精品解析：山东临沂商城实验学校2025-2026学年下学期阶段性学情调研 九年级数学试题

临沂商城实验学校阶段性学情调研 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照．如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共10道小题，每题3分，总分30分） 1. 有理数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，由数轴可知：，即可判断AB；再由，即可判断CD； 【详解】解：由数轴可知：， ∴，；故A、B错误； ∵， ∴， ∴，即，故D错误； ∵， ∴，即，故C正确； 故选：C 2. 已知直线a、b相交，如图所示，下列条件中不能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角度的计算及垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题的关键． 根据垂直的定义及角度的计算、对顶角相等进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴，故该选项不符合题意； C、，不能判定，故该选项符合题意； D、 ∵， ∴， ∴，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 2025年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到23.6万亿美元．用科学记数法表示23.6万亿是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数，先将23.6万亿转化为数字形式，再根据规则确定和的值即可． 【详解】解：23.6万亿． 4. 三角形的外心是（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高的交点 C. 三角形三边垂直平分线的交点 D. 三角形三个内角平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据外心的定义即可选出正确答案. 【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点. 5. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对应运算法则逐一计算选项即可． 【详解】解：对于A选项：，计算错误，不符合题意； 对于B选项：， 计算正确，符合题意； 对于C选项：，计算错误，不符合题意； 对于D选项：， 计算错误，不符合题意． 6. 下面说法正确的个数为（ ） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两点之间，垂线段最短；③如果，，那么；④两直线平行，同位角互补；⑤平行于同一条直线的两条直线互相平行； A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【详解】解：① 根据同一平面内垂直的基本性质，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； ② 两点之间，线段最短，点到直线的所有连线中垂线段最短，原说法错误； ③ 根据等量代换，如果，，那么，正确； ④ 根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，不是互补，原说法错误； ⑤ 根据平行线的传递性，平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确； 综上，正确的说法共有3个． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据同底数幂的逆运算和幂的乘方的逆运算法则得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 8. 如图，在中，，、分别是，上的点，添加下列条件后，仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在和中，已知，为公共角，已经具备一边一角对应相等，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可． 【详解】解：， ， 当时，则根据“”可判断，故A选项不符合题意； 当时，可得，即，则根据“”可判断，故B选项不符合题意； 当时，不能判断，故C选项符合题意； 当时，则根据“”可判断，故D选项不符合题意． 9. 如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形的内角和定理，结合三角形中位线定理可得，由平行线的性质可得的度数，根据三角形的内角和定理以及等边对等角，计算即可得的度数． 【详解】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 10. 如图正方形中，、分别为、的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握正方形中的全等模型和相似模型是解题的关键．先证明，得出，再证明，即可得，将、转化为即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵、分别为、的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大題共5道小题，每题4分，总分20分） 11. 已知，满足方程组，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】将方程组中两个方程作差变形，即可求出的值． 【详解】解： 得，， 整理得，， 等式两边同除以得，． 12. [传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知，，则的度数是______． 【答案】##23度 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定，作，得到，再结合，得到，求出，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图所示：作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 一种长方形餐桌的四周可坐人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．那么需要多少张餐桌拼在一起可坐人用餐？若设需要这样的餐桌张，则_____．     【答案】 【解析】 【分析】根据图形可知，每张桌子有个座位，然后再加两端的各一个，于是张桌子就有个座位，进而列方程解答即可求解． 【详解】解：∵张长方形餐桌的四周可坐人， 张长方形餐桌的四周可坐人， 张长方形餐桌的四周可坐人， ， ∴张长方形餐桌的四周可坐人， 由题意得：， 解得． 14. 如图，E在正方形的内部，，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】作于点，证明，求得，，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作于点， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，． 15. 如图，是2025年5月的月历表，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数字（两个阴影图形可以上下左右移动，也可以重叠覆盖）．设“横3”覆盖的数字之和为m，“竖3”覆盖的数字之和为n，当时，m的最小值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】设“横3”中间数为x，“竖3”中间数为y，由题意得：，，求出，再结合月历表即可求解． 【详解】解：设“横3”中间数为x，“竖3”中间数为y， 由题意得：， ∴， ∴， 结合月历表可知,当“横3”“竖3”的位置如图所示时，m最小，最小值为． 三、解答题（本大题共8道小题，总分70分） 16. （1）计算： ． （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1）10（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，准确计算是解题的关键； （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）先通分，计算括号内的，除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法求值即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ； ∵， ∴， ∴原式． 17. 解方程∶ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边乘以得:， 解得：， 检验：时，， 是原方程的解 18. 在中，． （1）若，，求a，b的值； （2）若，，求，和c的值． 【答案】（1） ， （2） ，， 【解析】 【分析】（1）先根据求出a，再根据勾股定理求出； （2）先根据勾股定理求出，再根据求出，进而得出答案． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， 即， 解得． 根据勾股定理，得， 即， 解得； 【小问2详解】 解：根据勾股定理，得， 即， 解得． 在中，， ∴， 则， ∴． 19. 如图，在四边形中，，过点D作于E，若． （1）求证：； （2）连接交于点，若，求DF的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD，证明四边形BEDG为正方形，得到条件证明△ADE≌△CDG，可得AD=CD； （2）根据∠ADE=30°，AD=6，得到AE，DE，从而可得BE，BG，设DF=x，证明△AEF∽△ABC，得到比例式，求出x值即可． 【详解】解：（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD， ∵∠DEB=∠ABC=∠G=90°，DE=BE， ∴四边形BEDG为正方形， ∴BE=DE=DG，∠BDE=∠BDG=45°， ∵∠ADC=90°，即∠ADE+∠CDE=∠CDG+∠CDE=90°， ∴∠ADE=∠CDG，又DE=DG，∠AED=∠G=90°， ∴△ADE≌△CDG（ASA）， ∴AD=CD； （2）∵∠ADE=30°，AD=6， ∴AE=CG=3，DE=BE==， ∵四边形BEDG为正方形， ∴BG=BE=， BC=BG-CG=-3， 设DF=x，则EF=-x， ∵DE∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴，即， 解得：x=， 即DF的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 20. 如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑板的倾斜角由降为，已知原滑板的长为，点D，B，C在同一水平线上． （1）改善后滑板会加长多少米？ （2）若滑板的正前方有长的空地就能保证安全，原滑板的正前方有长的空地，这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1）米 （2）可行，理由见解析 【解析】 【分析】（1）理解题意，把数值代入计算，得，结合，得，最后把数值代入计算，即可作答． （2）先得出为等腰直角三角形，运用勾股定理列式计算得，根据代入数值计算得，最后计算，即可作答． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， 在中，， ∴ 则 ∴改善后滑板会加长米； 【小问2详解】 解：可行，理由如下： ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵的长为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 而， ∴这样改造可行． 21. 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为，现要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意画出图形，分三种情况进行讨论，利用勾股定理，列方程等进行求解． 【详解】解：①如图1所示，当时， 此时，令， 根据勾股定理得， ∵，且， ∴， ∴扩充后等腰三角形绿地的周长为； ②如图2所示，当时， 此时，令， 由勾股定理得， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴扩充后等腰三角形绿地的周长为； ③如图3所示，当时， 此时，令， 由勾股定理得， 设， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴ ∴扩充后等腰三角形绿地的周长为； 综上，扩充后等腰三角形绿地的周长为或或． 22. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． （1）求，两点的坐标； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定与性质等知识点． （1）令，解一元二次方程即可求解，两点的坐标； （2）过点M作轴于点N，通过证明进行求解即可． 【小问1详解】 解：对于，令，则， ∵， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：将配方得， ∴点M的坐标为． 对于，当， ∴， ∴， ∴， 如答图，过点M作轴于点N，则 ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，又， ∴． 23. 阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 关于“射影定理”的研究报告 如图①，被平行于的光线照射，，于点，在投影面上．那么线段的投影是，线段的投影是．我们可以利用三角形相似证明，这个结论我们称为射影定理． 某数学兴趣小组利用上述结论进行了如下的探究： 已知：如图②，在矩形中，． 求作：等腰直角三角形，使等腰直角三角形的面积等于矩形面积的一半．作法： ①在的延长线上截取； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，连接，即为所求等腰直角三角形． （1）根据上述作法，请在图②中使用尺规完成作图，并标注对应字母； （2）请结合作图过程，证明该小组作法的正确性； （3）结合（1）（2）问的思路，已知正方形，也可以作出与其面积相等的矩形（长宽不等）．如图③，在正方形的边上取一点（不与重合），以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，则矩形即为所求．若是边的三等分点，请求出矩形的长和宽的比值． 【答案】（1）图见解析 （2）见解析 （3）或9 【解析】 【分析】（1）按要求完成作图即可； （2）如图②，以点O为圆心，以的长为半径作半圆O，由作图知点H在半圆O上，连接，证明，得出，进而得出结论； （3）先证明，得出，进而证明；设正方形边长为，分两种情况：当点E为靠近点B的边的三等分点时， 或当点E为靠近点C的边的三等分点时，分别求出结论即可． 【小问1详解】 解：即为所求作； 【小问2详解】 解：如图②，以点O为圆心，以的长为半径作半圆O，由作图知点H在半圆O上，连接， 由作图可知，直线l垂直平分， 是半圆O的直径， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， 在正方形和矩形中，， ， ， ， ， ， ， ； 设正方形边长为， ∵E是边的三等分点， 分两种情况：当点E为靠近点B的边的三等分点时， 则， ， ， ， ； 当点E为靠近点C的边的三等分点时， 则， ， ， ， ； 综上，矩形的长和宽的比值为或9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂商城实验学校阶段性学情调研 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照．如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共10道小题，每题3分，总分30分） 1. 有理数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线a、b相交，如图所示，下列条件中不能得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到23.6万亿美元．用科学记数法表示23.6万亿是（　　） A. B. C. D. 4. 三角形的外心是（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高的交点 C. 三角形三边垂直平分线的交点 D. 三角形三个内角平分线的交点 5. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下面说法正确的个数为（ ） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两点之间，垂线段最短；③如果，，那么；④两直线平行，同位角互补；⑤平行于同一条直线的两条直线互相平行； A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 2个 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，、分别是，上的点，添加下列条件后，仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图正方形中，、分别为、的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大題共5道小题，每题4分，总分20分） 11. 已知，满足方程组，则________． 12. [传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知，，则的度数是______． 13. 一种长方形餐桌的四周可坐人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．那么需要多少张餐桌拼在一起可坐人用餐？若设需要这样的餐桌张，则_____．     14. 如图，E在正方形的内部，，则_____． 15. 如图，是2025年5月的月历表，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数字（两个阴影图形可以上下左右移动，也可以重叠覆盖）．设“横3”覆盖的数字之和为m，“竖3”覆盖的数字之和为n，当时，m的最小值为______． 三、解答题（本大题共8道小题，总分70分） 16. （1）计算： ． （2）先化简，再求值：，其中满足． 17. 解方程∶ ． 18. 在中，． （1）若，，求a，b的值； （2）若，，求，和c的值． 19. 如图，在四边形中，，过点D作于E，若． （1）求证：； （2）连接交于点，若，求DF的长． 20. 如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑板的倾斜角由降为，已知原滑板的长为，点D，B，C在同一水平线上． （1）改善后滑板会加长多少米？ （2）若滑板的正前方有长的空地就能保证安全，原滑板的正前方有长的空地，这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：，） 21. 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为，现要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长． 22. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． （1）求，两点的坐标； （2）若，求的值． 23. 阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 关于“射影定理”的研究报告 如图①，被平行于的光线照射，，于点，在投影面上．那么线段的投影是，线段的投影是．我们可以利用三角形相似证明，这个结论我们称为射影定理． 某数学兴趣小组利用上述结论进行了如下的探究： 已知：如图②，在矩形中，． 求作：等腰直角三角形，使等腰直角三角形的面积等于矩形面积的一半．作法： ①在的延长线上截取； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，连接，即为所求等腰直角三角形． （1）根据上述作法，请在图②中使用尺规完成作图，并标注对应字母； （2）请结合作图过程，证明该小组作法的正确性； （3）结合（1）（2）问的思路，已知正方形，也可以作出与其面积相等的矩形（长宽不等）．如图③，在正方形的边上取一点（不与重合），以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，则矩形即为所求．若是边的三等分点，请求出矩形的长和宽的比值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $