雄