利用导数研究函数的图象和性质课件——2026届高三数学二轮复习

利用导数研究函 数的图象和性质典例解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 一、选择题：本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是正确的. 1.[2025·河南开封模拟]若函数在 处取得 极大值，则实数 ( ) A. B. C.1 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 [解析] 由题得， 因为函数 在处取得极大值， 所以，解得 . 当时，. 令，得或 ；令，得. 所以函数在, 上单调递增，在上单调递减，所以在 处取得极大值，满足题意.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3 2.函数的导函数 的图象如图所示，则( ) A.是函数 的一个零点 B.是函数 的极小值点 C.是函数 的极大值点 D.函数在区间 上单调递增 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4 [解析] 根据导函数的图象可知， 当时，， 当 时，， 所以函数 在上单调递减，在上单调递增， 则是函数 的极值点， 但不一定是函数的零点. 因为函数 在上单调递增， 所以不是函数的极小值点， 也不是函数 的极 大值点.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5 3.已知正四棱锥的侧棱长为 ，那么当该棱锥的体积最大时，它的 高为( ) A.1 B. C.2 D.3 √ [解析] 设正四棱锥的底面边长为 ， 则正四棱锥的高， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6 由，得 ， 所以正四棱锥的体积. 设 ，， 则 . 当时，，所以在 上单调递增； 当时，，所以在 上单调递减. 所以当时, 取得极大值，即最大值， 此时正四棱锥的体积最大，它的高 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7 4.[2025·陕西渭南二模]已知函数 的大致图象如图所示，则不等式 的解 集为( ) A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 [解析] 由题图知，是函数 的极小值点， ，则 ， 解得. 当时，；当 时，. 则是函数 的极小值点，所以符合题意. 因为， ， 所以不等式可化为， 解得 ，所以不等式的解集为 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9 5.[2025· 苏北七市二调］若函数有最大值，则 的最大值为( ) A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10 [解析] 当时，，则. 当 时，，此时函数单调递增； 当时， ，此时函数单调递减. 则函数在 处取得极大值，且极大值为. 因为函数有最大值，所以 解得，所以实数的最大值为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.[2026·重庆八中月考]若,, ，则( ) A. B. C. D. [解析] 因为,, ，所以,,. 设函数，则 . 当时，, 单调递减，所以，所以，所以 .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12 7.[2025·南昌一模]我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且 图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两 个函数的图象“相似”.已知 ，则下列给出 的函数中，其图象与 的图象“相似”的是( ) A. B. C. D. [解析] 由题可得 ， 则. 令，则 ， 如图，作出函数和 的图象. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13 由图可知，函数, 的图象有 两个交点， 即函数有两个零点1, ，且. 令，则或 ； 令，则. 所以在 ,上单调递增，在 上单调递减， 所以的极大值点为 ，极小值点为1. 对于A，函数在上单调递减，在 上单调递增， 所以函数 有极小值点，无极大值点，故A不符合题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于B，函数在 上单调递增， 在 上单调递减，所以函数 有极大 值点，无极小值点，故B不符合题意； 对于C，， 当或 时，， 当 时，， 所以函数 的极大值点为 ，极小值点为1，故C符合题意； 对于D， ，则函数的极小值 点为 ，极大值点为1，故D不符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.若存在两个正实数,使得等式 成立 （其中,是以为底的对数），则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16 [解析] 可化为. 令 ，则. 令，则，令 ，可得. 当时，，当时， . 所以函数在上单调递增，在 上单调递减， 则， 所以实数的取值范围为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17 二、选择题：本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求. 9.已知函数 ，则( ) A. 有三个零点 B.是 的极小值点 C.的图象关于点 中心对称 D.当时， [解析] 对于A，令，解得或 ， 所以 有两个零点，故A错误； √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 对于B，由题得 ， 令，解得或， 当或 时，，即在和上单调递增， 当 时，，即在上单调递减， 所以是 的极小值点，故B正确； 对于C，因为 ， 所以的图象关于点 中心对称，故C正确； 对于D，当时，单调递减，则当时， 单调递减， 又当时，，所以，故D错误.故选 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 10.若函数 既有极大值也有极小值，则 ( ) A. B. C. D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 20 [解析] 由题得，则关于 的方程 有两个不相等的实数根. 设 ， 则关于的方程 有两个不相等的正实数根, 记 为，，所以即 由 ,，得. 综上可知A，B，C正确，D错误.故选 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.已知，记函数与 的零 点分别为， ，则( ) A. B. C.当时， D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 22 [解析] 因为，分别是函数， 的零点， 所以，，所以 ， 所以，易知为增函数， 所以 ，所以，故A错误； 因为 ，所以，令，， 则 ，令,得， 令,得 ，则在上单调递减，在 上单调递增，所以，所以，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 当 时，由知， 又，所以 ，故C错误； 由基本不等式得 ， 结合B选项得，所以，故D正确.故选 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 三、填空题：本题共3小题. 12.[2025·江苏苏州三模] 若在 上不单调，则 实数 的取值范围是_________. [解析] 由，可得 ， 因为在上不单调，所以在 上有解， 即存在，使得， 因为在 上单调递减，所以， 所以实数的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 25 13.[2026· 东北三省一区八校联考］函数 的图象过原点 的切线方程为_ ______________________________. 或 [解析] 设切点为，对函数 求导得 ，则切线的斜率 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 26 因为切线过原点，所以，整理得，即 ，解得. 当时，切线的斜率 ，此时切线方程为； 当时，切线的斜率 ，此时切线方程为. 故所求切线方程为 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 27 14.[2025·十堰5月模拟] 若函数在定义域 上 的最大值为，则当取得最小值时， _ ____. [解析] 由题得. 当时，恒成立，则 在定义域上单调递增，则不存在最大值. 当时，由 得，由得， 所以在 上单调递增，在上单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 28 所以在 处取得最大值，即，所以 . 令，则. 令 ，得；令，得. 所以在 上单调递减，在上单调递增， 所以在 处取得最小值. 综上可得， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 四、解答题：本题共3小题，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 15.[2025·河北邯郸一模] 设函数, . （1）若，求函数 的单调区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 30 解：当时，函数 ， 其定义域为，则 . 令，得 . 当时，，则在 上单调递减； 当时，，则在 上单调递增. 所以函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 31 （2）若恒成立，求实数 的取值范围. 解：由函数，可得的定义域为 ， 则. 因为 ，所以当时，， 则在 上单调递减， 当时，，则在 上单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 32 所以在 处取得极小值， 且极小值为 ，也是最小值. 要使得恒成立，需使，解得 ， 所以实数的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.[2025·安徽蚌埠三模] 已知函数 . （1）若,，讨论函数在 上 的单调性； 解：由题得，, ， 则 . 当 时, ，所以 . 令，则 ，得或 ； 令，则 ，得 . 所以在和上单调递增，在 上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 34 （2）若在上有唯一的零点，求实数 的 最小值. 解：由 ， 得, . 令，,则 ， 所以当时，单调递增， 又，所以 ，即 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 35 则当 时， ， 所以在上单调递增，, ， 由题意得，，解得 ， 所以实数 的最小值为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.[2023·北京卷] 设函数，曲线 在点 处的切线方程为 ． （1）求, 的值； 解：因为,所以 ， 因为曲线在点处的切线方程为 ， 所以， ， 则解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 37 （2）设函数，求 的单调区间； 解：由（1）得 ， 则， 令 ，解得 ， 不妨设，，则 . 易知恒成立，所以令，解得或 , 令，解得或, 所以在， 上单调递减，在，上单调递增， 即 的单调递减区间为和， 单调递增区间为 和 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 38 （3）求 的极值点个数． 解：因为 ， 所以 ， 由（2）知在，上单调递减， 在， 上单调递增. 当时，单调递增， 因为 ，，即， 所以在 上存在唯一零点，不妨设为，则 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 39 此时，当时，，则单调递减， 当 时，，则 单调递增， 所以在 上有一个极小值点； 当时， 单调递减， 因为，即 ， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则 ， 此时，当时，，则 单调递增， 当时，，则 单调递减， 所以在 上有一个极大值点； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 当时， 单调递增， 因为，即 ， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则 ， 此时，当时，，则 单调递减， 当时，，则单调递增， 所以在 上有一个极小值点； 当时， ， 所以，则 单调递增， 所以在 上无极值点. 综上， 共有3个极值点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $