精品解析：2026年陕西省西安市临潼区中考一模考试数学试题

2026年陕西省初中学业水平模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则答题无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算（ ） A. B. C. 20 D. 10 2. 2026年米兰冬奥会的赛场上，苏翊鸣在单板滑雪男子坡面障碍技巧赛中，为中国队夺得本届冬奥会的第一枚金牌，当他站上领奖台的一刻，全国人民都感到无比的骄傲与自豪，下图是领奖台的一个立体图形，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，点为的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的是（ ） A. B. 若点，均在二次函数图象上，则 C. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 D. 满足的x的取值范围为 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若，且a为整数，写出一个满足条件的a的值________． 10. 观察下列一组数：，，，，……根据该组数的排列规律，可推断出第12个数是_____． 11. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，良马数日追及之．”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马_________天可追上慢马． 12. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是________． 13. 已知正比例函数与反比例函数的图象相交，且其中一个交点的坐标为，则的值为________． 14. 如图，在菱形中，，E，F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为_________．  三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算： 16. 解不等式组： 17. 化简分式：． 18. 如图，已知在中，．请利用尺规在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，于点D，E为边上一点，连接交于点F，且，．求证：． 20. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 21. 某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度．方法如下：如图，线段表示旗杆，已知A，C，D三点在一条直线上，首先用米高的测角仪在点C处测得旗杆顶端B的仰角为，在点D处测得旗杆顶端B的仰角为，其中，线段和均表示测角仪，然后测量出的距离为米，连接并延长交于点G．根据这些数据，请计算旗杆的长约为多少米． 22. 春节期间，多部国产电影纷纷上映，某电影院的负责人经过调查后发现，每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间大致满足一次函数的关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） … 40 50 60 … 售出电影票数量y（张） … 164 124 84 … （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）若电影票的售价定为38元时，每天售出的电影票数量应为多少张？ 23. 随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 85.5 b 96.6 乙 86 a 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 24. 如图，内接于为的直径，过点作的平行线交于点，交于点，点在的延长线上，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 25. 如图，某儿童游乐中心的平面图可近似看成抛物线的一部分与线段围成的封闭图形，点P为抛物线的顶点，点O与点A关于该抛物线的对称轴对称，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，测得，点P到的距离，工作人员计划在抛物线上取点B、E（点B在点E的左侧），在线段上取点C、D，使得四边形区域为矩形，并将矩形区域规划为亲子益智区． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点B到x轴的距离为，求亲子益智区（矩形）的面积． 26. 问题探究 （1）如图1，在中，点M，N分别在边上，且，过点C，M分别作的平行线，并交于点P，再作射线．则________（请在“”“”或“”中选择一个填入）； （2）在（1）问中，若三角形为等边三角形，则________； 问题解决 （3）某种简易房屋在整体运输前需按如图2所示的方式，用钢丝绳进行加固处理．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图3，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．请你帮小明求出钢丝绳长度的最小值为多少米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年陕西省初中学业水平模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则答题无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算（ ） A. B. C. 20 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 2. 2026年米兰冬奥会的赛场上，苏翊鸣在单板滑雪男子坡面障碍技巧赛中，为中国队夺得本届冬奥会的第一枚金牌，当他站上领奖台的一刻，全国人民都感到无比的骄傲与自豪，下图是领奖台的一个立体图形，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】左视图是从左边看到的图形，以及看不到的线条用虚线表示，据此即可解答． 【详解】解：领奖台一个立体图形的左视图是 ， 即选项D符合题意． 3. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据，求出的度数，根据，求出的度数． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，单项式除以单项式，单项式乘以单项式．分别根据合并同类项，单项式除以单项式，单项式乘以单项式运算法则进行判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，中，，点为的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线性质可，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可得出结论． 【详解】解：∵， D为中点， ， ， ． 故选：A． 6. 已知点在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，解一元一次不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于的不等式，可求得的取值范围． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上，且， ∴随的增大而增大， ∴，解得：， 故选：C． 7. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知，过点作，交的延长线于点，根据等边三角形的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据的面积求解即可． 【详解】解：连接， 菱形中，，， ， 是等边三角形， 对角线， ， ， 过点作，交的延长线于点， 是等边三角形， ， ， ， 的面积， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 8. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的是（ ） A. B. 若点，均在二次函数图象上，则 C. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 D. 满足的x的取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．由对称轴为直线可得，再将代入可判断A，找出关于直线对称的点为，再根据二次函数的性质可判断B，根据图象可得：时，x的值不相等，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可判断C，不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，可判断D． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∵当时，， ∴，故A错误， ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵关于直线对称的点为， 又∵， ∴，故B错误， 根据图象可得：时，x的值不相等，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分， ∵关于直线对称的点为， ∴x的取值范围为，故D正确； 故选：D 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若，且a为整数，写出一个满足条件的a的值________． 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意可得，再结合a为整数可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵a为整数， ∴符合题意的a的值可以为5． 10. 观察下列一组数：，，，，……根据该组数的排列规律，可推断出第12个数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由分子1、2、3、4、5、…，即可得出第n个数的分子为n；分母为3、5、7、9、11、…，即可得出第n个数的分母为，据此即可解答． 【详解】解：∵分子1、2、3、4、5、…， ∴第n个数的分子为n， ∵3、5、7、9、11、…， ∴第n个数的分母为， ∴第n个数是． ∴第12个数是． 11. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，良马数日追及之．”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马_________天可追上慢马． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设快马追上慢马所需天数为天，根据两者行走距离相等列方程求解． 【详解】解：设快马追上慢马所需天数为天．则快马行走距离为里，慢马行走距离为里． 根据题意，追及时距离相等，得方程． 解方程：， 移项得， 即， 解得． 故答案为20． 12. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是________． 【答案】50° 【解析】 【详解】连接AD，则有∠ADC=∠B=40°， ∵AD是直径，∴∠CAD=90°， ∴∠ACD=90°-∠ADC=50°， 故答案为50°. 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论：半圆或直径所对的圆周角是90°；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟记定理的内容是解题的关键. 13. 已知正比例函数与反比例函数的图象相交，且其中一个交点的坐标为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】把两个函数的交点的坐标代入正比例函数的解析式中求出n的值，则可得到交点的坐标，再把交点的坐标代入反比例函数的解析式求出m的值即可得到答案． 【详解】解：将点代入得，， ∴两个函数的交点的坐标为， 将点代入得，， ∴． 14. 如图，在菱形中，，E，F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为_________．  【答案】 【解析】 【分析】在的下方作，截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可． 【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，． 四边形是菱形，， ，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集． 【详解】解：  解不等式① ，去括号得   移项合并同类项得   系数化为1得   解不等式②，两边同乘3得    移项合并同类项得   系数化为1得   所以原不等式组的解集为 17. 化简分式：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，已知在中，．请利用尺规在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据垂线的作图的方法作即可． 【详解】解：点如图所示． 【点睛】本题考查作图复杂作图，熟练掌握垂线的作图方法是解答本题的关键． 19. 如图，在中，于点D，E为边上一点，连接交于点F，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数有6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率为． 21. 某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度．方法如下：如图，线段表示旗杆，已知A，C，D三点在一条直线上，首先用米高的测角仪在点C处测得旗杆顶端B的仰角为，在点D处测得旗杆顶端B的仰角为，其中，线段和均表示测角仪，然后测量出的距离为米，连接并延长交于点G．根据这些数据，请计算旗杆的长约为多少米． 【答案】12米 【解析】 【分析】设，根据锐角三角函数，将和用x表示出来，最后根据，列出方程求解即可． 【详解】解：∵米， ∴米， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵米， ∴米， 答：旗杆的长约为12米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． 22. 春节期间，多部国产电影纷纷上映，某电影院的负责人经过调查后发现，每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间大致满足一次函数的关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） … 40 50 60 … 售出电影票数量y（张） … 164 124 84 … （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）若电影票的售价定为38元时，每天售出的电影票数量应为多少张？ 【答案】（1） （2）172张 【解析】 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式是，进而得到关于k、b的方程组求解即可； （2）令，然后代入（1）所得的函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式是， 由表格，得，解得． 答：y与x之间的函数关系式是． 【小问2详解】 解：令，则． 答：每天售出的电影票数量应为172张． 23. 随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 85.5 b 96.6 乙 86 a 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】（1）86.5，85，20 （2）乙款人工智能软件更受用户欢迎，见解析 （3）估计该次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（90＜x≤100）的总用户数为510名 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计分析概念，如中位数、众数、百分比以及根据样本数据估计总体情况．熟练掌握中位数、众数、百分比以及根据样本数据估计总体情况是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义来计算和，根据组数据个数计算； （2）通过比较两款软件的平均数、中位数、众数等统计量来判断哪款更受欢迎； （3）先计算出样本中对两款软件非常满意的比例，再用这个比例乘以总体人数来估计总用户数． 【小问1详解】 解：：乙款抽取的名用户的得分中排第，第位的数据为：，， 所以乙款得分的中位数为：， 甲款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，所以甲款得分的众数为：， 组人数， 所以，故， 故答案为：，，． 【小问2详解】 乙款人工智能软件更受用户欢迎． 理由如下：(本题理由不唯一，合理即可参照给分） ∵甲款和乙款的平均数相同，乙款的方差小于甲款的方差， ∴乙款人工智能软件比较稳定， ∴乙款人工智能软件更受用户欢迎. 【小问3详解】 ∵（名）． ∴估计该次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数为510名． 24. 如图，内接于为的直径，过点作的平行线交于点，交于点，点在的延长线上，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，切线的判定，三角函数，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）由题意可得，根据平行线的性质可得，根据可证，即可证明是的切线； （2）根据三角函数求出，根据勾股定理求出，根据计算即可. 【小问1详解】 证明：内接于为的直径， ， ， ，即， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：是的中点，， 是的中点， ， ， ， 在中，， ， ， ． 25. 如图，某儿童游乐中心的平面图可近似看成抛物线的一部分与线段围成的封闭图形，点P为抛物线的顶点，点O与点A关于该抛物线的对称轴对称，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，测得，点P到的距离，工作人员计划在抛物线上取点B、E（点B在点E的左侧），在线段上取点C、D，使得四边形区域为矩形，并将矩形区域规划为亲子益智区． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点B到x轴的距离为，求亲子益智区（矩形）的面积． 【答案】（1） （2）亲子益智区（矩形）的面积为 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）把代入（1）中解析式，求出，根据矩形面积求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，抛物线的顶点为Ｐ的坐标为， 设物线的解析式为， 把代入得，， 解得，， 所以，抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得， ， 整理得，， 解得，， ∴， ∴ 答：亲子益智区（矩形）的面积为． 26. 问题探究 （1）如图1，在中，点M，N分别在边上，且，过点C，M分别作的平行线，并交于点P，再作射线．则________（请在“”“”或“”中选择一个填入）； （2）在（1）问中，若三角形为等边三角形，则________； 问题解决 （3）某种简易房屋在整体运输前需按如图2所示的方式，用钢丝绳进行加固处理．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图3，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．请你帮小明求出钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】（1） （2） （3）米 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得到，再由，可得； （2）由等边三角形的性质和平行线的性质可得；由等边对等角和三角形外角的性质可得，即； （3）过点M作，过点D作交于点P，连接，同理可证明，得到；由矩形的性质得到，则可证明，得到，则，据此可确定点P在以点A为端点，且与的夹角为的射线上运动，故当时，有最小值，即此时有最小值，求出；过点C作于点T，则，解直角三角形推出的长，证明，求出当时，的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 由（1）得， ∴， ∵， ∴，即； 【小问3详解】 解：如图所示，过点M作，过点D作交于点P，连接， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在以点A为端点，且与的夹角为的射线上运动， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴； 如图所示，过点C作于点T，则， 在中，米， ∴米； ∵， ∴当时，米， ∴钢丝绳长度的最小值为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $