精品解析：重庆市第七中学校2025-2026学年高一下学期学情检测数学试题

重庆市第七中学校2025-2026学年度下期 高2028届学情检测数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是内的一点，，则的面积与的面积之比为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6 6. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为.若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. D. 8. 在锐角中，的角平分线交BC于D，则AD为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C. 若复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点在第三象限 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 10. 如图，点是所在平面内的一点，，，，、分别为边、的中点，与交于点，则（ ） A. B. 在上的投影向量等于 C. D. 的最小值为 11. 在锐角中，角的对边分别为，且．则（ ） A. 的面积为 B. C. 若，则 D. 的取值范围为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 在平行四边形中，满足，且，则平行四边形的面积为________． 13. 已知中，向量对应的复数为，向量对应的复数为，且，则______. 14. 重庆“云端之眼”观景台位于解放碑联合国际写字楼第六十七层，是各地游客来重庆旅游的网红打卡地．如图，一架无人机在点处观测到“云端之眼”顶端的仰角为，地面上点的俯角是，若无人机离地面的高度为，，则“云端之眼”的高度为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，. （1）若，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围. 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，，且的面积为. （1）求角； （2）若求的值. 17. 的内角所对的边分别为，其面积为. 已知. （1）求； （2）点满足，且，求. 18. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且 （1）若，求的面积的取值范围， （2）如图，若为外一点，且，，，求. 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求． （2）已知向量，，证明：． （3）若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第七中学校2025-2026学年度下期 高2028届学情检测数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：D. 2. 已知三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，， 由.故D正确. 3. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设，故其虚部为. 4. 如图，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是的中点，所以， 因为是的靠近的三等分点，所以， 所以． 5. 已知点是内的一点，，则的面积与的面积之比为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 取中点为，根据向量之间关系，得到，过点作于点，过点作于点，得出，进而可得三角形面积之比. 【详解】 取中点为，则， 因为，所以，则，因此， 过点作于点，过点作于点， 则易知， 因此， 所以的面积与的面积之比为. 故选：B. 6. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为.若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解. 【详解】在中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以. 7. 如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值. 【详解】，又，故， 所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，故. 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为， 故选：D. 8. 在锐角中，的角平分线交BC于D，则AD为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中由正弦定理得出，再在中由正弦定理可得. 【详解】在中由正弦定理得，， 即， 因为， 且为锐角三角形， 所以，， 因为为的角平分线，所以，， 则在中由正弦定理得， 即. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C. 若复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点在第三象限 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【详解】对于选项A：例如也满足，故A错误； 对于选项B：因为，，所以， 所以向量对应的复数为，故B正确； 对于选项C：复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，故C错误； 对于选项D：复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，故D正确． 10. 如图，点是所在平面内的一点，，，，、分别为边、的中点，与交于点，则（ ） A. B. 在上的投影向量等于 C. D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据余弦定理直接计算判断A，根据投影向量的法则求解判断B，根据的特点，建立平面直角坐标系，运用平面向量的坐标运算求得判断C，结合平面向量的线性运算、数量积的运算及二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，在中，，，，所以由余弦定理得 ，故A错误； 对于B，在上的投影向量等于，故B正确； 对于CD，如图，以为原点，以为轴，过点A与垂直的直线为轴， 建立平面直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以， 又，所以，故C正确； 设，则，， 所以 ，当且仅当时等号成立， 即的最小值为，故D正确. 故选：BCD 11. 在锐角中，角的对边分别为，且．则（ ） A. 的面积为 B. C. 若，则 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角形面积公式判断A，利用正弦定理及三角恒等变换化简可判断B，根据余弦定理及条件化简，再由二倍角的正余弦、正切公式化简求值可判断C，根据条件判断A点的轨迹，得出范围，再由对勾函数性质求范围即可判断D. 【详解】对于A，由，所以，故A正确； 对于B，由，可得，所以，故B错误； 对于C，，又，， 所以，即， 所以，即，所以， 即，所以， 由为锐角知，故解得，故C正确； 对于D，因为，所以，作于，过作，且，如图， 所以A点的轨迹为线段（不包含端点及中点，否则三角形为直角三角形，不符合题意），由图形可知，且， 令，且，则在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当或时，，所以， 即的取值范围为，故D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 在平行四边形中，满足，且，则平行四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【详解】在平行四边形中，， 因为，即， 所以是矩形， 在中，，，， 所以， 所以平行四边形的面积． 13. 已知中，向量对应的复数为，向量对应的复数为，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算得到，结合复数的线性运算以及模长公式求解即可. 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为，且， 所以， 由于 即， 所以. 14. 重庆“云端之眼”观景台位于解放碑联合国际写字楼第六十七层，是各地游客来重庆旅游的网红打卡地．如图，一架无人机在点处观测到“云端之眼”顶端的仰角为，地面上点的俯角是，若无人机离地面的高度为，，则“云端之眼”的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，继而利用正弦定理求出，再解，即可求得答案. 【详解】由题意知，，则， 在中，， 故，则， 在中，， 故. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，. （1）若，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【小问1详解】 由题目可知，，， 所以，， 因为， 所以，解得. 【小问2详解】 因为与所成角为锐角， 所以，即，解得， 由第问可知，当时，， 此时的夹角为，所以， 因此实数的范围为. 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，，且的面积为. （1）求角； （2）若求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和三角形的面积公式求解即可. （2）结合第一小问将求出来，进而求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理得： 又 ，， 又 ， 又 . 【小问2详解】 由（1）得， ， ， 17. 的内角所对的边分别为，其面积为. 已知. （1）求； （2）点满足，且，求. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式及向量的数量积求解即可. （2）求出向量，对进行平方可得到，将对应向量代入化简可得，结合余弦定理求出，代入求值即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以，即， 因为，，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，. 因为，所以，则， 即. 整理得，即，也即. 因为，所以，即. 在中，由余弦定理知，， 所以. 18. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且 （1）若，求的面积的取值范围， （2）如图，若为外一点，且，，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系切化弦，然后利用两角和与差的正弦将式子进行整理，从而得到，进而解出，再将边表示成角的函数，接着利用锐角三角形得到角C的取值范围，从而得到的范围，从而得到边的范围，再利用三角形的面积公式将三角形的面积表示成边的函数，进而求面积的范围. （2）利用条件得到，再设，再利用正弦定理将，表示出来，进而在中结合余弦定理得到关于的方程求解即可. 【小问1详解】 因为 所以 因为，，. 则， 由于是锐角三角形，，， 可得，即，. 由正弦定理，，，则. . 所以. 因为是锐角三角形，，解得，则，，. ，，，则. 因为，所以. 【小问2详解】 因为，，所以，又， 则. 因为，所以，在中，. 设，在中，，，则，. 在中，，， 由正弦定理，，，， 可得. 将，代入中：， ， 解得，. 因为，，所以. 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求． （2）已知向量，，证明：． （3）若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）证明解析. （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）（2）直接利用提干信息进行计算； （3）①先化简出，然后分别讨论在，，三个区间的正负，然后利用零点存在定理判断零点是否存在以及有多少个； ②利用①将化成，从而根据的范围判断与的大小. 【小问1详解】 因为向量，所以，又因为，， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为向量，，所以，， 所以 化简得. 【小问3详解】 ①由（2）得， 化简得， 所以， 当时，单调递增，因为， 又因为，，所以， 又因为，所以， 由零点存在定理可得，存在，使得， 所以在上有一个零点. 当时，，，所以， 故在上没有零点. 当时，，， 所以，故在上没有零点. 综上可得，有且只有一个零点. ②. 理由如下：在上单调递减， 所以，即，所以. 【点睛】方法点睛：在证明函数零点时，我们常用零点存在定理： 如果一个函数在闭区间上连续，并且满足，那么在区间内至少存在一个点，使得. 如果一个函数在闭区间上连续且单调，并且满足，那么在区间内有且仅有一个点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $