13.2.2 空间两条直线的位置关系（2） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

13.2.2 空间两条直线的位置关系（2） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与底面ABCD的对角线AC异面的棱有(　　) A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 2 (2025云南期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与直线BD的位置关系为(　　) A.异面 B.平行 C.相交且垂直 D.相交但不垂直 (第2题) (第3题) 3 (2024浙江期中)已知正方体的平面展开图如图所示，AB，CD，EF，GH为四条对角线，则在正方体中，这四条对角线所在直线中互相垂直的有(　　) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 4 (2025菏泽月考)在三棱锥D-ABC中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且EF∥GH，则下列说法中正确的是(　　) A.直线EH与FG一定平行 B.直线EH与FG一定相交 C.直线EH与FG可能异面 D.直线EH与FG一定共面 5 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝2，AA1＝5，E为B1C1的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 6 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．若AC＝BD＝2，且AC与BD所成的角为60°，则EG的长为(　　) A.1 B. C.1或 D.或 二、多项选择题 7 (2025文山月考)下列命题中，是假命题的是(　　) A.垂直于同一直线的两条直线互相平行 B.平行于同一直线的两直线平行 C.若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c D.若直线a，b是异面直线，则与a，b都相交的两条直线是异面直线 8 (2025浙江期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点M在线段B1D1(不包含端点)上运动时，下列直线中一定与直线OM异面的是(　　) A.B1C1 B.A1B C.CD1 D.A1A 三、填空题 9 若a，b是所成角为60°的两条异面直线，O为空间内一点，则过点O与a，b均成60°角的直线有________条． 10 如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝AB＝2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为________． 11 (2025天津滨海新区期中)在四面体ABCD中，AC＝BD＝4，E，F分别是AD，BC的中点，若 EF＝2，则异面直线AC与BD的夹角为________． 四、解答题 12 如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝PC，E，F分别是PA，BC的中点，且EF＝AB，求证：PC⊥AB. 13 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1. (1) 写出所有所在直线与A1B是异面直线的棱； (2) 若M，N分别是A1B，BC1的中点，求直线MN与BC所成角的大小． 参 考 答 案 1.B　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与底面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条． 2.A　方法一：由图形可知，直线AB1与直线BD不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线． 方法二(反证法)：假设直线AB1与直线BD不异面，则直线AB1与直线BD共面，设直线AB1与直线BD确定平面α.又点A，B1，B不共线，所以确定平面AB1B，所以平面α与平面AB1B重合，则D∈平面AB1B，与D∉平面AB1B矛盾，所以直线AB1与直线BD异面． 3.B　将展开图合成一个正方体，如图所示，连接EH和HF.由正方体的性质，可得AH∥BF，AH＝BF，四边形HCFD为正方形，则四边形AHFB为平行四边形，HF⊥CD，所以AB∥HF，所以AB⊥CD.同理可得EF⊥GH.因为AB∥HF，所以∠EFH为异面直线AB与EF所成的角或其补角．又因为EF＝FH＝EH，所以△EFH为等边三角形，则∠EFH＝60°.同理可得AB与GH所成的角为60°，CD与EF所成的角为60°，CD与GH所成的角为60°.综上，AB与CD相互垂直，AB与EF所成的角为60°，AB与GH所成的角为60°，CD与EF所成的角为60°，CD与GH所成的角为60°，EF与GH相互垂直，故这四条对角线所在直线中相互垂直的有2对． 4.D　如图1，因为EF∥GH，所以E，F，G，H四点确定一个平面EFGH，所以直线EH与FG一定共面，故D正确，C错误；如图2，当EF∥GH，EF＝GH时，四边形EFGH为平行四边形，且EH∥GF，故B错误；如图3，当EF∥GH但EF≠GH时，四边形EFGH为梯形，且EH，GF相交于一点，故A错误． 图1 图2 图3 5.C　如图，取C1D1的中点F，连接EF，CF，B1D1，易知EF∥B1D1∥BD，所以∠CEF为异面直线BD与CE所成的角或其补角．因为EF＝B1D1＝，CE＝CF＝＝＝，所以由余弦定理，得cos ∠CEF＝＝＝＝. 6.C　如图，连接HE，HG，EG.在△ABD中，因为H，E分别是AD，AB的中点，所以HE∥BD，且HE＝1.在△ACD中，因为H，G分别是AD，CD的中点，所以HG∥AC，且HG＝1.因为AC与BD所成的角为60°，所以∠EHG＝60°或∠EHG＝120°.当∠EHG＝60°时，△EHG为等边三角形，所以EG＝1；当∠EHG＝120°时，由余弦定理可得EG2＝1＋1－2×1×1×＝3，即EG＝，所以EG的长为1或. 7.AD　对于A，垂直同一直线的两条直线可能平行、异面或相交，故A错误；对于B，根据基本事实4可知，平行于同一直线的两直线平行，故B正确；对于C，由a∥b，b⊥c，必有a⊥c，故C正确；对于D，如图，A1B1，BC是异面直线，BB1，BA1与这两条异面直线都相交，但BB1，BA1在同一个平面内，故D错误．故选AD. 8.ABC　如图，由题意，得OM在平面BB1D1D内，对于A，因为B1∈平面BB1D1D，C1∉平面BB1D1D，B1∉OM，所以由异面直线的定义知，B1C1与直线OM是异面直线，故A正确；对于B，因为B∈平面BB1D1D，A1∉平面BB1D1D，B∉OM，所以由异面直线的定义知，A1B与直线OM是异面直线，故B正确；对于C，因为D1∈平面BB1D1D，C∉平面BB1D1D，D1∉OM，所以由异面直线的定义知，CD1与直线OM是异面直线，故C正确；对于D，当M为B1D1的中点时，AA1∥OM，故D错误．故选ABC. 9.3　如图，将异面直线a，b平移至共交点O的a′，b′处，在平面α中，s为a′与b′所成锐角的角平分线，将s绕点O往平面α正上方旋转得l，将s绕点O往平面α正下方旋转得m，且m，l与a′，b′均成60°角.在平面α中，k为a′，b′所成角的补角的平分线，且k与a′，b′均成60°角，所以通过图形，可知过点O与a，b均成60°角的直线有3条． 10.　如图，取PD的中点F，BC的中点G，连接EF，FG，GD，则EF∥AD∥BC，且EF＝AD＝BC＝BG，所以四边形EFGB为平行四边形，所以EB∥FG，EB＝FG，故∠GFD或其补角为异面直线BE与PD所成的角．由题意，得△PAB为等边三角形，BE为其高线，长度为，则FG＝，DG＝＝，FD＝1.根据余弦定理可得cos ∠GFD＝＝－.因为异面直线夹角为直角或锐角，所以异面直线BE与PD所成角的余弦值为. 11.　如图，设G为AB的中点，又E，F分别是AD，BC的中点，所以GE∥BD，GF∥AC，故∠EGF就是异面直线AC与BD的夹角或其补角.因为AC＝BD＝4，所以GE＝GF＝2.又EF＝2，所以cos ∠EGF＝＝－，故异面直线AC与BD的夹角为. 12.取PB的中点M，连接EM，MF. 在△PAB中，因为E，M分别是PA，PB的中点， 所以EM∥AB，EM＝AB. 同理可得FM∥PC，FM＝PC， 所以EM与FM所成的锐角(或直角)即为直线AB与PC所成的角． 又因为AB＝PC，EF＝AB， 所以EM＝FM＝AB， 所以在△EFM中，有EM2＋FM2＝EF2， 所以EM⊥FM，所以PC⊥AB. 13.(1) 所在直线与A1B是异面直线的棱有AD，DC，CC1，DD1，C1D1，B1C1. (2) 如图，连接BC1，MN，A1C1，AC. 因为M，N分别是A1B，BC1的中点， 所以A1C1∥MN. 又A1C1∥AC，所以MN∥AC， 则∠ACB为MN与BC所成的角． 在△ACB中，因为AB＝CB，AB⊥CB， 所以∠ACB＝， 故直线MN与BC所成角的大小为. 学科网（北京）股份有限公司 $