精品解析：浙江衢州第三中学等校2025-2026学年第二学期期中联考高二数学试卷

浙江衢州第三中学等校2025-2026学年第二学期期中联考高二数学试卷 考生须知： 1．全卷分试卷和答题卷．考试结束后，将答题卷上交． 2．试卷共4页，有4大题，19小题．满分150分，考试时间120分钟． 3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 设集合，且，则实数的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以或. 当时，，若，集合，不满足互异性，舍去； 若，此时集合，满足，符合条件. 当时，或， 若，集合，不满足互异性，舍去，同理，也舍去， 综上，. 2. 已知随机变量，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为，， 所以. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 4. ，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先构造余弦函数，从而根据余弦函数的单调性即可得到，再构造对数函数，从而根据对数函数的单调性即可得到，进而即可得到答案． 【详解】由在上单调递减，且， 所以，即， 又在上单调递增，且， 所以，即， 所以． 5. 如图，在四面体OABC中，为线段OA上一点为线段BC上一点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意，， ， . 6. 在长方体中，，点是的中点，那么异面直线DE和BC所成的角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知，， 向量， 则异面直线DE和BC所成的角的余弦值为： . 7. 甲乙丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【分析】分甲在乙和丙中间、甲不在乙和丙中间两种情况，结合排列组合知识求解. 【详解】若甲在乙和丙中间，则再选取一人站在两者中间并将中间两人排列，最后将乙丙排列，有种排法， 以及这四人作为一个整体与剩下两人排列，有种排法， 共有种排法； 若甲不在乙和丙中间，则先选取两人并排列，再将乙丙排列，有种排法， 这四人作为一个整体与甲和余下的一人排列（保证甲不在两端），有两种排法， 共有种排法， 故不同排法共有. 8. 已知函数，若方程有三个根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据导数作出函数的图象，数形结合求解参数范围即可. 【详解】当时，，可以看作函数向上平移个单位， 当时，，则， 因为当，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，，， 作出函数图象如下图， 令，则过定点， 当过原点时，即时，图象与图象有4个交点， 时，，当图象与图象相切时，设切点为， 此时， 将代入得， 整理得，因为在上单调递增， 又，所以， 当时，，图象与图象相切，有两个交点. 所以方程有三个根，的取值范围为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值. 【详解】对于A、B项，由表格可得，所以. 则， .故A正确，B正确； 对于C、D项，因为，，， 所以，，，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10. 已知点在抛物线上，过的焦点的直线与相交于两点，在两点处的切线相交于点，的中点是，若，则（ ） A. B. 抛物线的准线方程是 C. 点在抛物线上 D. 点在的准线上 【答案】AD 【解析】 【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，根据焦半径公式求出，即可得到抛物线方程，从而判断A、B，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元，表示出点坐标，即可判断C，利用导数的几何意义表示出切线方程，联立求出点坐标，即可判断D. 【详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 因为，所以，解得， 所以抛物线，准线方程为，故B错误； 又点在抛物线上，所以，解得，故A正确； 设直线的方程为，由，可得， 设，，则，， 所以的中点的横坐标为，则， 即，显然， 故点不在抛物线上，故C错误； 由，则， 所以抛物线在，两点处的切线分别为，， 则， 解得， 所以， 所以，即点在的准线上，故D正确. 11. 设函数在上的最大值为，则（ ） A. B. 的极小值为 C. 时，都有 D. 有两个极值点 【答案】AC 【解析】 【分析】求导后可得的单调性，进而确定极值点和最值点，得到ABD的正误；分别讨论和的情况，根据单调性可求得，结合二项式定理可求得大小关系，进而确定C正确. 【详解】对于A，，， 当时，，单调递减， ，A正确； 对于B，，， ，， 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增， 为的极大值，B错误； 对于C，当时，，在上单调递减， ，满足； 当时，， 在上单调递增，上单调递减， ， 要证，只需证，即证， ， 恒成立，即对，，C正确； 对于D，当为偶数时，， 若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增， 的极小值点为、，极大值点为，共三个极值点，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为___________． 【答案】81 【解析】 【分析】由二项式系数和确定，再通过赋值法即可求解. 【详解】根据二项式性质，二项展开式的二项式系数和为，因此，解得. 令，则.因此展开式中各项系数的和为81. 13. 已知复数，，，是虚数单位，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数加法运算及可构造方程求得的值，根据复数模长运算可求得结果. 【详解】， ，解得， ， . 14. 已知双曲线的左右焦点分别为，以C的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与交于两点，且，则的离心率为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】当在双曲线的两支上时，先由正弦定理得到，再由双曲线的定义得到，得到，最后在三角形中由余弦定理化简得到离心率为.当在双曲线的左支上时，，，类比上一种情况求解得到离心率为 . 【详解】设双曲线的方程为， 则圆的方程为，直线与圆的切点为连接， ①如图所示，当在双曲线的两支上时， 由题可知， ， ，则 ， 因为，所以； 在三角形中由正弦定理得到， 即，得到； 由双曲线的定义得到，所以， 在三角形中由余弦定理得 ， 即，化简得到 . 此时，离心率为 . ②如图所示，当在双曲线的左支上时，， ，由正弦定理得； 由双曲线的定义得到，所以， 在三角形中由余弦定理得 ， 即，化简得到 . 此时，离心率为 . 综上的离心率为 或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 我校有两个相互独立的消防安全警报系统（简称系统）甲和乙，系统甲和乙在任意时刻发生故障的概率分别为和． （1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值； （2）设系统甲在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 期望为. 【解析】 【分析】（1）利用对立事件及相互独立事件同时发生的概率建立方程求解； （2）根据次独立重复试验的概率公式求出分布列，计算期望即可. 【小问1详解】 设“至少有一个系统不发生故障”为事件A， 那么，解得. 【小问2详解】 由题意，的可能取值为， 则， ， ， ， 所以随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 所以 16. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得出是首项为2，公差为3的等差数列，根据等差数列通项公式求得，即可求得数列的通项公式； （2）结合（1），根据错位相减法求解即可． 【小问1详解】 由题意知，所以由，得， 所以，又， 所以是首项为2，公差为3的等差数列， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）得， 所以①， ②， ①②得 ， 所以. 17. 如图，在三棱柱中，是BC的中点， （1）求到平面ABC的距离； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用面面垂直判定定理证明平面平面，再应用面面垂直性质定理证明线面垂直即可求解； （2）建立空间直角坐标系先求平面与平面的法向量，再应用面面角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 因为是BC的中点，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，作交于点平面， 所以平面， 则为三棱柱的高， 又，所以， 又，所以，则，即为等腰直角三角形， 所以 即到平面的距离为； 【小问2详解】 如图以AB为轴，AC为轴，过点作与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 所以，． 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则， 则平面的法向量为． 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则， 则平面的法向量为． 设平面与平面所成角为，则， 所以平面与平面所成角余弦值为 18. 已知过点的椭圆的离心率为． （1）求的方程； （2）如图，AB和CD是过椭圆C左焦点F的弦，且，点P为直线AD与BC的交点. （i）求四边形ACBD面积的最大值． （ii）若点M，N分别是弦AB，CD的中点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）2；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）若直线的斜率存在且不为，设，与椭圆方程联立，根据韦达定理以及弦长公式即可求出面积，若直线的斜率存在或者为可直接求出长度和面积即可得出最值； （ii）设分别是与AC的交点，取AC的中点E，得出即可. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 （i）若直线的斜率存在且不为， 设直线AB：，， 联立，得， 则， 则， 因为，所以可同理得， 则， 令，则， 因为，所以，则， 若直线的斜率不存在， 令，得，得，故， 则， 若直线的斜率为，同上，， 综上，四边形ACBD面积的最大值为． （ii）设分别是与AC的交点，取AC的中点E，连接 因为，所以，则，则， 同理可得， 故， 故面积的最大值为. 19. 若对且，函数满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围； （3）若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求证：． 【答案】（1）是，理由： 函数是函数在区间上的1级控制函数． 由题意可知， ， ， ， ， ， ，即成立， 所以函数是函数在区间上的1级控制函数． （2） （3） 因为函数在区间上存在两个零点， 所以我们不妨设，且， 因为函数是函数在区间上的级控制函数， 所以，即， ，可以得到， ， ， 要证，即证， 即证，即证， 令，构造， ， 在上单调递增， ，即成立， 得证． 【解析】 【分析】（1）通过对变形，结合的取值范围判断符号，即可验证不等式成立，完成证明； （2）将转化为函数的单调性问题，利用导数在区间上恒成立，即可求解的取值范围； （3）先利用级控制函数的定义和零点条件推出，得到，再通过换元构造函数，利用导数即可证明不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由函数是函数在区间上的级控制函数， 得， ， ， 在上恒成立， 令，则在上恒成立， 即在上单调递增， 故在上恒成立，即， 在恒成立 即， 在上单调递减 ， 时，最小值为 综上，实数的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江衢州第三中学等校2025-2026学年第二学期期中联考高二数学试卷 考生须知： 1．全卷分试卷和答题卷．考试结束后，将答题卷上交． 2．试卷共4页，有4大题，19小题．满分150分，考试时间120分钟． 3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 设集合，且，则实数的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知随机变量，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. ，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四面体OABC中，为线段OA上一点为线段BC上一点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 在长方体中，，点是的中点，那么异面直线DE和BC所成的角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 7. 甲乙丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 8. 已知函数，若方程有三个根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知点在抛物线上，过的焦点的直线与相交于两点，在两点处的切线相交于点，的中点是，若，则（ ） A. B. 抛物线的准线方程是 C. 点在抛物线上 D. 点在的准线上 11. 设函数在上的最大值为，则（ ） A. B. 的极小值为 C. 时，都有 D. 有两个极值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为___________． 13. 已知复数，，，是虚数单位，若，则___________． 14. 已知双曲线的左右焦点分别为，以C的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与交于两点，且，则的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 我校有两个相互独立的消防安全警报系统（简称系统）甲和乙，系统甲和乙在任意时刻发生故障的概率分别为和． （1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值； （2）设系统甲在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望． 16. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和． 17. 如图，在三棱柱中，是BC的中点， （1）求到平面ABC的距离； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18. 已知过点的椭圆的离心率为． （1）求的方程； （2）如图，AB和CD是过椭圆C左焦点F的弦，且，点P为直线AD与BC的交点. （i）求四边形ACBD面积的最大值． （ii）若点M，N分别是弦AB，CD的中点，求面积的最大值． 19. 若对且，函数满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围； （3）若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $