精品解析：2026年山西吕梁市交城县初中学业水平测试信息卷 数学

2026年山西省初中学业水平测试信息卷 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 5．本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必追究法律责任！ 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 如图，点A，B在数轴上，其对应的有理数分别是a和b．下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 原始部落对大自然的崇拜是图腾产生的基础．运用图腾解释神话、古典记载及民俗民风，是人类历史上最早的一种文化现象．下列图腾图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行 5. 如图，在平行四边形中，点E为对角线上一点，连接并延长至点F，使得，连接．若，，则的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 7. 2025年11月25日、神舟二十二号飞船发射任务取得圆满成功．为进一步增强同学们对航天知识的了解、某实验学校组织了以“青春飞扬，筑梦远航”为主题的航天知识竞赛．甲、乙两个班各派5名学生参加，两个班学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连结，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是（ ） A. B. C. D. 9. 在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率与做功所用的时间成反比例函数关系，图象如图所示．当时，P的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为的正六边形中，以为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解______． 12. 智能农机装备的推广是山西特色农业现代化发展的核心方向之一．某款用于临县红枣种植的智能采摘机器人，其单个机械臂平均即可完成一颗红枣的采摘．若该机器人搭载m个机械臂，与熟练采摘工人同时工作，已知工人平均可采摘一颗红枣，则机器人在这段时间内可比工人多采摘________颗红枣． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转后点的坐标为________． 14. “以史为鉴，可以知兴替”，历史蕴含着国家与民族的共同记忆．在四张形状、大小相同，质地无差别的卡片上（如图），分别用图案表示了四个不同历史事件：鸦片战争、三大改造、五四运动、抗美援朝．将卡片置于不透明的箱子中，摇匀后随机抽取两张，则所抽取卡片中的事件都发生于新中国成立以后的概率为________． 15. 如图，四边形是正方形，点E在边上，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，，分别交于点M，N，过点F作的垂线交的延长线于点G，连接．若，，则的长度为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，直线与双曲线分别交于点，点B，与x轴交于点C，过点A作线段垂直x轴于点D，，连接． （1）求直线与双曲线的解析式； （2）求的面积． 18. 某学校九年级组织了国防军事研学活动，为了解学生对国防军事知识的掌握情况，学校于活动后组织九年级学生进行了国防知识竞赛，为科学分析竞赛结果，学校教务处从九年级参赛学生中随机抽取50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析． 【整理数据】 a．学生成绩统计图如图所示（数据分为五组：，，，，）； b．在这一组的成绩是80、80、80、81、81、82、83、84、84、85、85、87、88、89、89、89． 【描述数据】 抽取学生成绩的频数分布表 成绩x/分 频数 2 5 m n 13 【分析数据】 根据以上信息，完成下列问题： （1）统计表中的________，________，样本容量________； （2）在扇形统计图中，这组数据所在扇形的圆心角度数是________，并将频数分布直方图补充完整； （3）如果成绩不低于85分为“优秀”，若九年级共有2000名学生，请你估计本次国防军事知识竞赛中九年级“优秀”的学生共有多少人． 19. 某黄花种植专业合作社响应乡村振兴号召，扩大标准化种植规模，今年黄花迎来丰收．合作社计划租用专业采收机完成采收作业，现有甲、乙两种型号的采收机可供选择．已知每台乙型号采收机每天比每台甲型号采收机多采收10亩，且每台甲型号采收机采收200亩黄花所用的时间与每台乙型号采收机采收300亩黄花所用的时间相同．求甲、乙两种型号的采收机每台每天分别采收黄花的亩数． 20. 项目学习 【问题情境】 应县木塔位于山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，是我国古建筑中的瑰宝，世界木结构建筑的典范． 【问题提出】 某校数学兴趣小组利用所学数学知识测量应县木塔的高度．兴趣小组分别制订了两个测量方案，在课余时间完成了实地测量，相关方案数据如下． 【方案设计】 如图，点，，三点在同一条直线上．在处观测塔顶的仰角为，在处观测塔顶的仰角为．测量数据：，，． 【问题解决】 根据方案的测量数据，求出应县木塔的高度．（参考数据：，，，．结果保留整数） 21. 阅读与思考 下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数 一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 如图1，点C为线段上一点，点C把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点C是线段的一个黄金分割点，k为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程： 设，，则， …… 任务： （1）概念理解：根据材料可知，一条线段有________个黄金分割点； （2）补全材料中求黄金分割数k的解答过程； （3）拓展应用：如图2，利用无刻度的直尺和圆规，作线段的黄金分割点C，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 22. 某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为米，与的数量变化有一定规律． 【提出问题】 喷出的抛物线形水线距离湖面高度为米与距喷水的柱子的水平距离米，与之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小敏对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据： （米） … 0 1 2 3 4 … （米） … 2 2 … 【解决问题】 （1）在建立如图1所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； （2）已知与之间存在已学过的某种函数关系，请结合表中所给数据和所画出的图象，求出与之间的函数关系式； （3）现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过．如果游船宽度为米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于米，问游船能否顺利通过？说明理由． （4）如图2，若从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏．这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏？（结果保留） 23. 【问题提出】如图，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究线段、和线段的数量关系如下： 【尝试探究】小明同学研究思路如下： （1）观察猜想：； （2）分析问题：这是一个不共线的线段和问题，通常可以通过“截长”或“补短”的方法将其中两条不共线的线段转化为共线线段； （3）制定方案：通过“截长”发现此路不通，于是采取“补短”的方法解决问题； （4）实施方案：延长到点，使得，连接，从而解决问题． 请你帮助小明完成对猜想的证明； 【模型建立】如图，若将沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，上述猜想的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图，已知是边长为的等边三角形，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，请直接写出的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山西省初中学业水平测试信息卷 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 5．本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必追究法律责任！ 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 如图，点A，B在数轴上，其对应的有理数分别是a和b．下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据数轴确定、的取值范围，再结合有理数的加减运算、绝对值的性质，逐一分析选项的正误． 【详解】解：由数轴可知：，，且． 选项A： ， ，故A项错误． 选项B： ， ， ，故B项错误． 选项C： ，且 ， ， 故C项正确． 选项D： ， ， 又 ， ，故D项错误． 2. 原始部落对大自然的崇拜是图腾产生的基础．运用图腾解释神话、古典记载及民俗民风，是人类历史上最早的一种文化现象．下列图腾图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、它既是中心对称图形又是轴对称图形； B、它是中心对称图形，但不是轴对称图形； C、它是轴对称图形，但不是中心对称图形； D、它是中心对称图形，但不是轴对称图形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法、积的乘方法则计算，再判断选项即可． 【详解】解：对于选项A，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ， A计算错误； 对于选项B，根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘， ， B计算错误； 对于选项C，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减， ， C计算正确； 对于选项D，根据积的乘方法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再将结果相乘， ， D计算错误． 4. 要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，方案Ⅰ中利用证明即可；方案Ⅱ中利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：方案Ⅰ：在与中， ， ∴， ∴； 方案Ⅱ：在与中， ， ∴， ∴， 故选：D． 5. 如图，在平行四边形中，点E为对角线上一点，连接并延长至点F，使得，连接．若，，则的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的判定与性质，先连接交于点O，结合平行四边形的性质以及，得，再计算出的长度，即可作答． 【详解】解：连接交于点O，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点， ∵ ∴是的中位线， ∴ ∴． 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可． 【详解】解： 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为. 7. 2025年11月25日、神舟二十二号飞船发射任务取得圆满成功．为进一步增强同学们对航天知识的了解、某实验学校组织了以“青春飞扬，筑梦远航”为主题的航天知识竞赛．甲、乙两个班各派5名学生参加，两个班学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个班的5名学生的成绩的平均数和方差，即可求解． 【详解】解：根据题意得：甲班的5名学生的成绩为70，80，80，70，90， 乙班的5名学生的成绩为60，70，70，60，80， ， ， ， ． 8. 司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连结，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆是解题的关键；连接，由题意易得正八边形每段弧所对的圆心角为，，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，可知：正八边形每段弧所对的圆心角为， ∴， ∴点位于点的北偏东的角度是； 故选：C． 9. 在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率与做功所用的时间成反比例函数关系，图象如图所示．当时，P的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法可求出，再求出时，P的值即可得到答案． 【详解】解：设， 把代入得， ∴， ∴， ∵， ∴当时，P随t的增大而减小， 当时，， ∴当时，． 10. 如图，在边长为的正六边形中，以为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用正六边形内角与边长性质证、为直角三角形，得出，进而得圆心角，再用两个直角三角形的面积和减去该圆心角的扇形面积，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形是边长为的正六边形， ∴，每个内角为，平分， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 同理得，， ∴， ∴， ∴． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． 先提取公因式，再用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 智能农机装备的推广是山西特色农业现代化发展的核心方向之一．某款用于临县红枣种植的智能采摘机器人，其单个机械臂平均即可完成一颗红枣的采摘．若该机器人搭载m个机械臂，与熟练采摘工人同时工作，已知工人平均可采摘一颗红枣，则机器人在这段时间内可比工人多采摘________颗红枣． 【答案】 【解析】 【分析】分别算得一个机械臂和该工人一小时采摘的个数，得到有个机械臂的机器人1小时内采摘红枣总数，然后列代数式计算采摘数量差即可． 【详解】解：∵机器人每个机械臂每8秒采摘1个红枣，1小时秒， ∴每个机械臂在3600秒内采摘红枣数为（个），即每个机械臂1小时采摘450个， ∵机器人有个机械臂， ∴机器人工作1小时采摘红枣为个， ∵工人每5秒采摘1个红枣， ∴工人在3600秒内采摘红枣数为（个），即该工人1小时采摘720个， ∴机器人比工人多采摘的红枣数为个． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转后点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于，求出的长，进而求出点的坐标，根据旋转的性质，以及点的坐标规律，判断每次一个循环，进而求出第次旋转后，点的坐标即可． 【详解】解：如图，连接，交轴于点，连接，交轴于点， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 由旋转得， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， 同理得，， 将绕点逆时针每次旋转： ，，，，，，每次一个循环， ∵， ∴第次旋转后，点的坐标为． 14. “以史为鉴，可以知兴替”，历史蕴含着国家与民族的共同记忆．在四张形状、大小相同，质地无差别的卡片上（如图），分别用图案表示了四个不同历史事件：鸦片战争、三大改造、五四运动、抗美援朝．将卡片置于不透明的箱子中，摇匀后随机抽取两张，则所抽取卡片中的事件都发生于新中国成立以后的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定四个历史事件发生在新中国成立以后的事件，再通过列表法列出所有抽取两张卡片的等可能结果，最后计算符合条件的结果数占总结果数的比例． 【详解】解：设鸦片战争、三大改造、五四运动、抗美援朝分别用A、B、C、D表示，其中新中国成立以后的事件为B（三大改造）、D（抗美援朝）．列表如下： A B C D A B C D 由表可知，总共有12种等可能的结果．其中，所抽取卡片中的事件都发生在新中国成立以后的结果有：、共2种． ∴所抽取卡片中的事件都发生于新中国成立以后的概率为． 15. 如图，四边形是正方形，点E在边上，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，，分别交于点M，N，过点F作的垂线交的延长线于点G，连接．若，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作于点Q，先证明得到，进而证明，得到，则，证明四边形是矩形，得到，，证明， 求出，证明，求出，则． 【详解】解：如图所示，过点F作于点Q， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）7 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂，负指数幂进行计算即可； （2）根据分式的加减与乘法运算法则进行化简，再代数求值即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 当时，原式． 17. 如图，直线与双曲线分别交于点，点B，与x轴交于点C，过点A作线段垂直x轴于点D，，连接． （1）求直线与双曲线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）直线的解析式为；双曲线的解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据锐角三角函数求出，得出，然后利用待定系数法求函数解析式即可； （2）联立解析式求出交点坐标，然后利用三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵直线经过点A，C， ∴， 解得． ∴直线的解析式为． ∵双曲线经过点， ∴． ∴双曲线的解析式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得或， ∴． ∴． 18. 某学校九年级组织了国防军事研学活动，为了解学生对国防军事知识的掌握情况，学校于活动后组织九年级学生进行了国防知识竞赛，为科学分析竞赛结果，学校教务处从九年级参赛学生中随机抽取50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析． 【整理数据】 a．学生成绩统计图如图所示（数据分为五组：，，，，）； b．在这一组的成绩是80、80、80、81、81、82、83、84、84、85、85、87、88、89、89、89． 【描述数据】 抽取学生成绩的频数分布表 成绩x/分 频数 2 5 m n 13 【分析数据】 根据以上信息，完成下列问题： （1）统计表中的________，________，样本容量________； （2）在扇形统计图中，这组数据所在扇形的圆心角度数是________，并将频数分布直方图补充完整； （3）如果成绩不低于85分为“优秀”，若九年级共有2000名学生，请你估计本次国防军事知识竞赛中九年级“优秀”的学生共有多少人． 【答案】（1）14；16；50 （2）115.2；补全频数分布直方图如图所示； （3）800人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、样本估计总体的思想、频数分布表等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据题意可得样本容量，根据在“”这一组的成绩数据可得的值，再有样本容量分别减去其它各组频数可得的值； （2）用乘这组数据所占百分比可得这组数据所对应的圆心角的度数；根据题意可得“”和“”的频数，进而补全频数分布直方图； （3）用总人数乘样本中达到优秀的人数比例即可． 【小问1详解】 解：① ②根据在这一组的成绩可得： ③根据随机抽取50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，样本容量 【小问2详解】 解：①这组数据所在扇形的圆心角度数是， ②如图： 【小问3详解】 解： （人） 答：本次国防军事知识竞赛中九年级“优秀”的学生共有800人. 19. 某黄花种植专业合作社响应乡村振兴号召，扩大标准化种植规模，今年黄花迎来丰收．合作社计划租用专业采收机完成采收作业，现有甲、乙两种型号的采收机可供选择．已知每台乙型号采收机每天比每台甲型号采收机多采收10亩，且每台甲型号采收机采收200亩黄花所用的时间与每台乙型号采收机采收300亩黄花所用的时间相同．求甲、乙两种型号的采收机每台每天分别采收黄花的亩数． 【答案】甲型号采收机每台每天采收黄花20亩，乙型号采收机每台每天采收黄花30亩 【解析】 【分析】设甲型号采收机每台每天采收黄花x亩，则乙型号采收机每台每天采收黄花亩，根据题意列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设甲型号采收机每台每天采收黄花x亩，则乙型号采收机每台每天采收黄花亩， 根据题意得 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． ∴乙型号为：（亩）． 答：甲型号采收机每台每天采收黄花20亩，乙型号采收机每台每天采收黄花30亩． 20. 项目学习 【问题情境】 应县木塔位于山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，是我国古建筑中的瑰宝，世界木结构建筑的典范． 【问题提出】 某校数学兴趣小组利用所学数学知识测量应县木塔的高度．兴趣小组分别制订了两个测量方案，在课余时间完成了实地测量，相关方案数据如下． 【方案设计】 如图，点，，三点在同一条直线上．在处观测塔顶的仰角为，在处观测塔顶的仰角为．测量数据：，，． 【问题解决】 根据方案的测量数据，求出应县木塔的高度．（参考数据：，，，．结果保留整数） 【答案】应县木塔AB的高度约为 【解析】 【分析】设，根据，用含的代数式表示出；在中，利用角的正切函数，用含的代数式表示出塔高；在中，利用角的正切函数，用含的代数式表示出塔高；最后根据两种方式表示的长度相等，列出关于的一元一次方程，求解；将的值代入的表达式，计算并按要求取近似值，得到木塔的高度． 【详解】解：根据方案的测量数据，设，则． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 解得． ∴， 答：应县木塔的高度约为． 21. 阅读与思考 下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数 一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 如图1，点C为线段上一点，点C把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点C是线段的一个黄金分割点，k为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程： 设，，则， …… 任务： （1）概念理解：根据材料可知，一条线段有________个黄金分割点； （2）补全材料中求黄金分割数k的解答过程； （3）拓展应用：如图2，利用无刻度的直尺和圆规，作线段的黄金分割点C，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）2 （2）解：设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴． （3）如图所示，点即为所求．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）由于线段有两个方向，从线段的两个端点分别去考虑满足黄金分割条件的点，此时一条线段有2个黄金分割点； （2）根据题意线段比例关系及线段的表达式列出方程求解x即可； （3）作线段的垂直平分线，交线段于点O，过点作的垂线，截取，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，交于点E，最后以点A为圆心，为半径画弧，交于点C，此时点C即为所求． 【小问1详解】 解：∵一条线段上有两个不同的点可以将线段分成不相等的两条线段，且满足较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比， ∴一条线段有2个黄金分割点； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 证明：设的长度为， ∵为的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为米，与的数量变化有一定规律． 【提出问题】 喷出的抛物线形水线距离湖面高度为米与距喷水的柱子的水平距离米，与之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小敏对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据： （米） … 0 1 2 3 4 … （米） … 2 2 … 【解决问题】 （1）在建立如图1所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； （2）已知与之间存在已学过的某种函数关系，请结合表中所给数据和所画出的图象，求出与之间的函数关系式； （3）现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过．如果游船宽度为米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于米，问游船能否顺利通过？说明理由． （4）如图2，若从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏．这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏？（结果保留） 【答案】（1） 解：描点、连线、图象如图； ； （2） （3）不能正常通过，理由： 游船宽度米，在抛物线的正下方通过，令， 代入（2）中所得抛物线解析式得， 由已知，顶棚到水面的高度为2米，顶棚到水柱的垂直距离不小于米， ∴， ∵， ∴不能正常通过； （4）公园至少需要准备米的护栏 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据表格数据对应描点画图即可； （2）根据表格数据和图象的对称性可得顶点为，设二次函数的关系式为，利用待定系数法即可得到答案； （3）根据游船的宽度求得当时，的值，结合顶棚到水面的高度为2米，顶棚到水柱的垂直距离不小于米，即可作出判断； （4）根据（2）的关系式可求得当时，的值，即为落水点距离喷头的水平距离，进而求得圆形护栏的半径，根据圆的周长公式即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：该函数是二次函数，由和可知，抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴水柱最高点距离湖面的高度是米； 由图象可得，顶点， 设二次函数的关系式为， 把代入可得， ∴； 将和代入抛物线关系式，左边等于右边，所有的点都在二次函数图象上， ∴可以确认该函数是二次函数， ∴与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 略； 【小问4详解】 解：当时，即， 解得（舍去）或， ∵喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米， ∴圆的半径至少为（米）， ∴至少需要准备栏杆（米）， ∴公园至少需要准备米的护栏． 23. 【问题提出】如图，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究线段、和线段的数量关系如下： 【尝试探究】小明同学研究思路如下： （1）观察猜想：； （2）分析问题：这是一个不共线的线段和问题，通常可以通过“截长”或“补短”的方法将其中两条不共线的线段转化为共线线段； （3）制定方案：通过“截长”发现此路不通，于是采取“补短”的方法解决问题； （4）实施方案：延长到点，使得，连接，从而解决问题． 请你帮助小明完成对猜想的证明； 【模型建立】如图，若将沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，上述猜想的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图，已知是边长为的等边三角形，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，请直接写出的周长． 【答案】[尝试探究]见解析；[模型建立]成立，见解析；[拓展应用]． 【解析】 【分析】[尝试探究]延长到点，使得，证明，，再由全等三角形的性质即可求证； [模型建立]延长，连接，由折叠性质可知，则，，然后证明，再由全等三角形的性质即可求证； [拓展应用]延长至，使，同上理可得，则，再证明，再由全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：[尝试探究]证明：延长到点，使得， ∵四边形形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； [模型建立]证明：仍然成立，理由， 如图，延长，连接， 由折叠性质可知：， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴； [拓展应用] 解：∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 延长至，使， 同上理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的周长，等边三角形的性质等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $