10.3.1 频率的稳定性 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.3.1 频率的稳定性 作者编号：32100 1.通过做重复试验，探求频率的稳定性规律. 2.通过试验了解随机事件发生的频率和概率的联系与区别. 3.理解频率估计概率的应用实例. 学习目标 作者编号：32100 对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率.但在现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的，或者是否等可能不容易判断. 例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者抛掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻找新的求概率的方法. 新课导入 作者编号：32100 事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大;事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小. 思考：在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢?频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢? 通过大量重复试验，用频率去估计概率. 作者编号：32100 问题1：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，事件A发生的概率是多少？ 把硬币正面朝上记为1，反面朝上记为0，则这个试验的样本空间 ={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，A={(1，0)，(0，1)},所以P(A)= （一）频率和概率的区别和联系 问题2：按照以下步骤，重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，统计A出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较，说说你发现的规律. 新知讲解 作者编号：32100 【重复试验】 按照以下路径分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件A的频率的变化情况，以及频率与概率的关系. 第一步:每人重复做25次试验，记录事件A发生的次数，计算频率; 第二步:每4名同学为一组，相互比较试验结果; 第三步:各组统计试验事件A发生的次数，计算事件A发生的频率，将结果填入表中. 小组序号 试验总次数 事件A发生的次数 事件A发生的频率 1 100 2 100 3 100 ... 合计 作者编号：32100 ANN M (AM) - 探究的知识点需要提炼名称， 试验组:[100,100,100,100,100,100,100,100,100,100] 频数:[49,51,52,51,56,48,44,53,54,48]. 频率:[0.49,0.51,0.52,0.51,0.56,0.48,0.44,0.53,0.54,0.48]. 小组序号 试验总次数 事件A发生的次数 事件A发生的频率 1 100 49 0.49 2 100 51 0.51 3 100 52 0.52 4 100 51 0.51 5 100 56 0.56 6 100 48 0.48 7 100 44 0.44 8 100 53 0.53 9 100 54 0.54 10 100 48 0.48 合计 1000 506 0.506 作者编号：32100 讨论： 比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事件A发生的频率，我们发现： (1)各小组的试验结果一样吗?为什么会出现这种情况? (2)随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律? 答案：每人做25次试验，相当于在试验次数较少时重复几十次试验，通过比较事件A发生的频率，会发现频率不会完全相同，而且波动较大,小组合作100次试验，再比较各组得到的事件A的频率，会发现频率也不会完全相同，但波动变小.汇总全班的试验结果，至少有1000次试验,经过多次试验会发现频率非常接近A的概率0.5. 结论:可以发现，频率具有不稳定性，但随着试验次数的增加，频率的波动幅度变小，逐渐稳定到一个常数.（借助折线图会更加直观） 作者编号：32100 知新探究 我们还可以利用计算机模拟掷两枚硬币的试验,在重复试验次数为20,100,500时各做5组试验，得到事件A发生的频数nA和频率fn(A)（如下表）. 序号 n=20 n=100 n=500 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 216 0.522 2 9 0.45 50 0.50 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 用折线图表示频率的波动情况 作者编号：32100 知新探究 用折线图表示频率的波动情况 我们发现： ⑴试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性. ⑵从整体来看，频率在概率0.5附近波动. 当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小. 但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大. 作者编号：32100 知新探究 ① 频率是随机的，在实验之前不能确定； ② 概率是一个确定的数，与每次实验无关； ③ 随着实验次数的增加，频率会越来越接近概率. 作者编号：32100 知新探究 大量试验表明: 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性． 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性． 因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 雅各布第一 •伯努利(Jakob I Bernoulli，1654—1705)瑞士数学家，被公认为概率理论的先驱，他给出了著名的大数定律．大数定律阐述了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近． 作者编号：32100 （1）新生儿的男婴出生率： 公元1814年，法国数学家拉普拉斯在他的新作《概率的哲学探讨》一书中，记载了一个有趣的统计.他根据伦敦、彼得堡、柏林和全法国的统计资料，得出了几乎完全一致的男婴和女婴的比值是22:21，即在全体出生婴儿中，男婴占0.512，女婴占0.488. （二）用随机事件的频率估计概率 新知讲解 作者编号：32100 知新探究 【例1】新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数. 通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51. ⑴分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率，精确到0.001)； ⑵根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗? 分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频率；由频率的稳定性，可以估计男婴的出生率. 典型例题 作者编号：32100 知新探究 【例1】新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数. 通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51. ⑴分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率，精确到0.001)； ⑵根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗? 解： 0.532. ⑵由于调查新生儿人数的样本非常大,根据频率的稳定性,上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度. 因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论. ⑴2014年男婴出生频率为 0.537. 2015年男婴出生频率为 由此估计，2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532. 要得到生男孩和生女孩是否等可能的科学判断，还需要用统计学中假设检验的方法进行检验. 作者编号：32100 知新探究 用频率估计概率的步骤： ⑴进行大量的随机试验，得频数； ⑵由频率计算公式,得频率； ⑶由频率与概率的关系，估计概率值. 方法归纳 作者编号：32100 小试身手 1.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？ 解：如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的病人能够治愈． 对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%. 练一练 作者编号：32100 知新探究 【例2】一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜. 判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等. 在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论?为什么? 解： 当游戏玩了10次时，甲乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7． 根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小. 相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近． 而游戏玩到1000次时，甲乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的．因此，应该支持甲对游戏公平性的判断. （二）游戏的公平性 典型例题 作者编号：32100 方法归纳 游戏公平性的标准及判断方法 (1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的． (2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较． 作者编号：32100 知新探究 降水的概率是气象专家根据气象条件和经验,经分析推断得到的.对“降水的概率为90%”比较合理的解释是:大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨. 只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性.如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有90%确实下雨了,那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确. 思考：气象工作者有时用概率预报天气,如某气象台预报“明天的降水概率是90%.如果您明天要出门，最好携带雨具”.如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确.那么如何理解“降水概率是90%”?又该如何评价预报的结果是否准确呢? 作者编号：32100 课堂小结 1.频率的性质： 2.频率与概率的区别与联系 随机性和稳定性．   频率 概率 区别 本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定． 是一个确定的数，是客观存在的，与每次的试验无关． 联系 随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在概率附近，所以当试验次数比较大时，我们常常用频率估计概率． 3.用频率估计概率的应用 本课小结 作者编号：32100 1.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（　　） A.0.56，0.56 B.0.56，0.5 C.0.5，0.5 D.0.5，0.56 解析：正面朝上的频率为＝0.56.由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是0.5，故出现正面朝上的概率为0.5. B 当堂检测 作者编号：32100 2.（多选）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了10次，每次朝上的点数都是6，则下列说法正确的是（　　） A.朝上的点数是6的概率和频率均为1 B.若抛掷10 000次，则朝上的点数是6的概率约为 C.抛掷第11次，朝上的点数一定不是6 D.抛掷6000次，朝上的点数为6的次数大约为1 000次 BD 当堂检测 作者编号：32100 3.有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4. （1）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率； （2）摸球方法与（1）相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由. 当堂检测 作者编号：32100 解（1）记甲、乙摸出的数字为（x，y），则共有16种情况， 则x＞y的有（4，1），（4，2），（4，3），（3，2），（3，1），（2，1），共6种情况，故甲获胜的概率为＝. （2）不公平.理由如下：摸到的球上所标数字相同的情况有（4，4），（3，3），（2，2），（1，1），共4种情况， 故甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝，故不公平. 作者编号：32100 $