第4章 第21讲 三角函数的同角关系、诱导公式(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案聚焦三角函数同角关系与诱导公式核心考点，以平方关系、商数关系及六组诱导公式为知识主线，构建“定义推导-公式应用-综合迁移”的逻辑架构。通过教材梳理夯实基础、考点分层突破（诱导公式应用、同角关系三类问题）、解题技法总结和真题训练，帮助学生系统掌握知识内在联系，突破难点。 资料特色在于采用“四阶复习模式”，创新设计易错辨析（如辨析同角关系适用条件）和一题多法（如齐次式弦切互化）教学活动，培养学生数学思维与符号意识。设置基础自测、能力提升、综合应用分层练习，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生掌握解题策略，为教师把控节奏提供精准指导。

第21讲　三角函数的同角关系、诱导公式 复习目标 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α. 2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式(α±,α±π的正弦、余弦、正切). 教材梳理　夯基础 主干知识 知识点1　同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)商数关系:=tan α(α≠kπ+,k∈Z). [注意点](1)平方关系的作用:实现同角的正弦值与余弦值的转化; (2)商数关系的作用:弦切互化. 知识点2　三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α 口诀 奇变偶不变,符号看象限 [注意点]诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·+α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化.“符号看象限”指的是在“k·+α(k∈Z)”中,将α看成锐角时,“k·+α(k∈Z)”的终边所在的象限. 常用结论 1.同角三角函数关系式的常见变形 (1)sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α). (2)cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α). (3)(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. (4)sin α=tan αcos α(α≠+kπ,k∈Z). 2.诱导公式的常见变形 (1)sin(kπ+α)=(-1)ksin α(k∈Z). (2)cos(kπ+α)=(-1)kcos α(k∈Z). 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2 1,3 4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.(　 ×　) 【解析】(1)对任意的角α,sin2α+cos2α=1. (2)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.(　 ×　) 【解析】 (2)中对于任意α∈R,恒有sin(π+α)=-sin α. (3)若α∈R,则tan α=恒成立.(　 ×　) 【解析】 (3)中当α的终边落在y轴上时,商数关系不成立. (4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sin α=.(　 ×　) 【解析】 (4)当k为奇数时,sin α=,当k为偶数时,sin α=-. 2.(必修第一册P185T6变式)已知角α是第二象限角,sin α=,则cos α=(　　) A.- B.- C. D. 【解析】选A.因为角α是第二象限角,所以cos α<0.又sin2α+cos2α=1,所以 cos α=-=-. 3.已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是(　　) A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1} C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2} 【解析】选C.当k为偶数时,A=+=2;当k为奇数时,A=--=-2. 4.已知sin α·cos α=,且<α<,则cos α-sin α=________.  【解析】因为<α<,所以sin α>cos α,而(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,所以cos α-sin α=-. 答案:- 考点突破　强技能 考点一 诱导公式的应用…………题组练通 1.已知sin(+α)=,则cos(π-α)的值为(　　) A.　 B.　 C.-　 D.- 【解析】选C.因为sin(+α) =sin(1 012π++α)=sin(+α)=cos α=, 所以cos(π-α)=-cos α=-. 2.已知sin(α+)=,则cos(-α)=(　　) A.　 B.　 C.-　 D.- 【解析】选B.因为sin(α+)=,所以cos(-α)=sin[-(-α)]=sin(α+)=. 3.若f(x)=sin(x+α)+1,且f(2 024)=2,则f(2 025)=__________.  【解析】因为f(2 024)=sin(×2 024+α)+1=sin(1 012π+α)+1=sin α+1=2,所以 sin α=1,cos α=0,所以f(2 025)=sin(×2 025+α)+1=sin(+1 012π+α)+1=cos α+1=1. 答案:1 4.化简:=__________.  【解析】==-. 答案:- 解题技法 1.诱导公式的两个应用方向与原则 (1)求值.化角的原则与方向:负化正,大化小,化到锐角为终了. (2)化简.化简的原则与方向:统一角,统一名,同角名少为终了. 2.含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α). 考点二 同角三角函数基本关系式 角度1　“知一求二”问题 【例1】(1)已知α∈(0,),且5cos 2α+cos α+3=0,则tan α=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 【解析】选D.