精品解析：湖南常德市第一中学2025-2026学年下学期高一年级第一次月水平检测考试数学试题

常德市一中2026年上学期高一年级第一次月水平检测考试 数学 （时量：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，且，那么一定是（　　） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 7. 孤峰塔坐落在与常德城隔江相望的德山孤峰岭．初名“文峰塔”，与北岸笔架城遥相映衬，象征常德人杰地灵，文运昌盛． 常德立德中学高一学生为了测量塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则孤峰塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知的外心为，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设单位向量满足，则下列结论正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在的方向上的投影向量为 10. 下列结论正确的有（ ） A. 是第三象限角 B. 若扇形的圆心角为，半径为3，则弧长为6，面积为9 C. 与角终边相同的最小正角是90° D. 若，则角的终边在第一象限或第四象限 11. 如图，在中，，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若为线段的中点，则 B. 若为线段的中点，则 C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则_________. 13. 已知中，，，的对边分别为a，b，c，若，，给出下列条件中：①，②，③，能使有两解的为____________．（只要写出一个正确答案的序号即可） 14. 设锐角的三边长为，若的三边满足等式：，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若复数是实数，求实数的值； （2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）若，求的取值范围． 17. 如图，在边长为4的正三角形中，为的中点，为中点，，令，. （1）试用表示向量； （2）求的值. （3）延长线段交于，设，求实数的值. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，求边上的中线长度的最小值； （3）若，，若为角平分线，求的长度． 19. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（）的池底水平铺设污水净化管道（Rt，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上．已知米，米，记． （1）试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域； （2）若，求此时管道的长度； （3）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常德市一中2026年上学期高一年级第一次月水平检测考试 数学 （时量：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数运算和虚部的概念可得结果. 【详解】，故的虚部为. 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 举特值并结合充分、必要条件的定义可得答案. 【详解】当时，满足，但是，不满足； 当时， ，满足，但不满足， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 即函数的定义域是， 故选：B. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出定义域，再确定为偶函数，最后由特殊值法确定即可. 【详解】定义域为，为偶函数， 采用特殊值法代入， 当趋近于零时，趋近于零，趋于正无穷；此时取值趋于正无穷； 当x趋近于正无穷时，趋近于正无穷，趋于零，此时取值趋于正无穷； 所以只有B图像符合； 故选：B 5. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的概念求解. 【详解】因为，所以． 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：C． 6. 在中，若，且，那么一定是（　　） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而可求解. 【详解】，则， 因为，所以，则， 又因为，，则， 则，即， 即，又因为，则， 所以，即. 即一定是等边三角形，故D正确. 故选：D. 7. 孤峰塔坐落在与常德城隔江相望的德山孤峰岭．初名“文峰塔”，与北岸笔架城遥相映衬，象征常德人杰地灵，文运昌盛． 常德立德中学高一学生为了测量塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则孤峰塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，用表示的代数式，在中，由余弦定理可得的值． 【详解】由题意，米，，， 可得，， 在中，由余弦定理， 即， 整理可得， 解得或（舍去），所以孤峰塔高． 故选：A． 8. 已知的外心为，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的中点为，根据，得到，从而有，，三点共线，得到是等腰三角形，再根据求解. 【详解】设的中点为，根据题意可得， ∴，，三点共线， 如图所示： ∴，且，， 在中，，所以， 在中，，∴， 由余弦定理得. 故选：A. 【点睛】本题主要考查余弦定理在平面几何中的应用以及三角形的外接圆问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设单位向量满足，则下列结论正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在的方向上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将平方，可得，可判断A，B；由向量模长公式分别计算，验证C；由投影向量公式验证D. 【详解】由于， 又因为，所以，故，故B正确，A错误； 因为，故， 又，故，所以，C正确； 在的方向上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD 10. 下列结论正确的有（ ） A. 是第三象限角 B. 若扇形的圆心角为，半径为3，则弧长为6，面积为9 C. 与角终边相同的最小正角是90° D. 若，则角的终边在第一象限或第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据终边相同的角可判断A项与C项；利用扇形的弧长面积公式判断B项；利用三角函数在各象限的符号判断D项. 【详解】对于A，因，即与的终边相同，故是第三象限角，即A正确； 对于B，依题意，该扇形的弧长为，面积为，故B正确； 对于C，与角终边相同的角为，故当时，取得最小正角为，故C错误； 对于D，由可知的值同号，当时，角的终边在第一象限； 当时，角的终边在第四象限，故角的终边在第一象限或第四象限，即D正确. 11. 如图，在中，，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若为线段的中点，则 B. 若为线段的中点，则 C. D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合向量的加减与数乘混合运算，向量的数量积的概念及其运算等知识，逐一分析可得出结果． 【详解】对于A，由题易知：， 所以， 则． ，且， 因为F为线段AB的中点，所以两式相加得，故A正确． 对于B，由题意可知，则，解得：， 所以， 所以由A可知： ，故B错误； 对于C，设G为线段DM的中点，则， 则 ，故C正确; 对于D， ， 又， 所以，故D正确． 【点睛】本题考查了向量的加减与数乘混合运算，向量的数量积的概念及其运算，属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标运算即可. 【详解】由已知条件可得，得. 故答案为： 13. 已知中，，，的对边分别为a，b，c，若，，给出下列条件中：①，②，③，能使有两解的为____________．（只要写出一个正确答案的序号即可） 【答案】②或③ 【解析】 【分析】对于①，可利用余弦定理进行判断，对于②，可数形结合，根据b与csinB、c的关系进行判断；对于③，利用三角形面积公式即可求解并判断． 【详解】对于①：根据余弦定理可求边a只有一解，故三角形只有一解； 对于②：如图， ∵，故以A为圆心，b=4为半径的圆弧与BD有两个交点，即三角形有两解． 对于③：或，故三角形有两解． 综上，答案为②或③ 故答案为：②或③ 14. 设锐角的三边长为，若的三边满足等式：，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据余弦定理求出角的大小，再求出角的范围，再利用正弦定理用表示c计算范围即可 【详解】因为，所以，根据余弦定理 因为是锐角三角形，，因此​，得，即 因为三个角都是锐角，所以，解得，所以 又​，，所以 因为，所以 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若复数是实数，求实数的值； （2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可； （2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【小问1详解】 因为复数是实数， 所以， 解得或； 所以实数的值为或； 【小问2详解】 因为复数表示的点在第四象限， 所以， 即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 16. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）偶函数 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义计算即可； （2）利用复合函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 要使函数有意义，则，解得． 函数的定义域为，显然定义域关于原点对称， ， 函数为偶函数． 【小问2详解】 函数， 由复合函数的单调性可知：当时，函数为减函数， 当时，函数为增函数， 不等式等价于，解得． 由，解得． 综上所述，的取值范围是． 17. 如图，在边长为4的正三角形中，为的中点，为中点，，令，. （1）试用表示向量； （2）求的值. （3）延长线段交于，设，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）首先用、表示向量，再根据数量积的运算律计算可得； （3）首先用、表示向量，由于与共线，则，根据平面向量基本定理得到方程组，解得 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为， 所以 . 【小问3详解】 设， ， 由于与共线，则， 即， 即，解得，即. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，求边上的中线长度的最小值； （3）若，，若为角平分线，求的长度． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解. （2）利用余弦定理、中点向量公式，结合基本不等式求出最小值. （3）利用三角形面积公式列式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理， 得， 即，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，由余弦定理得， ，当且仅当取等号，则，又， 因此， 所以当时，边上的中线取得最小值. 【小问3详解】 依题意，，，， 由，得， 则，解得， 所以的长度为. 19. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（）的池底水平铺设污水净化管道（Rt，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上．已知米，米，记． （1）试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域； （2）若，求此时管道的长度； （3）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 【答案】（1），． （2）（米）． （3）或，污水净化效果最好，此时管道的长度为米． 【解析】 【分析】（1）首先用将线段表示出来，进而可得到长度的表达式，然后根据线段的长度求出的范围. （2）根据已知条件先求出的值，进而可求出管道的长度. （3）首先设，化简的表达式，然后求出的范围，根据函数的单调性即可求出的最大值. 【小问1详解】 根据题意，，， ． 由于，， 所以， 所以． 所以，． 【小问2详解】 当时，等式两边平方得. 所以. 所以（米）． 【小问3详解】 因为，设， 等式两边平方得， 则，所以． 由于，所以，． 由于在上单调递减， 所以当即或时，取得最大值米． 答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $