8.5.3 平面与平面平行 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

课题 平面与平面平行（8.5.3） 教学目标 1.探究并理解平面与平面平行的判定定理，并能应用这个定理解决问题，培养逻辑推理的核心素养； 2.探究并理解平面和平面平行的性质定理，提升直观想象的核心素养； 3.结合平面与平面平行的判定定理和性质定理的探究，体会立体几何中研究位置关系的判定和性质的方法。 教学重点：平面与平面平行的判定定理和性质定理的探究。 教学难点： 1.判定定理的探究中将“任意直线”转化为“两条相交直线”； 2.性质定理的探究中第三个平面的提出。 教法学法与教学用具 1、教法学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标. 2、教学用具：三角板、矩形硬纸板、多媒体设备等 教学过程 1、 复习引入 1. 平面与平面平行的定义、符号表示、图形表示； 2. 直线与平面平行的判定定理、符号表示、图形表示； 3. 直线与平面平行的性质定理、符号表示、图形表示。 【设计意图】通过复习旧知，巩固学生的知识基础，为学习新知做好知识铺垫。 二、体验探究 探究1：如何判定平面与平面平行 问题1：两个平面平行可以通过定义来判断，即通过两个平面没有公共点而得到两个平面平行，由于平面的无限延展，很难去判断平面与平面是否有公共点，因此很难直接利用定义判断。能否简化平面与平面平行的判定方法呢？ 【师生活动】：学生在教室内找一找平面与平面平行的实例，学生交流，师生对话，将判断两个平面没有公共点的问题转化为一个平面内的任意直线平行另一个平面. 【设计意图】:将探究两个平面平行问题转化为探究一个平面内的直线平行另一个平面的问题，有利于基本几何元素位置关系的转化，形成探究意识。 问题2：平面内的直线有无数多条，我们难以对所有直线逐一检验， 能否将“一个平面内的任意直线平行另个平面”中的“任意直线”减少，得到更简便的方法呢？ 追问(1):减少到一条可以吗?为什么? 追问(2): 根据基本事实的推论2、3，两条平行直线或两条相交直线，都可以确定一个平面。由此可以想到，如果一个平面内两条平行直线与另一个平面平行或一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，能否判断这两个平面平行？ 【师生活动】:学生小组内讨论，动手操作、观察猜想，师生对话，举出反例。教师引导学生给出一个平面内两条相交直线平行于另一个平面的反证，已验证猜想的准确性，然后请学生尝试用自己的话说一说他们感受到的平面与平面平行的判定，及其符号和图形表示。 【设计意图】:通过层层递进的问题，将“利用定义”判断，转化为“利用任意直线”来判断，再转化为“利用两条相交直线”来判断.这一过程，体现了研究立体几何图形位置关系的一般思路，即从要研究的问题出发，结合要得到的目标，由复杂向简单转化。这一过程对学生是比较困难的，因此猜想显得十分重要。这也体现了直观感知、操作确认这一立体几何的研究方法在发现图形位置关系中的作用，有利于提升学生数学抽象、直观想象等数学素养。 【师生活动】:师生共同总结平面与平面平行的判定定理。 平面与平面平行的判定定理： (文字语言)如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. (图形语言) （符号语言） 【深化理解，应用定理】 【师生活动】：师生共同完成例题的证明 例4、如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:平面AB1D1∥平面BC1D. 证明：∵ABCD-A1B1C1D1是正方体 ∴D1C1=A1B1 且D1C1//A1B1,AB=A1B1且AB//A1B1 ∴D1C1=AB且D1C1//AB∴四边形D1C1BA为平行四边形 ∴D1A//C1B又D1A不在平面BC1D内C1B在平面 BC1D内 ∴D1A//平面BC1D.同理D1B1//平面BC1D 又D1A∩D1B1=D1 ∴平面AB1D1//平面BC1D 【设计意图】：熟悉判定定理的应用，体会平面与平面的平行到直线与平面平行，再到直线与直线平行的空间位置关系的转化，规范书写。 探究2：平面与平面平行的性质 问题3：类比直线与平面平行的研究，已知两个平面平行，我们可以得到哪些结论？从哪些角度考虑呢？ 追问1：一个平面内的直线是否平行于另一个平面？ 追问2：分别在两个平面内的两条直线具有什么位置关系？ 【师生活动】:教师组织学生观察多媒体上的图像，学生可以得到以下这些结论:如果两个平面平行，那么(1)一个平面内的直线必平行另一个平面；(2) 一个平面内的直线与另一个平面内的直线没有公共点，它们或者是异面直线，或者是平行直线. 【设计意图】:先对两个平行平面内的直线与直线的位置关系做整体了解，然后再聚焦性质定理。 追问(3): 线线平行是一种重要的关系，分别位于两个平行平面的直线中，什么情况下这两条直线平行呢？ 【师生活动】：让学生观察多媒体上的平行平面的图像，并进行小组讨论，教师提问。通过分析，学生可以发现，若平面α和平面β平行，则两个平面无公共点，那么就意味着平面α中的任一直线a和平面β也无公共点，即直线a和平面β平行。然后我再引导学生结合上一节所学的直线与平面平行的性质定理，可以得到直线a和直线b平行。 【设计意图】:在性质定理给出之前，先建立直观具体的模型，有利于理解性质定理的意义。 追问(4): 你能够将上面的探究结果抽象为一般结论，并证明你的结论吗? 【师生活动】：师生共同得出性质定理，并进行证明。 平面与平面平行的性质定理： (文字语言) 两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. (图形语言) （符号语言） 【设计意图】:先具体再抽象符合学生的认知规律，通过对学生回答的答案分析、辨析、归纳，有利于培养学生的抽象概括能力。 三、深化理解，应用定理 例5、求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等. 已知：如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β. 求证：AB＝CD. 证明：过平行线AB,CD作平面γ，与平面α和β分别相交于AC和BD ∵α//β ∴BD//AC又AB//CD ∴四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD 【设计意图】：熟悉性质定理的应用，规范格式，了解平面与平面其他的一些性质。 四、课堂小练 1、判断下列命题是否正确.若正确，则说明理由;若错误，则举出反例. （1）已知平面α，β和直线m, n,若m ⊂ α ，n ⊂ α ，m// β, n// β,则α // β； （2）若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β，则α // β； （3）平行于同一条直线的两个平面平行； （4）平行于同一个平面的两个平面平行； （5）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交。 2、平面α与平面β平行的充分条件可以是( ). A. α内有无穷多条直线都与β平行 B. 直线a// α, a // β,且直线a不在α内，也不在β内 C. 直线a ⊂ α,直线b ⊂ β,且a// β, b// α D. α内的任何一条直线都与β平行 【设计意图】：加深理解，巩固所学。 五、归纳总结 1、平面与平面平行的判定定理和性质定理分别是什么，利用它们分别可以证明什么样的命题? 2、直线与平面平行、平面与平面平行的学习，你能发现什么规律?本节课主要学习哪些知识？ 【设计意图】：通过小结，使学生梳理本节课所学内容和研究方法，把握平面与平面平行的判定定理和性质定理。 学科网（北京）股份有限公司 $