因为5cos 2α+cos α+3=0,所以10cos2α+cos α-2=0.由α∈(0,),所以cos α=,则sin α===,所以tan α==. (2)(2023·全国乙卷)若θ∈(0,),tan θ=,则sin θ-cos θ=________.  【解析】因为θ∈(0,),则sin θ>0,cos θ>0.又因为tan θ==,则cos θ=2sin θ,所以cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1,解得sin θ=或sin θ=-(舍去),所以sin θ- cos θ=sin θ-2sin θ=-sin θ=-. 答案:- 解题技法 利用同角三角函数基本关系式“知一求二”的方法 角度2　sin α,cos α的齐次问题 【例2】(一题多法)若tan θ=-2,则=(　　) A.-　　B.-　　C.　　D. 【解析】选C.法一:切化弦　因为tan θ=-2,所以角θ的终边在第二或第四象限, 所以或 所以==sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θcos θ =-=. 法二:弦化切　因为tan θ=-2, 所以==sin θ(sin θ+cos θ)= ===. 法三:正弦化余弦　因为tan θ=-2,所以sin θ=-2cos θ, 则==sin θ(sin θ+cos θ)= ==. 解题技法 利用“弦切互化”求齐次式值的方法 (1)若齐次式为分式,可将分子与分母同除以cos α的n次幂,将分式的分子与分母化为关于tan α的式子,代入tan α的值即可求解. (2)若齐次式为二次整式,可将其视为分母为1的分式,然后将分母1用sin2α+cos2α替换,再将分子与分母同除以cos2α,化为只含有tan α的式子,代入tan α的值即可求解. 角度3　sin α±cos α与sin αcos α之间的关系 【例3】(多选题)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是(　　) A.sin θ= B.cos θ=- C.tan θ=- D.sin θ-cos θ= 【解析】选ABD.由题意知sin θ+cos θ=, 所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=, 所以2sin θcos θ=-<0. 又因为θ∈(0,π),所以<θ<π, 所以sin θ-cos θ>0, 所以sin θ-cos θ====, 所以sin θ=,cos θ=-, 所以tan θ=-,所以A,B,D正确. 解题技法 “sin α±cos α,sin αcos α”的应用 sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起,即(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,sin αcos α=,sin αcos α=. 【训练1】　(1)(一题多法)(2024·衡水模拟)若α为锐角,tan α=,则 tan α=(　　) A.　　　B.1　　　C.2-　　　D. 【解析】选B.法一　因为α为锐角,所以cos α≠0, 所以tan α== ===tan2α+, 即tan2α-2tan α+1=0,解得tan α=1. 法二　因为tan α=,cos 2α+1=2cos2α, 所以由tan α=得=, 即2sin αcos α=1,即sin 2α=1. 因为α为锐角,所以2α∈(0,π), 所以2α=,即α=,所以tan α=1. (2)(2025·唐山模拟)已知tan α=cos α,则cos2α+cos4α=________,-= ________.  【解析】由同角三角函数的基本关系, 知tan α==cos α, 所以sin α=cos2α,所以sin2α=cos4α, 所以cos2α+cos4α=cos2α+sin2α=1, -=-=-====1. 答案:1　1 【加练备选】 (2024·石家庄调研)若sin θ+cos θ=,则sin4θ+cos4θ=________.  【解析】由sin θ+cos θ=, 平方得1+2sin θcos θ=, 所以sin θcos θ=, 所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ =1-2×()2=. 答案: 考点三 同角关系与诱导公式的综合应用 【例4】(1)(2024·衡水模拟)已知sin(-α)+cos(π-α)=sin α,则2sin2α-sin αcos α= (　　) A. B. C. D.2 【解析】选D.由诱导公式可得sin α=sin(-α)+cos(π-α)=-2cos α, 所以tan α=-2, 因此,2sin2α-sin αcos α====2. (2)已知-π<x<0,sin(π+x)-cos x=-,则=________.  【解析】由已知,得sin x+cos x=,两边平方得sin2x+2sin xcos x+cos2x=, 整理得2sin xcos x=-, 所以(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=. 由-π<x<0知,sin x<0,又sin xcos x=-<0, 所以cos x>0,所以sin x-cos x<0,故sin x-cos x=-, 所以====-. 答案:- 【训练2】　(1)(2024·九江模拟)已知角α为锐角,且2tan(π-α)-3cos(+β) +5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 【解析】选C.由已知得消去sin β,得tan α=3,所以sin α=3cos α,代入sin2α+cos2α=1,化简得sin2α=. 因为α为锐角,所以sin α=. (2)已知角θ的终边与单位圆x2+y2=1在第四象限交于点P,且点P的坐标为(,y). ①求tan θ的值; ②求的值. 【解析】①由角θ为第四象限角,终边与单位圆交于点P(,y),得()2+y2=1,y<0, 解得y=-,所以tan θ==-. ②因为tan θ=-, 所以原式====2-. - 9 - 学科网（北京）股份有限公司 $