精品解析：江西省定南中学2026届高三下学期四月份月考（数学）

定南中学2026届高三下学期四月份月考（数学） 命题人：蒋玉清 审题人：张海燕 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，实数a满足，则复数的模为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数运算求出，再根据复数模长计算公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，则， 故选：C. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可得集合A，根据绝对值不等式的解法，可得集合B，根据交集运算的概念，即可得答案. 【详解】由，得，则， 由，得，则， 所以. 3. 设，向量，，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用是否推出关系来判断充要关系即可. 【详解】当时，向量，， 此时有，所以，故是充分条件； 当时，，解得，故不是必要条件； 所以是的充分不必要条件， 故选：B. 4. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】结合等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出结果. 【详解】设设等差数列的公差为，因为，， 所以，所以，解得. 故选：B. 5. 要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 6种 D. 8种 【答案】C 【解析】 【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可. 【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法 第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法 所以，不同的安排方法共有种 故选：C 【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略. 6. 已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，进而可得，利用整体法求解函数的单调区间，根据，即可求解. 【详解】因为相邻两个对称轴之间的距离为， 则，即，则，则， 由，得， 所以在上是增函数，由，得. 故选：B 7. 已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用梯形中位线将中点的横坐标转化为，再应用抛物线定义转化为，再由可得最小值. 【详解】设的中点，抛物线的准线为， 如图，作，垂足分别为. 由直角梯形的性质可得， 取抛物线焦点为，由抛物线定义可得， 当且仅当直线经过点时取等号， 所以线段中点的横坐标的最小值为． 故选：B. 8. 已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图象，数形结合得到答案. 【详解】时，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，时，，故， 当时，单调递增，且， 画出的图象如下： 方程恰有2个实根，即与有2个交点， 则，则实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，若，则 B. 在等比数列中，，，则数列为递增数列 C. 已知随机变量， D. 样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的方差为 【答案】AC 【解析】 【分析】由二项分布及方差性质判断A；求出等比数列的通项公式，进一步求得，即可判断B；由正态分布的性质判断C；由方差的权重性质判断D. 【详解】对于A选项，. 又因为（、为常数）， 那么， 已知，即， 解得，A选项正确. 对于B，因为等比数列中，，， 所以，解得， 所以， 所以， 则数列为递减数列，故B错误； 对于，因为随机变量， 所以，故C正确； 对于D，记样本甲，乙的平均数分别为，，由甲乙组成的总体样本的平均数为， 则甲乙组成的总体样本的方差为，故D不正确. 10. 函数的导函数和函数都是上偶函数，且，，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是周期函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复合函数的导数，结合赋值法探讨函数的性质，再借助赋值法逐项分析判断. 【详解】由是偶函数，得，即， 则（为常数），由于， 取，得，于是， 对于A，由函数是R上偶函数，得， 由，得，即， 于是，函数图象关于点对称，A正确； 对于B，由，得，即， 由，得，于是， 即，因此，函数是周期为4的周期函数，B正确； 对于C，由，，得， 则， ，因此，C错误； 对于D，由，得，， ，， 因此，D正确. 故选：ABD 11. 在棱长为2的正方体中，O是BD中点，P是直线上的动点，则（ ） A. 存在唯一的点P，使得平面 B. 当平面时， C. 当时， D. 当时，三棱锥外接球半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直关系判断A；根据三棱锥体积公式判断B；根据在延长线上另有一点也满足，判断C；根据外接球计算方式判断D. 【详解】 对于A，因为当平面时，面，所以，又因为， 所以，所以，又因为，，所以， 所以棱存在唯一的点P，故A正确； 对于B，平面时，，， 所以，所以，故B正确； 对于C，在延长线上另有一点也满足，故C错误： 对于D，易知P为中点，此时平面平面， 如图，分别为和外接圆的圆心，O为所求外接球球心， 在中，易知，所以其外接圆半径， 在中，易知，根据等腰三角形， 所以，因此由正弦定理得， 其外接圆半径，故， 所以，所求外接球半径，选项D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，x的系数是______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意知的通项为， 令，则，即x的系数是. 13. 若，则___________. 【答案】2 【解析】 【详解】因为，所以，， 代入得. 14. 一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，由古典概率公式求出，再由条件概率求解即可. 【详解】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件， 则，， 所以， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某闯关游戏共设置4道题，参加比赛的选手从第1题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目．设选手甲答对第1题的概率为，甲答对题序为的题目的概率，，各题回答正确与否相互之间没有影响． （1）若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题的概率； （2）求甲停止答题时答对题目数量的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 4 P 期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，进而求得甲答对第4题的概率； （2）根据题意，得到可取，取得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为选手甲答对第1题的概率为，所以，即， 所以若甲已经答对了前3题，则甲答对第4题的概率为． 【小问2详解】 解：由题意得，，，． 随机变量可取， 则，，， ，． 所以随机变量分布列如下： X 0 1 2 3 4 P 所以． 16. 的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求内切圆的半径； （3）若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及正弦边角关系得，再由余弦定理求角的大小； （2）由及面积公式得、，再由内切圆半径即可得； （3）设，，进而得到、，最后有即可求最大值. 【小问1详解】 因为， 所以. 由正弦定理得，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，代入数据得. 因为的面积， 所以内切圆的半径. 【小问3详解】 如图，设，，则，且. 因为，所以. 由正弦定理得，所以， 所以，其中， 故的最大值为. 17. 如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求点E到平面的距离． 【答案】（1） 因为为直三棱柱，所以， 又D，E，分别为AB，BC的中点，所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由线面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为直三棱柱，且， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，且，则， 则，， 由可得，即，且，解得， 设，则，即， 设平面的法向量为， 则，解得，取，则， 所以平面的一个法向量为， 又，即， 所以点E到平面的距离. 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为分别是椭圆的上下顶点，分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上的动点（不与重合），是在点处的切线，直线交于点，直线交于点，求证：直线的斜率为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件求的值，确定椭圆的标准方程. （2）因为直线的斜率不为0，可设直线方程为：，与直线方程联立可得点坐标，与椭圆方程联立，可得点坐标，进一步写出直线的方程，令得点坐标，列出直线的斜率，化简即可. 【小问1详解】 ． 点在椭圆上， ，解得或（舍） ．椭圆的方程为． 【小问2详解】 如图： 易知直线斜率不为0，设直线方程为 直线方程为：， 联立，得． 由，得， ． 直线的斜率为：． 直线方程为：． 令，得． ． 所以直线的斜率为定值. 19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. （1）求曲线在处的曲率的平方； （2）求正弦曲线曲率的平方的最大值. （3）正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 【答案】（1） （2）1 （3）零点个数为2，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据所给曲率的定义求解即可； （2）由新定义求出，换元后，利用导数求最值即可； （3）对分区间讨论，在上无零点，在上利用导数判断函数单调性极值，由零点存在性定理分析即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以， . 【小问2详解】 由，，则， ， 令，则，故， 设，则， 在时，递减， 所以，最大值为1. 【小问3详解】 因为，， 则. ①当时，因为， 所以在上单调递减.所以. 所以在上无零点. ②当时，因为单调递增，且，， 所以存在，使. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以.设，， ，, 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以，所以. 所以在上存在一个零点. 所以在有2个零点. 综上所述，在上的零点个数为2 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，理解所给定义，运用所给定义解题是解题关键，对于函数零点问题，一般要先求出函数的单调性，极值，再结合零点存在性定理判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定南中学2026届高三下学期四月份月考（数学） 命题人：蒋玉清 审题人：张海燕 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，实数a满足，则复数的模为（ ） A. 2 B. C. D. 3 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，向量，，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 5. 要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 6种 D. 8种 6. 已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，若，则 B. 在等比数列中，，，则数列为递增数列 C. 已知随机变量， D. 样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的方差为 10. 函数的导函数和函数都是上偶函数，且，，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是周期函数 C. D. 11. 在棱长为2的正方体中，O是BD中点，P是直线上的动点，则（ ） A. 存在唯一的点P，使得平面 B. 当平面时， C. 当时， D. 当时，三棱锥外接球半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，x的系数是______． 13. 若，则___________. 14. 一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某闯关游戏共设置4道题，参加比赛的选手从第1题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目．设选手甲答对第1题的概率为，甲答对题序为的题目的概率，，各题回答正确与否相互之间没有影响． （1）若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题的概率； （2）求甲停止答题时答对题目数量的分布列与数学期望． 16. 的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求内切圆的半径； （3）若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值. 17. 如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求点E到平面的距离． 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为分别是椭圆的上下顶点，分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上的动点（不与重合），是在点处的切线，直线交于点，直线交于点，求证：直线的斜率为定值. 19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. （1）求曲线在处的曲率的平方； （2）求正弦曲线曲率的平方的最大值. （3）正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $