吉林长春市第二中学2025-2026学年高一下学期第一学程考试数学试卷

高一年级下学期第一学程考试数学科试卷 命题人：付娆 审题人：郑鸿远 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设，向量，，，且，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 复数的虚部为（ ） A. -3 B. C. D. 3. 如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，则原图形的面积是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 5. 已知四边形中，，，，则四边形一定是（ ） A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形 6. 已知p，，复数是关于x的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 B. 在△ABC中，若，，，则△ABC有唯一解 C. 复数满足，则的最大值为6 D. 在△ABC中，若，则△ABC为钝角三角形 10. 已知三个内角，，的对边分别为，，，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则边上高的最大值为 C. 若的角平分线长为，且，则 D. 若是锐角三角形，且，则的取值范围是 11. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 若P在线段BC上，且，则的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个圆锥的母线长为3，侧面积，则此底面半径为___________． 13. 如下图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点M，N．设，则________． 14. 在中，分别为三个内角的对应边，若．试求当取得最大值时，_____． 四、解答题：木大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）设，是不共线的两个向量，如果，，，求证：三点共线； （2）已知，，且与夹角为，求与的夹角的余弦值. 16. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，若. （1）求： （2）若，，求的面积. 17. 在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计；灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性；现在有一盏独特的国风灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下： 顶部装饰：灯笼的顶部是一个正四棱台，上底边长为2分米，下底边长为4分米，高为2分米； 核心结构：灯笼的核心部分是一个正四棱柱，底面边长为3分米，高为6分米. （1）求灯笼总体积；（单位：分米） （2）已知灯笼上下底不糊纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所需纸张的总面积，求灯笼所需纸张的总面积.（单位：分米） 18. 已知正方形的边长为1，F是线段的中点，（）. （1）若，证明：； （2）若，求的值； （3）求的取值范围. 19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当三个内角均小于120°时，满足的点M为费马点； ②当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， （1）若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点M到各顶点的距离之和； （2），点M为的费马点： （ⅰ）求的最小值； （ⅰⅰ）若，且点P为平面上任意一点，求的最小值. 高一年级下学期第一学程考试数学科试卷 命题人：付娆 审题人：郑鸿远 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】 四、解答题：木大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）分米3 （2）分米2 【18题答案】 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅰⅰ） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $