精品解析：黑龙江双鸭山市第一学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

双鸭山市第一学期2025～2026学年度 高一（下）学期数学月考试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题（本题包括8个小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上．） 1. 已知，则在复平面内对应的点在第（ ）象限. A. 四 B. 三 C. 二 D. 一 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数的除法化简复数，写出其共轭复数，即可判断对应点所在象限. 【详解】，则， 所以对应点为，在第四象限. 故选：A 2. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b等于（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用正弦定理即可求解． 【详解】，，， 由正弦定理， 可得． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 3. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量定义结合题设直接计算即可得解. 【详解】由题在上的投影向量为. 故选：C. 4. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故选：D 5. 如图， 在△ABC中， 点D是边BC的中点， 则用向量 表示 为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加减法结合图形计算得出线性表示求解, 【详解】 在中， 点D是边BC的中点， 所以， 所以，化简得， 则 .  故选：A 6. 已知飞机从A地按北偏东的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东的方向飞行到达C地，再从C地按西南方向飞行到达D地.则D地距A地（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“上北下南左西右东”建立直角坐标系，结合题意标出各点位置，从而在与中依次求得，从而得解. 【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系． 由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限， 由已知可得，为正三角形，，所以． 又，，则， 所以为等腰直角三角形，所以. 故选：D. 7. 若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量定理的推论得，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为是的边上的一点（不包含端点）且， 可得，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 8. 在中，分别为角所对的边，的面积为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形面积公式求得，由得，再结合余弦定理以及三角恒等变换求得结果. 【详解】由得， ， 从而，又， 所以，， ， ． 故选：B. 二、多选题（本题包括3个小题，每小题6分，共18分．每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请将正确选项填涂在答题卡上．） 9. 已知平面向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.由共线向量定理求解判断；B.利用向量的数量积运算求解判断；C.利用向量的模公式求解判断；D.由向量的夹角公式求解判断. 【详解】A.若，则，解得，故正确； B.若，则，解得，故正确； C.若，或，故错误； D.若，则，解得，故正确， 故选：ABD 10. 有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A. 若∥，∥，则∥ B. 若，则是三角形的垂心 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若∥，则存在唯一实数使得 【答案】AD 【解析】 【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误； 对于选项B，由，得，所以，， 同理，，故是三角形的垂心，所以B正确； 对于选项C，两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确； 对于选项D，当，时，显然有∥，但此时不存在，故D错误. 故选：AD 【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题. 11. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若为钝角，则 C. 当时，若，且是钝角三角形，则 D. 若，则满足条件的三角形有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：利用三角形内角性质结合余弦函数单调性计算即可得；对B：借助三角形内角性质与诱导公式计算即可得；对C：借助余弦定理的推论计算即可得；对D：借助余弦定理计算可得有两解，即可得解. 【详解】对A：由题意可得，又在上单调递减， 若，则，故A正确； 对B：若为钝角，则，故， 故，故B正确； 对C：由，则，故， 设，则，，， 故， 即，化简得， 则，又，有，则，故C错误； 对D：由余弦定理可得， 即，解得， 即有两解，故满足条件的三角形有两个，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题包括3个小题，每小题5分，共15分．请将正确答案填在答题卡中横线上．） 12. 在中，三边长分别为，，，则的面积为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据余弦定理可求解,进而由面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得， 所以,故面积为, 故答案为：3 13. 已知中，是上的点，平分，且面积是面积的倍，，，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线定理可得，利用面积关系可得，最后用余弦定理计算即可. 【详解】 如图所示，设的三个内角对应的边分别为， 由题可知，平分，所以，即， 又面积是面积的2倍，所以， 由，所以，， 又，由余弦定理得， 又，所以． 14. 在中，，，，在边上运动，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可知：，设，化简可得，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，所以. 设，已知在边上运动，，则. 且，， 所以，. 所以，对称轴为， 当时，取得最小值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5题，共77分．解答题应写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤．） 15. 已知向量满足，，若与的夹角为. （1）求； （2）； 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义计算即可； （2）将向量平方再开方，利用模长和数量积求解即可. 【小问1详解】 故答案为:2. 【小问2详解】 故答案为：. 16. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． （1）用表示； （2）如果，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，结合向量加，减，和数乘，即可用基底表示向量； （2）由，可得，从而可得，结合已知可得，最后利用数量模的运算公式结合数量积的运算律求解即可． 【小问1详解】 因为， 所以， ； 【小问2详解】 因为，所以， 所以，由，可得， 又，所以， 所以． 17. 在三角形中，，，分别为角，，所对的边，且三角形的内角均不为钝角，若向量，，且. （1）求； （2）若，且，求，的值. 【答案】（1）；（2），或，. 【解析】 【详解】分析：（1）由两向量的坐标，根据两向量垂直，列出关系式求解即可； （2）利用余弦定理即可. 详解：（1）∵，∴，由正弦定理得， ∵，∴，∴锐角. （2）当时，由余弦定理，得. 解得：，即，或，. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的大小； （2）若，且的面积为，求的长度； （3）若为锐角三角形，，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边化角运算，根据展开化简，再由辅助角公式计算可求出的值； （2）由三角形面积公式和边的等量关系，可求出边，从而求出相应边长，余弦定理即可求出长； （3）法一：根据题意，由余弦定理可求出等量关系，由三角形为锐角三角形建立边的不等式组，求解可解出边的范围，三角形面积公式即可求出结果；法二：正弦定理求解边的范围，代入三角形面积公式可求出结果. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 因为，且， 所以，即， 因为，所以，即； 【小问2详解】 由的面积为，得， ，， 又因为，，，，，， 在中，由余弦定理，得， 所以． 【小问3详解】 法一：由余弦定理，得， 将代入，整理，得， 因为为锐角三角形， ，即，解得：， . 法二：， 因为为锐角三角形， ，，， ，. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题： 已知的内角，，所对的边分别为，，，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案. 【小问1详解】 由已知中， 即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，，，由 得：，整理得， 则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 双鸭山市第一学期2025～2026学年度 高一（下）学期数学月考试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题（本题包括8个小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上．） 1. 已知，则在复平面内对应的点在第（ ）象限. A. 四 B. 三 C. 二 D. 一 2. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b等于（ ） A. B. C. 4 D. 3. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 如图， 在△ABC中， 点D是边BC的中点， 则用向量 表示 为（ ） A. B. C. D. 6. 已知飞机从A地按北偏东的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东的方向飞行到达C地，再从C地按西南方向飞行到达D地.则D地距A地（ ） A. B. C. D. 7. 若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 在中，分别为角所对的边，的面积为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题包括3个小题，每小题6分，共18分．每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请将正确选项填涂在答题卡上．） 9. 已知平面向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A. 若∥，∥，则∥ B. 若，则是三角形的垂心 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若∥，则存在唯一实数使得 11. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若为钝角，则 C. 当时，若，且是钝角三角形，则 D. 若，则满足条件的三角形有两个 三、填空题（本题包括3个小题，每小题5分，共15分．请将正确答案填在答题卡中横线上．） 12. 在中，三边长分别为，，，则的面积为______. 13. 已知中，是上的点，平分，且面积是面积的倍，，，则的长度为______． 14. 在中，，，，在边上运动，则的最小值为________. 四、解答题（本题共5题，共77分．解答题应写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤．） 15. 已知向量满足，，若与的夹角为. （1）求； （2）； 16. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． （1）用表示； （2）如果，且，求． 17. 在三角形中，，，分别为角，，所对的边，且三角形的内角均不为钝角，若向量，，且. （1）求； （2）若，且，求，的值. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的大小； （2）若，且的面积为，求的长度； （3）若为锐角三角形，，求的面积的取值范围． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题： 已知的内角，，所对的边分别为，，，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $