精品解析：2026年山东省潍坊市中考一模考试数学试题

2026年初中学业水平模拟自测（一） 数学试题 2026.4 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题的四个选项中只有一项正确） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 绝对值等于本身的数是0 B. 相反数等于本身的数是1 C. 平方等于本身的数是0和1 D. 立方等于本身的数是0和1 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、绝对值等于本身的数是非负数，原说法错误； B、相反数等于本身的数是0，原说法错误； C、平方等于本身的数是0和1，正确； D、立方等于本身的数是0和，原说法错误. 2. 下列纹样图案分别是红双喜纹、双鱼纹、方回纹、缠枝牡丹纹，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图形重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意， C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意， D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意， 3. 已知，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 4. 如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，确定通孔位置的左视图为虚线；再求解通孔的底面正方形的对角线长即可确定． 【详解】解：通孔底面正方形的对角线长为， 该零部件的左视图及其尺寸标注如B选项所示． 5. 如图，数轴上、、、四个点中有一个点为原点，且，这四个点分别对应的实数是、、、，满足，则下列关于原点的位置判断正确的是（ ） A. 在点处 B. 在点处 C. 在点处 D. 在点处 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置关系确定，，，的正负性，结合及分情况讨论原点的位置，排除矛盾选项即可得出答案． 【详解】解：由数轴可知， 若原点在点处，则，此时，， ， ，即，则点与点重合，不符合题意， 故原点不在点处； 若原点在点处，则，此时，，， ， ，即， ， ，即， ，故原点在点处，符合题意； 若原点在点处，则，此时，， ， ，即， ， ，即， ，解得，则点与点重合，不符合题意， 故原点不在点处； 若原点在点处，则，此时，， ， ，即， ，， ，不可能等于，故原点不在点处． 6. 如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，连接、、、，与交于点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得且，结合为中点可判断A；由及为中点，利用平行线分线段成比例推论可判断B；由，利用平行线性质可判断C；根据等腰三角形三线合一性质及已知可判断D． 【详解】解：点、分别是边、的中点，  是的中位线，  ，，  点是边的中点， ， ，故A正确；  ，即， 点是边的中点， ∴，则，故B正确；  点、、分别是边、、的中点， 是的中位线， 是的中位线，  ， ，  ， ，  ，故C正确； 点是边的中点，  是的中线， 若，则也是的角平分线， 根据等腰三角形“三线合一”性质，此时应有， 但这与已知条件矛盾，  ，故D不正确． 7. 给如图所示的无水泳池注水，泳池的前后侧面均为直角梯形，其余各面均为矩形．如果进水速度是均匀的，泳池内水（阴影区域）的高度h与时间t变化的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：依题意可知，开始的一部分时间，随着t的增加，高度增加得逐渐平缓，之后随着t的增加，高度增速不变，所以符合题意的只有A选项． 8. 如图是某种螺丝钉的螺纹的示意图，图中的虚线均为水平线或铅垂线，图中已标注有关角度、水平线间或铅垂线间的距离，则该螺丝钉的螺纹深度与螺纹间距的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，根据题意得出是等边三角形，求出螺纹间距，再求出螺纹深度，即可得解． 【详解】解：如图，作， 由题意可知，，， 是等边三角形， ，， ， 在中，， ， ，即螺纹间距为， 螺纹深度， 该螺丝钉的螺纹深度与螺纹间距的比是． 9. 在平面直角坐标系中，点是随着t变化而变化的一个动点，则动点M构成的图象不可能经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先设点M的横、纵坐标，消去参数t得到动点轨迹的一次函数解析式，再根据一次函数的性质判断直线经过的象限，即可得到答案. 【详解】解：设动点的坐标为，根据题意得 由得 ，将代入得 即动点构成的图象是一次函数的图象. 对于一次函数， ，， 该一次函数图象经过第一象限、第二象限、第四象限，不经过第三象限， 因此动点构成的图象不可能经过第三象限. 10. 抛掷两枚骰子，用m和n分别表示两枚骰子朝上的点数，那么点数之差的绝对值可能取中的任何一个整数，记整数r的概率为，，则P取得最大值时对应的r值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛掷两枚骰子的所有等可能结果总数，再分别统计不同对应的符合条件的结果数量，比较各对应的概率大小，即可得到概率最大时的值． 【详解】解：∵抛掷两枚骰子，所有等可能的结果总数为种． 分别计算不同对应的概率： 当时，满足的结果共种，； 当时，满足的结果共种，； 当时，满足的结果共种，； 当时，满足的结果共种，； 当时，满足的结果共种，； 当时，满足的结果共种，； ∵， ∴取得最大值时对应的值为． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 写出一个使代数式的值为整数的x的值_____． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，先确定x的取值范围，再根据的值为整数，取满足条件的即可． 【详解】要使二次根式有意义，被开方数需满足 解得若使的值为整数，不妨设则解得满足条件． 设，其中为非负整数，则： 变形得： 我们可以取不同的值来求： -当时：，此时（整数）； -当时：，此时（整数）； -当时：，此时（整数）； -当时：，此时（整数）． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与y轴交于点A、B，与x轴相切于点C，点M的坐标为，则点A的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点M作于点E，由题意易得四边形是矩形，则有，然后根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，过点M作于点E，如图所示： ∵与x轴相切于点C， ∴轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点M的坐标为， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， ∴， ∴点A的坐标为． 13. 我国科研团队在光钟研制方面取得里程碑式进展，成功将锶原子光晶格钟的稳定度和不确定度指标全面突破量级，相当于约300亿年的误差不超过1秒，那么每年的误差不超过__________秒．（结果用科学记数法表示，保留两位有效数字） 【答案】 【解析】 【分析】先将300亿用科学记数法表示，再根据题意计算每年的误差，最后按要求保留有效数字，用科学记数法表示结果． 【详解】解：由题意得： 300亿， 每年误差不超过： ． 14. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于、、，和是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从点沿着台阶面爬到点，其爬行的最短距离是________dm． 【答案】 【解析】 【分析】将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从点到点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， ，， ， 即蚂蚁爬行的最短线路为． 15. 以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt4.9t2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图像分别求出两个函数解析式，表示出，，，，结合h1＝2h2，即可求解． 【详解】解：由题意得，图1中的函数图像解析式为：h＝v1t4.9t2，令h=0，或（舍去），， 图2中的函数解析式为：h＝v2t4.9t2， 或（舍去），， ∵h1＝2h2， ∴=2，即：=或=-（舍去）， ∴t1：t2=：=， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图像和性质，二次函数的顶点坐标公式，是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）化简求值：，其中，满足． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别化简绝对值、特殊角三角函数值、零指数幂，再合并计算即可得到结果； （2）先根据分式运算法则化简原式，再利用已知条件求出的值，代入即可得到结果． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； ， ， 原式分母为， ， ， 原式． 17. 如图，点为线段上一点，以线段和为边分别在线段同侧作正方形和正方形，连接和． （1）证明：； （2）在备用图中尺规作图：在线段上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）延长，交于，利用证明，得出，利用角的和差关系得出，即可得结论； （2）在右侧作，可得，根据平行线分线段成比例定理即可得出． 【小问1详解】 证明：如图，延长，交于， ∵在线段同侧作正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴． 【小问2详解】 解：如图，在右侧作，交于，点即为所求． ∵， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数（为常数，且）的图象相交于点和点，点的横坐标为，点的纵坐标为． （1）求和的值； （2）将该一次函数的图象向下平移个单位长度，得到的新函数图象与轴交于点，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用一次函数的解析式求出点，进而求出，再利用反比例函数的解析式求出点，最后求出的值； （2）作于点，由平移规律可得新函数，从而求得点，容易判断轴，则，，直接计算的面积即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，作于点， 向下平移个单位长度所得新函数， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵， ∴轴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19. 低空经济作为战略性新兴产业，正逐步成为经济增长新引擎．某市举办中小学生“低空经济知识竞赛”，组委会为了解甲、乙两所学校的准备情况，从甲、乙两所学校各随机抽取名学生进行测试，对测试成绩进行整理、描述和分析（满分分，成绩均为整数），成绩分成五组： A组：，B组：，C组：，D组：，E组：． 【信息一】两校成绩在D组的数据如下（单位：分）： 甲校：； 乙校：． 【信息二】甲校成绩的频数分布直方图如图，乙校成绩的扇形统计图如图． 【信息三】甲、乙两校成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学校 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 甲校 乙校 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全甲校成绩的频数分布直方图和乙校成绩的扇形统计图中的信息； （2）小亮求得表中的值是，小莹求得的值是，请判断他们所求的结果是否正确，并说明理由； （3）综合以上信息，试对两所学校的学生关于低空经济知识的掌握情况做出分析． 【答案】（1）见解析 （2）小亮所求结果错误；小莹所求结果错误；理由见解析 （3）甲校学生关于低空经济知识的掌握情况更好些且成绩稳定，乙校中位数较高但成绩波动较大 【解析】 【分析】（1）分别求出甲校组的频数，乙校组的百分比，补全图形即可； （2）分别求出平均数及中位数进行判断即可； （3）比较甲乙校成绩的平均数、中位数及方差得出结论即可. 【小问1详解】 解：由题意得：甲校组：人； ∴甲校组：（人）； ∵由题意得：乙校组：； ∴乙校组：； 补全图中信息见下图： 【小问2详解】 解：∵甲组平均数：， ∴小亮所求结果错误； ∵组所占百分比为：， ∴乙校成绩从小到大排列第个数在组是：， ∴ ∴小莹所求结果错误； 【小问3详解】 解：从平均分的角度看： ∵，∴甲校优于乙校； 从中位数的角度看：，甲乙校相同； 从方差的角度看： ∴甲校成绩较稳定； 综上：甲校学生关于低空经济知识的掌握情况更好些且成绩稳定，乙校中位数较高但成绩波动较大. 20. 如图，四边形内接于，连接、，过点B向圆外方向作，点E在的延长线上． （1）求证：； （2）求证：为的切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先由圆周角定理得，结合已知等量代换得，即可证明，则，即可得出结论； （2）连接，延长交于点F，连接，由圆周角定理得，结合已知得，由是的直径，得，进而推出，即，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接，延长交于点F，连接， ∵和都是弧所对的圆周角， ∴， 又∵， ∴， ∴是的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线． 21. 随着电动汽车走进千家万户，电动车充电站成为了日常出行的重要配套设施．某电动车充电站设有快充和慢充两种充电桩，电动车充电时的充电单价由电价和服务费组成，其中电价为元/度． （1）甲公司调查发现，快充桩日使用次数与快充充电单价（元/度）满足：；慢充桩日使用次数与慢充充电单价（元/度）满足；快充桩和慢充桩的平均充电量分别为度/次、度/次．某天，快充充电单价比慢充充电单价多元/度，且一个快充桩与一个慢充桩的充电总量相等，求当日的快充充电单价； （2）乙公司调查发现，在另一独立运营模式下，每个快充桩的日充电量与快充充电单价（元/度）满足：快充充电单价为元/度时，日充电量为度；快充充电单价每降价元/度，日充电量增加度．其中，快充充电单价满足．每个快充桩的日收益日充电量（充电单价电价）．快充充电单价是多少时，每个快充桩的日收益为元？ 【答案】（1） 当日的快充充电单价为元/度 （2） 快充充电单价为元/度或元/度时，每个快充桩的日收益为元 【解析】 【分析】（1）根据快充和慢充单价的关系得到与的表达式，再结合快充和慢充充电总量相等列分式方程，求解检验后得到结果； （2）先根据题目条件表示出日充电量，再结合日收益的计算公式列一元二次方程，求解后根据的取值范围筛选得到结果． 【小问1详解】 解：快充充电单价为元/度，慢充充电单价元/度，快充充电单价比慢充充电单价多元/度， 慢充充电单价为元/度， 根据题意得， 化简得，  方程两边同乘得：，  解得， 检验：当时，， 是原方程的解，且符合题意． 答：当日的快充充电单价为元/度； 【小问2详解】 解：当时，日充电量为度；单价每降价元/度，日充电量增加度， 日充电量为， 根据题意得，  整理得 ， 因式分解得，  解得，， 两个解都满足，均符合题意； 答：快充充电单价为元/度或元/度时，每个快充桩的日收益为元． 22. 【问题提出】 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，连接，过点D作的垂线交直线于点F．探究、、之间的数量关系． 【特例探究】 （1）如图1，当时，证明：； （2）如图2，当时，数学兴趣小组给出了一种解题思路： 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 易得为等腰直角三角形，由（1）可得，进而由，，推导得、、之间的数量关系是：_________； （3）如图3，当时，探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （4）当时，写出、、之间的数量关系：_____． 【答案】（1）见解析 （2） （3），理由见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）当时，，连接，可证明，得出，则，根据勾股定理求出，即可得证； （2）当时，，取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M．则，，得出，，由（1）可得，证明，根据相似三角形的性质求出∴，即可求解 （3）当时，，取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M．类似（2）求解即可； （4）当时，，取的分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M．类似（2）求解即可． 【小问1详解】 证明：当时，， ∴， 连接， ∵在中，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 则，， ∴，，即为等腰直角三角形， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； 【小问3详解】 解： 理由：当时，， 取的三分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M． 则，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； 【小问4详解】 解：当时，， 取的分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M． 则，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴． 23. 已知二次函数，其中k为常数． （1）证明：不论k取何值，该二次函数的图象与x轴始终有两个不同的交点； （2）将该函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，再沿x轴向右平移1个单位长度，得到的新二次函数的图象与x轴的交点分别为，，且，记线段的长度为d，求d的最小值； （3）该二次函数与一次函数的图象交于点M，过点作x轴的垂线，分别交二次函数和一次函数的图象于点P、Q，若，求k的值． 【答案】（1）见解析 （2）1 （3）或 【解析】 【分析】（1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）根据二次函数的平移规律得到新的二次函数解析式，令，由韦达定理可得，，从而得出，即可得解． （3）先表示出点、的坐标，从而得出，联立二次函数与一次函数，求出交点坐标，从而得出，再根据，得到关于的一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，即， 不论k取何值，该二次函数的图象与x轴始终有两个不同的交点； 【小问2详解】 解：， 将该函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，再沿x轴向右平移1个单位长度， 得到的新二次函数为， 令，则， ∵新二次函数的图象与x轴的交点分别为，， ∴，， ， ∵记线段的长度为d， ， 的最小值为1； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， ，， ， 联立， 整理得：，即， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，． 综上可知，k的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟自测（一） 数学试题 2026.4 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题的四个选项中只有一项正确） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 绝对值等于本身的数是0 B. 相反数等于本身的数是1 C. 平方等于本身的数是0和1 D. 立方等于本身的数是0和1 2. 下列纹样图案分别是红双喜纹、双鱼纹、方回纹、缠枝牡丹纹，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，数轴上、、、四个点中有一个点为原点，且，这四个点分别对应的实数是、、、，满足，则下列关于原点的位置判断正确的是（ ） A. 在点处 B. 在点处 C. 在点处 D. 在点处 6. 如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，连接、、、，与交于点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 给如图所示的无水泳池注水，泳池的前后侧面均为直角梯形，其余各面均为矩形．如果进水速度是均匀的，泳池内水（阴影区域）的高度h与时间t变化的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某种螺丝钉的螺纹的示意图，图中的虚线均为水平线或铅垂线，图中已标注有关角度、水平线间或铅垂线间的距离，则该螺丝钉的螺纹深度与螺纹间距的比是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点是随着t变化而变化的一个动点，则动点M构成的图象不可能经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 抛掷两枚骰子，用m和n分别表示两枚骰子朝上的点数，那么点数之差的绝对值可能取中的任何一个整数，记整数r的概率为，，则P取得最大值时对应的r值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 写出一个使代数式的值为整数的x的值_____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与y轴交于点A、B，与x轴相切于点C，点M的坐标为，则点A的坐标为_________． 13. 我国科研团队在光钟研制方面取得里程碑式进展，成功将锶原子光晶格钟的稳定度和不确定度指标全面突破量级，相当于约300亿年的误差不超过1秒，那么每年的误差不超过__________秒．（结果用科学记数法表示，保留两位有效数字） 14. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于、、，和是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从点沿着台阶面爬到点，其爬行的最短距离是________dm． 15. 以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt4.9t2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝_____． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）化简求值：，其中，满足． 17. 如图，点为线段上一点，以线段和为边分别在线段同侧作正方形和正方形，连接和． （1）证明：； （2）在备用图中尺规作图：在线段上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数（为常数，且）的图象相交于点和点，点的横坐标为，点的纵坐标为． （1）求和的值； （2）将该一次函数的图象向下平移个单位长度，得到的新函数图象与轴交于点，求的面积． 19. 低空经济作为战略性新兴产业，正逐步成为经济增长新引擎．某市举办中小学生“低空经济知识竞赛”，组委会为了解甲、乙两所学校的准备情况，从甲、乙两所学校各随机抽取名学生进行测试，对测试成绩进行整理、描述和分析（满分分，成绩均为整数），成绩分成五组： A组：，B组：，C组：，D组：，E组：． 【信息一】两校成绩在D组的数据如下（单位：分）： 甲校：； 乙校：． 【信息二】甲校成绩的频数分布直方图如图，乙校成绩的扇形统计图如图． 【信息三】甲、乙两校成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学校 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 甲校 乙校 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全甲校成绩的频数分布直方图和乙校成绩的扇形统计图中的信息； （2）小亮求得表中的值是，小莹求得的值是，请判断他们所求的结果是否正确，并说明理由； （3）综合以上信息，试对两所学校的学生关于低空经济知识的掌握情况做出分析． 20. 如图，四边形内接于，连接、，过点B向圆外方向作，点E在的延长线上． （1）求证：； （2）求证：为的切线． 21. 随着电动汽车走进千家万户，电动车充电站成为了日常出行的重要配套设施．某电动车充电站设有快充和慢充两种充电桩，电动车充电时的充电单价由电价和服务费组成，其中电价为元/度． （1）甲公司调查发现，快充桩日使用次数与快充充电单价（元/度）满足：；慢充桩日使用次数与慢充充电单价（元/度）满足；快充桩和慢充桩的平均充电量分别为度/次、度/次．某天，快充充电单价比慢充充电单价多元/度，且一个快充桩与一个慢充桩的充电总量相等，求当日的快充充电单价； （2）乙公司调查发现，在另一独立运营模式下，每个快充桩的日充电量与快充充电单价（元/度）满足：快充充电单价为元/度时，日充电量为度；快充充电单价每降价元/度，日充电量增加度．其中，快充充电单价满足．每个快充桩的日收益日充电量（充电单价电价）．快充充电单价是多少时，每个快充桩的日收益为元？ 22. 【问题提出】 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，连接，过点D作的垂线交直线于点F．探究、、之间的数量关系． 【特例探究】 （1）如图1，当时，证明：； （2）如图2，当时，数学兴趣小组给出了一种解题思路： 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 易得为等腰直角三角形，由（1）可得，进而由，，推导得、、之间的数量关系是：_________； （3）如图3，当时，探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （4）当时，写出、、之间的数量关系：_____． 23. 已知二次函数，其中k为常数． （1）证明：不论k取何值，该二次函数的图象与x轴始终有两个不同的交点； （2）将该函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，再沿x轴向右平移1个单位长度，得到的新二次函数的图象与x轴的交点分别为，，且，记线段的长度为d，求d的最小值； （3）该二次函数与一次函数的图象交于点M，过点作x轴的垂线，分别交二次函数和一次函数的图象于点P、Q，若，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $