第二十章勾股定理压轴卷2025-2026学年 人教八年级数学下册

第二十章勾股定理压轴卷2025-2026学年八年级数学下册 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．1，， C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，理解定义：“能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．”是解题的关键． 【详解】解：A.，不是勾股数，不符合题意； B.，不是整数，不符合题意； C.，是勾股数，符合题意； D.，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 2．（本题3分）直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若，，则b的值为（    ） A．1 B．5 C．25 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的简单计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，列出式了，求解即可得到答案． 【详解】解：由题可得：，     ∵，， ∴， 故选：B． 3．（本题3分）满足下列条件的，不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理求出最大角的度数可判断A，B选项；根据勾股定理的逆定理可判断C、D选项． 【详解】解：A、∵，， ∴，不是直角三角形，符合题意； B、∵，， ∴，即，是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴是直角三角形，不符合题意； D、设三角形的三边分别为，，， ∵， ∴时，是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 4．（本题3分）如图，一条笔直的铁路的同侧有两个村庄，，它们到铁路的距离分别为和，分别过，两点作的垂线，垂足为，，测量得．现在要在铁路上建一个土特产收购站，使得，两村到站的距离相等，则站到点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，两村到站的距离相等，则，又，，所以，然后由勾股定理得，设，则，再代入求出的值即可． 【详解】解：∵，两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴站到点的距离为， 故选：． 5．（本题3分）有3cm，4cm，5cm和9cm的小棒各一根，从中选出三根恰好可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是（    ） A．6 B．10 C．7.5 D．13.5 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系，得到3cm，4cm，5cm三根小棒可以组成三角形，再根据勾股定理逆定理可知该三角形为直角三角形，即可求得答案； 【详解】解：∵9=4+5 ∴9cm的小棒不能组成三角形 ∵ ∴此三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm和4cm ∴ 故选A 【点睛】本题考查了三角形的性质，涉及了勾股定理的逆定理，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，正三角形的一个顶点O在原点，点B的坐标为，则第二象限的顶点A的坐标是（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和勾股定理，作，根据勾股定理求，进而可得点A的坐标，掌握等边三角形的性质再结合勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：作，则， ∵， ∴， ∴第二象限的顶点A的坐标是． 故选：A．    7．（本题3分）如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点D，E，连接，若，，则的周长为（    ） A．9 B．14 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 利用线段垂直平分线的性质证明，根据等腰三角形的性质即可证明，根据含角的直角三角形的性质推出，再利用勾股定理求出的长，可得结论． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， 的周长． 故选：D． 8．（本题3分）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为，由题意得， ， 解得，， 故铅笔的长为； 故选：A． 9．（本题3分）如图，在一个高为5m，斜面长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是（    ） A．12m B．13m C．17m D．18m 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据平移的性质可知需要的地毯的长度至少即为． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴由平移的性质可知地毯的长度至少是， 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平移的性质，正确用勾股定理求出的长是解题的关键． 10．（本题3分）如图，在中，有一点P在BC边上移动，若，则AP的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是垂线段最短，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“点到直线的距离，垂线段最短”是解题的关键． 在边上移动，由点到直线的距离，垂线段最短，可得当时，最短，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在边上移动，当时，最短， ， ， ， 所以的最小值是6， 故选：A 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）在Rt△ABC中，a＝3，b＝4，则c2＝___． 【答案】7或25． 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当a，b都是直角边时，c2=16+9=25， 当b是斜边时，c2=16-9=7， 故答案为：7或25． 【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 12．（本题3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，折叠后，点A与BC的中点D恰好重合，折痕为MN，则线段BN的长为___． 【答案】4 【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝9-x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9-x， ∵D是BC的中点， ∴BD＝3， 在Rt△NBD中，x2+32＝（9-x）2， 解得x＝4． 即BN＝4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了翻折变换(折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义，解决本题的关键是利用方程思想． 13．（本题3分）如图，D为△ABC边BC上的一点，AB＝20，AC＝13，AD＝12，DC＝5，则S△ABC＝______． 【答案】126 【分析】在△ACD中，根据勾股定理逆定理判断出∠ADC=90°，在中利用勾股定理求得BD= 16，再利用面积公式求解可得． 【详解】解：在△ACD中，∵AD2+CD2＝122+52＝132＝AC2， ∴△ACD为直角三角形，其中∠ADC＝90°， 则△ABD是直角三角形， ∵AB＝20， ∴BD＝＝＝16， 则S△ABC＝•BC•AD＝×（16+5）×12＝126， 故答案为：126． 【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 14．（本题3分）如图， 在中，于 D，， 则的长为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的面积， 先根据勾股定理求出，再根据面积相等得出答案． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理，得． ∴， 即， 解得． 故答案为：． 15．（本题3分）如图，一家民宿要在花园里立一个形的广告牌，所在的直线表示地面，已知，量得点和点距离地面都是米，点距离地面米，则广告牌的周长是_________米． 【答案】8.6 【分析】由题意得AG⊥BG，CF⊥BD，EH⊥DH，AG=EH=1.2，CF=0.5，证明△EDH≌△DCF和△AGB≌△BFC，利用全等三角形的性质得出结果． 【详解】解：由题意得AG⊥BG，CF⊥BD，EH⊥DH，AG=EH=1.2，CF=0.5， ∴∠G=∠H=∠CFD=∠CFB=90º， ∵， ∴∠ABC=∠CDE=90º， ∴∠HED+∠EDH=∠EDH+∠CDF=90º， ∴∠HED=∠CDF， ∵， ∴△EDH≌△DCF， ∴FD=EH=1.2，DH=CF=0.5， 同理△AGB≌△BFC， ∴BF=AG=1.2，BG=CF=0.5， ∴AE= GH=BG+BF+FD+DH=0.5+1.2+0.5+1.2=3.4， 在Rt△EHD中，ED==1.3， ∴广告牌的周长是：AE+4ED=3.4+1.3×4=8.6． 故答案为：8.6． 【点睛】本题看出来全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，解题的关键是灵活运用这些性质． 三、解答题（共75分） 16．（本题8分）如图，点在中，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理及其逆定理，利用所给条件准确运算是解决本题的关键． 【详解】解：在中，，， , 在中，， ， 即, , 的面积为, 的面积为, 阴影部分面积为， 故阴影部分面积为24． 17．（本题9分）如图，从帐篷支撑杆的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷，若绳子的长度为，固定点到帐篷支撑杆底部的距离是．现有一根高为的支撑杆，它能否做帐篷的支撑杆？请说明理由． 【答案】不能做帐篷的支撑杆，理由见解析． 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：不能做帐篷的支撑杆， 理由：在中，，， ， ， 不能做帐篷的支撑杆． 18．（本题9分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中，画一个直角三角形，使它的斜边长为； (2)在图中，画一个直角三角形，使它的斜边长为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格与勾股定理，在网格中画直角三角形； （1）画一个直角边长分别为和的直角三角形，则它的斜边长为，即可求解； （2）画一个直角边长分别为和的直角三角形，则它的斜边长为，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，即为所求（答案不唯一）． （2）如图2，即为所求（答案不唯一）． 19．（本题9分）海伦—秦九韶公式：如果一个三角形三边长分别为，，，设，则三角形的面积为， (1)用公式计算三角形的面积 (2)请想一想是否有其他方法？试试看 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先求出的值，再代入公式即可； （2）如图所示，过点作，设，则，根据，得出，进而求得，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：， . （2）解：如图所示，过点作 设，则， 在中，， 在中，， ∴ 即， 解得：， ∴， ∴ 【点睛】此题考查代数式求值以及二次根式的混合运算，勾股定理，弄清海伦公式的计算方法以及勾股定理是解答此题的关键. 20．（本题9分）如图，在中，，，．    (1)求证：是直角三角形； (2)若点为线段上一点，连接，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是 【分析】（1）由勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）设，则，由勾股定理得，，即，求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解；由（1）得， ∵， ∴设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得：， 故的长是． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解题的关键． 21．（本题10分）综合与实践：【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． (1)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么它的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度． (2)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 【答案】(1)不是， (2)能 【分析】本题考查勾股定理的应用； （1）将梯子底部到墙的距离线段对应为一个直角边，梯子顶端到地的距离线段对应为另一个直角边，所以梯子顶端到地的距离为，所以梯子顶端到地为米，根据勾股定理求出，再与作差，求出的长度； （2）先求出梯子能够到达墙面的最大高度，再与比较，即可求得． 【详解】（1）解：云梯的底部在水平方向滑动到的距离不是．理由如下： 在中，． ∴． 在中，， ∴． （2）解：若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的， 则能够到达墙面的最大高度为． ∵， ∴， 因此，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 22．（本题10分）定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”． (1)下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______________（填序号） ①腰上的高；②底边上的中线；③底角的平分线． (2)如图1，在四边形中，为的中点，取中点，连接． 求证：是的“周长平分线” (3)在（2）的基础上，分别取的中点，如图2．请在上找点，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线” ①用无刻度直尺确定点的位置（保留画图痕迹）； ②若，直接写出的长． 【答案】(1)② (2)证明见解析 (3)①作图见解析;② 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及“周长平分线”的定义，即可判断； （2）延长，交于点M，连接，则是等腰直角三角形，再证明，进而即可得到结论； （3）①连接，并延长交于点E，连接，并延长交于点F，即可；②连接，，过点A作于点G，过点D作于点H，由等腰直角三角形的性质得的值，再证明，设，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）∵等腰三角形底边上的中线所在直线也是等腰三角形的对称轴， ∴等腰三角形底边上的中线一定是所在等腰三角形的“周长平分线”， 故答案是：②； （2）延长交于点M，连接， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵点Q是的中点， ∴是的“周长平分线”； （3）①连接，并延长交于点E，连接，并延长交于点F，则是的中垂线，是的中垂线， ∴点E，F即为所求； ②连接，过点A作于点G，过点D作于点H， 则， ∵， ∴和都是等腰直角三角形，且， 又∵，， ∴ ，， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中垂线，是的中垂线， ∴， 设，则，设，则， 在中，根据勾股定理得：，解得：， 在中，根据勾股定理得：，解得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加合适的辅助线，构造等腰直角三角形以及“一线三垂直”模型，是解题的关键． 23．（本题11分）已知，在中，，，点D为的中点．点E、F分别为射线上的点，且于点． (1)观察猜想 如图①，当点E，F分别为边上的点，且于点D，则线段与的数量关系式是 （不需要说明理由）； (2)类比探究 如图②，若点E、F分别为延长线上的点，且于点D，请写出与的数量关系式，并说明理由； (3)解决问题 若则线段的长为 ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识． （1）连接．只要证明可得结论； （2）结论成立，证明方法类似（1）； （3）连接，分两种情况讨论，利用（1）或（2）的结论，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】（1）解：， 理由：如图①中，连接． ，，点D为的中点， ，，， ， ， ， ； （2）解：． 理由：如图②中， ，，点D为的中点， ，，， ， ， ， ； （3）解：连接， 当点E，F分别为边上的点时， 由（1）得，∴，∵，∴； 当点E、F分别为延长线上的点时， 由（2）得，∴，∵，∴； 综上，线段的长为或． 故答案为：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章勾股定理压轴卷2025-2026学年八年级数学下册 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．1，， C．3，4，5 D．4，5，6 2．（本题3分）直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若，，则b的值为（    ） A．1 B．5 C．25 D． 3．（本题3分）满足下列条件的，不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，一条笔直的铁路的同侧有两个村庄，，它们到铁路的距离分别为和，分别过，两点作的垂线，垂足为，，测量得．现在要在铁路上建一个土特产收购站，使得，两村到站的距离相等，则站到点的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）有3cm，4cm，5cm和9cm的小棒各一根，从中选出三根恰好可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是（    ） A．6 B．10 C．7.5 D．13.5 6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，正三角形的一个顶点O在原点，点B的坐标为，则第二象限的顶点A的坐标是（    ）      A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点D，E，连接，若，，则的周长为（    ） A．9 B．14 C． D． 8．（本题3分）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在一个高为5m，斜面长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是（    ） A．12m B．13m C．17m D．18m 10．（本题3分）如图，在中，有一点P在BC边上移动，若，则AP的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）在Rt△ABC中，a＝3，b＝4，则c2＝___． 12．（本题3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，折叠后，点A与BC的中点D恰好重合，折痕为MN，则线段BN的长为___． 13．（本题3分）如图，D为△ABC边BC上的一点，AB＝20，AC＝13，AD＝12，DC＝5，则S△ABC＝______． 14．（本题3分）如图， 在中，于 D，， 则的长为____________． 15．（本题3分）如图，一家民宿要在花园里立一个形的广告牌，所在的直线表示地面，已知，量得点和点距离地面都是米，点距离地面米，则广告牌的周长是_________米． 三、解答题（共75分） 16．（本题8分）如图，点在中，，，求图中阴影部分的面积． 17．（本题9分）如图，从帐篷支撑杆的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷，若绳子的长度为，固定点到帐篷支撑杆底部的距离是．现有一根高为的支撑杆，它能否做帐篷的支撑杆？请说明理由． 18．（本题9分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中，画一个直角三角形，使它的斜边长为； (2)在图中，画一个直角三角形，使它的斜边长为． 19．（本题9分）海伦—秦九韶公式：如果一个三角形三边长分别为，，，设，则三角形的面积为， (1)用公式计算三角形的面积 (2)请想一想是否有其他方法？试试看 20．（本题9分）如图，在中，，，．    (1)求证：是直角三角形； (2)若点为线段上一点，连接，且，求的长． 21．（本题10分）综合与实践：【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． (1)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么它的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度． (2)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 22．（本题10分）定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”． (1)下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______________（填序号） ①腰上的高；②底边上的中线；③底角的平分线． (2)如图1，在四边形中，为的中点，取中点，连接． 求证：是的“周长平分线” (3)在（2）的基础上，分别取的中点，如图2．请在上找点，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线” ①用无刻度直尺确定点的位置（保留画图痕迹）； ②若，直接写出的长． 23．（本题11分）已知，在中，，，点D为的中点．点E、F分别为射线上的点，且于点． (1)观察猜想 如图①，当点E，F分别为边上的点，且于点D，则线段与的数量关系式是 （不需要说明理由）； (2)类比探究 如图②，若点E、F分别为延长线上的点，且于点D，请写出与的数量关系式，并说明理由； (3)解决问题 若则线段的长为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $