专题1 函数与导数第3讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 课件-2026届高三数学二轮复习

第3讲　利用导数研究函数的单调性、极值与最值 专题一 2026 内容索引 01 02 必备知识•精要梳理　 关键能力•学案突破　 必备知识•精要梳理　 1.导数的几何意义 函数f(x)在x=x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f'(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). 温馨提示1.求曲线的切线方程时,要注意是在点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点. 2.切点既是切线上的点也是曲线上的点. 2.利用导数研究函数的单调性 (1)导数与函数单调性的关系. ①f'(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在区间(-∞,+∞)内单调递增,但f'(x)≥0. ②f'(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,如函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)为常数函数. (2)求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0. (3)若f(x)在区间D上单调递增,转化为在区间D上f'(x)≥0恒成立;若f(x)在区间D上单调递减,转化为在区间D上f'(x)≤0恒成立(注意:f'(x)=0在区间D的任意子区间上不恒成立). 注意带“=” (4)若f(x)在区间D上存在单调递增区间,转化为f'(x)>0在区间D上有解;若f(x)在区间D上存在单调递减区间,转化为f'(x)<0在区间D上有解. 注意不带“=” 3.利用导数研究函数的极值、最值 (1)若f'(x0)=0,且在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若f'(x0)=0,且在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值. (2)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,则f(x)在区间[a,b]上必有最大值和最小值,且在极值点或端点处取得. (3)若函数在开区间或无穷区间上有唯一的极值,则这个极值就是相应的最值. 这个条件不可少 易错提醒若函数的导数存在,则在某点处的导数等于零是函数在该点取得极值的必要不充分条件,因此已知极值点求参数值时,要对参数值进行检验. 关键能力•学案突破　 突破点一 导数的几何意义 命题角度1　与曲线的切线方程有关的问题 A 突破点一 突破点二 突破点三 (2025·新高考Ⅰ,12)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=　　　　　.  4 解析 设切点P(x0,+x0+a).因为y=ex+x+a,所以y'=ex+1, 所以 解得 突破点一 突破点二 突破点三 方法总结求曲线y=f(x)的切线方程的3种类型及方法 (1)已知切点P(x0,y0),求切线方程 求出切线的斜率f'(x0),由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率k,求切线方程 设切点为P(x0,y0),通过方程k=f'(x0)解得x0,再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点),求切线方程 设切点为P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f'(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程. 突破点一 突破点二 突破点三 对点练1 (1)已知函数f(x)=ln x+ 图象的一条切线方程为y=kx+b,则k+b的最小值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 (2)若曲线f(x)=x3-2x在点P处的切线与直线l:x-y-2=0平行,则点P的坐标为　　　　　.  B (-1,1) 突破点一 突破点二 突破点三 突破点一 突破点二 突破点三 当x0=1时,点P(1,-1),则所求切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0,与直线l重合,不符合题意;当x0=-1时,点P(-1,1),则所求切线方程为y-1=x+1,即x-y+2=0,与直线l平行. 综上所述,点P的坐标为(-1,1). 突破点一 突破点二 突破点三 命题角度2　两曲线的公切线问题 [例1-3] (2024·新高考Ⅰ,13)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　.  ln 2 突破点一 突破点二 突破点三 方法总结解决曲线y=f(x)和y=g(x)的公切线问题时,通常有两种方法:一是利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解;二是分别设出公切线与曲线y=f(x)和y=g(x)的切点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有 ,据此列式求解. 突破点一 突破点二 突破点三 对点练2 若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,则实数a的取值范围为　 .  [,+∞)　 突破点一 突破点二 突破点三 解析 由y=ax2(a>0),得y'=2ax. 由y=ex,得y'=ex. 曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,设公切线与曲线C1切于点(x1,a),与曲线C2切于点(x2,),则2ax1=,可得2x2=x1+2,所以a=(x1∈(0,+∞)). 记f(x)=(x∈(0,+∞)),则f'(x)=,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以当x=2时,f(x)取得最小值,且f(x)min=,故实数a的取值范围是 突破点一 突破点二 突破点三 突破点二 利用导数研究函数的单调性 命题角度1　求单调区间或判断单调性 [例2-1]函数f(x)=2(x2-x)ln x-x2+2x的单调递增区间为(　　) D 突破点一 突破点二 突破点三 突破点一 突破点二 突破点三 易错警示利用导数求函数的单调区间,其实质是解不等式问题,应注意以下几点 (1)首先确定函数的定义域,忽视定义域的限制容易导致错误. (2)当函数在区间的端点处有定义时,单调区间可以写成闭区间也可以写成开区间,但当函数在区间的端点处没有定义时,单调区间只能写成开区间. (3)当函数具有多个单调递增区间(递减区间)时,一般不能用“∪”联结,而应该用“和”“及”等联结. 突破点一 突破点二 突破点三 对点练3 (2025·广东一模)已知函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法错误的是(　　) C A.f(x)在区间(1,4)上单调递增 B.7是y=f(x)的极大值点 C.当4<x<7时,f(x)>0 D.f(x)在区间(7,+∞)上单调递减 突破点一 突破点二 突破点三 解析 由题中导函数的图象可知,在区间(1,4)上,f'(x)>0,所以函数f(x)在区间(1,4)上单调递增,A正确. 当x<7时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x>7时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减. 所以7是函数y=f(x)的极大值点,B正确,D正确. 当4<x<7时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,但不一定有f(x)>0,所以C错误. 故选C. 突破点一 突破点二 突破点三 [例2-2]已知函数f(x)=ln x+ax2-(a+2)x+2(a为常数). (1)若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,求a的值; (2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性. 突破点一 突破点二 突破点三 突破点一 突破点二 突破点三 突破点一 突破点二 突破点三 突破点一 突破点二 突破点三 名师点析利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点 (1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间. (2)注意观察f'(x)的表达式(或其中的某一部分)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点. (3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ的讨论,对根的大小比较的讨论等. (4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述. 突破点一 突破点二 突破点三 对点练4 已知函数f(x)= +aln x(a∈R,且a≠0),求函数f(x)的单调区间. 突破点一 突破点二 突破点三 突破点一 突破点二 突破点三 命题角度2　根据单调性求参数的取值范围 [例2-3] (2023·新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为(　　) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 C 设g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex>0在区间(1,2)内恒成立, 所以函数g(x)=xex在区间(1,2)内单调递增, 所以g(x)>g(1)=e, 突破点一 突破点二 突破点三 方法总结根据函数单调性求参数取值范围的类型及解法 已知函数f(x)在区间I上单调递增(或递减),f(x)中含参数 转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上恒成立,要注意“=”能否取到 已知函数f(x)在区间I上单调递增(或递减),I中含参数 先求出f(x)的单调区间,再令I是其单调区间的子集,建立不等式(组)求解 已知函数f(x)在区间I上存在单调递增(或递减)区间 转化为f'(x)>0(或f'(x)<0)在I上有解求解 已知函数f(x)在区间I上不单调 方法一,转化为f'(x)=0在I上有解求解; 方法二,运用补集思想,先求f(x)在区间I上单调时参数的取值范围,再取其补集 突破点一 突破点二 突破点三 对点练5 (1)已知函数f(x)=ex(x2-bx)(b∈R)在区间[,2]上存在单调递增区间,则实数b的取值范围是(　　) A.(-∞,) B.(-∞,) C.(-) D.(,+∞) A 突破点一 突破点二 突破点三 突破点一 突破点二 突破点三 (2)已知函数f(x)=,若f(x)在区间(0,1)内单调递增,求实数a的取值范围. 突破点一 突破点二 突破点三 突破点一 突破点二 突破点三 命题角度3　利用单调性比较大小或解不等式 [例2-4] (2022·新高考Ⅰ,7)设a=0.1e0.1,b= ,c=-ln 0.9,则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b C 突破点一 突破点二 突破点三 突破点一 突破点二 突破点三 令k(x)=(1+x)(1-x)ex-1, 则当x∈(0,0.1]时,k'(x)=(1-x2-2x)ex>0, ∴k(x)在区间(0,0.1]上单调递增. ∴k(x)>k(0)=0. ∴在区间(0,0.1]上,y2' >0, ∴y2=xex+ln(1-x)在区间(0,0.1]上单调递增.∴y2>0,∴a1>c1. ∴在区间(0,0.1]上,b1>a1>c1. 故当x=0.1时,有b>a>c. 突破点一 突破点二 突破点三 D 突破点一 突破点二 突破点三 突破点一 突破点二 突破点三 方法总结利用导数解不等式或比较大小的思路: 根据题目条件,通过已知函数或构造辅助函数,利用导数研究函数的单调性,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,再由单调性比较大小或解不等式问题. 突破点一 突破点二 突破点三 对点练6 (1)已知a-4=ln<0,b-3=ln<0,c-2=ln<0,则(　　) A.c<b<a B.b<c<a C.a<b<c D.a<c<b C 突破点一 突破点二 突破点三 解析 令f(x)=x-ln x,则f'(x)=1- 由f'(x)=0,得x=1. 所以当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,1)上单调递减; 当x>1时,f'(x)>0,f(x)在区间(1,+∞)上单调递增. 由a-4=ln<0可得0<a<4, 将a-4=ln化为a-ln a=4-ln 4, 所以f(a)=f(4),所以0<a<1. 同理,f(b)=f(3),0<b<1;f(c)=f(2),0<c<1. 因为4>3>2>1,所以f(4)>f(3)>f(2),所以f(a)>f(b)>f(c),又f(x)在区间(0,1)上单调递减,所以a<b<c. 突破点一 突破点二 突破点三 (2)(2025·广西柳州二模)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f'(x)+2x也是偶函数,且f(a)<f(2a-1),则实数a的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B. C. D.∪(1,+∞) C 突破点一 突破点二 突破点三 解析由题意,得f(x)是定义在R上的偶函数,则f(-x)=f(x),所以-f'(-x)=f'(x), 即f'(-x)=-f'(x).因为f'(x)+2x是偶函数, 所以f'(-x)+2-x=f'(x)+2x, 所以-f'(x)+2-x=f'(x)+2x, 即f'(x)=(2-x-2x). 因为函数y=2-x=是R上的减函数,y=-2x也是减函数, 所以函数f'(x)=(2-x-2x)是R上的减函数. 令f'(x)=0,即(2-x-2x)=0,解得x=0. 突破点一 突破点二 突破点三 当x<0时,f'(x)>0,所以函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递增; 当x>0时,f'(x)<0,所以函数y=f(x)在区间(0,+∞)上单调递减. 又函数y=f(x)是R上的偶函数, 所以由f(a)<f(2a-1),可得|a|>|2a-1|,解得<a<1. 因此,实数a的取值范围是 故选C. 突破点一 突破点二 突破点三 突破点三 利用导数研究函数的极值与最值 命题角度1　利用导数求函数的极值或最值 [例3-1]若x=-1是函数f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1的极值点,则f(x)的极小值为(　　) A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1 A 解析 因为f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1,所以f'(x)=e2x-1[8x2+(8-4a)x-(2a+2)]. 依题意有f'(-1)=0,解得a=1,于是f(x)=(4x2-2x-1)e2x-1,f'(x)=4e2x-1(2x2+x-1). 突破点一 突破点二 突破点三 函数f(x)=(x2-3)ex的最小值为　　　　　.  -2e 解析 易知函数f(x)=(x2-3)ex的定义域为R. f'(x)=2xex+(x2-3)ex=(x2+2x-3)ex=(x+3)(x-1)ex. 令f'(x)=0,可得x=-3或x=1. 当x∈(-∞,-3)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,-3)上单调递增; 当x∈(-3,1)时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(-3,1)上单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递增. 所以当x=-3时f(x)取得极大值,当x=1时f(x)取得极小值. 又x→-∞时,f(x)→0,易知f(-)=0,当x<-时,f(x)>0,且f()=0,当x>时,f(x)>0,x→+∞时,f(x)→+∞. 函数f(x)的图象如图所示. 由图可知,f(1)=-2e为最小值.故答案为-2e. 突破点一 突破点二 突破点三 方法点拨1.利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的一般步骤 (1)求函数f(x)在区间(a,b)内的极值.(2)求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a),f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象得到函数的最值. 突破点一 突破点二 突破点三 对点练7 (1)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为 (　　) D 突破点一 突破点二 突破点三 (2)若方程x3-3x+m=0在区间[0,2]上有解,则实数m的取值范围是(　　) A.[-2,2] B.[0,2] C.[-2,0] D.(-∞,-2)∪(2,+∞) A 解析 由题意得-m=x3-3x,x∈[0,2]. 令y=x3-3x,x∈[0,2],则y'=3x2-3. 令y'=0,解得x=1(x=-1舍去). 所以当x∈[0,1)时,y'<0; 当x∈(1,2]时,y'>0. 因此函数y=x3-3x,x∈[0,2]在区间[0,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增. 又x=1时,y=-2;x=2时,y=2;x=0时,y=0,所以函数y=x3-3x,x∈[0,2]的值域是 [-2,2],因此-m∈[-2,2],即m∈[-2,2].故选A. 突破点一 突破点二 突破点三 命题角度2　根据函数的极值或最值求参数 A 突破点一 突破点二 突破点三 突破点一 突破点二 突破点三 突破点一 突破点二 突破点三 思想方法等价转化思想在解决极值与最值问题中的应用 利用导数研究函数的极值与最值问题,多与“参数处理”问题有关,解决这类问题时,基本策略是等价转化,通过对问题的不断转化进行求解. (1)函数f(x)在某一区间上有极值(点),可转化为方程f'(x)=0有满足某种条件的解. (2)求函数的极值、最值问题,可转化为研究函数的单调性问题. (3)求函数的极值、最值问题,可转化为解方程、不等式问题,而某些方程有解、不等式有解、不等式恒成立问题则可转化为研究函数的最值问题. 突破点一 突破点二 突破点三 对点练8 B 突破点一 突破点二 突破点三 (2)已知f(x)=(x2+2x+a)ex,若f(x)存在极小值,则实数a的取值范围是　 .  答案 (-∞,2)　 解析 由题意得f'(x)=(2x+2)ex+(x2+2x+a)ex=ex(x2+4x+a+2),若f(x)存在极小值,则方程f'(x)=0有两个不相等的实根,即方程x2+4x+a+2=0有两个不相等的实根,所以Δ=16-4(a+2)>0,解得a<2,所以实数a的取值范围是(-∞,2). 突破点一 突破点二 突破点三 突破点一 突破点二 突破点三 突破点一 突破点二 突破点三 由于F(x)有两个极值点,所以方程mx2-mx+1=0有两个不相等的正实数根x1,x2, 所以4<m≤e2,即实数m的取值范围为(4,e2]. 突破点一 突破点二 突破点三 名师点析根据函数极值情况求参数取值范围的方法 (1)若函数f(x)在区间I上有极值点,则f'(x)在区间I上有变号零点,亦即方程f'(x)=0有满足相应条件的实数根,从而可转化为方程有解问题,也可转化为直线与曲线的交点问题进行求解. (2)若问题与极大值、极小值有关,则应将极值用极值点表示出来,充分利用极值点满足的条件对代数式进行转化整理,特别注意一元二次方程根与系数关系的运用,将极值点消去,保留参数,然后再进行求解. (3)若问题经转化后,需要确定一个代数式的最值或范围,则往往需要构造函数,转化为函数的最值,借助导数解决. 突破点一 突破点二 突破点三 对点练9 (2025·广西柳州一模)已知函数f(x)=ax-ln x-. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求实数a的取值范围. 解 (1)当a=1时,f(x)=x-ln x-1,f'(x)=1- 所以f(1)=0,f'(1)=0,所以切点坐标为(1,0),切线斜率k=0, 所以所求切线方程为y=0. 突破点一 突破点二 突破点三 (2)f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=a- 若a≤0,则f'(x)<0对任意x∈(0,+∞)恒成立, 所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,无极值,不符合题意. 若a>0,令f'(x)>0,解得x>;令f'(x)<0,解得0<x<, 所以f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以f(x)有极小值f=1+ln a-,无极大值. 由题意,得f=1+ln a-<0. 令g(a)=1+ln a-(a>0),则g'(a)=>0,所以g(a)在区间(0,+∞)上单调递增, 又g(1)=0,所以不等式1+ln a-<0等价于g(a)<g(1),所以a<1. 所以实数a的取值范围是(0,1). 突破点一 突破点二 突破点三 本 课 结 束 (2024·全国甲,理6)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 解析 f'(x)=,所以f'(0)=3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),即3x-y+1=0,切线与两坐标轴的交点分别为(0,1),(-,0),所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×.故选A. 解析 (1)函数f(x)=ln x+的定义域为(0,+∞),f'(x)= 设切点为(m,n),则k= 因为(m,n)为切点,所以ln m+=n,km+b=n,于是k+b=ln m-(m>0). 记g(m)=ln m-(m>0),则g'(m)=(m-1)(m+2). 当m>1时,g'(m)>0,g(m)单调递增; 当0<m<1时,g'(m)<0,g(m)单调递减. 所以当m=1,g(m)取得最小值,且最小值为g(1)=ln 1-=0, 即k+b的最小值为0.故选B. (2)设点P(x0,-2x0), ∵f'(x)=3x2-2, ∴f'(x0)=3-2. ∵曲线f(x)在点P处的切线平行于直线l:x-y-2=0, ∴f'(x0)=1,即3-2=1,解得x0=±1. 解析 令f(x)=ex+x,则f'(x)=ex+1,所以f'(0)=2,所以曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1.令g(x)=ln(x+1)+a,则g'(x)=,设直线y=2x+1与曲线y=g(x)相切于点(x0,y0),则=2,得x0=-,所以y0=2x0+1=0,所以0=ln(-+1)+a,所以a=ln 2. f'(x1)=g'(x2)= A. B.(1,+∞) C.(0,)∪(1,+∞) D.(0,)和(1,+∞) 解析 因为f'(x)=2(2x-1)·ln x+2(x2-x)-2x+2=2(2x-1)·ln x, 所以当x∈(0,)时,2x-1<0,ln x<0,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(,1)时,2x-1>0,ln x<0,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,2x-1>0,ln x>0,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)的单调递增区间为(0,)和(1,+∞).故选D. 解 (1)由题意x>0,f'(x)=+2ax-(a+2)=,则f'(1)=a-1,由于函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直, 所以f'(1)=-1,因此f'(1)=a-1=3,故a=4. (2)因为a>0,所以>0. ①若0<a<2,则 当0<x<或x>时,f'(x)>0,当<x<时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(0,)和(,+∞) 内单调递增,在区间() 内单调递减. ②若a=2,则 对x>0,f'(x)≥0恒成立,所以函数f(x)在区间(0,+∞) 内单调递增. ③若a>2,则 当0<x<或x>时,f'(x)>0,当<x<时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(0,)和(,+∞) 内单调递增,在区间() 内单调递减. 综上所述,当0<a<2时,函数f(x)在区间(0,)和(,+∞) 内单调递增,在区间() 内单调递减; 当a=2时,函数f(x)在区间(0,+∞) 内单调递增,无单调递减区间; 当a>2时,函数f(x)在区间(0,)和(,+∞) 内单调递增,在区间() 内单调递减. 解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=- 若a>0,则>0.当x∈(0,)时,f'(x)<0,所以f(x)的单调递减区间是(0,); 当x∈(,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)的单调递增区间是(,+∞). 若-1≤a<0,由于0,所以f'(x)<0,所以f(x)的单调递减区间是(0,+∞). 若a<-1,则>0,当x∈(0,)时,f'(x)>0,所以f(x)的单调递增区间是(0,),当x∈(,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)的单调递减区间是(,+∞). 综上所述,当a>0时,函数f(x)的单调递增区间是(,+∞),单调递减区间是(0,); 当-1≤a<0时,函数f(x)的单调递减区间是(0,+∞),无单调递增区间; 当a<-1时,函数f(x)的单调递增区间是(0,),单调递减区间是(,+∞). 解析 由题意可知f'(x)=aex-0在区间(1,2)内恒成立, 即a在区间(1,2)内恒成立. 则0<,即a≥e-1.故选C. 解析 因为函数f(x)在区间[,2]上存在单调递增区间,所以f'(x)>0在区间[,2]上有解. f'(x)=ex[x2+(2-b)x-b],设h(x)=x2+(2-b)x-b,则h(2)>0或h>0,即4+2(2-b)-b>0或(2-b)-b>0,解得b<或b<,因此b<,即实数b的取值范围为(-∞,).故选A. 解 由已知得f'(x)= 因为f(x)在区间(0,1) 内单调递增,所以f'(x)≥0在区间(0,1) 内恒成立, 即-ln x-a在区间(0,1) 内恒成立. 令φ(x)=-ln x-,则φ'(x)=--1),当x∈(0,1)时,总有φ'(x)<0,所以φ(x)在区间(0,1) 内单调递减. 因此φ(x)>φ(1)=1-,所以a≤1- 故实数a的取值范围为(-∞,1-]. 解析 令a1=xex,b1=,c1=-ln(1-x),则ln a1-ln b1=ln(xex)-ln =x+ln x-[ln x-ln(1-x)]=x+ln(1-x). 令y1=x+ln(1-x),x∈(0,0.1], 则当x∈(0,0.1]时,y1'=1-<0. 于是函数y1=x+ln(1-x)在区间(0,0.1]上单调递减. 于是y1<0,∴ln a1-ln b1<0,∴b1>a1. 令y2=a1-c1=xex+ln(1-x),x∈(0,0.1], 则y2'=xex+ex- 已知函数f(x)=e2x-1-e1-2x+sin(x-)+1,则不等式f(2x+1)+f(2-x)≥2的解集为(　　) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,2] D.[-2,+∞) 解析 因为f(x)=e2x-1-e1-2x+sin(x-)+1, 所以f(1-x)=e2(1-x)-1-e1-2(1-x)+sin[(1-x)-]+1=e1-2x-e2x-1-sin(x-)+1, 所以f(1-x)+f(x)=2,即f(x)的图象关于点(,1)中心对称. f'(x)=2e2x-1+2e1-2x+cos(x-)≥2cos(x-) =4+cos(x-)(当且仅当x=时等号成立). 因为-1≤cos(x-)≤1,所以f'(x)≥4->0,所以f(x)在R上单调递增. 由f(1-x)+f(x)=2,得f(2-x)+f(-1+x)=2. 由f(2x+1)+f(2-x)≥2,得f(2x+1)+f(2-x)≥f(2-x)+f(-1+x),即f(2x+1)≥f(-1+x), 所以2x+1≥-1+x,解得x≥-2.故选D. 令f'(x)=0,得x=-1或x=,因此当x=时函数f(x)取得极小值,且极小值为f=-1.故选A. A.- B.- C.-+2 D.-+2 解析 (1)f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x=(x+1)cos x, 所以在区间[0,]和(,2π]内f'(x)>0,即f(x)单调递增; 在区间()内f'(x)<0,即f(x)单调递减, 又f(0)=f(2π)=2,f()=+2,f()=-(+1)+1=-, 所以f(x)在区间[0,2π]上的最小值为-,最大值为+2. 已知a>0,f(x)=,若f(x)的最小值为-1,则a等于(　　) A. B. C.e D.e2 解析 由f(x)=,得f'(x)= 令g(x)=ex+ax+a,则g'(x)=ex+a>0,所以g(x)在区间(-∞,+∞) 内为增函数. 又g(-1)=>0,当x→-∞时,g(x)→-∞,所以存在x0<-1,使得g(x0)=0,即+ax0+a=0①,此时f'(x0)=0,因此函数f(x)在区间(-∞,x0) 内单调递减,在区间(x0,+∞) 内单调递增,所以f(x)的最小值为f(x0)==-1,即x0=-(+a)②,联立①②,可得x0=-2,代入①,可得a= 若函数f(x)=x2-x+aln x有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是　　　　　.  (0,) 解析 因为函数f(x)=x2-x+aln x有两个不同的极值点,所以f'(x)=x-1+=0在区间(0,+∞) 内有两个不同的零点,即方程x2-x+a=0在区间(0,+∞) 内有两个不同的实根,因此解得0<a<,即实数a的取值范围为(0,). (1)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)=(　　) A.-1 B.- C. D.1 解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).由题意可知,f(1)=-2,f'(1)=0,而f'(x)=,所以b=-2,a-b=0,即a=-2,b=-2,所以f'(x)=-,因此函数f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,x=1时取最大值,满足题意.故f'(2)=-1+=- 已知函数f(x)=ln x+x2,m∈R. (1)若m>0,函数f(x)图象上所有点处的切线中,切线斜率的最小值为2,求切线斜率取到最小值时的切线方程; (2)若F(x)=f(x)-mx有两个极值点,且所有极值的和不小于--3,求实数m的取值范围. 解 (1)f'(x)=+mx,由于f(x)的定义域为(0,+∞),且m>0,所以f'(x)=+mx≥2=2,由已知得2=2,解得m=1. 所以f(x)=ln x+x2,此时x=1,所以切点坐标为(1,). 故所求切线方程为y-=2(x-1), 即y=2x- (2)由于F(x)=f(x)-mx=ln x+x2-mx, 所以F'(x)=+mx-m= 因此解得m>4. 又x1+x2=1,x1x2=,所以F(x1)+F(x2)=ln x1+-mx1+ln x2+-mx2=ln(x1x2)+)-m(x1+x2)=ln(1-)-m=--ln m-1, 因此有--ln m-1≥--3,即+ln m+2. 令g(m)=+ln m,易知g(m)单调递增,而g(e2)=+2, $