题号猜押04 重庆中考数学21～23题（重庆专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押04 重庆中考数学21~23题 考点1 应用题 1．（2026·重庆育才中学·中考模拟）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 2．（2026·重庆第七中学校·一模）“百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元． (1)请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值． 3．（2026·重庆八中·一模）某科技公司生产服务和工业两种机器人，去年共生产2000台．今年生产线优化升级，服务机器人产量预计比去年增加，工业机器人产量预计比去年增加，则两种机器人总产量预计将比去年共增加380台． (1)求今年服务机器人和工业机器人的产量预计各是多少台？ (2)今年出厂检测时，实际产量与预计相同，公司安排两组工程师同时开始检测工作：A组负责检测服务机器人，B组负责检测工业机器人．已知A组每小时检测效率是B组的1.5倍，最终A组比B组提前30分钟完成任务．问B组每小时检测工业机器人多少台？ 4．（2026·重庆实验外国语学校·第一次适应性考试）年全国政府工作报告强调“大力发展智慧农业”．某地积极引进“智慧大棚”种植草莓和番茄两种作物．该大棚共有个种植槽，每个种植槽可种植草莓或番茄．经系统测算：每个草莓种植槽年产草莓千克，每个番茄种植槽年产番茄千克，这个种植槽全年总产量为千克． (1)该智慧大棚种植草莓和番茄的种植槽各多少个？ (2)经市场调研，每千克草莓的售价比每千克番茄的售价高元．如果用元购买草莓的千克数与用元购买番茄的千克数相同，那么该智慧大棚全年生产的草莓和番茄全部售出后，总销售额为多少元？ 5．（2026·重庆十一中·一模）一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了30km．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的0.8倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 考点2 动点几何+函数图像 6．（2026·重庆三十七中·一模）如图，在中，，点在上，且满足，，动点以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．连接，，设运动时间为秒，的面积记为，的面积记为S，的面积记为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 7．如图，菱形的对角线与交于点O，其中，，．动点P从点B出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点D时停止运动．同时，动点Q以每秒个单位长度的速度从点A出发，沿方向匀速运动，至点C停止．过点Q作交于点M．设运动时间为x秒，的面积为，的周长与的周长之比为． (1)请直接写出、关于x的函数表达式，并标注自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 8．如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 9．（2026·重庆北碚·一模）如图，在菱形 中，对角线 交于点 ，动点 从 出发，以每秒 个单位长度的速度沿折线 运动，同时动点 从 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 运动，当点 到达点 时， 两点同时停止运动． 设运动时间为 秒 的面积为 ， 的面积与点 的运动路程之比为 ． (1)请直接写出 分别关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数 的图象，并写出函数 的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出 时 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）． 10．矩形中，，，动点以的速度从点沿折线运动，连接，同时，动点以的速度从点出发沿射线运动，当点停止运动时点也随之停止运动．过点作于点，设点的运动时间为，记的面积为，记面积的与的运动路程比为，请回答下列问题： (1)请直接写出分别与的函数关系式，并注明自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围：___________（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 考点3 解直角三角形实际应用 11．（2026·重庆第七中学·一模）寒假期间，小金和小童打算奔赴冰韵浓郁的哈尔滨．如图A，B，C，D是四个必打卡的景点，沿途更是风光旖旎，一路美景相伴．该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线：，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，在的北偏东方向，也在的北偏西方向．（参考数据：，） (1)求北环线的长度（结果保留小数点后一位）； (2)小金选择走北环线，小童选择走南环线，两人同时从景点出发，小金在途中发现小童的照相机落在自己背包里了，于是小金决定到之后前往与小童汇合，已知小金的步行速度与小童的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求南环线的长度．（结果保留小数点后一位） 12．（2026·重庆巴蜀中学·一模）如图，某海域捕鱼作业区B位于补给中心的北偏东方向距离海里处，位于岛屿的北偏西方向，岛屿位于补给中心的正东方．（参考数据：，）． (1)求岛屿与捕鱼作业区之间的距离；（结果保留到小数点后一位） (2)某渔船在处监测发现大量鱼群向正西方向迁移，渔船立即向补给中心发送信号并同时以每小时海里的速度向正西方向追赶鱼群．补给中心接到信号后，立即派出另一艘大型渔船从出发（接受信号及通知时间忽略不计），沿正北方向以每小时海里的速度前往协同捕捞．当两船相距海里时，它们开始启动协同捕鱼作业．请问大型渔船出发后多少小时，两船开始启动协同捕鱼作业？（结果保留根号） 13．（2026·重庆一中·一模）阳春三月，校园里的樱花次第绽放，正是开展户外实践的好时节！为了让同学们更好地将数学与地理知识结合，学校地理社团特别策划了一场“定向越野”沙盘模拟挑战赛．在社团活动室的大型沙盘上，指导老师按照的比例尺，精心标注了若干虚拟打卡点，模拟真实野外的定向任务．在这个沙盘平面内：打卡点B位于打卡点A的正南方；打卡点C位于打卡点B的南偏东方向，两点间的沙盘距离为10厘米；打卡点D在打卡点C的正东方5厘米处，同时也在打卡点A的东南方向；打卡点E则在打卡点D的正北方，并且恰好位于打卡点A的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求沙盘上打卡点A、D之间的距离；（结果保留根号） (2)模拟比赛中，小艾从沙盘上的打卡点D出发，沿线段向A匀速移动棋子；小依从打卡点E出发，沿某方向匀速直线移动棋子．两人同时出发，小艾与小依移动棋子的速度之比为，并在线段上某处相遇．当两人相遇时，小艾的棋子移动了多少厘米？（结果精确到） 14．（2026·重庆实验外国语学校·第一次适应性考试）如图，，，，是某科技公司的四个试验基地，且，，，在同一平面内，位于的正东方向处，位于的南偏东方向处，位于的正南方向，位于的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求和两试验基地之间的距离；（结果保留整数） (2)现甲从基地出发沿前往地办公，乙以基地出发沿方向前往基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的倍．当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲距离基地多少千米？（结果保留整数） 15．（2026·重庆十一中·一模）某中学进行游园活动，小花和小刚从入口A处出发，小刚准备前往北偏东方向的B处玩“投壶”，小花准备前往北偏西方向米的C处玩“盲人摸象”．小刚到达点B处后，发现点C在他的北偏西方向．之后小花准备直接前往东北方向的F处玩最火的项目“一吹冲天”；小刚则需要前往北偏东方向的D处找同学拿东西（取东西的时间忽略不计），再前往西北方向20米的F处玩“一吹冲天”项目．（参考数据：，，） (1)求之间的距离； (2)当小刚到达D处时，小花刚好到的中点E处．之后两人同时出发，小刚用的速度走路前往，小花用的速度慢跑前往．小花从E处出发后，经过多少时间，她到小刚的距离是到点F距离的两倍（结果保留小数点后一位）． 1．（2026·重庆第八中学·一模）为推进乡村振兴，某农业合作社组织村民种植两种经济作物——高粱和玉米，去年共收获，今年村民种植技术提升，高粱产量比去年增加，玉米产量比去年增加，两种作物总产量比去年增加． (1)求去年高粱和玉米的产量各是多少千克？ (2)今年收割时，合作社安排两组村民同时开始工作：甲组负责收割高粱，乙组负责收割玉米，已知甲组每小时收割高粱的效率是乙组收割玉米效率的倍，最终甲组比乙组提前分钟完成任务，问乙组每小时收割玉米多少千克？ 2．（2026·重庆兼善中学·一模）列方程解下列问题： 某文具店促销，小明想购买一些笔袋和笔记本．已知购买3个笔袋和2个笔记本共需110元，购买4个笔袋和1个笔记本共需95元． (1)求每个笔袋和笔记本的售价； (2)促销期间，两种商品售价均有所调整，小明分别花费90元和270元购买笔袋和笔记本，且购买的笔袋数量比笔记本数量少．每个笔袋比每个笔记本售价少9元，求促销期间每个笔记本的售价． 3．（2026·重庆江津中学·一模）“江小橙”和“卡拉卡拉”是江津著名的两种广柑．2月份最后一周，某水果代理商共卖出“江小橙”和“卡拉卡拉”广柑800千克，总销售额为8000元．已知“江小橙”广柑每千克售价12元，“卡拉卡拉”广柑每千克售价8元． (1)这一周售出“江小橙”广柑和“卡拉卡拉”广柑各多少千克？ (2)进入3月份后，为尽快清空库存，该代理商对两种水果进行了降价处理．“江小橙”广柑每千克降价的金额比“卡拉卡拉”广柑多2元．经统计，降价后的第一周与2月份最后一周相比，“江小橙”广柑的销售额没有变化，“卡拉卡拉”广柑的销售额提高了800元．这周“江小橙”广柑的销量是“卡拉卡拉”广柑销量的．求“卡拉卡拉”广柑每千克降价的金额． 4．（2026·重庆西南大学附中·一模）为迎接我县景颇族目瑙纵歌节，某商家第一次用6600元购进一批舞蹈扇，深受顾客喜爱，很快售完．第二次又以8000元购进同款舞蹈扇，第一次购进每把舞蹈扇的价格是第二次的倍，且第二次比第一次多购进200把． (1)求第二次购进每把舞蹈扇的价格； (2)商家以每把15元的价格进行销售，当第二次售出时，决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于3840元，则剩余的舞蹈扇每把售价至少要多少元？ 5．（2026·重庆渝北中学·一模）在矩形中，，，点E为的中点，动点P以每秒1个单位的速度从点E沿折线运动，同时动点Q以每秒2个单位的速度沿折线运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接，，．设运动时间为x秒，的面积为，的面积与点P的运动路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并根据图象分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 6．（2026·重庆西南大学附中·一模）如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 7．（2026·重庆南开中学·一模）如图，矩形的对角线、交于点，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，到达点时停止运动，连接，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止．两点同时出发，设运动时间为秒（），连接，点与点之间的距离为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 8．（2026·重庆铜梁一中·一模）如图，在中，，点在上，且满足，，动点以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．连接，，设运动时间为秒，的面积记为，的面积记为S，的面积记为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 9．为助力乡村振兴与智慧农业发展，某智慧农场采用“地面巡检车+低空植保无人机”协同作业模式检测作物生长情况．如图，点，，，在同一平面内，已知点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，且在点的东北方向，点在点正东方向，且在点的正南方向处．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)无人机从点出发沿往处行进检测作物生长情况，巡检车从点出发沿往处行进检测作物生长情况，无人机行进一段路程后发现作物生长数据异常，于是将数据同时传输给指挥中心与巡检车（数据传输瞬时完成），此时无人机行进的路程与无人机到指挥中心的直线距离之比为，且无人机到巡检车的直线距离恰好等于无人机到指挥中心的直线距离，请问无人机传输数据时，巡检车距离指挥中心多少千米？（结果保留小数点后两位） 10．（2026·重庆江津中学·一模）某中学组织学生到高新产业园进行研学活动．如图，学生到达产业园大门处后按组分两条线路进行参观体验，最后前往区（人工智能与大数据平台区）集合．区（新能源装备区）位于大门的正北方400米，区（机器人与智能装备区）位于区的北偏东方向且距离区400米处，区（智慧医疗区）在大门的正东方且在区的正南方．区在区的南偏东方向，且位于区的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求区与区之间的距离．（结果精确到个位） (2)已知第一组学生沿线路①参观体验，第二组学生沿线路②参观体验．两组学生分别参观完区和区后，同时以相同的速度前往区参观、体验，当两组学生在前往区的途中，大数据平台检测到两组学生之间的连线垂直于时，产业园智慧喷泉系统将自动开启，为两组学生送上欢迎水雾，请问，当两组学生之间距离多远时，喷泉将自动开启？ 11．（2026·重庆渝北中学·一模）寒假期间，小渝和小北打算奔赴冰雪浓郁的哈尔滨．如图是四个必打卡的景点，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线：，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，在的北偏东方向，也在的北偏西方向．（参考数据：， (1)求北环线的长度（结果保留根号）； (2)小渝选择走北环线，小北选择走南环线，两人同时从景点出发，小渝在途中发现小北的照相机落在自己背包里了，于是小渝决定到之后前往与小北汇合，已知小渝的步行速度与小北的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求南环线的长度．（结果保留小数点后一位） 12．（2026·重庆南开中学·一模）如图，某海警巡逻舰在处发现正东方向60海里的处有一艘可疑渔船，渔船正以海里/小时的速度沿方向逃窜．已知位于小岛的南偏东方向，小岛位于的西北方向50海里处，且位于的正北方向．（参考数据：） (1)求两点之间的距离（结果保留根号）； (2)发现渔船时，巡逻舰立即从处沿某一方向以海里/小时的速度直线拦截，求渔船被拦截时，该船距离小岛还有多少海里（结果保留小数点后一位）？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押04 重庆中考数学21~23题 考点1 应用题 1．（2026·重庆育才中学·中考模拟）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 【答案】(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹 【来源】2026年重庆育才中学九年级中考模拟试题数学试卷 【分析】（1）设乙每小时分拣量为未知数，根据数量关系表示出甲的分拣量，利用题干给出的数量关系列一元一次方程求解； （2）设升级后乙每小时分拣量为未知数，根据“乙分拣7200件用时 甲分拣7200件用时3小时”列分式方程求解，再计算乙升级后比升级前多分拣的数量即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人每小时分拣件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹.， 根据题意得： ， 解得， 则 ， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； （2）解：设升级后乙机器人每小时分拣件包裹，则升级后甲机器人每小时分拣件包裹， 根据题意得： ， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解， 则（件）， 答：升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹． 2．（2026·重庆第七中学校·一模）“百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元． (1)请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值． 【答案】(1)每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元； (2) 【详解】（1）解：设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元； （2）降价后，书历单价为元，手环单价为元， 根据题意，得， 解得：，经检验，是分式方程的解， 答：的值为． 3．（2026·重庆八中·一模）某科技公司生产服务和工业两种机器人，去年共生产2000台．今年生产线优化升级，服务机器人产量预计比去年增加，工业机器人产量预计比去年增加，则两种机器人总产量预计将比去年共增加380台． (1)求今年服务机器人和工业机器人的产量预计各是多少台？ (2)今年出厂检测时，实际产量与预计相同，公司安排两组工程师同时开始检测工作：A组负责检测服务机器人，B组负责检测工业机器人．已知A组每小时检测效率是B组的1.5倍，最终A组比B组提前30分钟完成任务．问B组每小时检测工业机器人多少台？ 【答案】(1)今年服务机器人产量预计为1380台，工业机器人产量预计为1000台 (2)B组每小时检测工业机器人160台 【详解】（1）解：设去年服务机器人x台，工业机器人y台， ， 解得，， 今年产量： 服务机器人：台， 工业机器人：台， 答：今年服务机器人产量预计为1380台，工业机器人产量预计为1000台； （2）解：设B组每小时检测a台，则A组每小时台， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：B组每小时检测工业机器人160台． 4．（2026·重庆实验外国语学校·第一次适应性考试）年全国政府工作报告强调“大力发展智慧农业”．某地积极引进“智慧大棚”种植草莓和番茄两种作物．该大棚共有个种植槽，每个种植槽可种植草莓或番茄．经系统测算：每个草莓种植槽年产草莓千克，每个番茄种植槽年产番茄千克，这个种植槽全年总产量为千克． (1)该智慧大棚种植草莓和番茄的种植槽各多少个？ (2)经市场调研，每千克草莓的售价比每千克番茄的售价高元．如果用元购买草莓的千克数与用元购买番茄的千克数相同，那么该智慧大棚全年生产的草莓和番茄全部售出后，总销售额为多少元？ 【答案】(1)该智慧大棚种植草莓的种植槽个，种植番茄的种植槽个； (2)该智慧大棚全年总销售额为元． 【来源】重庆实验外国语学校2026年第一次适应性考试 数学试题 【分析】（）设该智慧大棚种植草莓的种植槽有个，则种植番茄的种植槽有个，然后列出方程，再解方程即可； （）设每千克番茄的售价为元，则每千克草莓的售价为元，根据题意得 ，然后解方程并检验，再结合第一问的产量计算总销售额即可． 【详解】（1）解：设该智慧大棚种植草莓的种植槽有个，则种植番茄的种植槽有个， 根据题意得， 解得：， 则， 答：该智慧大棚种植草莓的种植槽个，种植番茄的种植槽个； （2）解：设每千克番茄的售价为元，则每千克草莓的售价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 则草莓售价为，草莓总产量为（千克），番茄总产量为（千克）， ∴总销售额为：（元）， 答：该智慧大棚全年生产的草莓和番茄全部售出后总销售额为元． 5．（2026·重庆十一中·一模）一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了30km．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的0.8倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 【答案】(1)原计划的行驶速度为 (2)以原计划速度行驶的路程为70km 【详解】（1）解：设原计划的行驶速度为， 由题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原计划的行驶速度为． （2）解：设以原计划速度行驶的路程为ykm， 由题意得：， 解得：． 答：以原计划速度行驶的路程为． 考点2 动点几何+函数图像 6．（2026·重庆三十七中·一模）如图，在中，，点在上，且满足，，动点以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．连接，，设运动时间为秒，的面积记为，的面积记为S，的面积记为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)； (2)图象和性质见解析 (3) 【详解】（1）解：∵动点以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动，， ∴当点E运动到点B时，时间（秒），当点E运动到点C时，时间（秒）， ∴当时，点E在上， ∴ ∵在中，，， ∴； 当时，点E在上， ∴ ∴； 综上所述，； ∵， ∴ ∴； （2）解：列表如下： x 0 2 4 6 8 6 3 3 6 4 2 1 画图象如下： 函数的一条性质为：函数图象关于直线对称； 函数的一条性质为：y随x的增大而减小； （3）解：由图象可得，当时，． 7．如图，菱形的对角线与交于点O，其中，，．动点P从点B出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点D时停止运动．同时，动点Q以每秒个单位长度的速度从点A出发，沿方向匀速运动，至点C停止．过点Q作交于点M．设运动时间为x秒，的面积为，的周长与的周长之比为． (1)请直接写出、关于x的函数表达式，并标注自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2)画图见解析，当时，随着x的增大而增大（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， 当点P在上，即， 过点P作于H， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 当点P在上，即， 过点P作于H， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：画出函数图象如图所示： 由图象可得，当时，随着x的增大而增大； （3）解：由图象可得，当时，x的取值范围为． 8．如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见解析，当时，有最大值8（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：过点D作交延长线于点H ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ 当时，； 当时，； ∴； ∵的面积 ∴； （2）解：∵， 列表如下： 2 4 6 4 8 0 4 2 画图如下： 由图象得，当时，有最大值8（答案不唯一）； （3）解：由图象得，当时x的取值范围为． 9．（2026·重庆北碚·一模）如图，在菱形 中，对角线 交于点 ，动点 从 出发，以每秒 个单位长度的速度沿折线 运动，同时动点 从 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 运动，当点 到达点 时， 两点同时停止运动． 设运动时间为 秒 的面积为 ， 的面积与点 的运动路程之比为 ． (1)请直接写出 分别关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数 的图象，并写出函数 的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出 时 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）． 【答案】(1)； (2)见解析：当时，随的增大而增大； (3) 【详解】（1）解：过点作于点， ∵菱形中， ∴ ∴ 当时，，， ∴ 当时，，， ∴， ∵，点的运动路程为：， ∴ （2） 当时，随的增大而增大； （3）由图象可知： 10．矩形中，，，动点以的速度从点沿折线运动，连接，同时，动点以的速度从点出发沿射线运动，当点停止运动时点也随之停止运动．过点作于点，设点的运动时间为，记的面积为，记面积的与的运动路程比为，请回答下列问题： (1)请直接写出分别与的函数关系式，并注明自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围：___________（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2)图见解析，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 (3)或 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴，，， 当点在上时，此时，， 作于点， 则， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当点在上时，此时，，， ∴； ∵的面积， ∴， 综上，，； （2）解：①画的图象： 列表： 9 6 描点，连线，如图； ②画的图象， 列表： 8 9 8 2 1 描点，连线如图： 性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）解：观察图象，当时，两个函数的交点的横坐标约为， 所以当时，两个函数的交点的横坐标为， 综合图象可知，时，的取值范围为或． 考点3 解直角三角形实际应用 11．（2026·重庆第七中学·一模）寒假期间，小金和小童打算奔赴冰韵浓郁的哈尔滨．如图A，B，C，D是四个必打卡的景点，沿途更是风光旖旎，一路美景相伴．该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线：，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，在的北偏东方向，也在的北偏西方向．（参考数据：，） (1)求北环线的长度（结果保留小数点后一位）； (2)小金选择走北环线，小童选择走南环线，两人同时从景点出发，小金在途中发现小童的照相机落在自己背包里了，于是小金决定到之后前往与小童汇合，已知小金的步行速度与小童的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求南环线的长度．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点作于点，如图： 、、 ， ，， ，， ， 答：北环线的长度为； （2）解：过点C作的延长线于点，如图所示： 、， 设小金的步行速度为，小童的步行速度为，两人步行时间为小时， ， ，， ， 在中，由勾股定理得，， ∵小金与小童两人同时到达景点C， ∴， 整理得，， ， 解得， 因此南环线的长度为 答：南环线的长度为． 12．（2026·重庆巴蜀中学·一模）如图，某海域捕鱼作业区B位于补给中心的北偏东方向距离海里处，位于岛屿的北偏西方向，岛屿位于补给中心的正东方．（参考数据：，）． (1)求岛屿与捕鱼作业区之间的距离；（结果保留到小数点后一位） (2)某渔船在处监测发现大量鱼群向正西方向迁移，渔船立即向补给中心发送信号并同时以每小时海里的速度向正西方向追赶鱼群．补给中心接到信号后，立即派出另一艘大型渔船从出发（接受信号及通知时间忽略不计），沿正北方向以每小时海里的速度前往协同捕捞．当两船相距海里时，它们开始启动协同捕鱼作业．请问大型渔船出发后多少小时，两船开始启动协同捕鱼作业？（结果保留根号） 【答案】(1)岛屿与捕鱼作业区之间的距离为海里 (2)大型渔船出发后经过小时，两船开始启动协同捕鱼作业 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意得：海里，，， 在中，（海里）， 在中， （海里）． 答：岛屿与捕鱼作业区之间的距离为海里． （2）解：如图，设大型渔船出发后经过小时，两船可以开始启动协同捕鱼作业．此时大型渔船到达点，渔船到达点，过点作交延长线于点， 由题意可知：大型渔船行驶路程海里，渔船行驶路程海里，海里， 由（1）可知，海里， 在中，（海里）， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴海里，海里， ∴海里，海里， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴  ， ∴． 答：大型渔船出发后经过小时后，两船开始启动协同捕鱼作业． 13．（2026·重庆一中·一模）阳春三月，校园里的樱花次第绽放，正是开展户外实践的好时节！为了让同学们更好地将数学与地理知识结合，学校地理社团特别策划了一场“定向越野”沙盘模拟挑战赛．在社团活动室的大型沙盘上，指导老师按照的比例尺，精心标注了若干虚拟打卡点，模拟真实野外的定向任务．在这个沙盘平面内：打卡点B位于打卡点A的正南方；打卡点C位于打卡点B的南偏东方向，两点间的沙盘距离为10厘米；打卡点D在打卡点C的正东方5厘米处，同时也在打卡点A的东南方向；打卡点E则在打卡点D的正北方，并且恰好位于打卡点A的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求沙盘上打卡点A、D之间的距离；（结果保留根号） (2)模拟比赛中，小艾从沙盘上的打卡点D出发，沿线段向A匀速移动棋子；小依从打卡点E出发，沿某方向匀速直线移动棋子．两人同时出发，小艾与小依移动棋子的速度之比为，并在线段上某处相遇．当两人相遇时，小艾的棋子移动了多少厘米？（结果精确到） 【答案】(1)厘米 (2)小艾的棋子移动了约厘米． 【详解】（1）解：过点作, 交的延长线于点， 点位于点的南偏东方向，厘米， 在中， 厘米， 厘米， 点在点的正东方5厘米处， 厘米且, 厘米， 点在点的东南方向， ， 厘米， 在中，由勾股定理得： 厘米； 答：打卡点之间的距离为厘米 （2）解：过点作于点， 点在点的北偏东方向，点在点的东南方向， ， 在中 , 设, 则， 在中 , ， ， ， 又， ， （厘米）， 设两人在上的点相遇， 小艾与小依的速度比为， 设， 过点作于点， 在中 , ， 在中， , ， ， ， ， （厘米） 答：小艾的棋子移动了约厘米． 14．（2026·重庆实验外国语学校·第一次适应性考试）如图，，，，是某科技公司的四个试验基地，且，，，在同一平面内，位于的正东方向处，位于的南偏东方向处，位于的正南方向，位于的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求和两试验基地之间的距离；（结果保留整数） (2)现甲从基地出发沿前往地办公，乙以基地出发沿方向前往基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的倍．当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲距离基地多少千米？（结果保留整数） 【答案】(1)和两试验基地之间的距离约为 (2)当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲距离基地 【来源】重庆实验外国语学校2026年第一次适应性考试 数学试题 【分析】（1）作于，作于，在中，解直角三角形可求得，，进而得到，证明四边形为矩形，得到，在中，解直角三角形可求得,进而可得，即可得到； （2）如图，当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲运动到点处，乙运动到点处，作于点，连接，则，设，可表示出，，，在中，解直角三角形可表示出，，，在中，根据勾股定理列一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：如图，作于，作于． 由题意得，，， ， 在中，， ， ． ，，， 四边形为矩形，， ，， ， 在中，, ， ， 即和两试验基地之间的距离约为； （2）解：如图，当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲运动到点处，乙运动到点处， 作于点，连接，则，， 设，则， 甲乙同时出发，且乙的速度是甲速度的倍， ， ． 在中，，． ． 在中，根据勾股定理得：， 即， 整理得， 解得，（负值，舍去）． 答：当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲距离基地． 15．（2026·重庆十一中·一模）某中学进行游园活动，小花和小刚从入口A处出发，小刚准备前往北偏东方向的B处玩“投壶”，小花准备前往北偏西方向米的C处玩“盲人摸象”．小刚到达点B处后，发现点C在他的北偏西方向．之后小花准备直接前往东北方向的F处玩最火的项目“一吹冲天”；小刚则需要前往北偏东方向的D处找同学拿东西（取东西的时间忽略不计），再前往西北方向20米的F处玩“一吹冲天”项目．（参考数据：，，） (1)求之间的距离； (2)当小刚到达D处时，小花刚好到的中点E处．之后两人同时出发，小刚用的速度走路前往，小花用的速度慢跑前往．小花从E处出发后，经过多少时间，她到小刚的距离是到点F距离的两倍（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)之间的距离为 (2)经过秒后，小花到小刚的距离是到点F距离的两倍 【来源】重庆市第十一中学校2025-2026学年下学期九年级数学 3月学情自测试卷 【分析】（1）延长，交于点M，由求出，，，，则可求出，，，得出，可得．再求出．分别在中和中进行解直角三角形即可． （2）当小花到小刚的距离是到点F距离的两倍时，设小花的位置为点，小刚的位置为点，即，得出，列式求解即可． 【详解】（1）解：延长，交于点M， 由题意得：，，， ∴，，， ∴，， ，， ，，， ∴， ． ． ， ， ， ∴． 在中，， ，． 在中，， ， ． ，． 之间的距离为． （2）解：点E为的中点， ， ， 当小花到小刚的距离是到点F距离的两倍时，设小花的位置为点，小刚的位置为点， 即，∴， 设经过t秒后，小花到小刚的距离是到点F距离的两倍， ， 解得：． 又，． ，， 经过秒后，小花到小刚的距离是到点F距离的两倍． 1．（2026·重庆第八中学·一模）为推进乡村振兴，某农业合作社组织村民种植两种经济作物——高粱和玉米，去年共收获，今年村民种植技术提升，高粱产量比去年增加，玉米产量比去年增加，两种作物总产量比去年增加． (1)求去年高粱和玉米的产量各是多少千克？ (2)今年收割时，合作社安排两组村民同时开始工作：甲组负责收割高粱，乙组负责收割玉米，已知甲组每小时收割高粱的效率是乙组收割玉米效率的倍，最终甲组比乙组提前分钟完成任务，问乙组每小时收割玉米多少千克？ 【答案】(1)去年高粱的产量是千克，去年玉米的产量是千克； (2)乙组每小时收割玉米千克． 【详解】（1）解：设去年春季高粱的产量是千克，去年玉米的产量是千克， 根据题意得：， 解得：， 答：去年高粱的产量是千克，去年玉米的产量是千克； （2）解：设乙组每小时收割玉米千克，则甲组每小时收割高粱千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：乙组每小时收割玉米千克． 2．（2026·重庆兼善中学·一模）列方程解下列问题： 某文具店促销，小明想购买一些笔袋和笔记本．已知购买3个笔袋和2个笔记本共需110元，购买4个笔袋和1个笔记本共需95元． (1)求每个笔袋和笔记本的售价； (2)促销期间，两种商品售价均有所调整，小明分别花费90元和270元购买笔袋和笔记本，且购买的笔袋数量比笔记本数量少．每个笔袋比每个笔记本售价少9元，求促销期间每个笔记本的售价． 【答案】(1)每个笔袋的售价为16元，每个笔记本的售价为31元 (2)促销期间笔记本售价为27元． 【详解】（1）解：设每个笔袋的售价为x元，每个笔记本的售价为y元， 由题意得，， 解得， 答：每个笔袋的售价为16元，每个笔记本的售价为31元； （2）解：设小明购买m个笔记本，则购买个笔袋， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：促销期间每个笔记本的售价为27元． 3．（2026·重庆江津中学·一模）“江小橙”和“卡拉卡拉”是江津著名的两种广柑．2月份最后一周，某水果代理商共卖出“江小橙”和“卡拉卡拉”广柑800千克，总销售额为8000元．已知“江小橙”广柑每千克售价12元，“卡拉卡拉”广柑每千克售价8元． (1)这一周售出“江小橙”广柑和“卡拉卡拉”广柑各多少千克？ (2)进入3月份后，为尽快清空库存，该代理商对两种水果进行了降价处理．“江小橙”广柑每千克降价的金额比“卡拉卡拉”广柑多2元．经统计，降价后的第一周与2月份最后一周相比，“江小橙”广柑的销售额没有变化，“卡拉卡拉”广柑的销售额提高了800元．这周“江小橙”广柑的销量是“卡拉卡拉”广柑销量的．求“卡拉卡拉”广柑每千克降价的金额． 【答案】(1)这一周售出“江小橙”广柑400千克，售出“卡拉卡拉”广柑400千克 (2)“卡拉卡拉”广柑每千克降价4元 【详解】（1）设这一周售出“江小橙”广柑千克，售出“卡拉卡拉”广柑千克， 根据题意可得 解得 答：这一周售出“江小橙”广柑千克，“卡拉卡拉”广柑千克； （2）解：设“卡拉卡拉”广柑每千克降价元，则“江小橙”广柑每千克降价元， 由题意得，， 解得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解，且符合实际意义， 答：“卡拉卡拉”广柑每千克降价4元． 4．（2026·重庆西南大学附中·一模）为迎接我县景颇族目瑙纵歌节，某商家第一次用6600元购进一批舞蹈扇，深受顾客喜爱，很快售完．第二次又以8000元购进同款舞蹈扇，第一次购进每把舞蹈扇的价格是第二次的倍，且第二次比第一次多购进200把． (1)求第二次购进每把舞蹈扇的价格； (2)商家以每把15元的价格进行销售，当第二次售出时，决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于3840元，则剩余的舞蹈扇每把售价至少要多少元？ 【答案】(1)第二次购进每把舞蹈扇的价格为10元 (2)剩余的舞蹈扇每把的售价至少为14元 【详解】（1）解：设第二次购进每把舞蹈扇的价格为元；那么第一次购进每把舞蹈扇的价格为元． 根据题意得， 两边同乘得：， ∴， 解得：， 检验：当时，，所以是原方程的解． 答：第二次购进每把舞蹈扇的价格为10元． （2）解：设剩余的舞蹈扇每把的售价至少为元． 根据题意得， 整理得， ∴， 解得：， 答：剩余的舞蹈扇每把的售价至少为14元． 5．（2026·重庆渝北中学·一模）在矩形中，，，点E为的中点，动点P以每秒1个单位的速度从点E沿折线运动，同时动点Q以每秒2个单位的速度沿折线运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接，，．设运动时间为x秒，的面积为，的面积与点P的运动路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并根据图象分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)图象见解析；性质：当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小；性质：当时，随x增大而减小（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：∵在矩形中，，，点E为的中点， ∴，，，， 由题意得当点Q到达点D时，用时，当点P到达点B时，用时， 当时，点Q在上运动，点P在上运动，此时如图， ∴， ∴； 当时，点Q在上运动，点P在上运动，此时如图， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 综上，，． （2）解：，的图象如图所示： 性质：当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小； 性质：当时，随x增大而减小；（答案不唯一） （3）解：当时，由得， 则（负值舍去）， 由图可知时x的取值范围即的图象在的图象下方时自变量x的取值范围， 由图可知． 6．（2026·重庆西南大学附中·一模）如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见解析，当时，有最大值8（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：过点D作交延长线于点H ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ 当时，； 当时，； ∴； ∵的面积 ∴； （2）解：∵， 列表如下： 2 4 6 4 8 0 4 2 画图如下： 由图象得，当时，有最大值8（答案不唯一）； （3）解：由图象得，当时x的取值范围为． 7．（2026·重庆南开中学·一模）如图，矩形的对角线、交于点，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，到达点时停止运动，连接，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止．两点同时出发，设运动时间为秒（），连接，点与点之间的距离为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 当时，由题意知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 当时，， 综上，， 如图，过点作于，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积， 又∵的面积， ∴， 即； （2）解：画函数图象如下： 由函数图象可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）解：由函数图象可知，当时，， ∴时的取值范围是． 8．（2026·重庆铜梁一中·一模）如图，在中，，点在上，且满足，，动点以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．连接，，设运动时间为秒，的面积记为，的面积记为S，的面积记为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)； (2)图象和性质见解析 (3) 【详解】（1）解：∵动点以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动，， ∴当点E运动到点B时，时间（秒），当点E运动到点C时，时间（秒）， ∴当时，点E在上， ∴ ∵在中，，， ∴； 当时，点E在上， ∴ ∴； 综上所述，； ∵， ∴ ∴； （2）解：列表如下： x 0 2 4 6 8 6 3 3 6 4 2 1 画图象如下： 函数的一条性质为：函数图象关于直线对称； 函数的一条性质为：y随x的增大而减小； （3）解：由图象可得，当时，． 9．为助力乡村振兴与智慧农业发展，某智慧农场采用“地面巡检车+低空植保无人机”协同作业模式检测作物生长情况．如图，点，，，在同一平面内，已知点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，且在点的东北方向，点在点正东方向，且在点的正南方向处．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)无人机从点出发沿往处行进检测作物生长情况，巡检车从点出发沿往处行进检测作物生长情况，无人机行进一段路程后发现作物生长数据异常，于是将数据同时传输给指挥中心与巡检车（数据传输瞬时完成），此时无人机行进的路程与无人机到指挥中心的直线距离之比为，且无人机到巡检车的直线距离恰好等于无人机到指挥中心的直线距离，请问无人机传输数据时，巡检车距离指挥中心多少千米？（结果保留小数点后两位） 【答案】(1) (2)无人机传输数据时，巡检车距离指挥中心千米 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， 由题意可知，，，，， ，， 在中，， ， 四边形是矩形， ， 在中，； （2）解：如图，无人机所在位置记为点，巡检车所在位置记为点，过点作于点，交于点， ， ， 易知，和是等腰直角三角形， ，， 根据题意可得，，， ， 设， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， 在中，， ， 整理得， 解得（负值已舍去）， 即， ． 答：无人机传输数据时，巡检车距离指挥中心千米． 10．（2026·重庆江津中学·一模）某中学组织学生到高新产业园进行研学活动．如图，学生到达产业园大门处后按组分两条线路进行参观体验，最后前往区（人工智能与大数据平台区）集合．区（新能源装备区）位于大门的正北方400米，区（机器人与智能装备区）位于区的北偏东方向且距离区400米处，区（智慧医疗区）在大门的正东方且在区的正南方．区在区的南偏东方向，且位于区的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求区与区之间的距离．（结果精确到个位） (2)已知第一组学生沿线路①参观体验，第二组学生沿线路②参观体验．两组学生分别参观完区和区后，同时以相同的速度前往区参观、体验，当两组学生在前往区的途中，大数据平台检测到两组学生之间的连线垂直于时，产业园智慧喷泉系统将自动开启，为两组学生送上欢迎水雾，请问，当两组学生之间距离多远时，喷泉将自动开启？ 【答案】(1)区与区之间的距离米； (2)当两组学生之间距离米时，喷泉将自动开启 【详解】（1）解：如图，过作交直线于，于， 由题意可得：，，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵中，，， ∴， ∵中，，， ∴，， ∴， 即区与区之间的距离米． （2）解：设当两组学生在前往区的途中，， 根据题意可得， 由（1）可得，， 设， ∴，， ∵中，，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴当两组学生之间距离米时，喷泉将自动开启． 11．（2026·重庆渝北中学·一模）寒假期间，小渝和小北打算奔赴冰雪浓郁的哈尔滨．如图是四个必打卡的景点，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线：，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，在的北偏东方向，也在的北偏西方向．（参考数据：， (1)求北环线的长度（结果保留根号）； (2)小渝选择走北环线，小北选择走南环线，两人同时从景点出发，小渝在途中发现小北的照相机落在自己背包里了，于是小渝决定到之后前往与小北汇合，已知小渝的步行速度与小北的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求南环线的长度．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点作于点，如图： 、、 ， ，， ，， ， 答：北环线的长度为； （2）解：过点C作的延长线于点，如图所示： 、， 设小渝的步行速度为，小北的步行速度为，两人步行时间为小时， ， ，， ， 在中，由勾股定理得，， ∵小渝与小北两人同时到达景点C， ∴， 整理得，， ， 解得， 因此南环线的长度为 ， 答：南环线的长度为． 12．（2026·重庆南开中学·一模）如图，某海警巡逻舰在处发现正东方向60海里的处有一艘可疑渔船，渔船正以海里/小时的速度沿方向逃窜．已知位于小岛的南偏东方向，小岛位于的西北方向50海里处，且位于的正北方向．（参考数据：） (1)求两点之间的距离（结果保留根号）； (2)发现渔船时，巡逻舰立即从处沿某一方向以海里/小时的速度直线拦截，求渔船被拦截时，该船距离小岛还有多少海里（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)海里 (2)海里 【详解】（1）解：过C作， 由题意知，海里，海里，， 在中，海里， 海里， ， ， 海里， 两点之间的距离海里； （2）解：设在G处渔船被拦截，如图，连接，过G作， 渔船正以海里/小时的速度沿方向逃窜，巡逻舰从处沿某一方向以海里/小时的速度直线拦截， ， 设海里，海里， ， ， ， ， 海里， 海里，海里， ， ， 解得（负值舍去）， 海里， 海里， 答：该船距离小岛还有海里． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $