精品解析：山东潍坊市寿光市第一中学2025-2026学年下学期高二年级4月月考数学模拟试题

高二下学期阶段检测数学试题 一、单选题 1. 已知等差数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的前n项和为，且，则（ ） A. 20 B. 28 C. 32 D. 48 3. 下列关于独立性检验的说法正确的是（ ） A. 独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验 B. 独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系 C. 利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们则可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病 D. 在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大 4. 已知随机变量，若，且，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 5. 中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里．”意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ） A. B. C. D. 6. 数列，满足，，则的前100项之和等于（ ） A. B. C. D. 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩，且，，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀，令，，则（ ） A. ， B. 从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为 C. 从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为 D. 从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为 10. 已知为等差数列，满足为等比数列，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的首项为4 B. C. D. 数列的公比为 11. 在等差数列中，．现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为．则下列结论正确的是（ ） A. 服从二项分布 B. 服从超几何分布 C. D. 三、填空题 12. 已知，则______. 13. 已知数列是各项均为正数的等比数列，为其前项和，，，则______. 14. 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． （1）已知张同学至少取到1道乙类题，则他取到的题目不是同一类的概率为__________； （2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用表示张同学答对题的个数，则的数学期望为__________． 四、解答题 15. 已知等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，求的前项和. 16. 设数列的前n项和为.已知. （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若数列满足，求的前n项和. 17. “稻草很轻，但是他迎着风仍然坚物，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量，为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； （2）以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生(有放回试验)，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值． 18. 已知公差不为零的等差数列，，和的等比中项与和的等比中项相等. （1）若数列满足，求数列的前n项和； （2）若数列满足，（），求数列的通项公式. 19. 为响应“书香校园”建设，某校图书馆引入了一套智慧自助借还系统M，该系统内置个智能识别模块.每个模块在日常使用环境下正常工作的概率为，各模块工作状态相互独立. （1）该图书馆从某批次智能识别模块中随机抽取了100个，在“日常校园环境”和“高温潮湿仓库环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 日常校园环境 50 5 55 高温潮湿仓库环境 35 10 45 合计 85 15 100 请根据小概率值独立性检验，能否认为模块工作状态与测试环境有关联？ 附：，. 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 （2）当时，系统M中正常工作的模块个数为随机变量X，回答以下问题： （i）求X的分布列及数学期望； （ii）若有超过一半的模块正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.为改善时系统M的可靠性，能否通过增加一个智能识别模块（即）提高系统M的可靠性？请给出你的结论并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期阶段检测数学试题 一、单选题 1. 已知等差数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出等差数列的公差，即可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则， 故. 故选：B. 2. 已知数列的前n项和为，且，则（ ） A. 20 B. 28 C. 32 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第n项与前n项和的关系求出. 【详解】数列中，， 所以. 故选：A 3. 下列关于独立性检验的说法正确的是（ ） A. 独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验 B. 独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系 C. 利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们则可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病 D. 在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立性检验的意义分别判断各选项. 【详解】独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是否是线性相关，故A错误； 独立性检验并不能确定两个变量相关，故B错误； 是指“抽烟”和“患肺病”存在关联的可能性大小，并非抽烟人中患肺病的发病率，故C错误； 根据卡方计算的定义可知，在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，对于D正确. 故选:D. 4. 已知随机变量，若，且，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的方差公式及方差的性质求解. 【详解】因为， 所以，即，解得， 所以， 又，所以. 故选：C 5. 中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里．”意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该马第天行走的里程数为，分析可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式可求出的值，即可求得的值，即为所求. 【详解】设该马第天行走的里程数为， 由题意可知，数列是公比为的等比数列， 所以该马七天所走的里程为，解得， 故该马第五天行走的里程数为． 故选：C． 6. 数列，满足，，则的前100项之和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用裂项相消法求和. 【详解】∵, ∴， ∴, 故选：B． 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据“冰霓猜想”结合递推关系式，可发现从开始进入循环，利用规律求解判断. 【详解】由题意可得，，，，，，，，，…，按照此规律下去， 可得，，，， 令，解得，. 故选：B. 8. 某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据题意，由组合数公式计算从7名医生中抽调3人的所有可能结果，计算至少有1名男医生参加的事件包含的选法，由古典概型公式计算可得答案； 方法二：计算抽调3人全部为女医生的概率，利用对立事件的概率公式，求出至少有1名男医生参加的概率. 【详解】方法一：依题意，从7名医生中抽调3人的所有可能结果共有（种）， 至少有1名男医生参加的事件包含的结果共有（种）， 所以至少有1名男医生参加的概率为. 方法二：抽调3人全部为女医生的概率为， 则至少有1名男医生参加的概率为. 故选：C． 二、多选题 9. 在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩，且，，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀，令，，则（ ） A. ， B. 从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为 C. 从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为 D. 从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：借助正态分布中于的意义即可得；对B：结合题意可得，，结合正态分布的性质计算即可得的值；对C、D：由正态分布的性质可得，，结合相互独立事件的概率公式及条件概率公式计算即可得. 【详解】对A：由，，则，，故A错误； 对B：由，，则，则， ，故有，， 则，则， 即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为， 故B正确； 对C：，则从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生， 这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为， 故C正确； 对D：，又， 故从该市高一全体学生中随机抽取一名学生， 该生测试成绩及格的概率为，该生测试成绩优秀的概率为， 则在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为， 故D正确. 故选：BCD. 10. 已知为等差数列，满足为等比数列，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的首项为4 B. C. D. 数列的公比为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两个数列的基本量运算，易于判断选项. 【详解】对于A项，设的公差为，由可得不能确定的值，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C，D两项，设的公比为，由可得：则于是故C项正确；D项也正确. 故选：BCD. 11. 在等差数列中，．现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为．则下列结论正确的是（ ） A. 服从二项分布 B. 服从超几何分布 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得前10项中有6个正数，即可求解从而可判断服从超几何分布，即可判断ABC,由超几何分布的期望计算即可判断D. 【详解】依题意，等差数列公差，则通项为 ， 由得，即等差数列前10项中有6个正数， 的可能取值为的事件表示取出的3个数中有个正数，（）个非正数， 因此，不服从二项分布，服从超几何分布，不正确，B正确； 错误； 由题正确． 故选：． 三、填空题 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由全概率公式计算得出结果. 【详解】由， 得，解得． 故答案为：. 13. 已知数列是各项均为正数的等比数列，为其前项和，，，则______. 【答案】1或16 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可求，又，可得，即可求出、，再求出公比，即可求出. 【详解】各项均为正数的等比数列中，公比， 由，所以，又， 所以，解得或； 若时，可得，则， 若时，可得，则. 故答案为：或 14. 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． （1）已知张同学至少取到1道乙类题，则他取到的题目不是同一类的概率为__________； （2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用表示张同学答对题的个数，则的数学期望为__________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得事件：至少取到1到乙类试题的概率和事件：至少取到1到甲类试题的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解； （2）根据题意得到随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意知有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答，设事件：至少取到1到乙类试题的概率，可得； 设事件：至少取到1到甲类试题的概率，可得， 所以取到1道乙类题，则取到的题目不是同一类的概率为. （2）解：由题意，随机变量的所有可能取值为， 可得； ； ； ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. 故答案为：0.96；2. 四、解答题 15. 已知等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，求的前项和. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，则，由，可得，解得，求出. （2）设等比数列的公比为求出利用等比数列前n项和公式，求出 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 由，可得，解得 从而. 即数列的通项公式 （2）设等比数列的公比为，则 由， ， 解得， 所以的前项和公式． 【点睛】本题考查的是等差数列与等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题. 16. 设数列的前n项和为.已知. （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若数列满足，求的前n项和. 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用数列前项和与通项的关系求解； （Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式求出数列的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n项和. 【详解】（Ⅰ）因为，所以，，故 当时，此时，即 所以， （Ⅱ）因为，所以， 当时， 所以， 当时， ， 所以，两式相减，得 所以， 经检验，时也适合， 综上可得：. 【点睛】本题考查数列前项和与通项的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑的情况，属于中档题. 17. “稻草很轻，但是他迎着风仍然坚物，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量，为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； （2）以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生(有放回试验)，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值． 【答案】（1）分布列见解析，数学期望 （2）当时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样原则可确定人中，周平均阅读时间在，，的人数，则可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值； （2）根据频率分布直方图可求得周平均阅读时间在内的概率，利用二项分布概率公式可表示出，由此可确定结果． 【小问1详解】 由频率分布直方图得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为， 人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人； 则所有可能的取值为，，，， ， ， 的分布列为： 数学期望； 【小问2详解】 用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，周平均阅读时间在内的概率， 则， 若最大，则最大， 当时，取得最大值． 18. 已知公差不为零的等差数列，，和的等比中项与和的等比中项相等. （1）若数列满足，求数列的前n项和； （2）若数列满足，（），求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可知：，然后根据等差数列通项公式化为，再结合，建立方程组求解得到，由裂项相消求和即可； （2）由题可得，根据累乘法可求解数列的通项公式. 【小问1详解】 设数列的公差为d（）， 与的等比中项与与的等比中项相等，即：， 所以， 又知，解得：，， 所以， ， ， 所以； 【小问2详解】 ， 由累乘法可得：， 即， 故数列的通项公式：. 19. 为响应“书香校园”建设，某校图书馆引入了一套智慧自助借还系统M，该系统内置个智能识别模块.每个模块在日常使用环境下正常工作的概率为，各模块工作状态相互独立. （1）该图书馆从某批次智能识别模块中随机抽取了100个，在“日常校园环境”和“高温潮湿仓库环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 日常校园环境 50 5 55 高温潮湿仓库环境 35 10 45 合计 85 15 100 请根据小概率值独立性检验，能否认为模块工作状态与测试环境有关联？ 附：，. 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 （2）当时，系统M中正常工作的模块个数为随机变量X，回答以下问题： （i）求X的分布列及数学期望； （ii）若有超过一半的模块正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.为改善时系统M的可靠性，能否通过增加一个智能识别模块（即）提高系统M的可靠性？请给出你的结论并证明. 【答案】（1）不能认为有关联 （2）（i）分布列见解析，3（ii）能，证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. （2）①由题可得，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进而可得出的值；②计算出时系统的可靠性为，时系统的可靠性为，作差比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 零假设为：模块工作状态与测试环境无关联. 根据列联表中数据，得， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断成立，可以认为模块工作状态与测试环境无关联. 【小问2详解】 ①由题意可知， （法一）的分布列为， . （法二）， ， ， ， ， 则的分布列如下： 0 1 2 3 4 . ②当时记系统中正常工作的模块数为随机变量，则， 记时系统的可靠性为，记时系统的可靠性为. 故， ， 故， 故增加一个模块即，能提高系统的可靠性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $