精品解析：重庆市巴蜀中学校2026届高三下学期二模数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合是自然数集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，，所以． 2. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由， 所以． 3. 已知不等式的解集为或，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根与不等式的解集之间的关系求解即可. 【详解】易知是方程的根， 即，所以, 当时，不等式为，即,其解集为或. 故实数的值为1. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角正弦公式及同角的三角函数关系求解即可. 【详解】因为，所以，， ， 整理得，解得， 又，所以． 5. 已知正项等比数列单调递增，是其前项和，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助等比数列定义计算可得其公比，再计算出其首项后利用求和公式计算即可得. 【详解】设数列的公比为 ，则， 即，即，解得或， 由数列单调递增且 ，故， 所以，. 6. 若，将的图象纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，得到的图象，则在区间的最大值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 ，故，当， ，根据三角函数图象可知，的最大值为1. 7. 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（ ） A. 4天 B. 8天 C. 10天 D. 16天 【答案】A 【解析】 【详解】记 为事件“小明戴帽子”，记 为事件“小明戴墨镜”， ，， ， 所以，，（天）. 8. 如图所示，二面角 为，是边长为2的正三角形，若是三棱锥外接球的直径，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作辅助线，设，根据题意分析可知，，，结合余弦定理运算求解即可. 【详解】如图，设的中点为，连接 ， ，则 ，， 因为是三棱锥外接球的直径，则， 且， ，则，可得， 则，可知二面角 的平面角为， 设，则，， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，取最小值 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得，，即可得 ，即可判断A；结合单调性分析数列的正负性，即可得的最值，即可判断BCD. 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，即，可得， 所以公差，故A正确； 可知等差数列为递增数列，当 时，；当 时，； 所以当时，取最小值，故B错误； 所以，，故C错误，D正确． 10. 已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. ， C. D. 在区间上，有2027个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由已知的两个中心对称条件推导出函数周期为，再结合对称关系证明其为奇函数，验证A；再利用对称性求出时的解析式，验证B；接着分析一个周期内的函数值，通过分组求和判断C错误；最后分析函数在区间内的零点分布，得出整数点均为零点，共个，验证选项D． 【详解】对于A，由，得，即， 又，所以，即是以周期为的周期函数， 由，得，所以， 即，所以是奇函数，A正确； 对于B，由，得，所以，B正确； 对于C，，，，， 一个周期内的和：， 所以，C错误； 对于D，是以周期为的周期函数，，， 时， ，，所以， 时， ，，所以， 所以在内的零点有， 而包含 个完整周期， 所以是的零点，共个，D正确． 11. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于 ， 两点， ， 两点均在 轴上方，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则双曲线的渐近线方程为 C. 若是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 D. 若是钝角三角形，直线，的斜率分别是，，则的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义结合等腰直角三角形的性质即可判断A；结合选项A及余弦定理得到，进而得到 ，即可求出渐近线方程，可判断B；根据三角形大角对大边及通径可得到，进而求出，即可判断C；设出直线，的倾斜角， ， 得到，结合两角差正切公式得到，进而得到，结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A：由双曲线的定义可知，，. 令，则，又， 所以是等腰直角三角形， 又，所以， 则，，故A错误； 对于B：在中，， 由余弦定理得，， 整理得，所以，则 ，故渐近线方程为 ，故B正确； 对于C：若是钝角三角形，必有， 则在中，，又，所以，即， 解得，又， 所以，所以， 所以双曲线离心率的取值范围是，故C正确； 对于D：令直线，的倾斜角分别是， ，，，，， 则，即，， 所以， 又，当且仅当时等号成立， 所以，所以，当，时取等号，故D正确． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知 是函数（）的极值点，则 ______． 【答案】2 【解析】 【分析】对函数求导并结合求参数值，注意验证 是否为极值点. 【详解】由题设，且，即， 此时且 ，则， 当 时，，则在上单调递减， 当 时，，则在上单调递增， 所以 是的极小值点，满足题设，故. 13. 已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求得，，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】，， 因为，所以， 解得．所以，， 所以在方向上的投影向量的坐标为． 14. 已知直线与抛物线（）交于 ， 两点， ， 两点均在 轴上方，为抛物线的焦点，若，且 是锐角，则直线的斜率的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】过 作垂直准线于，过 作垂直准线于，过 作于点 ，借助抛物线定义结合锐角性质可得，再利用斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】过 作垂直准线于，过 作垂直准线于，过 作于点 ， 由抛物线定义可得，，令， 则，故，则， 由 是锐角，则， 所以， 则直线的斜率， 所以直线的斜率的取值范围为． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在 中，内角 ， ，满足． （1）求 ； （2）若 为边上一点，，，，求 的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角形的内角和公式结合两角和与差的三角函数公式，求，进而可得角 . （2）先根据推导的关系，再利用向量数量积的运算法则求，最后利用三角形的面积公式求 的面积. 【小问1详解】 由， 所以, 所以，又 为三角形内角，所以， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 又，所以，， 所以面积． 16. 年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初六的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准）． 日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六 上映第 天 票房 （单位：亿元） （1）根据数据建立单日票房 关于上映天数 的线性回归方程，并预测第七日的票房收入（计算结果均保留一位小数）； （2）在某天放映结束后，随机抽取名观众，发现其中有人看过《镖人》，人看过《飞驰人生3》，只有人两部电影均没看过．现从这人中随机抽取人，记为抽取的人中两部电影都看过的人数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 参考公式：，． 【答案】（1），1.6亿元． （2） 的分布列： 数学期望． 【解析】 【分析】（1）先计算，，代入回归系数公式计算即可； （2）根据题意得出的可能取值为 ，分别计算其概率即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以， ， 所以回归方程为：，当时，亿元， 正月初七，预计《镖人》的票房为 亿元． 【小问2详解】 由题意可知，人中同时看过两部电影的只有人， 所以的可能取值为 ， 则，，， 所以的分布列为： 数学期望为． 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线过点，且与椭圆相交于 ， 两点， 为坐标原点，求面积的最大值及此时的方程． 【答案】（1） （2）最大值，的方程为 【解析】 【分析】（1）本问利用椭圆的定义求出，代入点坐标求出，从而求出椭圆标准方程； （2）设直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，表示出三角形面积，利用基本不等式求出面积最大值，从而求出直线方程. 【小问1详解】 解：（1）由两点间距离公式可得，， 根据椭圆的定义可得，所以， 又点在椭圆上，代入得，解得， 因此椭圆的方程为 ． 【小问2详解】 （2）设直线为，，， 联立，化简得， 则，，， ， 由基本不等式得， 当且仅当，即，亦即时等号成立, 此时取最大值为，所以的方程为. 18. 如图，已知立方体的棱长为，点是棱上一动点． （1）当为中点时，为线段 上一点，，求证：面； （2）当在上运动（不包括端点）时，线段 上是否存在点 ，使得面，若存在，请问点 在平面内的轨迹是什么曲线？若不存在，请说明理由； （3）当在上运动（包括端点）时形成一系列点列，其中与重合，是线段的中点，是四棱锥的内切球半径，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点 在平面内的轨迹是抛物线的一部分． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）建系写出各点坐标，通过计算向量点积证明与平面内两条相交直线​、均垂直，从而证得线面垂直； （2）设参数表示点和线段 上的点 ，利用线面平行的向量条件列方程，消参后得到 在平面​内的轨迹，为抛物线的一段； （3）先根据四棱锥体积与表面积公式推导出内切球半径​的表达式，再对进行放缩，结合等比数列求和证明． 【小问1详解】 证明：以 为原点，、、分别为 、 、轴建立如图所示的坐标系， ，，，，， ，，， 所以，即， ，即， 因为，平面，所以面． 【小问2详解】 存在点 使得面，且点 在平面内的轨迹是抛物线的一部分． 理由如下：令，，， 令面的法向量为， ，令，得， 令，， ，， 在平面建立如图所示的坐标系， 令，， 所以，整理得，点 的轨迹方程为， 所以点 在平面内的轨迹是抛物线的一部分． 【小问3详解】 记为四棱锥的表面积，， 所以， ， 所以． 19. 已知函数，． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在上的单调区间； （3）若，，且，满足，求证： ． （参考数据： ） 【答案】（1） （2）的增区间为，无减区间 （3）由（1），（2）知，在上单调递增， 若， ，必有， 若， ，必有， 若 ，必有， ，矛盾， 令，（）， ， 则 ， 所以单调递增， ， 在 上， ，单调递减， ， ， ， 所以， ， 所以， ，即，原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，应用导数的符号研究函数的单调区间； （3）根据题设分析，令并应用极值点偏移思想构造，，再应用导数研究函数符号，结合即可证. 【小问1详解】 由题设且，则 ，所以切线方程为； 【小问2详解】 设，令 ，则， 在上， ， 单调递减， 在上，， 单调递增， ， ， ， 在 上， ，单调递减， 在 上，，单调递增， 所以 ，即 ， 故的增区间为，无减区间； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合是自然数集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 3. 已知不等式的解集为或，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知正项等比数列单调递增，是其前项和，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，将的图象纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，得到的图象，则在区间的最大值是（ ） A. B. 1 C. D. 7. 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（ ） A. 4天 B. 8天 C. 10天 D. 16天 8. 如图所示，二面角 为，是边长为2的正三角形，若是三棱锥外接球的直径，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，取最小值 C. D. 10. 已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. ， C. D. 在区间上，有2027个零点 11. 已知双曲线 ：（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于 ， 两点， ， 两点均在 轴上方，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则双曲线 的渐近线方程为 C. 若是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 D. 若是钝角三角形，直线，的斜率分别是，，则的最小值是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知 是函数（）的极值点，则 ______． 13. 已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 14. 已知直线与抛物线（）交于 ， 两点， ， 两点均在 轴上方，为抛物线的焦点，若，且 是锐角，则直线的斜率的取值范围是______． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在 中，内角 ， ， 满足． （1）求 ； （2）若 为边上一点，，，，求 的面积． 16. 年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初六的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准）． 日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六 上映第 天 票房 （单位：亿元） （1）根据数据建立单日票房 关于上映天数 的线性回归方程，并预测第七日的票房收入（计算结果均保留一位小数）； （2）在某天放映结束后，随机抽取 名观众，发现其中有人看过《镖人》，人看过《飞驰人生3》，只有人两部电影均没看过．现从这 人中随机抽取人，记为抽取的人中两部电影都看过的人数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 参考公式：，． 17. 已知椭圆 的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线过点，且与椭圆 相交于 ， 两点， 为坐标原点，求面积的最大值及此时的方程． 18. 如图，已知立方体的棱长为，点是棱上一动点． （1）当为中点时，为线段上一点，，求证：面； （2）当在上运动（不包括端点）时，线段 上是否存在点 ，使得面，若存在，请问点 在平面内的轨迹是什么曲线？若不存在，请说明理由； （3）当在上运动（包括端点）时形成一系列点列，其中与重合，是线段的中点，是四棱锥的内切球半径，求证：． 19. 已知函数，． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在上的单调区间； （3）若，，且，满足，求证： ． （参考数据： ） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $